Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи и краткий обзор способов ее решения 10
1.1. Постановка задачи 10
1.2 Обзор некоторых методов решения задачи 11
2 Скалярные уравнения первого порядка 16
2.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения 16
2.2 Схема метода 19
2.3 Применение и сходимость метода для скалярных уравнений первого порядка в общем случае 22
2.4 О модификации метода в случаях уравнений с правой частью особого вида 35
3 Скалярные уравнения произвольного порядка 44
3.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения 44
3.2 Схема метода для уравнений р-то порядка 47
3.3 Сходимость метода в общем случае 49
3.4 К вопросу о существовании периодических решений 71
3.5 О модификации метода в случаях уравнений с правой частью особого вида 74
4 Системы уравнений первого порядка 82
4.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения 82
4.2 Схема метода для систем уравнений первого порядка 85
4.3 Основные теоремы о применении и сходимости метода 86
4.4 О практической реализации метода 102
5 Системы дифференциальных уравнений произвольного порядка . 105
5.1 Постановка задачи и вспомогательные утверждения 105
5.2 Схема метода для уравнений р-го порядка 107
5.3 Сходимость метода в общем случае 109
5.4 Примеры, иллюстрирующие применение метода 124
Заключение 129
Список литературы
- Обзор некоторых методов решения задачи
- Применение и сходимость метода для скалярных уравнений первого порядка в общем случае
- Схема метода для уравнений р-то порядка
- Основные теоремы о применении и сходимости метода
Введение к работе
Актуальность темы. Теория нелинейных колебаний представляет собой весьма интенсивно развивающийся раздел качественной теории дифференциальных уравнений и прикладной математики. Это обусловлено, с одной стороны, важностью практического приложения теории краевых задач при решении самых разнообразных задач науки и техники, с другой стороны - необходимостью решения целого ряда теоретических вопросов, связанных с исследованием существования, единственности, непрерывной зависимости решения от данных задачи, а также построением эффективных методов их отыскания. Кроме того, в ряде случаев возможно использовать полученные результаты при рассмотрении краевых задач. Вопросом построения периодических решений занимались А. Пуанкаре, A.M. Ляпунов, Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, И.Г. Малкин, Е.А. Гребенников, А.М Самойленко, Дж. Хейл, Л. Чезари и другие ученые.
При изучении различных задач теории нелинейных колебаний важно уметь точно или приближенно получать периодические решения систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. На данный момент существует несколько качественно различных подходов к изучению и построению периодических решений.
Одним из достаточно эффективных средств изучения нелинейных колебаний являются асимптотические методы нелинейной механики. Однако асимптотические методы не могут в полном объеме решить проблему изучения даже чисто гармонических колебаний. Поэтому для более полного исследования периодических решений дифференциальных уравнений многими авторами создаются и развиваются функционально-аналитические, численно-аналитические и численные методы и схемы.
Численно-аналитические и численные методы рассматриваемые, например, в работах Ю.А. Митропольского, A.M. Самойленко, Н.И. Ронто, Дж. Хейла, Л. Чезари, благодаря большим возможностям привлечения ЭВМ становятся в настоящее время универсальным средством выявления и приближенного построения периодических решений.
Профессор А.И. Перов в ряде работ высказал идею метода приближенного отыскания периодического решения в указанных выше условиях или близких к ним. Этот метод перекликается с различными методами других математиков: A.M. Самойленко , Н.М. Ронто, Л. Чезари, Дж. Хейл. Получение периодического приближения по этому методу состоит из двух шагов: решения элементарной задач нахождения периодической функции с нулевым средним значением по ее первой или р-ой производной и в на-
ь" . - х )
rrV '* "
J^LJ J
хождении решения системы (конечных) нелинейных уравнений (этот шаг значительно сложнее).
Исследования, включенные в данную диссертацию, выполнены в рамках проекта VZ-010-0 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"Министерства образования и науки РФ и CRDE (США). Тема исследования напрямую связана с направлением исследования НИР кафедры нелинейных колебаний.
Цель работы. В данной работе рассматривается подход к отысканию периодических решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической по времени правой частью, предложенный А.И. Перовым. Данный метод является логическим развитием таких широко известных методов исследования периодических решений. как методы Чезари-Хейла, A.M. Самойленко и других. Основной задачей является рассмотрение схемы метода и определение условий применимости данной схемы для поиска периодических решений.
Общая методика исследования. Рассматриваемый метод построения периодического решения системы дифференциальных уравнений состоит в построении периодических по времени вектор-функций, принадлежащих вполне определенному множеству, содержащему периодические решения данной системы. С этой целью строится соответствующий системе оператор, действующий в указанном множестве. Отметим, что получаемый оператор может быть выписан в явном виде лишь в частных случаях задачи. При исследовании оператора решаются задачи о существовании и единственности последовательности приближений для системы уравнений. Затем рассматриваются условия, при которых оператор является сжимающим на указанном множестве. В обосновании сходимости метода и в получении оценок в различных метриках важную роль играют неравенства Бора-Фавара и Виртингера. При обосновании сходимости метода для систем уравнений удобным оказался обобщенный принцип сжимающих отображений, сформулированный и доказанный А.И. Перовым еще в 1964 г
Научная новизна. В работе рассмотрен способ построения периодического решения систем неавтономных дифференциальных уравнений методом последовательных приближений. Получены условия существования последовательности приближений и условия сходимости данной последовательности. Кроме того, полученные результаты могут рассматриваться как достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений.
Научная и практическая ценность работы. Полученные в рабо-
те результаты относятся к теории нелинейных колебаний. Рассмотренный метод может быть использован в прикладных задачах при поиске периодических решений. Кроме того, в прикладных задачах могут быть полезны легко проверяемые достаточные условия существования периодических решений.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на международной конференции "Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы."(Воронеж, 26-30 мая 2003 г.); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 26 января- 2 февраля 2003 г.); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-XIV" (Воронеж, 3-9 мая 2003 г.); Воронежской зимней математической школе - 2004 (Воронеж, 24-29 января 2004 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[12], список которых приведен в конце автореферата. В совместной работе [1] соискателю принадлежит проработка деталей доказательства скорости сходимости метода. В совместной публикации [2] соискателю принадлежит обоснование условий применимости и скорости сходимости метода, а Л.А. Поляковой разработана реализация вычислительного алгоритма.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих девятнадцать параграфов, заключения и списка литературы. Объем диссертации 137 страниц. Библиографический список содержит 66 наименований.
Обзор некоторых методов решения задачи
Таким образом можно утверждать, что при соответствующем выборе Хо мы будем получать решения исходной задачи (1.2.1-1.2.3). Действительно, корни определяющего уравнения определяют все w-периодические решения системы (1.2.1), лежащие в некоторой области D и такие, что х(0) = Хо принадлежат области Dp.
Таким образом, в обоих описанных методах для использовано сведение периодической краевой задачи (1.2.1-1.2.3) к системе интегральных уравнений, причем получаемая система является эквивалентной к исходной задаче только при выполнении некоторых дополнительных условий. Традиционно эти дополнительные условия называют определяющими уравнениями. Неизвестным в определяющих уравнениях является какой-либо параметр искомого решения. В методе Чезари-Хейла это z - среднее значение решения, В методе Самойленко это XQ - значение решения в начальный момент времени. К сожалению, поиск решения данными методами существенно осложняется тем, что система определяющих уравнений включает в себя искомую функцию (і,Хо), то есть предел последовательности функций, в то время как при проведении процесса поиска решения мы получаем элементы этой последовательности. Таким образом, при решении задачи о периодических решениях нами должна быть построена последовательность функций, зависящих от некоторого аргумента, значение которого неизвестно. Такой подход существенно усложняет реализацию этих методов на вычислительной технике, несмотря па появление в последние годы пакетов символьных вычислений.
Предложенный А.И. Перовым метод, рассматриваемый в данной работе, содержит определенные отличия в своей схеме, за счет которых предполагается добиться упрощения вычислительного алгоритма. Предложенные изменения позволяют отказаться от поиска неизвестного параметра с помощью определяющих уравнений.
Рассмотрим предлагаемый метод в простейшем случае - для скалярных уравнений первого порядка.
Рассмотрим задачу (1.1.6,1.1.7,1.1.5) при п = l,p = 1 и некоторых дополнительных ограничениях. Получим следующую формулировку периодической задачи: x (t)=f(t,x(t)), (2.1.1) где t Є U. - время, х(і) є К, функция / : К X Ш —у К непрерывна по совокупности переменных и известно и} 0 - период данной функции по переменной t: /( ,») =/(t + w, я). 2.1.2)
Требуется найти функции x(t) являющиеся решением уравнения (2.1.1) и периодические с периодом и : х (t) = х {t + w). (2.1.3)
Приведем утверждения, которые лежат в основе предлагаемого метода построения последовательных приближений, а также вспомогательные утверждения, использующиеся при доказательстве.
Для периодических функций периода CJ вполне естественно проводить рассмотрение на промежутке [0, ш], поэтому в дальнейшем все утверждения формулируются именно в предположении, что функция рассматривается на этом промежутке Очевидно, что для данного уравнения из существования решения х (і) следует существование семейства решений, описываемых формулой x(t) = x (t) + const, (2.1.8) причем других решений уравнение не имеет. Условия существования периодических решений данного уравнения выглядят следующим образом.
Лемма 2.1.1 Элементарное дифференциальное уравнение (2.1.6) с периодической правой частью имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда среднее значение правой части равно нулю 1 -ff(s)ds = Q. (2.1.9)
Допустим, что с помощью леммы 2.1.1 установлено существование пери v одического решения уравнения (2.1.6). Однако, в силу (2.1.8), существует целое семейство таких решений. Поэтому, при поиске одного из них, с целью порождения всего семейства, вполне возможно использовать дополнительное условие. Как правило, используется начальное условие, например
Однако, вполне возможны и другие условия. Нас (по причинам, которые станут ясны при доказательстве сходимости метода) будет интересовать решение уравнения (2.1.6), удовлетворяющее условию
Применение и сходимость метода для скалярных уравнений первого порядка в общем случае
Нетрудно заметить, что для таким образом построенного приближения справедливо равенство Очевидно, что наиболее спорным моментом является утверждение о существовании корня уравнений вида (2.2.14). К тому же, так как желательно работать с однозначными отображениями, необходимо говорить не просто о существовании, а о существовании и единственности корня. Следовательно, условия применимости метода к отысканию периодических решений уравнения распадаются на условия, при которых можно построить последовательность периодических функций по формулам (2.2.4-2.2.14) и на условия сходимости построенной последовательности приближений.
Предварительно было рассмотрено применение метода к простейшему из типов уравнений - скалярных линейных уравнений первого порядка. Рассмотрим линейное уравнение с постоянным коэффициентом при ж, то есть x (t) = ax(t) + b(t), (2.3.1) где а Є К, а ф 0, b(i) - вещественная ш-периодическая функция. Требуется найти решение x(t) : Е — Ж, являющееся о;-периодической функцией. При построении последовательности приближений легко видеть что уравнения для поиска констант на каждом шаге метода являются линейными относительно неизвестного, причем коэффициент при неизвестном ненулевой. Таким образом, для уравнений такого вида всегда возможно единственным -23 образом построить последовательность периодических функций по схеме (2.2.3-2.2.14). В [49] доказывается следующее утверждение. Теорема 2.3.1 Если для уравнения (2.3.1) выполняется соотношение aL = \а\ х 1 1, (2.3.2) то последовательность приближений, построенных по формулам (2.2.3-2.2.14) сходится к точному периодическому решению х (t) уравнения (2.3.1). При этом справедливы оценки
Доказательство теоремы 2.3.1 не представляет сложностей и может быть найдено в [49]. Фактически, полученное утверждение описывает частный случай применения теоремы 2.4.1, приведенной в данной работе позднее.
Рассмотрим нелинейное уравнение первого порядка с периодической по времени правой частью ( ) = /( »я:( )), (2-3.5) где f(t, х) - вещественная w-периодическая по переменной t функция, отображающая ІхКвІ. Требуется найти решение x(t) : BL — К, являющееся ш-периодической функцией. Рассмотрение проводится, как и было ранее сказано, на интервале [0, и ] по переменной t.
Вопрос о возможности единственным образом построить последовательность периодических функций по предложенной схеме (см. параграф 2.2) сводится к вопросу о существовании и единственности корня уравнения вида
Для гладкой функции Fi(c) достаточным условием существования корня будет, очевидно, неравенство где є - постоянная, є = 1 или є = — 1, что можно интерпретировать как частный случай условий, полученными в следующих главах для уравнений высших порядков и для систем уравнений.
Разрешив таким образом вопрос о возможности построить последовательность приближений и единственности построения, перейдем к рассмотрению условий сходимости метода. Рассмотрим уравнение (2.3.5) с непрерывной по совокупности переменных правой частью, -периодической по переменной t. Также, пусть правая часть уравнения удовлетворяет условию условию Липшица снизу по переменной х, то есть существует такое
Пусть задача рассматривается на бесконечном цилиндре: / : [0, со] xR — Е, Теорему такого вида вполне логично назвать глобальной теоремой о применимости и сходимости метода. Вначале приведем теорему, полученную при рассмотрении метода в пространстве непрерывных функций Co[0,w].
Теорема 2.3.2 Пусть задано уравнение вида (2.3.5) с ш-периодической по времени правой частью. В том случае, если функция f(t,x) непрерывна по совокупности переменных и выполнено условие (2.3.11), то возможно построить последовательность периодических функций по формулам (2.2.4-2.2.14)- Если оке функция f(t,x) удовлетворяет еще и условию
Схема метода для уравнений р-то порядка
Данное утверждение проверяется путем проведения элементарных преобразований (см., например, [35]).
Построения при рассмотрении метода для скалярных уравнений будут проводиться в пространстве (р — 1)-раз непрерывно дифференцируемых функций - CQ [0,Ш] И В пространстве (р — 1)-раз дифференцируемых, суммируемых с квадратом вместе со своими производными до (р — 1)-го порядка включительно - IJT [0,u ], Однако, будем в дальнейшем пользоваться обозначениями
При доказательстве сходимости метода используются неравенства, связывающие норму функции с нулевым средним и ее производной некоторого порядка в указанных пространствах. Это неравенство Виртингера
Для констант Фавара справедливо соотношение Данные неравенства можно найти в [61]. Оба неравенства являются неулуч-шаемыми, то есть для каждого из них существует по меньшей мере одна функция, обращающая неравенство в равенство. Применительно к уравнению (3.1.4) эти неравенства дают возможность оценить решение в нулевым средним.
С целью нахождения периодического решения предлагается проводить построение последовательности периодических приближений таким образом, чтобы все приближения принадлежали множеству П . Попытаемся построить нулевое приближение в виде x0{t) = u0{t) + с0, (3.2.2) где щ(і) - основа нулевого приближения, в качестве данной функции возьмем произвольную ш-периодическую функцию (можно взять константу). Постоянную же со мы попытаемся выбрать таким образом, чтобы xo(t) принадлежало П , то есть попытаемся найти со как корень числового уравнения
Естественно, что данное уравнение разрешимо далеко не всегда. Предположим, однако, что данное уравнение разрешимо и мы определили сд. Тогда построим хо по формуле (3.2.2). Очевидно, что по построению XQ Є П и является периодической функцией.
Теперь предположим, что нами построено приближение х\(t) Є П , являющееся w-периодической функцией. Будем искать следующее приближение в виде Xi+i(t) = Ui+i(t) + c,-+i. (3.2.4) Функцию Ui+i(t) будем искать как периодическое решение уравнения
Так как X{ Є П , то указанное элементарное уравнение имеет и- пери одические решения, определяемые с точностью до константы. Для упрощения дальнейшего рассмотрения определим щ+і(І) как периодическое решение с нулевым средним Ui+1(t) = I Gp{t- s)f (s, Xi{s),..., х?-%)) ds; (3.2.6) о (однако отметим, что такое определение основы приближения существенно лишь для обоснования метода, при построении же решения щ+г{1) можно выбирать из периодических решений уравнения (3.2.5) произвольным образом). Далее попытаемся определить постоянную Q+I таким образом, чтобы Xi+i{t) принадлежало П , то есть попытаемся найти Cj+i из уравнения / f\stUi+1(s) + +1, (8),...,1111) ds Q. (3.2.7) о Предположим, что данное уравнение разрешимо и мы определили Cj+i. Тогда построим rrj+i по формуле (3.2.4). Очевидно, что по построению j+i Є П+ и является w-периодической функцией. -49 Для таким образом определенного метода требуется определить область применимости метода, т.е. условия, когда возможно построить последовательность периодических функций, и условия сходимости данной последовательности к периодическому решению уравнения (3.1.1).
Сходимость метода в общем случае. Вначале рассмотрим задачу на бесконечном цилиндре [0, и] х R. Приведем здесь теорему о применении и сходимости метода в пространствах CQ [0, и] и L - [0,w]. Данная теорема опубликована в [52].
Теорема 3.3.1 Пусть задано уравнение (3.1.1) с непрерывной, си-периодической правой частью. Пусть, кроме того, функция f удовлетворяет условию Липшица снизу по второй переменной, то есть существует такое I 0, что для любых t,zi,Z2,..., zp_i, i,t/R выполнено
Тогда по формулам (3.2.2-3.2.7) для указанного уравнения для фиксированной непрерывной w-периодической функции uo(t) моэюет быть единственным образом построена последовательность to-периодических функций Xi(t).
Основные теоремы о применении и сходимости метода
Из приведенных утверждений следует, что периодические решения системы уравнений (4.1.2), если они существуют, принадлежат множеству П = іх(і)еЦ[0М /f(s,x(s))ds = ol. (4.2.1)
С целью нахождения периодического решения предлагается проводить построение последовательности периодических приближений таким образом, чтобы все приближения принадлежали множеству П . Попытаемся построить нулевое приближение в виде Mi) = Mi) + со, (4.2.2) где uo(f) - основа пулевого приближения, в качестве данной функции возьмем произвольную ш-периодическую векторную функцию (можно взять постоянный вектор). Постоянный вектор Со мы попытаемся выбрать таким образом, чтобы xo(f) принадлежало П , то есть попытаемся найти со как решение системы уравнений f (s,u0(s)+c0) ds = 0. (4.2.3)
Предположим, однако, что данная система разрешима и мы определили с-о Тогда построим Хо по формуле (4.2.2. Очевидно, что по построению хо Є Р и является периодической функцией.
Теперь предположим, что нами построено приближение xt-() Є Р, являющееся w-периодической векторной функцией. Будем искать следующее приближение в виде Xi+i(t) = ui+1(t) + Ci+i. (4.2.4) Функцию Uj+i(i) построим как периодическое решение системы уравнений u (f) = /(t,xi(i)). (4.2.5)
Так как Xj Р, то указанная система имеет и-периодические решения, определяемые с точностью до векторной постоянной. Для упрощения дальнейшего рассмотрения определим «j+i() как периодическое решение с нулевым средним (отметим, что такое определение основы приближения существенно лишь для обоснования применимости и сходимости метода, при построении же решения u,-+i (і) можно выбирать из периодических решений уравнения (4.2.5) произвольным образом). Далее попытаемся определить вектор Cj+i таким образом, чтобы хг-+і(і) принадлежало П , то есть попытаемся найти Cj+i из системы уравнений J f (s, ui+1(s) + cm) ds = 0. (4.2.7)
Предположим, что данная система разрешима и мы определили Cj+і. Тогда построим X;+i по формуле (4.2.4). Очевидно, что по построению Хі+і Є Р и является ш-периодической функцией.
Для таким образом определенного метода требуется определить область применимости метода, т.е. условия, когда возможно построить последовательность периодических функций, и условия сходимости данной последовательности к периодическому решению системы уравнений (4.1.2).
Основные теоремы о применении и сходимости метода. Вначале рассмотрим вопрос о возможности построения последовательности приближений. Кроме того нам желательно иметь единственный способ такого построения. Для этого требуется, чтобы на каждом шаге метода системы вида (4.2.7) имели единственное решение.
Данное соотношение позволяет нам утверждать, что, во-первых, матрица J является невырожденной, а во-вторых, отображение JF : R" —) К" -заявляется монотонным отображением (см. [35, 59]), что влечет за собой существование и единственность корня уравнения JF(c) = О, и, следовательно корень уравнения F(c) = 0 (4.3.3) также существует и единственен. Уравнение (4.3.2) совпадает с (4.3.3)
При рассмотрение метода в пространстве непрерывных векторных функций Со[0,ш] было сформулировано следующее утверждение.
Теорема 4.3.1 Пусть задано система уравнений (4-1.2 с непрерывной, и-периодической правой частью І. Пусть, существуют такая положительно определенная самосопряженная матрица А (А О, А = А) и такая самосопряо/сенная матрица J (J — J), что при всех t Є Ж, х, у Є Ш.п выполнено (4.3.1). Тогда для указанной системы уравнений по формулам (4.2.2-4-2.7) по непрерывной ш-периодической векторной функции uo(i) (основе нулевого приближения) может быть единственным образом построена последовательность и -периодических векторных функций хДі). Если же при этом функция f удовлетворяет условию Липшица по второй переменкой, то есть существует такая положительная постоянная L, что для любых, t Є К, х, у Є W1 выполнено (то есть абсолютная величина наибольшего по модулю собственного числа матрицы J и абсолютная величина наименьшего по модулю собственного числа матрицы А), то последовательность периодических приближений Xj(i) равномерно сходится к решению х () задачи (4-1.2-4-1.4). При этом справедлива оценка IM-) - х (-)о Х1(.) - хо(ОИо . (4.3.7)
Доказательство данной теоремы приведено в [53]. Построения при доказательстве практически совпадают с построениями при доказательстве нижеприведенной теоремы (за исключением применения неравенства Бора-Фавара вместо неравенства Виртингера), формулировка же приводится здесь с целью сравнения полученных условий сходимости.
Рассмотрим условия сходимости метода при проведении построений в пространстве функций суммируемых с квадратом.
Теорема 4.3.2 Пусть задано система уравнений (4-1.2 с непрерывной и-периодической правой частью f. Пусть, существуют такая положительно определенная самосопряженная матрица А (А О, А = А) и такая самосопряоїсенная матрица J (J = J), что при ecext R, х,у Є Ж71 выполнено (4-3.1). Тогда для указанной системы уравнений по формулам (4-2.2-4-2.7) по непрерывной to-периодической векторной функции щ(Ь) (основе нулевого приближения) мооїсет быть единственным обра-зом построена последовательность и;-периодических векторных функций
