Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Интегралы нелинейных гиперболических систем уравнений 24
3. Полный базис интегралов 24
4. Линейное представление интегралов 32
Глава 2. Инварианты и обобщенные инварианты Лапласа открытых цепочек Тоды 36
5. Цепочки Тоды серии Лп и Сп 36
6. Цепочка Тоды серии Вп 41
7. Цепочка Тоды серии Т>п 47
8. Исключительные матрицы Картаиа 52
Глава 3. Классификация интегрируемых гиперболических систем уравнений 57
9. Уравнения Эйлера - Пуассона 57
10. Уравнения вида иху = <р(щ v), vxy =
11. Уравнения вида иху = ip(u,v,ux,uy), vxy — tj>(U)V,vx,Vy) 80
Глава 4 . Построение решений гиперболических систем уравнений 98
12. Общее решение уравнений Эйлера - Пуассона 98
13. Построение х- и у- интегралов для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго порядка 101
14. Построение общего решения для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго порядка 111
Заключение 122
Литература
- Линейное представление интегралов
- Цепочка Тоды серии Вп
- Уравнения вида иху = <р(щ v), vxy =
(u,v) - Построение х- и у- интегралов для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго порядка
Введение к работе
1. Общая характеристика работы
Различные математические модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболического типа. Известно, что гиперболические уравнения
иху = F(x, у, и, их, иу) (1.1)
являлись объектом классических исследований. Так, например, в 1773 го/гу Пьер Симон Лаплас предложил "каскадный метод", дающий общее решение для специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.
Поиск точных решений гиперболических уравнений второго порядка - задача сложная. Взяв наугад какое-нибудь даже линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка, трудно сказать имеет ли это уравнение хотя бы одно решение. Потому что гиперболические уравнения имеют точные решения только в редких случаях.
Поэтому для теории уравнений с частными производными естественным является введение понятия интегрируемости уравнений.
По-видимому, Жан Гастон Дарбу был первым, кто дал определение точно интегрируемых гиперболических уравнений (1.1) [43, 44, 46, 47, 48].
Их еще называют уравнениями, интегрируемыми по Дарбу.
Определение 1.1. Уравнение (1.1) называется интегрируемым по Дарбу, если у него существуют нетривиальные х- и у- интегралы.
Наряду с Ж. Дарбу первые примеры нелинейных интегрируемых уравнений были также построены и в работах Л. Бианки, Ж. Лиувилля, А. Беклунда. Потом эти работы были ненадолго забыты. И лишь в конце XX века исследования в этом направлении были возобновлены в связи с многочисленными приложениями гиперболических уравнений к физическим задачам и образовали один из разделов теории интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Огромное количество публикаций, посвященных гиперболическим интегрируемым уравнениям, указывает на важность данных исследований. При этом само понятие интегрируемости математиками понимается по-разпому.
На сегодняшний день существуют различные трактовки понятия интегрируемости уравнения. В частности, в некоторых работах в понятие интегрируемости уравнения вкладывается наличие у него бесконечного набора высших симметрии или полного набора интегралов. С точки зрения таких определений интегрируемости, возможно, провести классификацию некоторого класса уравнений, то есть решить одну из основных задач теории интегрируемых нелинейных уравнений. Эти подходы позволили произвести полную или частичную классификацию интегрируемых уравнений как эволюционного, так и гиперболического типов (см. [2, 14, 18, 26, 32, 33, 34]).
Однако при классификации гиперболических систем уравнений, с применением этих критериев, даже в простейшей ситуации возникают серьезные технические трудности (см., например, работы [21, 24|).
Поэтому является актуальным применение альтернативных методов для исследования интегрируемости гиперболических систем. Одним из таких подходов, основанный на изучение характеристических алгебр гиперболических уравнений и систем уравнений, был предложен в работах [29, 40] и применен к исследованию интегрируемости специальных классов гиперболических уравнений и систем уравнений (см. [3, 4, 17, 19]). Другим перспективным методом исследования интегрируемости уравнений является подход, опирающийся на применении классического метода каскадного интегрирования Лапласа к линеаризованному уравнению, представленный в статьях [1, 20, 23, 36, 38, 39, 41, 42]. В работах [20, 42, 46] в качестве определения класса точно интегрируемых уравнений (1.1) лиувиллевского типа было выбрано свойство конечности цепочки инвариантов Лапласа для его линеаризованного уравнения. В этом смысле понятие интегрируемости оказалось удачным и позволило провести полную классификацию скалярных гиперболических уравнений лиувиллевского типа (см. [25]). Поэтому задача распространения этого подхода на случай систем гиперболических уравнений является важной для настоящего момента. Некоторые попытки в этом направлении были предприняты в работах [б, 7, 13, 15, 16, 25, 35]. В частности, в работе А.В. Жибера и В.В. Соколова [25] для нелинейных гиперболических систем уравнений вида
и1ху = Fl{x,y,u,ux,uy), і = 1,2,..., р, (1.2)
и = (и1, и2,..., ир) были предложены определения и инвариантов Лапласа, и систем лиувиллевского типа. Ряд примеров уравнений лиувиллевского типа можно найти, например, в статьях [12, 27, 28, 29, 31, 40].
Таким образом, существуют, по-крайней мере, четыре независимых
определения интегрируемости уравнений и систем уравнений.
В диссертационной работе рассматриваются следующие определения интегрируемости систем уравнений: первое определение - основывается на наличие у систем уравнений (1-2) полного набора интегралов (их называют системами интегрируемыми по Дарбу), а второе - опирается на обрыв цепочки обобщенных инвариантов Лапласа для линеаризации системы уравнений (1.2) (такие системы уравнений будем называть системами лиувиллсвского типа). Для скалярных уравнений (1-1) доказана эквивалентность этих определений интегрируемости [46], поэтому в литературе уравнения интегрируемые по Дарбу называют еще уравнениями типа Лиувилля. В дальнейшем, по аналогии со скалярным случаем, системы уравнений интегрируемые по Дарбу также будем называть системами лиувиллсвского типа. Как говорилось раньше некоторые классы систем дифференциальных уравнений могут быть проклассифицированы по этим признакам интегрируемости. А также мы упоминули, что исследователь сталкивается со значительными вычислительными трудностями при классификации дифференциальных систем уравнений интегрируемых по Дарбу. Поэтому целью диссертации было выбрано развитие иного подхода к решению задач классификации специальных интегрируемых дифференциальных систем уравнений (1.2) лиувиллевского типа. В результате был получен список систем уравнений, в котором содержатся и новые системы уравнений. Для некоторых систем уравнений из списка построены общие решения с использованием интегралов. В связи с этим настоящая работа также посвящена исследованию интегралов нелинейных гиперболических систем уравнений (1.2).
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку.
Второй параграф введения носит реферативный характер и включен для полноты изложения материала данной работы. В нем излагается классический метод точного интегрирования линейных гиперболических уравнений второго порядка (каскадный метод Лапласа) (см. [30, 37, 44]), а также приводится доказательство утверждения об инвариантах Лапласа для сопряженной системы уравнений [7] и основные результаты из работы [25], касающихся систем дифференциальных уравнений.
Как говорилось выше, уравнение является интегрируемым по Дарбу, если у него существуют нетривиальные х- и у- интегралы го и W. Например, волновое уравнение иху = 0 обладает интегралами w = их, W = иу, а интегралами уравнения Л иу вилл я иху = еи являются функции
ги-ихх- -и2х и W = иуу - ~и2у.
В работах [18, 24, 30] было доказано, что если w является х- интегралом минимального порядка скалярного уравнения (1.1), то любой другой х-интетрал этого уравнения имеет вид
Ф = ^{x^w,Dw,D2w,...),
где D - оператор полного дифференцирования по х. Аналогично, если W является у- интегралом уравнения (1.1), то любой другой у- интеграл этого уравнения задается формулой
~$ = ~(y,W,DW,D2W,...), где D ~ оператор полного дифференцирования по у.
В параграфе 3 главы 1 этот результат обобщается на случай систем уравнений (1-2), а именно доказывается теорема о наличии у таких уравнений лиувиллевского типа полного базиса интегралов (см. [9, 22]).
Для скалярного уравнения (1.1) базис х- интегралов состоит из одного элемента ги(х, у, щих,иХХіиххх,...), при этом в случае, если порядок интеграл больше или равен двум, то w можно выбрать линейным по старшей переменной (см. [18, 24]). В случае систем уравнений (1.2) лиувиллевского типа обоснование того факта, что если у системы имеется базис интегралов го1,гу2,... ,wp в одном порядке больше или равному двум, тогда элементы базиса можно выбрать линейными по старшим переменным, проводится в параграфе 4 главы 1 (см. [9, 22]).
Вторая глава диссертации посвящена экспоненциальным системам уравнений
ич/~ ^«iiexp(uJ), г = 1,2,..., п (1.3)
с матрицами Картана простых алгебр Ли. Известно, что эти системы уравнений обладают ж- и у- интегралами (см. [40]).
Отметим также, что В.В. Соколовым была высказана гипотеза: индексы ку при которых происходит падение ранга обобщенных инвариантов Лапласа Xk, совпадают с показателями соответствующей простой алгебры Ли, а номер h, для которого Х^ = 0, равен числу Кокстера.
Это предположение было проверено и для цепочек Тоды с матрицами Картана Лп, Вп, Сп и Т>п в работе [7], и для цепочек Тоды с исключительными матрицами Картана Q%, J7^, q ~ s в работе [45]. Эти экспоненциальные системы уравнений являются системами лиувиллевского типа, а именно: доказано, что существуют
инварианты и обобщенные инварианты Лапласа; получены явные формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа; показано, что происходит обрыв цепочки обобщенных инвариантов Лапласа.
Для полноты изложения в параграфе 5 приведены утверждения, касающиеся экспоненциальных систем уравнений (1.3) с матрицами Картана Лп и Сп, без доказательства.
В параграфах 6, 7 главы 2 исследуются открытые цепочки Тоды с матрицами Картана Вп и Т>п.
В параграфе 8 этой же главы рассмотрены системы уравнений (1.3) с исключительными матрицами Картана. Для системы уравнений (1.3) с матрицей ?2 проиллюстировано описание инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа. А для систем уравнений с матрицами Картана J-±, q — 8% написана программа под названием «Invariant», предназначенная для среды Maple V Release 4 . При помощи этого пакета посчитаны инварианты Лапласа и показано, что цепочки обобщенных инвариантов Лапласа обрываются.
В третьей главе рассматривается ряд классификационных задач, для решения которых применяется критерий интегрируемости, связанный с инвариантами Лапласа.
Перечислим основные результаты третьей главы диссертации.
Девятый параграф главы 3 посвящен системам уравнений Эйлера -
Пуассона [б]
д2и Л ди В ди _ . .
дхду (х 4- у) дх (х -\-у)ду
где Ли В - постоянные матрицы второго порядка, аи= (и1, и2)т - столбец неизвестных. Система уравнений (1.4) представляет собой обобщение скалярного уравнения Эйлера - Пуассона (см. например [37]). В этом параграфе описаны все системы уравнений (1.4), у которых цепочки
обобщенных инвариантов Лапласа обрываются, при этом выведены формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа, и показано, что исходная система уравнений заменой и —> Sw сводится к системе уравнений
д2ш 1 / т+1 0 \ dw 1 ( -т 1 \ dw
дхду {х + у) 1 (m + n+i + py -п J дх {х + у) \ 0 n + i J ду
где т, пир- постоянные.
В параграфе 10 проводится классификация специальных дифференциальных систем уравнений второго порядка [10]
иху = <р(и, v), vxy = ф(и, v) (1.5)
лиувиллевского типа. Полученные системы уравнений являются экспоненциальными системами с матрицами Картапа Аг, 2(() и С?2- В статье [21] была проведена классификация уравнений (1.5) по полному набору независимых интегралов.
Списки интегрируемых уравнений, полученные в [10] и [21], совпадают. Таким образом, определение системы уравнений лиувиллевского типа, введенное в работе [25], наряду с классическим определением интегрируемости по Дарбу, также имеет право на существование.
В параграфе 11 главы 3 рассматриваются системы уравнений вида
иху ~ (p(u,v,ux,uy), vxy =
В этом параграфе описаны все системы уравнений (1.6), у которых det(#i Ki) = 0, oid(Hi,K{) = 1 и цепочки обобщенных инвариантов Лапласа обрываются на втором шаге.
Полный список специальных систем уравнений (1.6) такого типа с точностью до точечных преобразований имеет вид:
вырожденная система Полмейера - Лунда - Редже
vuxuv uvxvv . .
иху = f-, vxy = -^, (1.7)
UV + С UV + с
где с— ненулевая постоянная;
(1.8) (1.9)
В четвертой главе изучается вопрос построения общего решения для системы уравнений Эйлера - Пуассона (1.4), вырожденной системы Полмейера - Лунда - Редже (1.7), а также для систем уравнений вида (1.8) и (1.9).
В параграфе 12 главы 4 указан механизм нахождения общего решения систем уравнений типа Эйлера - Пуассона (1.4) путем сведения его к скалярному уравнению, у которого цепочка инвариантов Лапласа обрывается в одну сторону.
Системы уравнений (1.7), (1.8) и (1.9) обладают полным набором х- и у- интегралов. Построение интегралов задача не из легких, так как порядок интеграла заранее неизвестен. Решением этой проблемы может служить интересная гипотеза, высказанная А.В. Жибером: порядки интегралов и индексы, при которых происходит падение ранга обобщенных инвариантов Лапласа для систем уравнений, совпадают.
В параграфе 13 соискатель воспользовался этой идеей при построении полного набора интегралов для специальных систем уравнений (1.7), (1.8) и (1.9) лиувиллевского типа.
В параграфе 14 этой главы с использованием х- и у- интегралов, при помощи некоторых трюков, были выписаны решения этих специальных систем уравнений лиувиллевского типа.
Заключение содержит обзор полученных результатов.
В приложении 1 приведен список матриц необходимых для построения
явных формул для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа цепочек Тоды с исключительными матрицами Картана Т\, q — Eg.
В приложении 2 приведен алгоритм программы под названием «Invariant», предназначенной для среды Maple V Release 4.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 22, 45].
Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на между народной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001 г.), на международной конференции «Solitons, collapses and turbulence» (Черноголовка, 2002 г.), на научном семинаре института математики с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессоров Л.А. Калякина и В.Ю. Новокшенова (Уфа, 2003 г., 2005 г.), на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2003 г., 2004 г.), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров А.В. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2004г., 2005 г.), па научном семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета под руководством профессора В.А. Байкова (Уфа, 2005 г.).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за предложенную тему исследований, ценные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.
2. Метод каскадного интегрирования Лапласа линейных дифференциальных уравнений
Одним из классических приемов построения общих решений линейных гиперболических уравнений вида
иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0 (2.1)
является каскадный метод Лапласа (см. также [30], [37]).
Прежде, чем преступить к описанию процедуры получения решений уравнений (2.1), введем понятия инвариантов Лапласа.
Уравнение (2.1) посредством мулитипликативного преобразования типа
и{х,у) = \(x,y)v(x,y), (2.2)
где Х(х,у) - некоторый известный множитель, приводится к новому уравнению
vxy + а(х, y)vx + b(x, y)vy + с(х, y)v = 0. (2.3)
Для того, чтобы два уравнения канонического вида (2.1) и (2.3) были приводимы одно к другому при помощи преобразования типа (2.2), необходимо и достаточно, чтобы величины
h = ах + аЪ — с и к = Ьу-\- аЬ — с
имели для обоих уравнений одно и тоже значение.
Функции h и к являются инвариантами группы преобразований вида (2.2). В литературе их обычно называют инвариантами Лапласа уравнения (2.1).
Каноническое уравнение (2.1) можно, смотря по тому, какой из двух инвариантов h или к, желательно выделить, представить в двух
равносильных формах:
иХ!)-\-а(х,у)их + Ь(х,у)иу + (ах + ab — h)u =(^ + 6) ( «-+ а) « —'ш = j
иху + а(х, у)их + Ъ(х, у)иу + (by + ab — к)и ~ ( о- + а ) {-д- + Ь\и — ки = 0. Поэтому уравнение (2.1) эквивалентно каждой из систем
\Ж + а)и = иъ (т^ + ь)щ-Ііи^0, (2.4)
( — + Ъ)и = и-и (-^- + а)и-!-ки = 0. (2.5)
Первым соотношением из формулы (2.4) задается х- преобразование Лапласа, оно состоит в переходе от неизвестной и к неизвестной иь Аналогично, первой формулой из (2.5), описывается у- преобразование.
Формулы (2.4), (2.5) показывают, что если хотя бы один из инвариантов h или к тождественно равен нулю, то уравнение (2.1) интегрируется в квадратурах.
Действительно, если, скажем, h = 0, то второе из уравнений (2.4) становится обыкновенным линейным дифференциальным уравнением относительно неизвестной ui. Интегрируя его, получаем
Используя метод вариации произвольной постоянной, из первого уравнения системы (2.4) находим
e-Ja(x,v)dy (Х(х)+ J Y(y)etta{x^dy-b{x'v)dx)dy\ ,
где X произвольная функция переменного х, a Y - переменного у.
При к = 0 из (2.5), аналогичным образом, может быть получено решение уравнения (2.1) в квадратурах.
В случае h — к = 0 уравнение (2.1) эквивалентно волновому уравнению иХу = 0.
Но, увы, очень редко случается, что h = 0 или к ~ 0. Однако и при отсутствии этого счастливого случая предыдущие преобразования небесполезны, поскольку они позволяют преобразовать заданное уравнение в два других того же самого типа, которые в свою очередь могут иметь один из инвариантов равным нулю. А если это не имеет места, то преобразование можно повторять, получая так целый каскад уравнений типа (2.1), находящихся в такой взаимной связи, что, проинтегрировав любое из них, мы проинтегрируем и все другие. Этот способ интегрирования уравнения вида (2.1) называется каскадным методом Лапласа.
Рассмотрим эту схему интегрирования более подробно.
Пусть h ф 0, тогда второе из уравнений (2.4) можно переписать в виде
u4(+6)ui- (26)
Подставляя это выражение вместо и в первое уравнение (2.4), получим
д2и\ ( h„\ дщ дщ / / hu\ , . \
h [дхду \ h J дх ду \ \ h
Аналогично, если к ф 0, то, пользуясь (2.5), получаем
^-А+Г^М^П + ^+^+^.М^-^.-!
дхду \ к) ду дх \ \ к
Мы будем обозначать эти уравнения соответственно через (Е{) и (E-i) и записывать в более компактном виде:
~дх~ду + а1^ У^~дх~ + ^Х^Иу~ + С^Х' У^Щ = ' < l)
02u-i , .ди-i , , . ди-\ , . _ / n \
-r-—- + а_і(ж, y)~7z— + o-i(x, y)— h c_i(s, y)u_i = 0, (/_i)
ажау ox oy
где положено
ai = a - (In /i)W) 6i = 6, c\ - ai 61 + by - h,
(z.7J
a-i — a, &_i = b — (In &)x, c_i = a_i 6-1 + ( — k. Используя (2.7), нетрудно найти инварианты Лапласа для уравнений (Е\) и (Е-\) :
h\~2h — к — (In /i)xy, /i_i = A;,
fei = h, fe_x = 2k — h~ (\nk)Xy. Важно отметить, что ввиду существования обратного локального преобразования (2.6), если нам удалось тем или иным способом проинтегрировать уравнение (Е{)} то мы решили и исходное уравнение (Eq) (за (Eq) обозначим уравнение (2.1)). Аналогичным образом уравнение (Eq) связано и с (.Е-і). А именно, переписывая второе из соотношений (2.5) в виде
мы получаем формулу для решений (Eq), если нам известны решения уравнения (E-i).
Применяя к (Еі) у- преобразования, фактически приходим к исходному уравнению (Eq). Однако, если hi ф 0, то применяя к (Еі) х- преобразование Лапласа, мы приходим к некоторому новому уравнению (Е2). Аналогично, с помощью у- преобразования мы, исходя из (E-i), строим уравнение (Е-^) и т.д. Таким образом, мы имеем целую двустороннюю последовательность уравнений
... , (Я_з), (Я-з), (Я-і), (Яо), (Яі), №>), (з), ..., 2.8)
не обрывающуюся, с той или другой стороны, до тех пор, пока, возможно, не встретится уравнение, один из инвариантов
которого тождественно равен нулю, что, впрочем, будет счастливым случаем, поскольку тогда, как уже было отмечено, это уравнение можно будет сразу свести к квадратурам, а с ним и вес другие уравнения последовательности (2.8). Но даже когда этот счастливый случай не сбывается, построение последовательности (2.8) оказывается часто полезным при исследовании уравнения (Eq). А еще больший интерес представляют, вообще говоря, последовательности инвариантов, соответствующих уравнениям (2.8):
... , /г_з, Д_2, fc-i, h = h0, hi, h2, Дз, ,
..., &_з, fc_2, fc_i, к = ко, ki, &2, &з, , которые можно вычислять, строя лишь первую последовательность, посредством реккурентной формулы
д2
hn+i = 2hn - Лп_і - д-- (In hn) \
дхду
(где п может быть положительным, отрицательным и нулем), исходя из «начальных значений» h-\ = к и Iiq = h и получая затем инварианты кп по формуле кп = hn-\.
Инварианты и преобразования Лапласа для скалярных линейных гиперболических уравнений (2.1) известны уже более сотни лет, а преобразования Лапласа для систем линейных уравнений, по-видимому, никем еще не изучались - отдельные попытки подобного были предприняты лишь недавно. В работе [25] было предложено обобщение метода Лапласа интегрирования линейных скалярных гиперболических уравнений на случай систем дифференциальных уравнений.
Далее для полноты изложения приведем основные результаты из этой работы.
Линеаризованная система уравнений для системы (1.2) имеет вид
(DD + aD + b~D + c)v = 0, (2.9)
где D и D - операторы полного дифференцирования по х и у соответственно, а а, 6 и с - матрицы:
WJ WJ \дм?)
Прямолинейное обобщение понятия инвариантов на матричный случай состоит в следующем. Главные инварианты Лапласа определяются формулами
Нх = D(a) + Ъа-с и Кх = D{b) + ab - с, (2.10)
а матрицы Ні при г > 1 находятся последовательно из системы уравнений
D(Hi) + щЩ - ЯіОі-і = 0, (2.11)
Я.-+1 = D{oi) + [6, щ] - D(b) + Ни і = 1,2,..., (2.12)
где а$ = а. Если Ні при г < и и ^ при і < п — 1 уже известны, то из уравнения (2.11) определяется ап, а затем из уравнения (2.12) -Нп+і. Однако, если dctHn = 0, то ап либо вообще не существует, либо определяется с точностью до ядра матрицы Нп. При этом выбор элемента из ядра существенно влияет на факт существования и явные формулы для следующих инвариантов.
Аналогично определяются элементы Kj :
D(Kt) + ЬіКі - КіЬі-і = 0, (2.13)
Кі+1 = Щі) + [а, Ьі] - D{a) + Ки і = 1, 2,..., (2.14)
здесь 60 = Ь. Таким образом, мы сталкиваемся с проблемой корректного определения цепочки инвариантов.
Отметим, что именно системы ураннений (1.2), для которых матрицы Ні и Кі вырожденные, и представляют интерес.
Теперь мы несколько по-иному определим элементы Ні и Кі: пусть матрицы Hi, Н2,. -., Нт известны и уравнение
D(Xm) + атХт — Хта = 0, Хт = Нт - Ят_і Hi, (2.15)
имеет решение ат, тогда положим
Ят+1 - D(am) + [6, ат] - D{b) + Нт, т = 1,2,..., (2.16)
аналогично, если уже найдены элементы К±, Д*2,..., Кт и существует решение Ьт уравнения
D(Ym) + 6тУт - Ymb = 0, Гт = К K"m_! Ки (2.17)
то Km+i определим по формуле
Km+l = D{bm) + [а, Ьт] - D{a) + Кт, т = 1,2,... . (2.18)
Ясно, что формулы (2.10), (2.15) - (2.18) определяют последовательности матриц Нт и Кт, т = 1,2,..., при условии разрешимости уравнений (2.15) и (2.17).
Заметим, что если выполнены соотношения (2.11) при г = 1,2,..., к, то справедливы равенства (2.15) для т = 1,2,...,к. Обратное утверждение в общей ситуации неверно.
Матрицы Нт и Кт, определенные формулами (2.10), (2.15) - (2.18), по аналогии со скалярным случаем будем называть инвариантами Лапласа, а Хт и Ym, т — 1,2,... — обобщенными инвариантами Лапласа линеаризованной системы уравнений (2.9).
Условия существования решений ат и Ьт систем уравнений (2.15) и (2.17) приводятся в следующем предложении:
Лемма 2.1. Система уравнений (2.15) имеет решение, если и только если выполнено условие
(D + a) (КегХт) С KerXm, 2.19)
а система (2.17) - при условии
{D + Ъ) (KerYrn) с KerYm. (2.20)
Так как матрицы а; и 6,- определяются неоднозначно, то инварианты Нт и Кт зависят от выбора матриц а\,а2,..., am_i и &1,62, -.., &т-І5 и поэтому в общем случае обобщенные инварианты Лапласа Хт и Ym определяются этим выбором. Таким образом, возникает вопрос: при каких условиях последовательности {Хі} и {{} определены корректно. Решение этой задачи дается в предложении:
Теорема 2.1. Пусть справедливы условия
(D - bT) (CokerXi) С CokerXi, і = 1,2,..., m,
(2.21)
CokerXi С CokerX2 С * С CokerXm.
Тогда обобщенный инвариант Хт+і не зависит от выбора матриц аі, аг,..., ат. Если
(D - аТ) (CokerYi) С CokerYi, і = 1, 2,..., m, Со/гегУі С CofcerY2 С * * С Co&erYm,
mo обобщенный гшвариантп Ym+i не зависит от выбора матриц
Таким образом, именно последовательности {Хт} и {У^} (а не {Я} и {ЛГт}) корректно определены и их обрыв был положен в основу определения систем уравнений (1.2) лиувиллевского типа.
Определение 2.1. Назовем систему уравнений (1-2) системой лиувиллеоского типа, если выполнены условия (2.19) - (2.22) и существуют г > 1 и s > 1 такие, что ХГ — Ys = 0.
Исследование систем уравнений лиувиллевского типа, например построения высших симметрии, законов сохранения, приводит к рассмотрению сопряженной по отношению к линеаризации (2.9) системы уравнений (см. [7])
(DD + AD + BD + C)V = Q, (2.23)
где А = — аТ, В = —Ьт, С = ст — D(aT) — D(bT). Инварианты Лапласа системы (2.23) обозначим через hi и fc;, і = 1,2,..., а обобщенные инварианты - символами хт и ут так, что
хт = flm tim—i hi и ут = кт кт—і К\.
Следовательно, формулы (2.15) - (2.18) для сопряженной системы (2.23) запишутся в виде
&{%т) + Атхт — хтА = О,
(2.24)
hm+1 = D{Am) + [В, Ат] - D(B) + hm, т = 1, 2,...
D(ym) + Bmym ~ ymB = 0,
(2.25)
km+1 = D(Bm) + [А, Вт] - D(A) + fcm, m = 1, 2,... -Справедливо утверждение:
Теорема 2.2. Обобщенные инварианты Лапласа Хт и Ym системы уравнений (2.9) связаны с инвариантами хт и ут сопряженной системы уравнений (2.23) формулами:
хт = ут и ут = ХІ. (2.26)
Доказательство. Так как главный инвариант hi системы уравнений (2.23), согласно (2.10), имеет вид
Лі = D(A) Л-ВА-С = {D{b) + ab- с)т = Kj,
то х\ — Уу . Предположим, что первая формула (2.26) справедлива для тп > 1. Покажем, что она верна при m + 1. Для этого умножим второе соотношение (2.24) справа на обобщенный инвариант хт и, воспользовавшись индуктивным предположением, получим
хт+1 = {D(Am) - [6Т, Ат] + D{bT) + hm} У*. (2.27)
Далее рассмотрим соотношение (2.17) и первое равенство (2.24). Перепишем их следующим образом:
tfYl = D(Yl) + Ylbl (2.28)
'Т „Т
AmYl = -Щу*) - Y*J. (2.29)
Применяя к обеим частям равенства (2.28) оператор дифференцирования
Д ак (2.29) D и складывая полученные соотношения, будем иметь
ЩА,п) + ЩЬТ)} Yl = Б(УЮ - D(Y^aT) - AmD(Y^) - bTD(Y^).
Теперь формулу (2.27), учитывая последнее равенство и соотношения (2.28) и (2.29), запишем так:
xm+l = У? {D(bl) + [ft, ат] - D(aT)} + hmy?. (2.30)
Так как в силу индуктивного предположения имеем
h YT — h YT Кт — h -r , Кт — f Кт ~ VT КТ
то (2.30) примет вид
хт+1 = У* {D(bm) + [a, bm] - D(a) + Кт}Т,
или, учитывая формулу (2.18), получим
у , — VT К~Т — У~Т
Ьт+1 — ImIvm+l — * т+1~
Следовательно, согласно принципу математической индукции, получаем справедливость первой формулы (2.26) для любого т.
Аналогично, с использованием соотношений (2.10), (2.15), (2.16), (2.23) и (2.25), приходим к равенству ут = Xjn, т — 1,2,... .
Теорема доказана.
Линейное представление интегралов
Так как DG = 0, а все функции Z ""11, Z - +V,..., Ds niwl, DN n w2, DN-n +1w2,..., Ds n w2,..., Z) - -1 1, ) -ПР-І+ІШР-І; ... j Ds Tip-lwp l,wp, Dwp,..., D3 Nwp являются #- интегралами, то все коэффициенты ряда должны быть также х- интегралами порядка N — 1 или меньшего. Из определения интегралов минимальных порядков вытекает, что Gaia?-aP есть функции переменных х, w\ Dw\ D2w\..., DjV-Hl-V, w2, Dw2, D2w2,..., DN n lw2,..., wp \ DwP \ D2wp \ ..., -nP-i iwP-\ Таким образом, произвольный х- интеграл G имеет вид G = G (х, ад1, ш2,..., шр, Dw1, Dw2,..., wp, Ds npwp) и следовательно, интегралы wl, w2,..., wp образуют полный базис. Теорема доказана. Отметим, что теорема 3.1. является обобщением соответствующего утверждения для скалярного уравнения типа (1.2) (р = 1) (см. [18, 24]).
Замечание 3.1. Если систелш уравнений (1.2) имеет р у- интегралов wl, г = 1,2, ...,р минимальных порядков т\ га 5= mp J независимых в главном, тогда любой другой есть функция переменных у, wl, w2,..., шр, Dw1, Dw2,..., Dwp, D w\ D w2,..., D wp,... . $ Для скалярного уравнения типа (1.2) (р = 1) базис х- интегралов состоит из одного элемента ги(х,у,и,щ,и2, ,ип), при этом в случае п 2 х- интеграл w можно выбрать линейным по старшей переменной ип (см. [18, 24]). т
Результатом этого параграфа является следующее утверждение: Теорема 4.1. Пусть система уравнений (1.2) лиувиллевского типа имеет базис х- интегралов wl,w2,..., wp порядка п. Тогда при п 2 элементы базиса можно выбрать линейными по старшим переменным: р W% = aik(x, у, и,ии..., u„_i)uj; + j3l(x, у,и,щ,..., un_i), (4.1) i = 1,2,...,p. Доказательство. Как было показано в предыдущем параграфе старшие переменные игп можно представить в виде = Г{х, У, и,щ,..., un-h w1,..., wp), г = 1,2,...,р. (4.2)
Далее разложим функции (4.2) в степенные ряды в окрестности точки (WQ,WQI ..., WQ) но переменным wl,w2,... ,шр : Un : Yl aU- P(х г/ и "ь---,- -1) {wl wo)4 (гир - и)?)1", (4.3) і = 1,2,..., р. Теперь применим к соотношениям (4.3) оператор полного дифференцирования D, получим в силу системы (1.2) равенства Здесь и (?Ди2,гА3,... ,ип 1,ип)т - столбец неизвестных, с = (1,1,1,..., 1,1)т, U = diagfexp expf/u2),... , exp(un)). Тогда линеаризация уравнений (5.1) принимает форму DDv = AUv, v = (и1, v2,..., vn)T. (5.2)
Для описания инвариантов введем матрицы порядка п : J— верхняя треугольная матрица, все элементы которой па главной диагонали и выше ее равны единице; Вт— матрица, у которой первые (т — 1) столбцов произвольные, а остальные столбцы нулевые, т = 2,3,..., n, В\ = 0; матрицы Zm = {2$) , m = 2,3,..,,n, определяются как х$ = exp(ui-m+1) 4Г-1 = - ехр(и ), г = т, т + 1,..., п, а остальные элементы равны нулю, Zn+i = 0; матрица Тт = (ij") содержит лишь один ненулевой элемент m-im-2==-exp(",n 1)» m = 3,4,...,n + l, Г2-0; { т _ m+1 _ п _ "1 0,0, ...,0, ехр(Е и1), ехр(Е и ),...,ехр( Е ul) \ i—1 i=2 i=n—тга+1 J i2m = diag 0,0,...,0, E«j, E «у " E «І E "if m = 1,2,... , n.
Справедливо следующее утверждение: И Теорема 5.1. Система уравнений (5.1) является системой лиувиллевского типа. Обобщенные инварианты Хт и инварианты Нт линеаризованной системы (5.2), определяемые формулами (2.10), (2.15) и (2.16), вычисляются следующим образом: Хт = AJx mSm (JT)l m, т = 1,2,. ..,7І5 Хп+1 = О, Нт = AJl mZmJ-2A-1 + Qm-iJm 2A \ т = 2, 3,..., п + 1, где матрицы Qm-\ задаются рекуррентными формулалш Qm_i = AJ2 mTm + D{Bm.{) + Qm-2J \ m = 2,3,..., n + 1, Qo = 0. При этом решения am уравнений (2.15) имеют вид ат = -AJl mR,n Г1-1 A-1 + BmJm lA \ т = 1,2,..., п. Отметим, что Rang Xk = п — к + 1, к — 1,2,..., п + 1. Таким образом, индексы к, при которых происходит падение ранга матрицы Xk, совпадают с показателями 1,2, ...,п системы Ап, а номер к = п + 1, для которого Х = 0, равен числу Кокстера [5]. Серия Сп Система уравнений (1.3) с матрицей Картана Сп имеет вид и = — ехр(иг 1) + 2ехр(?іг) — exp(iti+1), і = 1,2,... ,7i — 1, и = -2exp{un-l) + 2exp(un), u = -oo.
Цепочка Тоды серии Вп
Справедливость формул (7.3) - (7.6) проверяется с использованием математической индукции. Согласно формулам (7.3) Rang Хт — Rang Sm, т = 1,2,..., 2п — 3, поэтому (см. определение матриц Sm) при четном п = 1т имеем Rang . = Rang X +i =п — к, & = 1,2,..., г — 1 и RangX2fc = RangX2fc+i = п - (к + 1), к = г,г + 1,... ,п - 2, а при n = 2r + 1 RangX2& = RangX2jt+i = п- к, к = 1,2,..., г — 1, Rang Х2г — п — г, Rang Х2Г+і = n — г — 1 и RangX2& = RangX2fc+i = n — (fc + 1), fc = r + l,r+ 2,... ,n — 2.
Следовательно, индексы m, при которых происходит падение ранга обобщенных инвариантов Хт, совпадают с показателями 1,3,5,..., 2п — 3, п — 1 (последний показатель появляется дважды при четном п и один раз при нечетном п) системы Т п, а номер т 2п — 2, для которого Хт = О, равен числу Кокстера [5].
Замечание 7.1. Инварианты Кт, обобщенные инварианты Ym и коэффициентыЬт, линеаризованной цепочки Тоды cepuuVn определяются формулами (7.3) - (7.6) после замены оператора дифференцирования D на D и переменных и1у на игх. 8. Исключительные матрицы Картана
Система уравнений (1.3) с матрицей Qi имеет вид и1ху — 2ещ (и1) -ехр(ад2), и2ху = -3exp(ux) + 2ехр(и2). (8.1) Инварианты Нт и обобщенные инварианты Хт: определяемые соотношениями (2.10), (2.15) и (2.16), для линеаризации уравнений (8.1) вычисляются по следующим формулам: Xi = Hx = Q2SU Хт = g2P-lSmQ, m = 2,3,4,5, Х6 = О, н2 = g2p-1z2g2-\ нт = (g2p-lzm + Qm)рд2\ т = з,4,5,б, Qm = Qm-i + D(Bm-i) + Q2P-lDmi m = 3,4,5,6, Q2 = 0, где ( о о \ — ехр(«2) ехр г1) -Вт = [ , bi и бзі— произвольные элементы, т = 2,3,4,5, Щ Oj . \ з= t 2 , „ = ), т = 4,5,6, 5i = diagfexpfu exp 2)), S2 = diag(0, exp(uL + u2)), 3 = diag(0,4exp(2u1 + u2)), 54 = diag(0,12exp(3u1 + w2)), 55 = diag(0,12exp(3u1 + 2u2)), Zz = diag(0,4exp(u1)), Z\ — diag exp 1)), Zb — diag(0,exp(u2)), Z6 = 0. При этом решения am уравнений (2.15) даются формулами Ч = --1. «m = [- -1 . + Sm] P "1, m = 2,3,4,5, где Ri = diag(uj, u2), R2 = diag(0, u\ + u2), Rs = liag(0, 2u\ + u2), R4 = diag(0,3uJ + «J), Д5 = diag(0,3wJ + 2u2).
Отмстим, что индексы го, при которых происходит падение ранга матриц Хт, совпадают с показателями 1, 5 системы Q2, а номер m = 6, для которого Хт = 0, равен числу Кокстера [5]. 8.2. Матрица Т± Систему уравнений (1.3) с матрицей ТА _ 1ху и = 2ехр(и1) — ехр(«2), и2ху = — ехр(их) + 2ехр(и2) — ехр(и3), uly = -2exp(u2) + 2exp(u3) — exp(u4), (8.2) uiy — exp(u3) + 2 exp(u4) запишем в матричной форме DDu = F4Uc. Здесь и = (и1, и2, v?, и4)Т— столбец неизвестных, с — (1,1,1,1) , U = diag(exp(u1),exp(u2),exp(u3),exp(u4)). Тогда линеаризация уравнений (8.2) принимает форму DDv = TAUv, v = (v\ v2, vs, v4)T. (8.3)
Система уравнений (8.2) является системой лиувиллевского типа. Обобщенные инварианты Xmt инварианты Нт и матрицы ат линеаризованной системы (8.3), определяемые формулами (2.10), (2.15) и (2.16), вычисляются следующим образом: Xm = FAJ- AmSmAjn(j;l)T, т = 1,2,...,11, Х12 = 0, Нт T±J AmZm + Qm-i [-1 Гт-і A"V r\ т =1,2,...,12, где матрицы Лт и Qm i вычисляются с помощью рекуррентных соотношений Лт = Ат М Р-1, m = 3,4,..., 12, к = 4 при т 6, к — 3 при т = 7, А: = 2 при m 8, Л) = JJT1, Лі = І, А2 = Eit Qm i = Tj-xAm_xDm + D(Bm-i) -f Qm-2A _2Am-u m = 2,3,..., 12, Qo = 0. При этом решения am уравнений (2.15) даются формулами am = [- 4ГМЛ, + An] i 1 JJ "1. т = 1, 2,.... 11. Здесь матрицы 5т, йт, Zm были посчитаны при помощи программы «Invariant», предназначенной для среды Maple V Release 4 (см. Приложение 2).
Матрицы Jfc, Sfc) Mfc, J, Bmj m, Sm, #,„, Zm, Pr(1 даются в приложении 1. Индексы m, при которых происходит падение ранга матриц Хт, совпадают с показателями 1, 5, 7, 11 системы Т\, а номер т = 12, для которого Хт = 0, равен числу Кокстера (см. [5]). 8.3. Матрицы Q — % Система уравнений (1.3) с матрицами а, а = 6,7,8 имеет вид и1у = 2 ехр 1) - expfu3), и2ху = 2exp(u2) - ехр(и4), uly = -exp(u1) + 2exp(u3) -exp(u4), иАху = — exp(u2) — exp(u3) + 2exp(u4) — exp(u5), uxy — — exp(tit_1) + 2exp(u ) — ехр(гії+1), г = 5,6,... , с — 1, uxy = — ехр(иа-1) + 2exp(ua). Тогда линеаризация принимает форму DDv = aUv. (8.5)
Системы уравнений (8.4) являются системами лиувиллевского типа. Обобщенные инварианты Хт, инварианты Нт и матрицы ат линеаризованных систем (8.5), определяемые формулами (2.10), (2.15) и (2.16), вычисляются следующим образом:
Уравнения вида иху = <р(щ v), vxy = (u,v)
Если det Hi ф 0 ( i + 7i ф 0), тогда при вычислении инварианта #2) получаем, что матрицы Рч и Q2, удовлетворяющие системе уравнений (10.7) при і = 2 не существуют. Рассмотрим случай det#i = 0. Тогда система уравнений (10.22) преобразуется i iix„ = aiu2 -f- -—v + /?iuu + єі vxy = —2ахи — fiiv + є2 При замене переменных w —» —2QJIU -- /Зіи, и — и последняя система примет вид Wxy = 7Г -PlW + SQ 2 W (10.23) Vxy = W где /Зі, Q постоянные. Построение общего решения системы уравнений (10.23) сводится к интегрированию скалярного уравнения wxy = — p\w -\- Єо, которое, как известно, не является интегрируемым по Лиувиллю (см. [25]). Теорема доказана.
Полученные системы уравнений (10.13), (10.14), (10.15) являются системами с матрицами Картана Ач, В4 (С2) и (?2 Замечание 10.1. Отметим, что при решении классификационной задачи использовался только обрыв цепочки обобщенных инвариантов Лапласа {Х{].
В настоящем параграфе рассматривается классификация систем уравнений вида (1.6) (p(u,v,ux,uy) Vxy = j (u,V,Vx,Vy) типа Лиувилля (см. определение 2.1), а именно ставится задача - описать все системы вида (1.6), для которых обобщенные инварианты Лапласа Х2 = Yi = 0. При решении поставленной задачи было сделано предположение, что инварианты Н\ и Кі - функции переменных щv,щ,У1,щ,щ, то есть ord(i i) = 1 и ord(i i) = 1. Справедливо следующее утверждение [11]:
Теорема 11.1. Пусть для системы уравнений (1.6) det(#i К{) = 0, ord (J?i,K"i) \ и обобщенные инварианты Лапласа Х2 = Y i = 0. Тогда любая такая система уравнений точечными преобразованиями приводится к одной из следующих: вырожденная система Полмейера - Лунда - Редо/се Доказательство. Линеаризованная система уравнений для систєміл (1.6) имеет вид [DD + aD + bD + c] F = О, (11.1) где F = (Fl, F2)T - столбец неизвестных, a a, b и с - матрицы вида _ / pUl 0 \ _ / (pUl 0 \ _ _i Уи 4 v \ 0 фщ ) \ 0 , / \Фи f v
Главные инварианты системы уравнений (11.1) вычисляются по формулам (см. (2.10)): #i = D(a) + ba - с и Ki = D{b)+ab-c. В силу предположения, что ord(.ffi) = 1 и ord(/Ci) = 1, из (2.10) следует, что ащ = aVl = Ьщ = Ьщ = 0. Тем самым, мы определили правые части системы уравнений (1.6) иху = /?(«, у)щ + 7(«, u)ui + р(«, u)t iui + 5(u, г ) (11.2J иЯу = а(щ v)vi + e(n, v)v\ + g(u, u)uivi + A(w, v) Таким образом, задача классификации сводится к нахождению неизвестных функций а, /?, у, 5, є, А, р и g переменных ИИУ. Введем обозначения N = єищ + Ац, М = 7и«і + 5„, Г = Р + 7u«i, L = Q + еиїїі, К = Р + /Зищ, T = Q + avvi, S pvu\-\-6Vi U = auv\ + \u, P = j3y-p5 + 5u, Q = ae-q\ + Xv. Осталось рассмотреть при pv qu ф 0 два последних случая, то есть 2. p(u,v) и q(u,v) - функции, удовлетовряющие системе уравнений (11.14), (11.15) и 3. p{u,v) и q{u,v) такие, что выполнено соотношение (11.14) и тп — п = 0.
При таких р(и, v) и q(u,v) все системы уравнений (11.13) могут быть сведены посредством некоторой замены либо к вырожденной системе Полмейера - Лунда - Редже, либо к системе уравнений (1.8).
А теперь перейдем к случаю (п) pv = О, qu = 0. В системе уравнений (11.2) функции р и q можно считать пулевыми постоянными. Этого можно достичь путем точечной замены переменных. Тогда инварианты Н\ и К\ примут вид (см. (11.3)): #1 = Р + luU\ — /3vVi 6V + 7w«i + /3vui Au + euvi + auv\ Q -f Sy i — аищ Ki =
P - -yvvi + /Зищ Sv + 7„ui 4- fivUi Au + euvi + auvx Q - єиЩ -f avvi
Матрицы Hi и K\ не могут быть нулевыми, содержать нулевую строку или столбец потому, что нас не интересует, когда система (11.2) вырождается. Следовательно, определители матриц Hi и К\ обращаются в нуль тогда и только тогда, когда строки и столбцы у них пропорциональны. Пропорциональность столбцов матриц Н\ и Ki дается соотношениями
Построение х- и у- интегралов для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго порядка
Наряду с Ж. Дарбу первые примеры нелинейных интегрируемых уравнений были также построены и в работах Л. Бианки, Ж. Лиувилля, А. Беклунда. Потом эти работы были ненадолго забыты. И лишь в конце XX века исследования в этом направлении были возобновлены в связи с многочисленными приложениями гиперболических уравнений к физическим задачам и образовали один из разделов теории интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Огромное количество публикаций, посвященных гиперболическим интегрируемым уравнениям, указывает на важность данных исследований. При этом само понятие интегрируемости математиками понимается по-разпому.
На сегодняшний день существуют различные трактовки понятия интегрируемости уравнения. В частности, в некоторых работах в понятие интегрируемости уравнения вкладывается наличие у него бесконечного набора высших симметрии или полного набора интегралов. С точки зрения таких определений интегрируемости, возможно, провести классификацию некоторого класса уравнений, то есть решить одну из основных задач теории интегрируемых нелинейных уравнений. Эти подходы позволили произвести полную или частичную классификацию интегрируемых уравнений как эволюционного, так и гиперболического типов (см. [2, 14, 18, 26, 32, 33, 34]).
Однако при классификации гиперболических систем уравнений, с применением этих критериев, даже в простейшей ситуации возникают серьезные технические трудности (см., например, работы [21, 24). Поэтому является актуальным применение альтернативных методов для исследования интегрируемости гиперболических систем. Одним из таких подходов, основанный на изучение характеристических алгебр гиперболических уравнений и систем уравнений, был предложен в работах [29, 40] и применен к исследованию интегрируемости специальных классов гиперболических уравнений и систем уравнений (см. [3, 4, 17, 19]). Другим перспективным методом исследования интегрируемости уравнений является подход, опирающийся на применении классического метода каскадного интегрирования Лапласа к линеаризованному уравнению, представленный в статьях [1, 20, 23, 36, 38, 39, 41, 42]. В работах [20, 42, 46] в качестве определения класса точно интегрируемых уравнений (1.1) лиувиллевского типа было выбрано свойство конечности цепочки инвариантов Лапласа для его линеаризованного уравнения. В этом смысле понятие интегрируемости оказалось удачным и позволило провести полную классификацию скалярных гиперболических уравнений лиувиллевского типа (см. [25]). Поэтому задача распространения этого подхода на случай систем гиперболических уравнений является важной для настоящего момента. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
Доказана теорема о наличии полного базиса интегралов у систем уравнений вида (1.2) лиувиллсвского типа. А также проведено обоснование того факта, что если у системы уравнений (1.2) имеется базис интегралов в одном порядке больше или равному двум, тогда элементы базиса можно выбрать линейными по старшим переменным.
Показано, что системы уравнений (1.3) с матрицами Картана &п, Т п и Qi являются системами лиувиллевского типа в смысле определения 2.1. Для этих систем получены явные формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа. А для систем уравнений с исключительными матрицами Т\ и Еъ - % написана программа под названием «Invariant», предназначен пая для среды Maple V Release 4. С помощью этого пакета посчитаны инварианты и обобщенные инварианты Лапласа и показано, что цепочки обощениых инвариантов Лапласа обрываются.
Описаны все системы уравнений Эйлера - Пуассона (1.4), у которых цепочки инвариантов Лапласа обрываются. Выведены формулы для инвариантов и обобщенных инвариантов Лапласа и показано, что данная система (1.4) при некоторой замене сводится к системе (9.31). А также построено общее решение для систем уравнений (9.31).
Решена классификационная задача для дифференциальных систем уравнений второго порядка специального класса лиувиллевского типа. Кроме известных примеров список систем лиувиллевского типа содержит новые точно интегрируемые системы. Найдены х- и у- интегралы для систем уравнений (1.7) - (1-9). С помощью интегралов построены общие решения систем уравнений (1.7) - (1.9).
