Содержание к диссертации
Введение
1 Существование расслоения в окрестности инвариантноготора существенно нелинейной системы 18
1.1 Постановка задачи и основные результаты 18
1.2 Вспомогательные результаты 20
1.3 Существование локально-интегральной поверхности в окрестности решения на торе 27
1.4 Существование расслоения 46
2 Локальная топологическая сопряженность существенно нелинейных систем в окрестности инвариантных поверхностей, состоящих из точек покоя 52
2.1 Вспомогательные результаты 53
2.2 Построение гомеоморфизма 63
Список литературы 67
- Постановка задачи и основные результаты
- Существование локально-интегральной поверхности в окрестности решения на торе
- Существование расслоения
- Построение гомеоморфизма
Введение к работе
Изучение структуры множества траекторий в окрестности инвариантных поверхностей нелинейных систем дифференциальных уравнений является одной из актуальных задач качественной теории дифференциальных уравнений. Изучение инвариантных поверхностей началось в работах Пуанкаре и Ляпунова. Понятие инвариантного многообразия ввел Пуанкаре, в его работах это были инвариантные кривые. Он доказал, что если у двумерного аналитического отображения в окрестности неподвижной точки матрица Якоби имеет вещественные собственные числа разных знаков, то у этого отображения существуют инвариантные кривые определенного вида. Ж. Адамар [34] доказал аналогичное утверждение для С1- отображения. Он использовал метод, основанный на изучении преобразований графиков функций из некоторого функционального пространства под действием исходного отображения. Льюис [35] обобщил метод Адамара на случай произвольной размерности.
Одновременно с работами Пуанкаре, к понятию инвариантного (интегрального) многообразия привели и работы A.M. Ляпунова.
Перед тем, как сформулировать результат Ляпунова дадим два определения [29].
Определение 0.1. Множество М пространства (x,t) называетя интегральным для системы
f = *(*.*). С-1)
если для любой точки (xo,to) Є М выполняется (x(t,to,xo),t) Є М, где x(t,to,xo) есть решение системы с начальными данными t — t$, х = xq, a t принимает любое значение из промежутка существования решения.
Пусть F(0,t) = 0, т.е. х = 0 есть решение системы (0.1).
Определение 0.2. Множество М пространства (x,t) называется локально интегральным в окрестности точки х = 0, если существует такая окрестность U точки х = О, что из включения (xq, to) Є М следует включение (x(t,to,xo),t) Є М на любом промежутке t < t < t , для которого t' < to < t и x(t, t0, xo) Є U при t < t < t".
Теорема 0.1 (A.M. Ляпунов [20]). Рассмотрим аналитическую систему дифференциальных уравнений
— = A(t)x + f(x,t), (0.2)
где К/11 = о(||ж||). Предположим, что линейная система
dx Л, .
— = A(t)x
alt к '
правильная, к ее характеристических показателей отрицательны, а (п — к) - положительны. Тогда существует к - параметрическое семейство решений системы (0.2), стремящихся к пулевому решению при t —> +оо и образующих локально-интегральное многоообразие.
Теорема о существовании интегрального многообразия системы (0.2) для неаналитического случая была доказана Перроном [36], [37], [38] при более сильном предположении гиперболичности системы линейного приближения. Рассмотрим систему
^L = Ax + f(x,t). (0.3)
Если А постоянная матрица, то ее характеристические показатели совпадают с вещественными частями собственных чисел матрицы А. Случай, когда эти собственные числа не лежат на мнимой оси, называется гипер-
болическим. Тогда систему (0.3) можно привести к виду
dx2 { ~dt
= AiXi + fi{x,t),
(0.4)
= A2x2-\- f2(x,t),
где вещественные части собственных чисел матрицы А\ меньше 0, а матрицы А2 - больше 0. Причем система (0.4) имеет устойчивое многообразие
х2 = 9\(xi,t)
и неустойвое многообразие
х\ = g2{x2,t).
Собственное число с нулевой вещественной частью называют критическим. Если система (0.3) имеет критические собственные числа, то она приводится к виду
= A0x0 + fo{x,t),
dx\ г f \
< -7r = AiXi-\-fi{x,t),
(0.5)
dx2 . r ґ \
— = A2x2 + f2(x,t),
где вещественные части собственных чисел матрицы А$ равны 0, матрицы А\ - меньше 0, а матрицы А2 - больше 0. В случае пары чисто мнимых собственных чисел Н.Н. Крыловым и Н.Н. Боголюбовым [16], [17] для системы (0.3) было доказано существование так называемого центрального или нейтрального интегрального многообразия
(0.6)
Xi = /ii(z0,t), х2 = h2(x0,t).
Это исследование было в дальнейшем продолжено трудах Н.Н. Боголюбова и его школы, а также в работах зарубежных авторов, см., например, [6], [7], [8], [21], [22], [23]. Существование нейтрального многообразия в самой общей ситуации было доказано В.А. Плиссом [26].
Нейтральное многообразие играет важную роль при изучении поведения интегральных кривых. В случае, когда система (0.2) имеет только устойчивое и нейтральное многообразие В.А. Плиссом доказан следующий принцип сведения
Теорема 0.2 (Принцип сведения [26]). Нулевое решение системы (0.2) устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво нулевое решение на нейтральном многообразии.
Благодаря принципу сведения появляется возможность понизить размерность исходной задачи на устойчивость.
В автономном случае исчерпывающий ответ о поведении решений системы с ненулевым линейным приближением дает теорема А.Н. Шошитайш-вили [32]. Он доказал, что система
dt dx
dt dx2
Mxq + /о (ж),
1- = A1x1 + f1(x)t (0.7)
А2х2 + h (ж)
I dt
топологически сопряжена с системой
dxo ~db
= Aqxq + fo(hi(x0), h2(x0), x0),
, dxi . < —r- = Aixi,
(0.8)
dx2 ~dt
A2x2,
(0.9)
xi = hi(xQ),
x2 = h2(x0) нейтральное многообразие.
Для существенно нелинейных систем, у которых линейное приближение при х = 0 тождественно равно нулю, стандартные методы поиска интегральных многообразий, использующие интегральные уравнения и функции Грина оказываются непригодными. Поэтому приходится использовать более геометрические методы поиска интегральных многообразий. Такие операторно-геометрические методы используются в работах [28], [12], [19], [24]. В их основе лежит так называемый метод преобразования графика, впервые примененный Ж.Адамаром [34] при обобщении упомянутой теоремы Пуанкаре для двумерных систем на С1 случай.
В базовой работе [28] изучалась квазилинейная система, но оказалось, что идею доказательства можно успешно применить для существенно нелинейных систем. Такая адаптация была проведена В.Л. Лубихом [19] и В.Н. Монаковым [24]. Приведем результаты, полученные в их работах. В [19] была рассмотрена следующая система дифференциальных уравнений
Г ^t=U{x) + X{x,y),
(0.10)
К f =^M+y(^)>
где х Є Мп, у Є Mm; /7 и У есть вектор-формы нечетных степеней к и /, больших 1, а порядок малости Х'ху и 1^у равен таж{А;, I}. Предполагая,
что все собственные числа симметризованной матрицы Якоби —{U'x + UXT)
I больше ЛЦжЦ*-1 (Л > 0), а собственные числа матрицы -(Vy' + УуТ) мень-
ше — <т||г/||'-1 (а > 0), где ||.|| - евклидова норма, Монаков доказал, что существует единственное локально-инвариантное многообразие этой системы, представимое в виде х = h(y) и состоящее из решений, стремящихся к (0,0) при t —» +оо.
Ранее В.Л. Лубих [19] для случая, когда
U{x) = 0,
Y(x,y) = (p(x) + Yi(x,y),
где <р(х) есть покомпонентно знакопеременная вектор-форма степени m > I, а ||УЇ(ж,0)|| = 0(||ж||т+1) доказал существование локально-инвариантного нейтрального многообразия, представимого в виде
где д(х) удовлетворяет условию Липшица с единичной константой.
В [25] Монаков, рассматривая ту же систему, что и Лубих, установил для нее принцип сведения: задача об устойчивости нулевого решения исходной системы эквивалентна задаче об устойчивости нулевого решения на нейтральном многообразии.
В [12] Ю.А. Ильин рассмотрел неавтономную систему
— = U(x,t)+X(z,t),
< (0.11)
^ ft=V(y,t) + Y(z,t),
где z = (х,у) ЄКРХ R9, вектор-функции С/, V, X, Y непрерывны по своим аргументам и непрерывно дифференцируемы по ж, у и z. В отличие от работ [19], [24], [25] в работе [12] рассмотрена неавтономная система и вместо условия на собственные числа симметризованных матриц Якоби (условия Важевскового) были рассмотрены условия на логарифмические нормы, что является более общим коэффициентным признаком. Предполагая, что
U(0, t) = Х(0, *) - V(0, t) = У(0,1) = 0 Ш Є М,
7*КМ)) < 0, 7.(^(2/,*)) > ИЫ1*"1, Var,y : |N| < а, |Ы| < a,Vt Є R, где &>1и<т>0, а также , что
ШЫ'НП'Н < C7||z||* V*:|M| + s2(l — 9)\\kd9.
Ц*і|| = 1,||в2ІІ<іУ
о В диссертации дополнительно предполагается, что система (0.15) удовлетворяет следующему условию: Условие А. Пусть zi(t) = (xi(t),ipi(t)) - два решения системы (0.15)
такие, что ||жг-(о)|| < єо> гдеєо < — . Существует такая функция
a{t), не зависящая ни от to, ни от Xi(to), что
||а(я?і(*),»і(*)) -аМ*),>2(*))|| < a{t)\\Az(t)\\ (0.22)
для mext > to, при которых \\xi(t)\\ < єо, где Az(t) = z\{t) — Z2{t), ||А,г|| = тах{||Аж||, ||Апричем
/
a(t)dt < Са < 00.
В главе 1 показано, что условие А выполняется при Q(0,<>) = 0.
В главе 1 доказывается, что при условии А в окрестности данного инвариантного тора существует инвариантное слоение, т.е. что верны следующие три утверждения:
Утверждение 0.1. Для любого решения на торе х = u(tp) существует единственная локально-интегральная поверхность, содержащая это решение, такая, что любое решение на этой поверхности стремится к данному решению на торе при t —> +00.
Утверждение 0.2. Поверхности, построенные для различных решений на торе, не пересекаются.
Утверждение 0.3. Через любую точку, находящуюся в достаточно малой окрестности тора, проходит одна из локально-интегральных поверхностей, описанных в утверждении 0.1.
В параграфе 1.3 доказывается следующая теорема о существовании локально-интегральной поверхности из утверждения 0.1.
Теорема 0.4. Пусть для системы (0.15) выполняются все условия тео
ремы 0.3 и условие А . Тогда при достаточно малом М и sq < —-— -
для любого решения zo(t) = (u(ipo(t)), (po(t)) на торе х — и(ср) существует единственная локально-интегральная поверхность TZo, задаваемая уравнением
y = hZo(x,t), (0.23)
где hZo : {{x,t) : ||а;|| < eo,t Є Щ- —> Шт, есть непрерывная по своим аргументам вектор-функция такая, что для любого ібМи всех х\ и х2 из области определения h выполняются соотношения
uzo(«(
\\hza(xi,t) -hZQ(x2,t)\\ < \\хг -х2\\.
Более того для любого L Є (0,1] моэюно указать такие М = M(L) и є(Ь) > 0; что если \\Q(0,(p)\\ < M(L) и \\хг\\, \\х2\\ < e(L), то
\\hZQ(xbt) -hZo(x2,t)\\ < Ь\\х\ -Ж2ІІ-
Любое решение z(t), начинающееся на этой поверхности, стремится к решению zo(t) при t —> +00 так, что справедлива оценка
\\z(t) - ZQ(t)\\ <
t>tQ.
< \\z(tQ) - Zo(t0
1 + (xd - FTi) Mto) - Zo{tmt -to)
Для того, чтобы доказать существование локально-интегральной поверхности для решения zo(t) = (u(ipo(t)),
y(t) = x{t) - u(
переводящей рассматриваемое решение на торе в нулевое. Следовательно, задача сводится к поиску интегральной поверхности для нулевого решения неавтономной системы
^ = -ЧРу(и(М-т))+ву)о1в\у-Н(у,ф):
(0.24)
= -Ь(у,ф).
Н(у, Ф) = Q{y + и{щ(-т)), ф + ^о(-т))-
(0.25)
-Я(и((р0(-т)),іро(-т))і
Ь{у, Ф) = а(у + и((р0(-т)),ф + ^о(-т))-
Таким образом, для доказательства теоремы 0.4 достаточно доказать следующую теорему.
Теорема 0.5. При достаточно малых е\ > 0 система (0.24) имеет единственную локально-интегральную поверхность, представимую в виде
ф = к(у,т),
(0.26)
где h : {(у,т) : \\у\\ < є\,т Є R} —> M.m есть непрерывная по своим аргументам вектор-функция такая,что для любого г Є Ш и всех у\ и У2 из области определения h выполняется
Л(0, г) = 0,
(0.27)
Щуит)-Н(у2,т)\\<\\У1-у2\\. (0.28)
Более того для любого L Є (0,1] можно указать такое e(L) > 0 и
M(L), что если ||Q(0, <р)\\ < M(L) и \\уі\\, \\у2\\ < є(Ь), то
||%ьт)-%2,г)||<Ь|Ь-2/2||. (0.29)
Любое решение z(t) = (у(т),ф(т)) системы (0.24), расположенное па h, при г —> — оо стремится к началу координат так, что справедлива оценка
1кг)|| < ||*ЫН[1-^(^-) 1кЫ11*(г-ть)]"*, г < то, (0.30)
При доказательстве этой теоремы была использована техника, ранее примененная в работе [12].
В параграфе 1.4 главы 1 доказывается, что поверхности, построенные для двух различных решений, не пересекаются и через каждую точку в достаточно малой окрестности тора проходит одна из локально-интегральных поверхностей, удовлетворяющих условиям из теоремы 0.4. Доказываются следующие теоремы.
Теорема 0.6. Пусть z\(t) — (u((pi(t)), ipi(t)) и ^W = (^(^2(^)),^2(^)) -различные решения системы (0.15) на торе х — и((р). Тогда поверхности TZl и TZ2, построенные для решений z\{t) и Z2(t) соответственно, не пересекаются.
Теорема 0.7. При достаточно малых Миє для любой точки zq, находящейся в є-окрестности тора, существует поверхность TZl из теоремы 0.4 такая, что решение z{t) — z(t,to, 2) лежит на поверхности TZl.
Отсюда следует, что окрестность тора целиком заполнена непересекающимся поверхностями, причем для каждого решения на торе такая поверхность единственна.
В главе 2 относительно правых частей системы (0.15) дополнительно предполагается, что
а(0, ^) = 0, (0.31)
Q(0, ^) = 0. (0.32)
В данном случае доказывается, что система (0.15) локально топологически сопряжена с системой
(I = *<>.
(0.33)
= <>
В силу условий (0.31), (0.32) поверхность
Т = {z : х = 0, (ре Шт}
(0.34)
состоит из точек покоя системы (0.15) и (0.33) и, следовательно, является инвариантной для этих систем. Причем на Т эти системы совпадают. Рассмотрим множество
Я(є) = {г:||а:||<є, ^ Є Г}.
Пусть р - поток системы (0.15), д1 - поток системы (0.33). В главе 2 доказана следующая теорема.
(0.35)
Теорема 0.8. Существует достаточно малое Єо такое, что при вышеперечисленных условиях существует гомеоморфизм h : Н(єо) —> Н(єо)
такой, что
h(fz) = g*h(z) VzeH(s0),
причем
h{z) = z Vz Є Т.
Результаты диссертации опубликованы в статьях [3], [4], [5].
Автор благодарен научному руководителю профессору В.А. Плиссу и доценту Ю.А. Ильину за постановку задачи и полезные советы по ее выполнению.
Постановка задачи и основные результаты
Изучение структурной устойчивости началось в работах Андронова и Понтрягина. Систему принято называть структурно устойчивой, если при всяком достаточно малом изменении векторного поля полученная система эквивалентна исходной. В данном случае под эквивалентностью понимается существование отображения, переводящий траектории одной системы в траектории другой. В зависимости от свойств данного отображения мы имеем разные отношения эквивалентности систем. Две системы называются гладко эквивалентными, если существует диффеоморфизм, переводящий траектории одной системы в траектории второй. Фактически это означает наличие замены переменных, переводящей одну систему в другую. Данная эквивалентность является слишком тонкой, т.к. например, системы — = х и — = 2х не являются гладко эквивалентными. Чтобы не различать такие системы, вводится понятие топологической сопряженности. Пусть / , дь - потоки двух систем. Эти системы являются топологически сопряженными, если существует гомеоморфизм h такой, что hfx = glhx, переводящий фазовые траектории одной системы в траектории другой с сохранением времени. Системы называют топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм переводящий ориентированные фазовые кривые первой сис-емы в ориентированные фазовые кривые второй. Рассмотрим автономную систему класса С1, имеющую точку покоя х = 0, Линеаризацией системы (0.12) будем называть систему Пусть ip(t,) и ip(t,r)) - траектории систем (0.12) и (0.14) с начальными данными (0, ) = и (0, "Л) = г) соответственно. Определение 0.3. Системы (0.12) и (0.14) локально топологически сопряжены в окрестности точки х = 0, если существуют такие окрестности ПиОі точки х = 0 и гомеоморфизм h : Q —ї Q,\, что 1) Л(0) = 0; 2) h(ip{t,)) — ф(Ь, /i()) для тех t, для которых p(t,) Є Q и Д.М. Гробманом и Ф. Хартманом [33] независимо было доказано, что если х = 0 - гиперболическая точка покоя системы (0.12), то системы (0.12) и (0.14) локально топологически сопряжены в ее окрестности. Перейдем к обзору диссертации. В главе 1 рассматривается система дифференциальных уравнений где х Є Rn, р Є Шт, вектор-функции P, Q и а непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, Q и а являются 27Г— периодичными по ipj, j — 1,..., m, где р = (ср\,..., (рт). Предполагается, что где Л 0, I 0, к 0, ж и \\(р\\ произвольные нормы в!пи Шт, def \\(x,ip)\\ = тах(ж, /э), матричные нормы понимаются как операторные. Через 7 ( -) Для (n х п) матрицы А обозначается верхняя норма Лозинского (см. [18]), то есть ТІц(А) = ДтІ(рг + М-1), где Е — единичная матрица. При сделанных предположениях в работе [9] доказано, что у системы (0.15) существует инвариантный тор. Теорема 0.3. Если выполнено неравенство 21 X, то система (0.15) имеет единственный инвариантный тор, представимый в виде х = u{tp), где функция и((р) 2п— периодична по ipj и удовлетворяет неравенству \H pi) - и{ір2)\\ Ь Ьі - у 2ІІ (0.20) с константой Этот тор устойчив в том смысле, что всякое решение, начинающееся в некоторой его окрестности, стремится к нему при t — +оо.
Существование локально-интегральной поверхности в окрестности решения на торе
Доказательство леммы 1.10. 1)Пространство (K(L),p) является подпространством пространства непрерывных функций с метрикой (29), которое является полным. Следовательно, достаточно доказать, что (K(L),p) замкнуто.
Пусть последовательность функций {hm} =1 из (K(L), р) сходится к функции h. Пользуясь тем, что h является пределом функций из (K(L),p), получаем Т.к. {/im}m=i сходится к h, то, переходя в последнем неравенстве к пределу при т — со, получаем Следовательно, h Є K(L). 2)Докажем, множество K(L) компактно. Так как K{L) замкнуто, то достаточно доказать, что K(L) относительно компактно. Воспользуемся леммой Арцела-Асколи. Для любой функции h Є K{L) верна оценка Следовательно, K(L) ограничено. Осталось показать, что K(L) равностепенно непрерывно, т.е. для любого є 0 найдется 5 О такое, что если ІІ2/1 — 2/211 S, то ll%i)-%2) e VheK(L). Зафиксируем произвольное є 0. Возьмем 5 = —. Пусть уі — т/2 Тогда в силу определения множества K{L) получаем %і) - %2) Ь\\У1 - у2\\ L— є. Следовательно, K(L) равностепенно непрерывно. Таким образом, в силу леммы Арцела-Асколи множество K{L) относительно компактно. Отсюда в силу замкнутости K(L) следует, что K[L) компактно. Лемма 1.10 доказана. Из определения K{L) следует, что (h(y),y,r) Є G(e(L)) для h Є K(L), т.к. n%)li i»ll Зададим на K(L) для произвольных т TQ оператор сдвига вдоль интегральных кривых -Рт0,т, сопоставляя каждой функции h Є K(L) следующее множество {(ф,у) : (ф,у) = {ФЖЪЪМЧ)Л)Л Ш) Є G(e(L)), t Є [го, г]}. (1.54) То есть из каждой точки на поверхности ф = h(y) в момент времени то выпускается решение на время г 7. Решения, остающиеся в G(E(L)) на всем промежутке [то,г], в момент времени г образуют некое множество, которое и сопоставляется функции h. Если решение покидает G(e(L)), то оно не учитывается. Лемма 1.11. Для любой функции h Є K{L) множество, задаваемое формулой (1.54), является графиком функции из K(L). Доказательство леммы 1.11. Проверим, что любые две точки (-01»ш) ( 23 2/2) множества, задаваемого формулой (1.54), подчинены неравенству \\ФЇ-Ф2\\ Ц\Ш-У2\\- (1-55) Чтобы убедиться в этом, выпустим из этих точек решения в обратную сторону. Тогда через время TQ — т, эти решения попадут на поверхность ф = h(y), где указанное неравенство выполнено по определению (1.52). Возвращаясь обратно и применяя лемму 1.6, получим неравенство (1.55). Из этого неравенства следует, что множество, задаваемое формулой (1.54), есть график некоторой функции, удовлетворяющей условию Липшица с константой L. Из леммы 1.7 вытекает, что область определения этой функции есть весь шар \\у\\ e{L). Лемма 1.11 доказана. Таким образом, мы можем считать, что оператор FTOyT действует из K{L) в K(L). Из теоремы об интегральной непрерывности следует, что такой оператор JPTOJT непрерывен и непрерывно зависит от TQ и г в метрике (максимум достигается, так как K(L) компактно). Лемма 1.12. Пусть h есть произвольная функция из K(L). При любом фиксированном т существует предел последовательности F-.n Th при п — со в смысле метрики пространства (K(L),p). Доказательство леммы 1.12 . Так как пространство (K(L),p) полно, то достаточно доказать, что последовательность {F-HiTh} сходится в себе, то есть для любого є 0 найдется такое N 0, что для любых п,т N выполняется неравенство Допустим противное, что существуют такие Т 0иє.
Существование расслоения
Целью настоящей главы является доказать локальную топологическую сопряженность систем (1.1) и (2.1) в окрестности поверхности Т. Введем следующие обозначения.
Пусть fbz = (f ZjfpZ) - поток системы (1.1); f z, jlz соответственно аховые и ср-ые компоненты потока /. Аналогично glz = (glz g z) - поток системы (2.1); glxz, g z соответственно а овые и (/7-ые компоненты потока д. Рассмотрим множества dH(e) = {z: я = є, ЄЕт}. Сформулируем основную теорему данной главы. Теорема 2.1. Существует достаточно малое єо такое, что при вышеперечисленных условиях существует гомеоморфизм h : Н(єо) — Н(єо) такой, что h(f z) = g h(z) УгеЯЫ, причем h(z) = z \/z Є Т. 2.1 Вспомогательные результаты Из результатов, полученных в главе 1 следует Теорема 2.2. При достаточно малом єо верны следующие утвероюдения: 1.а) Для любой точки покоя ZQ Є Т существует единственная инвариантная относительно потока f поверхность sfizo) = {(х, Ч ) -Ч - hf(x, 2)}. (2.6) Причем для любого фиксированного z$ hf{x,z0) : {х: \\х\\ е0} - Rm есть непрерывная функция такая, что для всех Х\ и х2 из области определения hf(x,zo) выполняются соотношения Любое решение системы (1.1), начинающееся на данной поверхности стремится к точке ZQ. І.Ь) Если z\ и Z2 две различные точки на торе, то поверхности Sf(z{) Sf(z2) не пересекаются. 1.с) Для любой точки z = (х ,ір ) Є Н(єо) существует единственная точка покоя ZQ ЄТ и поверхность Sj(zo) = {(ж, ip) : ip = hf(x, zo)} такая, что ср = hf(x ,zo). 2.а) Для любой точки покоя ZQ Є Т существует единственная инвариантная относительно потока g поверхность Sg(zo) = {(х Р)т- Р = hg(Xi ())} (2.9) Причем для любого фиксированного ZQ h9(x,z0) :{х: \\х\\ 0} - Ето есть непрерывная функция такая, что для всех х\ и x i из области определения hg(x, ZQ) выполняются соотношения hg(0,z0) = z0} (2.10) \\hg(xb ZQ) - hg(x2, zo)\\ \\xi - ж2. (2.11) Любое решение системы (2.1), начинающееся на данной поверхности стремится к точке ZQ. 2.Ъ) Если z\ и z i две различные точки на торе, то поверхности Sg(zi) Sg{z2j не пересекаются. 2.с) Для любой точки z = (х ,ср ) Н(єо) существует единственная точка покоя ZQ Є Т и поверхность Sf(zo) = {(х, (р) : ip — hg(x, ZQ)} такая, чт
Утверждения пунктов l.a и 2.а следуют из теоремы 1.6. Так как в данном случае тор состоит из точек покоя, то при замене переменных (1.25) мы получаем автономную систему. Следовательно в силу замечания 1.4, функции hj и hg не зависят от t. Утверждения пунктов l.b и 2.Ь доказываются так же, как в теореме 1.7 . Из 1.8 следуют утверждения пунктов 1.с и 2.с. Получим оценки для норм ж-овых компонент потоков / и д.
Построение гомеоморфизма
Следовательно, отображение h l является обратным к отображению h. Обозначим через hx и h соответственно ж-овую и /?-ую компоненту функции h, то есть h(z) = (hx{z),h (z)) \/zeH(e0). Докажем, что отображение h является искомым. Сначала докажем, что h является сопряжением, то есть Л(/ ) = 0 С"О VzG#(o). (2.36) Если z Т, то равенство (2.36) леммы очевидно, т.к. для z Є Т h(z) = z. Докажем справедливость равенства (2.36) для z Є Н(єо) \ Т. Так как Tf{ftz) = 7-/(2:) + t, то h(fz) = gT Wutf-rfWftz) = gTMtz)u(f +tz) = = gt+TfMu)(f TfWz) = gbh(z). Следовательно, h является сопряжением. Докажем, что h непрерывно на H{SQ). Для доказательства непрерывности h нам понадобится следующая лемма. Лемма 2.9. Рассмотрим последовательность точек Zk = (xk, ipk) Если Xk У 0, то к- оо hx{zk) У 0, (2.37) К- 00 КЧ к) У 0. (2.38) fc- oo Доказательство. Докажем справедливость соотношения (2.37). Докажем, что для любого є 0 существует N такое, что М )Н г Vfc iV. (2.39) По определению функции h hx(z)=gT/MrTf{z)z)- (2.40) Из леммы 2.3 следует, что для любого є 0 существует Т 0 такое, что й ( ЧГт г) є Vr/(z) Г. (2.41) Из леммы 2.2 следует, что существует S 0 такое, что если ж 6, то Tf(z) Т. (2.42) Так как Хк У 0, то существует N такое, что к— оо llzjbll 6 Vfc N. Следовательно, в силу (2.41), (2.42) НМ )Н = МлМгтЛг)ъ)\\ е Vk N. Справедливость соотношения (2.38) доказывается аналогично. Лемма доказана. Продолжим доказательство непрерывности h. Так как отображения TJ(Z) и UJ(Z) являются непрерывными, то отображение h(z) = gT u(f z) Vz Є Н(є0) \ Т явлется непрерывным. Докажем непрерывность отображения h на Т. Возьмем произвольную точку ZQ = (0, щ) Є Т и последовательность точек Zk = (хк, Рк) Є H(SQ) такую, что Zk ZQ. fc-юо Докажем, что Цгк) h{z0). (2.43) к-їоо Из теоремы 2.2 следует, что для любой точки Zk существует точка z\ Є Т такая, что (pk = hf(xk,zl). Так как zk ZQ и щ — /І/(0, -го),то в силу леммы 2.5 к— оо 4 —- о. (2.44) keo Если Zk Т, то h(zk) = zk и соотношение (2.43) выполнено. Поэтому не умаляя общности будем рассматривать zk Є Н(єо) \ Т, для которых h(zk) = gT (zMrTf{Zk)Zk) Vz Є Я(єо) \ Т. В силу определения отображения и и теоремы 2.2 h(zk) = (xthg(xlzl)), (2.45) где 4 = 4/-77). (2.46) Так как z\. ZQ, TO к— оо хк У 0. &- оо Следовательно, в силу леммы 2.9 х\ — 0. (2.47) К- 00 Так как z\ У z, то в силу (2.47) леммы 2.7 fc- oo \\hg(xlzk) - tp0\\ = \\hg(xl4) - M0, b)ll 7— 0 (2-48) к-юо Следовательно, в силу (2.45),(2.47)и (2.48) \\h(zk) - h(z0)\\ = \\h(zk) - z0\\ - 0. Непрерывность h доказана. Непрерывность h l доказывается аналогично. Таким образом, мы доказали, что существует гомеоморфизм /г., локально сопрягающий потоки систем (1.1) и (2.1). Теорема 2.1 доказана. Таким образом, в диссертации доказано существование расслоения в окрестности инвариантного тора. В случае, когда тор состоит из точек покоя, доказано, что рассматриваемая система локально топологически сопряжена со своим возмущением в окрестности инвариантного тора. Доказательство существования инвариантного расслоения в окрестности тора является важным шагом на пути изучения локальной структурной устойчивости системы в окрестности тора. Если при малом возмущении системы структура траекторий сильно меняется, то такая система не может являться моделью для реального процесса, т.к. при построении модели данные подбираются приближенно, поэтому изучение вопроса устойчивости структуры множества траекторий при возмущении системы имеет важную практическую ценность.
