Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Грубость разрывной системы 12
1. Основные определения 12
2. Необходимые условия грубости точки 14
3. Свойства квазикривых 23
4. Топологическая структура окрестности особой точки .28
5. Необходимые и достаточные условия грубости особой точки ..41
6. Негрубость квазикривой, оба конца которой являются квази сепаратрисами 60
7. Грубые замкнутые квазикривые 61
8. Необходимые и достаточные условия грубости системы в области 74
Глава 2. Негрубые особые точки, лежащие на гладкой линии разрыва 83
9. Основные определения 83
10. Типы особых точек 85
11. Степени негрубости особых точек I типа 90
12. Степени негрубости особых точек II типа 94
13. Особые точки Ш типа, имеющие 1-ую степень негрубости..108
14. Особые точки W типа, имеющие 1-ую степень негрубости..115
15. Особые точки V и Чї типов 125
16. Число топологических классов изолированных особых точек различных степеней негрубости 126
Глава 3. Классификация особых точек, лежащих на гладкой линии разрыва, относительно диффеоморфизмов класса С .127
17. Предположения и леммы 127
18. Основная теорема 134
Литература 143
- Необходимые условия грубости точки
- Необходимые и достаточные условия грубости особой точки
- Степени негрубости особых точек I типа
- Число топологических классов изолированных особых точек различных степеней негрубости
Необходимые условия грубости точки
Обозначим через СООц,„,9и»к) наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее концы векторов иь(Ч0) при 0 = 1,...,К с началом в точке 0 . По определению решения конец вектора скорости в точке0 принадлежитСоСМ ,., «.,№ )/рис.1/. Точка 0 - состояние равновесия тогда и только тогда, когда a)(U/i у к) содержит нулевой вектор. Пусть Н. (6) соответственно К С ) J - проекция вектора ско- рости C ifii) в точке(f ( , j;(4)) на нормаль /соответственно касательную к кривой Ь\ в этой точке, направленную в сторону об-ласти (}: /соответственно в сторону возрастания ). Пусть М О) /соответственно К» С 6)J - проекция вектора скорости И. .S(R .Д. Ана ту же нормаль /соответственно касательную/ в той же точке. Очевидно функции N , К С [О, bji. Пусть Из определения решения следует, что, если N.C ) 0LIM; (ЪЙ+1М ( 1ФО, то скорость движения $1С6) по ъ в точке(1.(6).0.(6)) направлена по касательной к Ь /ірисі/ и её проекция на эту касательную, направленную в сторону возрастания 6 , равна - функция класса С С 0« 6 J .
Для системы /А/ все аналогичные функции будем отмечать сверху знаком ,,Л/# Всюду в дальнейшем под понимается точка, лежащая на границе К /К Ъ I областей со всеми введённшли выше обозначениями. Лемма І. /[Зі] » стр.248/. Если (х) - непрерывная функция ограниченной вариации на отрезке tu t»! , то при почти всех С функция у(Х)-С имеет лишь конечное число корней на [&,оЗ . Лемма 2. Если N-. (0) = N,- (0) = 0 хотя бы для одного i-\rv , то точка 0 - негрубая. Доказательство, Точку (Ь , лежащую на одной или нескольких линиях разрыва, будем называть концом линии нарушения единственности, если существует окрестность V точки В такая, что через каждую точку простой дуги ВС /BC V/ проходит более одного решения, а через каждую из остальных точек окрестности V - единственное решение. Заметим, что конец линии нарушения единственности является особой точкой и при любом отображении ТСА?А) конец линии нарушения единственности переходит в конец линии нарушения единственности. Внутренняя точка В гладкой линии разрыва » является концом линии нарушения единственности тогда и только тогда, когда функция /2/ N;, меняет знак при переходе через точку Е . Возможны два случая: I/ В любой сколь угодно малой окрестности точки 0 имеется бесконечное число концов линий нарушения единственности. 2/ Существует такая о -окрестность точки О , что все точки этой окрестности, отличные от 0 , не являются концами линий нарушения единственности.
В случае I/ для любого о 0 рассмотрим систему /А/, о-близкую к /А/, которая получается из /А/ изменением векторного поля /I/ в области &; на постоянный вектор о- hr такой, что п - единичный вектор, неколлинеарный касательным к I- и L,B точке О (I И,..., К ). Пусть Ч, (6) ( i )J - косинус угла между вектором нормали к t L , направленным в сторонуЬ" , и векторомп (соответственно Ь /. При малых бС0?дс] функции Рг(/Ь) непрерывны и отличны от нуля. В силу леммы I выберем константы К 0"і\ 0 J так, чтобы функции N. ( )/f."44) + b и N. )/ЧГ.(б) + , имели на отрезке L09\] конечное число корней (i =\,... ,К ). Полученная система /А/ имеет в некоторой окрестности точки лишь конечное число концов линий нарушения единственности (для неё все функции /2/ при i = 1,...,k HL(d)a(M (0)+ 4 .+ (v ))(Nr(6 -)« f. ( ))имеют на отрезке Со Ь \ конечное число корней/, поэтом? для любых окрестностей V и V точки 0 (VjA) (V7A)npH малом 6 0. В случае 2/ для любой окрестности V точки 0 выберем так, чтобы () & и Д/6-окрестность точки 0 лежала в V . Имеются две возможности:
Необходимые и достаточные условия грубости особой точки
Лемма 12. Пусть И - каноническая окрестность особой точки типа квазиседла или типа квазифокуса для системы /А/. Тогда для любого б 0 существует 0 такое, что если система /А/ - -близка к /А/ и имеет-«в Н одну и только одну особую точку 0 , причем такой же топологической структуры, как и точка 0 для /А/, и в случае квазифокуса система /А/ не имеет в Н замкнутых квазикривых, то для некоторой области Н , имеем Пусть Й - каноническая окрестность особой точки типа квазиседла.
Пусть 6 0 задано. В tj%- окрестности точки 0 выделяем каноническую окрестность И точки 0 . В границу Н / Н7/ входят щ дуг без контакта С б .,.. Ь[ б J и т дуг квазикривых С Ь-и+) ftt ь ін \ Ь=v„,m,, Vb«"i 6ів6 ггж /Р -157- Каж паРУ ДУГ Ь, С- і Е/ С пересекает одна и только одна квазисепаратриса точки 0 во внутренних точках D- ,. этих дуг соответственно /1= ,.,,,иг/. Продолжим дуги квазикривых С; 6 . до пересечения с дугами без контакта В С и Ь .О в точках N и Hj4. соответственно (l 1?.,,?m »Mm+-M//, рис.15. Обозначим через . Г. квазичетырехугольники N-Д В М , М Wj,С- {, соответственно, I = = 1,,а (п . В силу леммы 8 при заданном 6 С для каждого квазичетырехугольника Гъ Г. J существует пара чисел fji , 5 , (jjf К ) , обладающая следующиїли свойствами: если система /A/ 5 ( ) -близка к системе /А/, Г (П ) - соответствующий квазичетырехугольник системы /А/, и заданы отображения сторон hi? М..., N С; С: В,1., ,.___„ соответственно на стороны N, г). .,, М-С,« , Ч t+ квазичетырёхугольника Г /соответственно сторон М В ,В-СУ.» N; С квазичетырехугольника Г. , являющееся У), -сдвигом /СООТ-ветственно -сдвигом/ и переводящее точки на скользящих кривых в точки на скользящих кривых, то существует отображение квазичеты-рехугольника Г на П (Г на П 7, переводящее траектории в траектории, являющееся ,-сдвигом, и совпадающее на трех его сторонах с заданными отображениями (L- 4,.,,, nv 7- рис.15. Пусть о настолько мало, что если система /А/ - о -близка к /А/, то при 1-4,..,?т дуги N , С в В М квазикривой сис- темы /А/ можно отобразить на дуги fi Cj ,( 5(.,., , ui i+i квазикРИВ0Й системы /А/, проходящей через точку 0 , а дугу C ft;H на дугу 1 1+4 так» чтобы эти отображения были 11 -сдвигами, где тіа пг). n ) и переводили точки скользящих кривых в точки скользящих кривых.
Существование такого о следует из теоремы о непрерыв- ной зависимости решения и отсутствия контакта на дугах В-С- ,В С и скользящих кривых. Проведем квазикривые С Ь1+1 С ,39.Х(\,9Ьл-Ь системы /А/, С. , 5- - внутренние точки дуг без контакта Т). С: A L , :.. соответственно /L=L„,...m/. Если точка С- достаточно близка к 7 7 I/ точке 1 , то 5 сколь угодно близка к точке Ъ. . /t = }.,пт /. Мы выберем точки С так, чтобы точки В и С[ лежали в 11 / -окрестности точки 2) - (L - b. bfuj. Область Н" , ограниченная ду- С 7 7 гами квазикривых С В . и дугами без контакта Б- С? при U=1l r а гти является канонической окрестностью точки 0 для системы /А/. Пусть 5 настолько мало, что если система /А/ о -близка к системе /А/, то квазикривые систем /А/ и /А/, проходящие через любую точку дуги без контакта С? & , пересекают дугу без контак- V w та В- С, или ее продолжение в двух точках, расстояние между ко- v"M С + 1 торыми меньше 17. /Н /La .„jiT /, и система /А/ имеет особые ; , точки лишь внутри области И , ограниченной дугами квазикривых Ь; о« системы /А/ и дугами без контакта В, в« при ъ=\ , „,m, {рис.15, 6. - точка пересечения квазикривой, проходящей через точку С. , с дугой без контакта ..С . J. Покажем теперь, что если О - произвольное положительное число, меньшее каждого из о 9 0 ч ПРИ ьМ . ГО/ , и если система /А/, о-близкая к системе /А/, имеет в Н лишь одну особую точку, причем той же топологической структуры, что и точка О для /А/, то выполнено /14/ для области Н , ограниченной дугами без кон-такта В С и дугами квазикривых С В +, системы /А/ /рис.15/.
Степени негрубости особых точек I типа
Действительно, для особых точек в случае А П іг /рис.48, 49/ и скользящая кривая входит в эту точку с нулевой скоростью. А при условии /3/ предел скорости III при X-»С существует и равен Для особых точек в случае Б движение по линии разрыва имеется с обеих сторон от точки (с, о) и скорость 111 имеет разрыв приХ=С . А при условии /3/ легко показать, что скоростьI Cx)должна быть непрерывной при Х=С„ Все остальные 24 топологических класса изолированных особых точек Ш типа и только они возможны для систем, удовлетворяющих условию /3/ и для систем, правые части которых являются аналитическими функциями в каждой из полуокрестностей точки Сс70). Для любого К существуют системы класса (A)R (G). имеющие осо-бую точку топологических классов, указанных в условиях А, Б леммы 3 Тип IJL . Из одной полуплоскости траектории достигают оси Ох , не касаясь ее, а в.другой полуплоскости на ее границе имеется стационарная точка. Она может быть любой стационарной точкой, которая возможна у системы класса С . Поэтому тип W содержит бесконечно много топологических классов. Простейшие из них перечислены ниже в 14. Тип J/ . В одной полуплоскости вектор С Р? Gt) касается оси Ох в рассматриваемой точке, и траектории расположены как в области и 0 на любом из рис.46 ct/, ol9 С/. Для системы в другой полуплос- кости рассматриваемая точка - стационарная, любого класса. Тип Yi . Рассматриваемая точка является стационарной как для системы /А /, так и для системы /А/. Картина расположения траекторий вблизи этой точки склеена из двух картин полуокрестностей любых стационарных точек. Каждый из типов У 9 \h содержит бесконечно много топологических классов. Из теоремы I гл. I следует, что грубые особые точки содержатся только в I и 11 типах. Ниже в 12 будет показано, что особые точки 1-ой степени негрубости содержатся только в 1 2 типах. II. Степени негрубости особых точек I типа. Пусть /0,0/ - особая точка і типа, т.е. U CO,0)-a?/090) 0? (0) = 0„ /4/ При малом изменении правых частей системы /А/ у полученной системы /А/ в окрестности точки /0,0/ могут возникнуть особые точки только I типа, т.к. в этой окрестности сохраняются условия: (LQ, Рассмотрим область И с нормальной границей определение 17 гл.удля системы /А/, ограниченную дугами без контакта М N. =& и дугами траекторий Mi\?NN{, лежащими в \ Д=1,2, точки М , Н лежат на линии разрыва . Пусть в области Н имеется конечное число особых точек системы /А/, и все они - I типа, функции (L и 0% сохраняют знак.
Область, удовлетворяющую этим условиям, будем называть областью типа /Г/ для системы /А/ /рис.54/. Пусть ТОЧКИ Cj CC Q lHjM.jfnH только эти точки являются особыми точками системы /А/ в области И . Лемма 4. Для всякого 0 существуют числа $ Q и 7) 0 та- кие, что, если р,(А,А) 0 и функция 111 +Сх) для системы /А/ имеет на отрезке KIN корни в точках . »12/- WW ьН...,ти только в этих точках, то существует область Нс& такая, что CH9A)s чН;Ал Для доказательства выделяем непересекающиеся канонические окрестности V» особых точек СС:,0) ДДя системы /А/. Продолжаем ква-зикривые, входящие в границу V: до пересечения с граничными дугами без контакта М W. и M hL Область Н разбивается на канонические окрестности и квазичетырехугольники. Через точки М и N оси Ох лежащие в "W-окрестности точек М HN соответственно, проведем Л/ дуги траекторий системы /А/ до пересечения с дугами без контакта ЩЖММаУИ и продолжениями. Получим область Н , которая при достаточно малых Б и Т) является областью типа IVI для системы fkf. Затем строится разбиение области Н , аналогичное разбиению Н . Канонические окрестности особых точек (8 0) системы /к/ строятся так же, как при доказательстве леммы 12 гл.1. Числа & и по выбираются настолько малыми, чтобы знаки функций (х) и (х) в промежутках о % С:Л, ис, Х Сг.. соответственно совпадали, и чтобы к Ml можно было применить лемму 12 гл.1, а к квазичетырехугольникам, входящим в разбиение области Н , лемму 5 гл.1. После этого -отоб ражение области п на Н строится теми же методами, что и в теореме 23 [133. Теорема I. Пусть система /A/tR (&)и Н - область, описанного выше типа, Hci(j . Пусть ТОЧКИС ЧСІ,,0) 1 = /Ц„1?т и только эти точки являются особыми точками, они - I типа и лежат внутри Н . Тогда степень не грубости системы /А/ в области И равна 1 (Z K) тогда и только тогда, когда корни Х С функции СХ) имеют кратносДоказательство необходимости проведем индукцией по степени негрубости X , а достаточности - индукцией по числу 6 = Ъ + Пусть утверждение теоремы доказано для степени негрубости меньше п и Jf n fn G » ПРИ п ничего не предполагаем . Необходимость. Пусть система /А/ имеет п -ую степень негрубости в области Н . Допустим, что
Число топологических классов изолированных особых точек различных степеней негрубости
В обоих случаях получили противоречие с тем, чтоСХа 0)-особая точка I типа. Значит предположение неверно, т.е. квазисепаратриса Т не попадает в особую точку I типа. 2/ Пусть квазисепаратриса выходит из точки ( ,, u0)e Тогда (X0s;iL)- седло системы /А /. Поскольку &4Х (0,0)= 0 то ни одна из квазисепаратрис точки (х0 и0) не касается оси Ох при малом о Q , а значит не может попасть в точку С Х О) 3/ Докажем теперь, что квазисепаратриса системы /А/, входящая в седло Сх0 ц0 ) , например, при -f-00, проходит через точку (X 0) отличную от особой точки I типа (Х« „О) Возможны два случая: а/ Сепаратриса особой точки /0,0/ системы /А /, входящая в эту точку при -Ь -» t 0 имеет в этой точке ctx/du -; Р« (0.,0)/0, (1 ( Пусть 6 0 таково, что.При малом Г 0 на некотором отрезке-jS X , получим, что 6в Таким обра- р«1 . f\i f J f+J зом, Pj/CL R /U в точке (Х 0) ,т.е.(х 0) не является точкой I тиш б/ Сепаратриса особой точки /0,0/ системы /А,,/, входящая в эту точку при-Ь 00 , имеет в ней Ax/du-II (OyCyQ(o?0)Пусть Д - собственное значение оператора /45/, соответствующее собственному вектору (9 (0,0), 0 (0.,0)) тогда Д 0. В силу /41/ 0 (о,ОЖ0 , поэтому JL(O,0) 0.
При малом одна из сепаратрис особой точки (X0j,uD) входящая в эту точку при t + % пересекает ось Ох в точке Ос О) такой, что й (х 0) 0„ Знаки чисел CLCX90) и 0 (0;0) при малом 5" 0 совпадают, поэтому Й X ,oyCL X ) 0. Значит, (х 0) не является особой точкой I типа. Итак, в случае Ц0ФО система /А/ является грубой в V . Учитывая все сказанное выше, получим, что /0,0/ - особая точка 1-ой степени негрубости системы /А/. Теорема доказана. 15. Особые точки J и V[ типов. Пусть /0,0/ - особая точка V типа. Будем предполагать, что в точке /0,0/ 0, Gt -R, =0? р. О т.к. другой случай сводится к этому заменой и на -и. Лемма 6. Степень негрубости особой точки /0,0/ V, типа не может быть меньше двух. Для доказательства рассмотрим сколь угодно малую окрестность V точки /0,0/, не содержащую особых точек на оси Ox V существует, т.к. в противном случае справедливость леммы следует из теоремы 4), Для любого Б 0 существует функция F (, х) такая, 4ToHF-F\i Л 5 /где Fcx) = Q (x?t?)/, F (0) -0 и в малой окрестности нуля имеет простой корень Х=В0. Рассмотрим систему /А/, которая получается из /А/ заменой Ct X, ) наS1(x,U)=u1(x?U) + F(x -F :x)BH6epeM 5 0 так, что %-окрестность точки /0,0/ лежит в V , а 6 выберем так, чтол
Особая точка Сбэ0) системы ft/ принадлежит классу iict или И.Ь , т.е. является концом линии нарушения единственности и не является состоянием равновесия системы /А/. Система /А/ на оси Ох не имеет особых точек, отличных от /0,0/, а точка /0,0/ - сос тояние равновесия. Поэтому (V, А) 5К V? А) для любой окрестности V . Кроме того, точка /0,0/ для системы /А/ - 17 типа, она не является грубой. Таким образом, точка /0,0/ для системы /А/ не может тлеть степень негрубости меньше двух. Лемма 7. Пусть в точке /0,0/ 0, -Р = &д, Р , т.е. /0,0/ -особая точка W_ типа. Степень негрубости точки /0,0/ не может быть меньше трех. Для доказательства так же,, как в лемме I, рассмотрим сколь угодно малую окрестность V точки /0,0/, не содержащую особых точек на оси Ох , отличных от /0,0/. Для любого Ь 0 рассмотрим систему /А/, которая получается из /А/ заменой Рд(Х,ц) на Р.(х-оС;и)? СЦОир на 0 (Х сЦу)„При малом 0 получим, чтор (А,А) 5 . Выберем & О так, что &-окрестность точки /0,0/ лежит в V и 0 . Точки /0,0/ и /об ,0/ - состояния равновесия системы /А/, они - IV типа и имеют траектории, входящие в них за конечное время. А все состояния равновесия системы /А/, отличные от /0,0/, лежат вне оси Ох , все траектории входят в них за бесконечное время. Поэтому (V?A (V?A) для любой области V . Точки /0,0/ и /сС,0/ системы /А/ «:негрубые, поэтому /А/ не может иметь в V степень негрубости меньше или равную 2. Но тогда особая точка /0,0/ системы /А/ не может иметь степень негрубости меньше трех. Теоремы I - б и леммы 6,7 дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы точка, лежащая на гладкой линии разрыва, имела 1-ую степень негрубости.
