Содержание к диссертации
Введение
I. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой 22
1.1. Некоторые вспомогательные утверждения, результаты и обозначения 23
1.2. Асимптотическое расщепление однородной системы линейных .дифференциальных уравнений 27
1.3. Расщепление неоднородной системы на подсистемы меньшей размерности 44
1.4. Построение решений для системы линейных дифференциальных уравнений 50
1.5. Случай дробного ранга иррегулярной особой точки 69
II. Линейные дифференциальные уравнения с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве 79
2.1. Предварительные замечания 81
2.2. Расщепление однородного уравнения 86
2.3. Асимптотические оценки приближенного расщепления 91
2.4. Расщепление неоднородного дифференциального уравнения 95
2.5. Построение частных решений неоднородного уравнения 101
2.6. Построение решений при наличии кратных собствен ных значений 107
2.7. Случай сходимости решений 116
Заключение 126
Список основной использованной литературы
- Асимптотическое расщепление однородной системы линейных .дифференциальных уравнений
- Построение решений для системы линейных дифференциальных уравнений
- Асимптотические оценки приближенного расщепления
- Построение частных решений неоднородного уравнения
Введение к работе
На первых исторических этапах изучения дифференциальных уравнений основной целью являлось получение точного решения через элементарные функции. Но это оказалось возможным лишь в частных случаях. Большинство задач, с которыми сталкиваются физики, инженеры и специалисты в области прикладной математики имеет ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. В этих случаях для получения информации о решениях дифференциальных уравнений вынуждены прибегать к различным приближенным методам интегрирования. Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений наряду с численными методами важное место занимают асимптотические методы возмущений, о чем свидетельствует эффективное применение их при решении многих задач в различных областях физики, математики, механики [5,8,35, 38, kk\ .
В основу методов возмущений положены асимптотические разложения по большим или малым значениям параметра или координаты. Согласно этим методам решение задачи представляется несколькими членами асимптотического разложения. И, хотя, во многих случаях эти разложения являются расходящимися, тем не менее приближенное решение оказывается весьма пригодным для практических расчетов, выяснения качественных особенностей, а так же для получения асимптотик и анализа особых точек.
Развитие асимптотических методов в теории дифференциальных уравнений происходит по двум направлениям. Первое направление исследований связано с изучением решений дифференпиальных уравнений при стремлении параметра /большого или малого/, входящего в уравнение или систему уравнений, к своему предельному значению. Последнее является предметом изучения регулярной и сингулярной теории возмущений по параметру, развитию которой посвящены работы Крылова Н.М., Боголюбова Н.Н. [47J , Митропольского Ю.А. [5k] , Боголюбова Н.Н., Митропольского Ю.А., Самойленко A.M. [3? Тихонова А.Н. [66) , Васильевой А. Б., Буту зова В.Ф.[9-]0), Федо-рюка М.В. [68) Ломова С.А. [52J Фещенко С.Ф., Шкиля Н.И., Николенко Л.Д. [ 69], Шкиля Н.И. и его учеников [63,79-0% Маркуша И.И. [53] Сотниченко Н.А., Фещенко С.Ф. [58 60], Вайнберга М.М. и Треногина В.А. [7J , Далецкого Ю.А.-, Крей-на С.Г.[2б-28 Вишика М.И. и Люстерника Л.А. [i\] f Като Т. [36], Найфэ А.Х. [55] f Грачевой Г.С.[#-й] и др.
Второе направление исследований связано с изучением поведения решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек /обычно это точки 0 или °° / независимой переменной. В общей теории возмущений задачи этого направления относятся к разделу задач на возмущение по переменной. На обзоре литературы по этому направлению остановимся более подробно.
Так как в большинстве представляющих интерес уравнений с особенностями эти особенности имеют место при X = °° , то в общей теории особых точек эту особенность принято помещать в точку X = °° . Тогда, в согласии с терминологией теории аналитических функций, поведение дифференциального уравнения на бесконечности определяется как поведение дифференциального уравнения при 2=0 , полученного преобразованием Z = -=- •
Исходя из вышеизложенного, целью настоящей работы является:
- исследование систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, имеющих особенности как по независимой переменной, так и по малому параметру, то есть сингулярно возмущенных систем в случае иррегулярной особой точки;
- постановка общей задачи построения асимптотического предсталвения решения однородных и неоднородных линейных диффе- ренциальных уравнений с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве.
Научная, новизна. Предложен подход к проблеме построения решений для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой в виде разложений по . степеням независимой переменной и малого параметра. Получены достаточные условия разложения таких решений в случае простых корней характеристического уравнения и указана схема их дальнейшего расширения в "резонансном" случае.
Для уравнений с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве построен алгоритм расщепления на уравнения как бы меньшей размерности, указаны оценки близости /77 -приближенных расщеплений к соответствующим точным, построены решения в виде асимптотических разложений в зависимости от поведения собственных значений главного оператора, а также вида правой части неоднородного уравнения;
Теоретическая и практическая ценность. Разработан новый аналитический алгоритм приближенного решения сингулярно возмущенных систем линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Найден явный вид коэффициентов разложений искомого решения по степеням малого параметра и независимой переменной. Полученные результаты могут быть использованы при решении прикладных задач строительной механики, физики, прикладной математики.
Предложен общий подход к проблеме асимптотического представления решений дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой в банаховом пространстве, который позволил обобщить некоторые ранее известные результаты в конечномерном пространстве на бесконечномерные пространства. Это, несомненно, представляет определенный теоретический и практический интерес, учитывая возможность приложений к уравнениям с частными производными.
Структура и объем работы. Настоящая работа состоит из введения, двух глав, объединяющих 12 параграфов, библиографического списка, включающего 91 наименование литературных источников и содержит 136 страниц машинописного текста.
Первая глава посвящена асимптотическому разложению решений неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений, имеющих сингулярные особенности по малому параметру и иррегулярные особенности по независимой переменной одновременно.
В параграфе I.I. приводятся некоторые вспомогательные результаты и утверждения, необходимые в дальнейшем.
В параграфе 1.2. рассматривается однородная сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой, соответствующая неоднородной системе. Устанавливается возможность формального расщепления исходной системы на подсисте - 20 -мы меньшей размерности. Доказывается асимптотический характер формального расщепления.
В параграфе 1.3. излагается процесс формального расщепления неоднородной системы на подсистемы меньшей размерности в "резонансном" и "нерезонансном" случаях.
В параграфе 1.4. строятся формальные общие решения однородной и неоднородной системы в случае простых корней характеристического уравнения и показывается их асимптотика.
В параграфе 1.5. рассматривается случай дробного ранга иррегулярной особой точки.
Вторая глава посвящена вопросам представления решений в виде асимптотических разложений по независимой переменной уравнения (2) в банаховом пространстве.
В параграфе 2.1. даются предварительные замечания, которые используются в дальнейшем.
В параграфе 2.2. производится расщепление уравнения (2) на уравнения как бы "меньшей" размерности.
Асимптотические оценки такого расщепления даются в параграфе 2.3.
Параграф 2.4. посвящен расщеплению неоднородного уравнения. Так как задача расщепления не решает вопроса построения решений при наличии кратных собственных значений, то изучению этого вопроса посЕящен параграф 2.6.
В параграфе 2.7. исследуется случай сходимости решений, построенных в параграфе 2.6.
Апробация работы. Основные результаты работы изложены в пяти статьях автора [2І -23, 61-62} и докладывались на научно-технических конференциях Киевского инженерно-строительного института /1980, 1981, 1983 г.г./, на научной конференции аспирантов и молодых ученых Киевского государ - 21 -ственного педагогического института им. А.М.Горького /1980/. По материалам диссертации делались доклады:
- на научном семинаре по дифференциальным уравнениям кафедры высшей математики Киевского пединститута им. А.М.Горького /руководитель член-корр. АПН СССР, профессор Н.И.Шкиль/;
- на республиканском семинаре по дифференциальным уравнениям Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевченко /руководитель член-корр. АН УССР, профессор А.М.Самойленко/;
- на научно-технических семинарах кафедры высшей математики Украинского института инженеров водного хозяйства /г. Ровно, 1982 - 1983 г.г.А
Асимптотическое расщепление однородной системы линейных .дифференциальных уравнений
На первых исторических этапах изучения дифференциальных уравнений основной целью являлось получение точного решения через элементарные функции. Но это оказалось возможным лишь в частных случаях. Большинство задач, с которыми сталкиваются физики, инженеры и специалисты в области прикладной математики имеет ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. В этих случаях для получения информации о решениях дифференциальных уравнений вынуждены прибегать к различным приближенным методам интегрирования. Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений наряду с численными методами важное место занимают асимптотические методы возмущений, о чем свидетельствует эффективное применение их при решении многих задач в различных областях физики, математики, механики [5,8,35, 38, kk\ .
В основу методов возмущений положены асимптотические разложения по большим или малым значениям параметра или координаты. Согласно этим методам решение задачи представляется несколькими членами асимптотического разложения. И, хотя, во многих случаях эти разложения являются расходящимися, тем не менее приближенное решение оказывается весьма пригодным для практических расчетов, выяснения качественных особенностей, а так же для получения асимптотик и анализа особых точек.
Развитие асимптотических методов в теории дифференциальных уравнений происходит по двум направлениям. Первое направление исследований связано с изучением решений дифференпиальных уравнений при стремлении параметра /большого или малого/, входящего в уравнение или систему уравнений, к своему предельному значению. Последнее является предметом изучения регулярной и сингулярной теории возмущений по параметру, развитию которой посвящены работы Крылова Н.М., Боголюбова Н.Н. [47J , Митропольского Ю.А. [5k] , Боголюбова Н.Н., Митропольского Ю.А., Самойленко A.M. [3? Тихонова А.Н. [66) , Васильевой А. Б., Буту зова В.Ф.[9-]0), Федо-рюка М.В. [68) Ломова С.А. [52J Фещенко С.Ф., Шкиля Н.И., Николенко Л.Д. [ 69], Шкиля Н.И. и его учеников [63,79-0% Маркуша И.И. [53] Сотниченко Н.А., Фещенко С.Ф. [58 60], Вайнберга М.М. и Треногина В.А. [7J , Далецкого Ю.А.-, Крей-на С.Г.[2б-28 Вишика М.И. и Люстерника Л.А. [i\] f Като Т. [36], Найфэ А.Х. [55] f Грачевой Г.С.[#-й] и др.
Второе направление исследований связано с изучением поведения решений дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек /обычно это точки 0 или / независимой переменной. В общей теории возмущений задачи этого направления относятся к разделу задач на возмущение по переменной. На обзоре литературы по этому направлению остановимся более подробно.
Так как в большинстве представляющих интерес уравнений с особенностями эти особенности имеют место при X = , то в общей теории особых точек эту особенность принято помещать в точку X = . Тогда, в согласии с терминологией теории аналитических функций, поведение дифференциального уравнения на бесконечности определяется как поведение дифференциального уравнения при 2=0 , полученного преобразованием Z = -=-
Мы будем рассматривать только такие дифференциальные уравнения в окрестности особой точки, где оператор по переменной имеет полюс или асимптотическое степенное представление. Линейное уравнение, имеющее полюс в начале координат, может быть записано в виде
Построение решений для системы линейных дифференциальных уравнений
Преобразование X - —=- переводит (І) в уравнение где д= П-2 , а , оператор либо голоморфная функция при Х= , т.е. при достаточно больших /xj скажем jxj & Х0 , он имеет сходящееся разложение вида либо это разложение является для Л(х) асимптотическим в некотором секторе S . Число Z- Q+1 - ранг особой точки. Согласно классификации особых точек, =-/ для обыкновенной точки, 2 = Q для регулярной точки и положителен для иррегулярной особой точки. Теория регулярной особой точки в конечномерном пространстве достаточно хорошо изучена /см., например [2,6,12., 39} / и обобщена на бесконечномерные пространства в работах Интерес представляет случай иррегулярной особой точки, о чем свидетельствует обилие работ, вышедших по данному вопросу
Идея исследования поведения решений линейных дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярной собой точки с помощью асимптотических разложений принадлежит А.Пуанкаре [90] . Возникла она в связи с исследованием уравнения первого ранга с рациональными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа. Дальнейшее развитие получила в работе Горна 189} . Горн установил, что уравнение р -го порядка целого ранга имеет л линейно независимых формальных решений в виде нормальных рядов Д. - корни соответствующего характеристического уравнения; І = І,П и доказал асимптотическое свойство полученных решений на некотором фиксированном луче CLZU Z = V. Биркгоф [86 "87] обобщил результаты Горна для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Он показал, что систему (7) можно свести заменой переменных 5ц - символ Кронекера, к канонической системе л zri- Pijmvj , о) - 7 іде Ри - полиномы степени не выше +/ , для которой в слу а чае простых корней характеристического уравнения существует Л линейно независимых формальных решений в виде нормальных рядов (6).
В отличие от Горна, Биркгоф доказал асимптотическую сходимость рядов (6) к истинным интегралам системы в некоторых угловых областях в 4 azgZ fm
Следует сказать, что метод Биркгофа мало пригоден для конкретного исследования, поскольку фактическое построение преобразующей матрицы (8) является весьма сложной задачей и практически осуществляемой только лишь для систем двух уравнений.
В 1946 г. вышла работа Н.П.Еругина [32] , в которой он разработал метод последовательных приближений для систем линейных дифференциальных уравнений с предельно постоянными коэффициентами и построил решения в случае простых корней характеристического уравнения в виде сходящихся рядов по степеням некоторого параметра X , независящего от t.
С помощью метода последовательных приближений Еругина В.В.Хорошилов [7h - 7 b] для систем (7) первого ранга (К1=0) при предположении, что среди характеристических чисел матрицы II О-ц II нет ДВУХ с одинаковыми действительными частями, по о строил фундаментальную систему решений в виде рядов, равномерно сходящихся для достаточно больших действительных значений не за - 8 -оттого переменного, и показал, что полученные ряды могут быть использованы для построения асимптотических разложений решений. Этим же методом Л.И.Донская [30 3i] , обобщая результаты И.А.Лаппо-Данилевского [51] , получила фундаментальную матрицу для системы
Асимптотические оценки приближенного расщепления
Вопрос о сходимости последних к истинным решениям К.Я.Латышевой не рассматривался. Полностью решить эту задачу для систем дифференциальных уравнений первого порядка удалось Д.П.Костомарову /40-43J . Он установил, что всякая система вида (7) положительного ранга имеет фундаментальную систему поднормальных решений и показал, что эти решения являются асимптотическими разложениями истинных решений не только на лучах 4ZQZ=B , но и в некоторых угловых областях;. латышева показала, что, если в X - 0 определяющее уравнение для (13) имеет кратные корни, то этим корням соответствует как решение поднормального вида, так и логарифмическое решение вида и обратила внимание на тот факт, что асимптотические логарифмические решения появляются и тогда, когда среди корней определяющего уравнения есть такие, которые отличаются на целое число. Последний результат нашел дальнейшее развитие в работах Н.И.Терещенко [6 -65] . Он установил признак появления логарифмических решений для уравнения (13) и для систем вида мерный вектор; постоянные квадратные матрицы, причем первые из них диагональны; /С - целое положительное число7. Вопрос о необходимых и достаточных условиях существования замкнутых решений для неоднородного уравнения исследовал ученик Н.И.Терещенко Ю.И.Сикорский [5Ь-51] /такую же задачу для однородного уравнения полностью решила К.Я.Латы-шева/.
Оригинальное доказательство существования формальной лога-рифйически-экспоненциальной матрицы для линейной системы вида (2) - (3) дано в книге [39] американских математиков Э.А.Код-дингтона и НДевинсона. Так, ими доказано, что если XJt... , Хп различные характеристические корни матрицы J0 Ф 0 , то формальная матрица - решение имеет вид
В общем же случае, когда матрица J0 имеет кратные характеристические корни формальная матрица-решения для (2) - (3) имеет вид с постоянными коэффициентами 7.-т .
Кроме того, формальные определители матрицы S не обращаются в нуль для больших /z/ .На асимптотическую природу формальных решений (19) в действительном случае указывает теорема:
Пусть e PLt6i6 - произвольный вектор-столбец формальной матрицы-решения Фя Pt 6 системы (2) - (3) для Тогда существует для всех достаточно больших t истинный вектор-решение этой системы, такой, что оценка имеет место для всех /77 = 0,1,2,... . В частности, % . Следует отметить, что полученный здесь результат также распространяется на комплексный случай, т.е. решение Щ на самом деле имеет ( своим асимптотическим разложением в некотором секторе S Z - плоскости, не содержащем направлений Re[at-JLj)zrt]-0 (tj-ZBit+j), или тоже самое так называемых линий Стокса. Тем более в качестве сектора $ можно взять любой сектор с раствором
Решение в виде (23) применять на практике оказалось неудобно. Неудобства связаны с трудностью нахождения матрицы S тем более решение в таком виде зависит от выбора многозначной функции Z h.
В.Вазов [б] предложил в этом случае строить фундаментальное матричное решение для системы (2) в виде (19). Но такая методика нахождения решений линейных дифференциальных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения мало приемлема поскольку вычислять полином Q (X) задача не прос -Цр тая, так как выражается здесь он через степени X , а не самого X и главный член его не может быть описан так просто, как в (19). Результаты В.Вазова обобщены Э.Хилле для операторного уравнения (I) в банаховом пространстве{ 88 ]. Н.И.Шкиль, исследуя уравнения с медленно меняющимися коэффициентами, разработал свой метод построения асимптотического решения в случае кратных корней характеристического уравнения и в качестве иллюстрированного примера показал применимость этой методики для систем (2) в случае одной жор-дановой клетки.
Ученик Н.И.Шкиля В.К.Григоренко [щ в своей кандидатской диссертации этим же методом построил решение в координатной форме для однородной системы (2) как с целым, так и с дробным положительным рангом в случаях, когда кратным корням характеристического уравнения соответствует несколько кратных элементарных делителей одинаковой и различной кратности. Позже в статье
Построение частных решений неоднородного уравнения
Вопрос о сходимости последних к истинным решениям К.Я.Латышевой не рассматривался. Полностью решить эту задачу для систем дифференциальных уравнений первого порядка удалось Д.П.Костомарову /40-43J . Он установил, что всякая система вида (7) положительного ранга имеет фундаментальную систему поднормальных решений и показал, что эти решения являются асимптотическими разложениями истинных решений не только на лучах 4ZQZ=B , но и в некоторых угловых областях;. К.Я.Латышева показала, что, если в X - 0 определяющее уравнение для (13) имеет кратные корни, то этим корням соответствует как решение поднормального вида, так и логарифмическое решение вида и обратила внимание на тот факт, что асимптотические логарифмические решения появляются и тогда, когда среди корней определяющего уравнения есть такие, которые отличаются на целое число. Последний результат нашел дальнейшее развитие в работах Н.И.Терещенко [6 -65] . Он установил признак появления логарифмических решений для уравнения (13) и для систем вида мерный вектор постоянные квадратные матрицы, причем первые из них диагональны; /С - целое положительное число7. Вопрос о необходимых и достаточных условиях существования замкнутых решений для неоднородного уравнения исследовал ученик Н.И.Терещенко Ю.И.Сикорский [5Ь-51] /такую же задачу для однородного уравнения полностью решила К.Я.Латы-шева/.
Оригинальное доказательство существования формальной лога-рифйически-экспоненциальной матрицы для линейной системы вида (2) - (3) дано в книге [39] американских математиков Э.А.Код-дингтона и НДевинсона. Так, ими доказано, что если XJt... , Хп различные характеристические корни матрицы J0 Ф 0 , то формальная матрица - решение имеет вид с постоянными коэффициентами 7.-т .
Кроме того, формальные определители матрицы S не обращаются в нуль для больших .На асимптотическую природу формальных решений (19) в действительном случае указывает теорема:
Пусть e PLt6i6 - произвольный вектор-столбец формальной матрицы-решения Фя Pt 6 системы (2) - (3) для Тогда существует для всех достаточно больших t истинный вектор-решение этой системы, такой, что оценка имеет место для всех /77 = 0,1,2
Следует отметить, что полученный здесь результат также распространяется на комплексный случай, т.е. решение Щ на самом деле имеет ( своим асимптотическим разложением в некотором секторе S Z - плоскости, не содержащем направлений Re[at-JLj)zrt]-0 (tj-ZBit+j), или тоже самое так называемых линий Стокса. Тем более в качестве сектора $ можно взять любой сектор с раствором VI/(Q+1J /см. [бJ с. 79/. Решение в виде (23) применять на практике оказалось неудобно. Неудобства связаны с трудностью нахождения матрицы S тем более решение в таком виде зависит от выбора многозначной функции Z h.
В.Вазов [б] предложил в этом случае строить фундаментальное матричное решение для системы (2) в виде (19). Но такая методика нахождения решений линейных дифференциальных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения мало приемлема поскольку вычислять полином Q (X) задача не прос -Цр тая, так как выражается здесь он через степени X , а не самого X и главный член его не может быть описан так просто, как в (19). Результаты В.Вазова обобщены Э.Хилле для операторного уравнения (I) в банаховом пространстве{ 88 ]. Н.И.Шкил исследуя уравнения с медленно меняющимися коэффициентами, разработал свой метод построения асимптотического решения в случае кратных корней характеристического уравнения и в качестве иллюстрированного примера показал применимость этой методики для систем (2) в случае одной жор-дановой клетки. Ученик Н.И.Шкиля В.К.Григоренко [щ в своей кандидатской диссертации этим же методом построил решение в координатной форме для однородной системы (2) как с целым, так и с дробным положительным рангом в случаях, когда кратным корням характеристического уравнения соответствует несколько кратных элементарных делителей одинаковой и различной кратности. Позже в статье им получены аналогичные результаты для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой целого ранга вида
С.Ф.Фещенко в работах [69 7l] , относящихся к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами, получен весьма важный результат об асимптотическом расщеплении исходной системы линейных дифференциальных уравнений на подсистемы более низкого порядка.
Теория асимптотического расщепления, предложенная С.Ф.Фещенко для конечномерного случая была нетривиально обобщена на бесконечномерные пространства С.Г.Крейном и Ю.Л.Далецким [26] , а также нашла успешное применение к системам уравнений других видов. Так, для систем вида (2) справедлива теорема
Пусть 5 - открытый сектор плоскости X с вершиной в начале и положительным центральным углом, не превосходящим Щ+І). Пусть J їх) есть (П п) - матричная функция, голоморфная в S для Х0 /х/ о" и имеющая в S равномерное асимптотическое представление в виде степенного ряда
Предположим, что собственные значения 10 распадаются на две группы Xt9 Х29...} Хр и ір+і,... Д„ , так что v когда «/ Р, р . Тогда существует матричная функция голоморфная для ХЄ S, Хй/Х/ - , имеющая в « асимптотическое разложение и такая, что преобразование У= P(x)z переводит дифференциальное уравнение
Эта теорема дает возможность сводить задачу о нахождении асимптотического решения исходной системы дифференциальных уравнений к той же задаче для отдельных П скалярных уравнений в случае простых корней характеристического уравнения и в случае кратных корней характеристического уравнения к той же задаче для нескольких подсистем низшего порядка, количество которых равно числу тождественно кратных корней. Причем посредством преобразования подобия можно добиться, чтобы матрицы В0 (х) подсистем имели жорданову каноническую форму с одним собственным значением, т.е. Вок (Х)- icЗк + Нк9 Л /,5 , где S кратность корня, а В?(х)- В% ВЦ 0... В% , -прямая сумма матриц, JR - единичная матрица, Нк - матрица сдвига4.
Обобщая результаты В.Вазова, в статье [2у И.В.Денисов показал, что при конечномерности операторов В0 ,... 9 „,., в разложении B(Z) иррегулярно сингулярного уравнения (I) в банаховом пространстве существует такая формальная замена переменных, которая уравнение (I) сводит к двум уравнениям того же вида, одно из которых конечномерно, а у второго оператор J0 нильпотентен.
