Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы теория сингулярно возмущенных задач получает все большее развитие как в теоретическом плане, так и через решение конкретных задач математики, механики, физики, химии, биологии, различных отраслей человеческих знаний. В связи с этим проблема построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками является весьма актуальной задачей. В настоящее время нет общей теории нахождения решений таких уравнений. Поэтому анализ проводится для отдельных классов уравнений. В зависимости от исследуемой задачи весьма эффективными методами получения решений сингулярно возмущенных уравнений являются метод усреднения, метод пограничных функций А. Б. Васильевой, метод регуляризации С. А. Ломова, метод сращиваемых асимптотических разложений. Не менее активно развивается теория экстремальных задач. Особое место в этой теории занимают некорректные задачи. Такие задачи тесно связаны с сингулярно возмущенными задачами. В начале восьмидесятых годов А.Н. Панченковым введен в рассмотрение один класс некорректных экстремальных задач. Для этого класса задач одним из характерных свойств является следующее: существует одна или несколько точек, в которой нарушено усиленное условие Лежандра. Типичной становится ситуация, когда дифференциальное уравнение, из которого определяется решение экстремальной задачи, имеет по крайней мере одну особую точку. В этой проблеме актуальным является получение решений предельных сингулярно возмущенных задач . со следующим свойством: при малом параметре равном нулю, порядок уравнения не понижается, но само уравнение становится уравнением с особой точкой.
Целью работы является разработка метода получения решений предельных задач сингулярно возмущенных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде функционального ряда Пюизе.
Методика исследования. Основными методами исследования в диссертации являются методы качественной теории дифференциальных уравнений, асимптотические методы, методы представления решений дифференциальных уравнений в виде сходящихся функциональных рядов.
Научная новизна. Работа содержит следующие новые результаты:
- на основе асимптотических методов получена формула для лагранжиана достаточно общего вида на промежутке, включающем
особую точку;
выведено дифференциальное уравнение необходимого условия экстремума - уравнение Эйлера в промежутке, содержащем особую точку; описан класс функций, на котором определяется решение сингулярно возмущенной задачи для этого уравнения в предельном и допредельном случаях;
доказана теорема о структуре решений предельной сингулярно возмущенной задачи;
сформулированы и доказаны условия сходимости ряда к точному решению предельного уравнения;
. - в качестве приложения предложенным методом получены решения некоторых известных задач теории оптимальных аэродинамических форм.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы представляют интерес для дальнейшего развития общей теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Элементы работы использовались в учебном процессе: при изложении курса теоретической механики в Чувашском государственном университете, при чтении курса численных методов студентам физико математического факультета Чувашского государственного педагогического института. Результаты работы использовались при написании монографии "Асимптотические методы в задачах оптимального проектирования и управления движением /Панченков А.Н., Ружников Г.М., Данеев А.В. и др./ - Новосибирск: Наука, 1990. - 271 с", в исследованиях Республиканского инженерного центра автоматизации проектирования (Н. Новгород).
Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались:
- на научно - практической конференции молодых ученых и
специалистов Чувашской АССР ( 1985 г.);
. - на научных конференциях молодых ученых кораблестроительного факультета Нижегородского политехнического института ( 1985 г.), механико - математического факультета и НИИ Механики Нижегородского госуниверситета ( 1985 - 1987 г.г.), Волго -Вятского региона( г. Н. Новгород, 1987 г.);
- на итоговых научных конференциях Чувашского госуниверситета
(г. Чебоксары, 1986 - 1989 г.г.), Казанского госуниверситета (1989
г.), Нижегородского политехнического института (1985 г.),
,Чувашского государственного педагогического института ( 1992 -1995 г.г.);
на научных конференциях "Герценовские чтения" в РГПУ ( г. С- Петербург, 1989,1990 г.г.);
на VIII Всесоюзной конференции по теоретической кибернетике (г. Горький, 1988 г. );
на школах - семинарах "Современные проблемы механики жидкости и газа" (г. Иркутск, 1988 г.), "Гидродинамика больших скоростей" (г. Чебоксары, 1989 г.);
на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам теории сингулярно - возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач ( г. Бишкек, 1991 г.);
на городском научном семинаре кафедры математического анализа РГПУ ( г. С. - Петербург, 1989, 1992 г.г. );
на научном семинаре кафедры высшей математики- Чувашского госуниверситета (г. Чебоксары, 1990 г.);
на Международной научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" ( г. Тверь, 1996 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12D.
Структура и. объем диссертации. Диссертационная работа состоит из VI разделов, в которые входят введение, три главы основного содержания, заключение, список литературы. Объем диссертации составляет 123 страницы машинописного текста. Библиография содержит 124 названия.
