Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Точные границы старшего и младшего характеристических показателей 14
1 Вспомогательные утверждения 14
2. Точные верхняя и нижняя границы множества характеристических показателей 27
3. Точные нижняя и верхняя границы старшего и младшего характеристических показателей. 47
4. Точные границы характеристических показателей линейных систем с ограниченными возмущениями одного класса 59
ГЛАВА 2. Спектральное множество линейных двумерных систем . 75
I. Леммы о матрице монодромии периодической системы 75
2. Спектральное множество периодических систем . 83
3. Теоремы о спектральном множестве 89
Литература
- Точные верхняя и нижняя границы множества характеристических показателей
- Точные границы характеристических показателей линейных систем с ограниченными возмущениями одного класса
- Спектральное множество периодических систем
- Теоремы о спектральном множестве
Точные верхняя и нижняя границы множества характеристических показателей
Без нарушения общности считаем последовательность {А„ J схо А f — П" дящейся к некоторой матрице. Если предположить справедливость включения А W№) , то аналогично предыдущему доказывается неравенство ЯСX о, а о , с ) О , откуда следовало бы невыполнение условия (1.2.8).
Докажем теперь непрерывность функции 5 (Хі Р) в точке X Хо t f- Р0 . Предположим существование последовательное-тей { Ч /} , Г/ Є СЪ.М , ІХг}. ,ХІЄ(С,І- ), сходящихся соответственно к о , Хо для которых выполнено условие (см $ (Хг , ?/) = d S+(X0fV o)=K(X0,A fV ). S- во
Как было показано выше, для каждого t » і найдется матрица В. Є и ( р; ) t удовлетворяющая равенству S С Хг, Ф/) = = Н(Х;, ty,?; ) . Не умаляя общности считаем последовательность і ос Jisi сходящейся к некоторой матрице Р W .Из нера - ЗІ венства Ф(A іЧ?о) 0 вытекает выполнение условий гСл ,?) 0; означающих включение А# 6 СО (рг) для всех достаточно боль ших ( Ъ- і , откуда, согласно определения функции S (Z) Ф) , имеем: К (Х(-, Вс-, РС-) & К (Х -, А со, ft ). Следовательно, имеет место неравенство d К( Х0 А , &)-$ СРо, % ). Из условий ФІОі) (Р/) Оісі і, вытекает неотрицательность выра жения Но равенство Р(В„ , ?.) о не выполняется, так как в противном случае получили бы ІІ(Х 9В- П) в(о 0 іРо)- о sup R(o7A Vo) Aeou (f0) откуда следовало бы соотношение и - ft/W S (Хг, ftjs - . Поэтому, в силу справедливости включения В б СО ( Ре), имеем: d » К(х0 В о, 0) s (z0, Po). То есть, непрерывность St(J ) Р) доказана.
Установим монотонность функции S (К, Ф) по переменной X . Пусть Р СЪ,Гг] , Х ХгЄСС, " ) и Хх г . Тогда для некоторых матриц Bj Є СО (& ), jsl 2 , имеют место равенства %t(Zji P) = KCXj Bj, Р ), j-Х,2.Мэнотонность следует из неравенства S (Xt , ) К схг, В г ,? ) K(Zt В г Р ) - (Xt -Zt )/ РСВІ, Ґ) n( i,B;y)iS+(za ). Определим семейство отображений AXl e : Mt(R)— Я , z, pe Я1, следующим образом: A ,9(A) ($t( ,A,V),St ( ,А, Р)) - 32 где Для краткости будем также писать . = . (tXi А, Ф), (=1,2 . Введем обозначение
Пусть в случае СО (У№р6іщі некоторых Р G СФі, fy 7 справедливо неравенство (1.2.2). Докажем существование матрицы А W (Ф) , являющейся крайней точкой мно-жества 0U , для которой выполняется равенство S С%} PJ . Согласно доказанному, для некоторой матрицы А Є to (Ф) имеет место соотношение к(х, А\ ?)= s u, е)= ( ,$/, ), (1.2.ю) nw / -4i(z,A , г), t.iL. Покажем сначала, что матрицу п можно выбрать так, чтобы точка \Ц ± 9 ) была крайней точкой множества AXj f (0u) . В силу аффинности отображения Лц, р множество Ак у (Со) выпутаю и замкнуто. Тогда ввиду справедливости равенства К ( %j т± КЛ « К (Р) Р %i , Ё ) для всех jS Є Я \(&} , не ограничивая общности считаем выполненным условие - 33 f(tt,$t) Л ,,?(& ( », fi l, (І.2.П) то есть вектор (?x і%г ) лежит на границе множества Ах ? №) Из леммы fl6, с. 88J следует существование векторов (л? )в Лх е () ) і -(lt/2}, являющихся крайними точками множества А% f (со ) , и выполнение для них равенства
В силу справедливости условия (1.2.II) по крайней мере один из коэффициентов J { ( & 3 , обращается в нуль. Не ограничивая общности считаем Д? - О . Если один из коэффициентов ftifi равен нулю, то требуемое утверждение доказано. Поэтому рассмотрим случай выполнения неравенства ftfiz 0 .Из условий (1.2.II), (1.2.12) следует неколлинеарность векторов ( $ , %г ) (f $i зїг ? ) Рассмотрим векторное поле которое имеет следующий вид : В силу справедливости представления Ф(А,Г) = $t ; Є %+КК, КЄ Ж, векторное поле grad К ІК иЧг) невырождено и непрерывно на множестве Л , ( т) UAXi f(co с Р)) . Векторы(?/, f ) и Qrad К (Z, %х , ЦІ) ортогональны, следовательно, вектор grad К(Х, , f/ ) не ортогонален вектору ($t - $ i7"/- % г).
Отсюда вытекает, что на отрезке, соединяющем точки(%"\ $г") (s 1,2. , найдутся такие точки, принадлежащие множеству AZjf (W (Ф)) » в которых функция К (ХЛи г) принимает значения, большие чем К (Z} fif2) . Но это противоречит равенству (1.2.10). Таким образом, точка (% % ) является крайней для множества Лх f (&)
Из аффинности отображения ЛХ)? следует замкнутость и выпуклость множества Выполнение включения /С CJ (ф) очевидно. Поэтому, не ограничивая общности, считаем матрицу А крайней точкой множества у . Предположим, что А не является крайней точкой множества л/ . Тогда для некоторых матриц Aif /lzCO и t(0) I) выполняется соотношение А - j Axt 0 Ji)n9» Ясли бы Дна из матриц Atl Дг принадлежала множеству jf , то в силу аффинности отображения Л)с, f и выполнения включения А Є К другая матрица также принадлежала бы множеству / . Но тогда А не была бы крайней точкой множества / . Следовательно, имеют место условия (& (x,Ait ч ), f, (г,Аі,Г)) (tt\ f/;, . , откуда, учитывая равенство (К\ ) -А (і (к А, ), h ( hpho-ММхШЩ заключаем, что ($х Лг ) не является крайней точкой множества AXtf(u) . Докажем теперь неравенство (1.2.3). Из соотношения fi(xj, ?) ces th (г, A, e)tyf }t izj, v))t et z, и неравенства (1.2.2) следует, что множество Ах ? (СО) не содержит начала координат и выполняются условия:
Из сказанного выше следует, что вектор (л ,%ї) нужно повернуть по часовой стрелке на угол, меньший чем 7t , чтобы он совпал по направлению с вектором ($s , їг ) откуда следует отрицательность третьей координаты векторного произведения
Точные границы характеристических показателей линейных систем с ограниченными возмущениями одного класса
В этом параграфе рассматривается множество U)=[A0 + QL . :QeМг(Н),Ш\ «х1М } ТЛъ Ао s(a0)e/fjff) - не которая постоянная матрица и $ 0 - фиксированный параметр. В работе [6j в случае матрицы А0 жорданова вида для любого значения параметра 1 0 были вычислены все точные границы каждого из показателей системы (1.0.1). Это же будет сделано и здесь, но для произвольной матрицы Д0 При этом теоремы, которые будут доказаны в этом параграфе, не являются следствиями теорем I.2.I и I.3.I, так как все границы показателей вычислены без всяких ограничений и для значительно более общего случая установлены . равенства /\z (Ш)= Уг (СО), \t (00)= ft (со). Не ограничивая общности считаем выполненными условия а 5 &22 " а О , &іг агі , чето всегда можно добиться - 60 преобразованиями X t - JCs_t- и Zc- -+(-1)1 X /= 1,Z, ТЕОРЕМА. 1.4.1. Если коэффициенты матрицы A0 удовлетворяют условию (max {o,a-zs}) + f(au+S)(an -s) o, \ rter то Az (Co) есть наибольший из корней уравнений (1.2.20), (1.2.21), a ht (СО) - наименьший из корней уравнений (1.2.22), (1.2.23). Если же коэффициенты матрицы Аа не удовлетворяют условию (I.4.I), а удовлетворяют условию aiz о azt , (1.4.2) {0L-zsfsi gn(a- fS)i- f(alz-$)(azl+i) о, то Аг (0о) есть корень уравнения (1.2.20), a At (СО) - корень уравнения (1.2.22). Во всех остальных случаях имеют место и«гд- nt ax- .tn/ tt л mitt равенства Лг (W) = fz (60) , Лі (00)= fi (со).
Рассмотрим сначала случай выполнения неравенства С1ц &2i 0. Распишем подробнее систему Пусть y(t)=(jft(i),jfiU)) - произвольное решение системы (I.I.I) с Х-Яц . В данном случае доказательство проводим аналогично 6/. Если существует момент времени tQ & О такой, что имеет место соотношение 1уг (L)/- Сl(fi(to)l , где с = (а + у/а (/a«/+S)(/4j+S) )/z(ialzh ), то на некотором промежутке i0Ji ) максимальной длины выполнено либо условие І У (Ї)І С (fad) I , и тогда из (1.4.3) имеем: - 61 І у, U) I с \yx ({)І4 с 1 (t0 )lexp[s + (Ia l+$)c](i-Lh где /= \CL + 8+ і /az + (ай гІ і)(іаиІ+$) 9 откуда вытекает неравенство либо условие J U2 ()\ъ Сlfj/iU)\, и тогда из (1.4.4) имеем: откуда следует (1.4.5). Если ix Ф + , то, пользуясь методом математической индукции, распространим неравенство (1.4.5) на весь промежуток I to, + оо) , в случае, когда для любого t?0 имеет место неравенство / ({) / С lfft {/)/ // ШІ С /# Ші\ характеристический показатель решения не превосходит характеристического показателя функции /ул U)l(lyz ({){), для которой, как уже показано, из (1.4.3) ((1.4.4)) следует неравенство Таким образом, характеристический показатель решения У (і) не превосходит / . Следовательно, характеристический показатель любого решения системы (1,0.1) не превосходит
В случае выполнения неравенства &J.ZQZI 0 условия (1.4.II), (1.4.12) эквивалентны соответственно условиям ви 0 azl,(maz{o,a-zs}) + (a12-sXa2J+S) o, (І.4.ІЗ) -$ аи о аи s, (тах{о?а-г$})1+ (а12Ч){агі-ї) о. (І.4.І4) - 65 Так как при Оііг Є (-$, 0), (Z2S Є (О, S), О- S неравен ство (d-II) + і(йц+$)((1м&) 0 не выполняется, то условие (1.4.14) эквивалентно условию (1.4.1). При всех OLiz 0, &и 0, (X є [$, 4S] неравенство выполняется, следовательно, условие (1.4.13) эквивалентно условию (1.4.2). Нетрудно проверить, что из выполнения условия (1.4,1) следует выполнение условия (1.4.2).
Таким образом, если имеет место условие (I.4.I), то справедливы неравенства (1.2.18), (1.2.19) и, согласно теореме I.2.I, \татс число Лг (СО) есть наибольший из корней уравнений (1.2.20), . mitt (1.2.23), a AL (W) - наименьший из корней уравнений (1.2.22), (1.2.23). Если выполнено условие (1.4.2), а условие (1.4.I) не выполнено, то имеет место неравенство (1.2.18), а неравенство I trxax (1.2.19) нарушается и согласно теореме I.2.I число Л2 Си/) . win есть корень уравнения (1.2.20), а А і (W) - корень уравнения (1.2.22). Во всех остальных случаях ввиду невыполнимости условия (1.4.2) неравенства (I.2.I8), (1.2.19) либо нарушены, либо имеет место условие (Хщ &2i 0 , откуда следуют равенства .max 0 пазс \ t» л » Az (со)= fz (U)),At (со Ух (со). Теорема 1.4.1 доказана. ТЕОРЕМА 1.4.2. Если коэффициенты матрицы А0 удовлетворяют хотя бы одному из условий (1.4.II), (1.4.12), то имеют место і mitt J - л f, і max \ ыах равенства Az (cv) = Sp А,- д , Лл (ои)= Аг (со).
Если же коэффициенты матрицы п0 не удовлетворяют ни одному из условий (1.4.II), (1.4.12), то справедливы равенства А2 (со)= п mit? і max л max = У2 (W), At (Ш)=УХ (Cd). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если выполнено хотя бы одно из условий (1.4.II), (1.4.12), то нарушается неравенство (I.I.6). Тогда согласно теореме I.3.I имеем: мі/г г л і wax \ max - 66 Из неравенства +(аг1 +l)co%2 ?-[-(a12+S)sirj (p+asw Pcos p -zs /s/nwsp/t (a2S -s) cos V/ = г s (isin Pl /cos pl) о следует, что условие (I.I.7) выполняется. Поэтому, если коэффициенты матрицы А0 не удовлетворяют ни одному из условий (1.4.II), (1.4.12), то есть имеет место неравенство (I.I.6), то из теоремы І.З.І следуют равенства А2 (ov) = f2 (Си) . metx р тазе Xt (СО)- Js (ОО) . Теорема 1.4.2 доказана. Выразим теперь явно величины У: (со) , J; (СО) И значе ния функций S (Z,(P) , I (%,?), c=l,Zt через коэффициенты матрицы п0 и параметр S О . Для этого определим при всех Xeft\ Ц f І-КЛ , НЄІ\ функции УІ(Х, Р), У (Z,?) , К - І, Я у следующим образом: V ,« f - ) (І.4Л5) Будем также использовать краткую запись $к (2, )- к К-ІЛ. Для множества Л# р (& ) , очевидно, справедливо представление AX, f Ms[fti&): ! ( Z №) . } , (I.4.I6) где tP#jttKJC Ke#- то есть множествоAXiV(CV) пред ставляет собой квадрат в плоскости И .
Обозначим через У fZV функцию, определенную на п. , которая на множестве ІО,+ ) принимает значение равное I, и на интервале (- 0) обращается в нуль, а через У (-г) обозначим функцию, определяемую равенством У (Т)+ІГ(Г)Ві, te Я .
Спектральное множество периодических систем
Из соотношений (2,1,4), (2.1,5), учитывая равенство (2,1.3), вытекает справедливость условий ІШ Х (АЛ- \р(А) Є 1,2 откуда следует, что для всех достаточно больших t Ы век тор п будет собственным вектором матрицы монодромии сис темы (1.0.1) с матрицей отвечающим собственному зна чению Таким образом, если в качестве матрицы А взять матрицу Ас при достаточно большом І %г і , то неравенства (2,1.1) будут выполнены и лемма в этом случае доказана. Пусть теперь выполняется равенство КХ(А ) = Хх(А ). Повторяя процедуру, описанную в предыдущем случае, получим матрицу А{ такую, что вектор h является собственным вектором матрицы монодромии системы (1.0.I) и справедливы неравенства / /у (ni Если то лемма доказана. Если же к±( А;) \я (А;) , то доказательство сводится к уже рассмотренному случаю. Лемма 2.1.2 доказана.
В этом параграфе Судет построено не само спектральное множество бр (со) периодических систем, а его замыкание р (со) Заметим, что эти множества, вообще говоря, не совпадают и, как будет показано в следующем параграфе, при построении спектрального множества б (со) основную роль будет играть именно множество 6 р (со). Введем обозначения: замкнутая выпуклая оболочка множества dc (со). ТЕОРЕМА. 2,2.1. Если выполнено условие (I.I.6) и хотя бы одно из условий (I.I.7), (1,1.8), то справедливо равенство бр (СО) = бс (со),
Докажем включение р (со)С бс (од). Предположим, что это включение не выполняется. Тогда для некоторой матрицы А Є Пр (со) с периодом Г справедливо условие \(Л ) ф бс (Ш). Зафиксируем какое-либо Кб{1,1}. Как следует из леммы 2.1 Л, без ограничения общности можем считать, что матрица монодромии системы (1.0.1) с матрицей А- А имеет собственный вектор h в $к (со)j отвечаю щий собственному значению СХР { ЛК(А ) Г} . Не умаляя общности считаем5также матрицу л кусочно-постоянной: Afcr)=Aj6cv при г в (?г , г) ), j=i , лг, где 0 - О , 2V - Т. Пусть d - расстояние от точки \ (А ) до множества бс (со) р а ФСМ- угловой аргумент решения X(t) системы (Г.0.1) с матрицей А А и начальным вектором П.
Рассмотрим сначала случай АҐ- . Если выполнены равенства Р (Aty Р(о)) = Р(Аг , fCo)) Ot то справедливо и соотношение
Таким образом, как видно из неравенств (2.2,5), (2,2,7), расстояние между точка ми А (А) и і л. ГЛХ(АП а, следовательно, в силу выполнения включения Z. А- Т X(иг )б 6С (СО)} и расстояние между точкой А (А ) и множеством бс (coij не превосходят d {?/ { . Но это противоречит определению числа d . Рассмотрим теперь случай С учетом обозначений в доказательстве леммы 1,2.4 равенство (1,2.17) для решения Х({) примет следующий вид: Докажем выпуклость множества ёР (со). Предположим, что для некоторых векторов X в 6pCb )ij-i Z ъЛб(0,1) выполняется соотношение oL X і- (1-Л) X 4 бр(со) . Пусть а - расстояние от точки d А (s-J-i л до множества
Не ограничивая общности считаем выполненными включения X бб ЬМ . Тогда для некоторых матриц fit й Пр (со) с периодами соответственно и и Tz справедливы равенства h(A;)=\ , ; rV. Зафиксируем какое-либо К {Х,Л}. Как следует из леммы 2,1 Л, не ограничивая общности можем также считать, что матрицы моно-дромии систем (1,0.1) с А - Aj , J-1,2 , имеют общий собственный вектор h Є SK ( 0)9 отвечающий соответственно собственным значениям Хр { Хк (As )Tj j , j=J,2.
Последние два неравенства позволяют заключить, что расстояние от точки « А + (I d-) А до множества бр (и)) не пре восходит d/vz . но это противоречит определению числа dL . 3. Докажем включение 6С (со) с ЄР (оо). Выберем какую-либо матрицу J СО и покажем справедливость включения А (Я) в 6Р (со). из леммы l6, с.88J следует существование матриц Я)І ё (A); t i,.-, г 7 и чисел d,- 0} 2- ; 1 , для которых выполняется равенство 3-Х Q , где число Ґ не превосходит пяти, В силу непрерывной зависимости функций Ак (А)} К=і,Л , от аргумента Н/%(в), не ограничивая общности считаем выполненными включения Д- ей), / ,—,г.
Зафиксируем какое-либо число К {i,Z }. Если вы полнено условие $(2), ) 0 , то обозначим через Ч 0 угловой аргумент собственного вектора матрицы & г отвечаю щего собственному значению Ак ( &). Как следует из леммы 1.1,2, не ограничивая общности можно считать выполненным условие ft С fiKi (К Я кг (Со)]. Если же выполнено условие Ф(2, Р)Е О , то положим % - О.Г(Ркі №)+А С(0)) . - 93 Рассмотрим сначала случай, когда выполнены условия ФЩ.Ю-О ,(-l,...,r. (2-2-14 Построим матрицу 3) є ґ\Р(ш) следущим образом: 2) Ы)= д; при і Є [ Г;-х, Г; ) , где Г0 = О, ТІ - ГІ- aL / } /= і, ..-, ґ , а дальше продолжим матрицу JD &J периодически. В силу выполнения условия 1 о i=i справедливы равенства L(2 ) l ±iR( ,&, .) XKU», k-K (#) -1 tp#M dt -Яг« )- Sp-Ka hk„ (з», откуда следует включение Рассмотрим теперь случай, когда хотя бы одно из условий (2.2.14) не выполняется, В этом случае, очевидно, выполняется О условие 1Р0 Є SK(CO) 0 . Из равенства (2.2.15) г Р(Л fo) = I . Р(&; р.)-0 следует, что для некоторых С± } 1г 6 І1,»;Ґ} , которые не ограничивая общностиfможно считать равными I и 2, справедливы неравенства ФіЯі Го) 0, 9 (Дг, Г,) 0.
Доказательство в этом случае проведем методом математической индукции. Пусть Г= . Для каждого числа S О, удовлетворявшего неравенству Р0+ 8 3KZ (ш) построим матрицу 3){ є/Ір(ю) следующим образом: 0 (t)= Юі
Теоремы о спектральном множестве
Предположим, что най \іЄ) , і (Є) і (Єї \ р дут ся такие векторы А - ( Лі , Лі Jop(to),c i,Z, для которых выполняются равенства Ак = Ц7?? AK)tc=i.z. Не ограничивая общности считаем выполненными условия At - і Лг -Л . Из леммы 2.1.2 следует существование последовательностей матриц \АІ };-± у пі fiptwh с периодами /, о соответственно, таких, что выполняются условия (2.3.1), а матрицы монодромии каждой из систем (1.0.1) с //-// имеют один общий собственный вектор 12 І , отвечающий собственному значению
Обозначим через П; собственный вектор матрицы монодромии системы (1.0.1), с п п; } отвечающий собственному значению
Рассмотрим сначала случай, когда последовательности матриц [A,- Jisi } =1,2., можно выбрать так, чтобы векторы kt , hx были неколлинеарны для всех //, Cel % J Для каждого обозначим через какие-либо замк нутые, симметричные относительно начала координат секторы, образованные двумя пересекающимися в начале координат прямыми, такие, что выполняются включения Пі Є V;, f?c- SWc, =i,Z. Отсюда следует справедливость для решений Xt- (,Ц) системы (1.0.1) с матрицей п = л; и начальным вектором $ 0 условий xWri tieVi.VfeWi i.eeCWh (2.3.19) Выберем секторы К1, W; также с тем условием, чтобы выполнялись включения
В силу периодичности матриц Ні , для каждого І ъ- і найдется число и: 0 такое, что при всех ffO выполняются неравенства (2.3.2), (2.3.3), (2.3.5), а при всех 6 - неравенство (2.3.4). Выберем последовательности натуральных чисел itH;}t-=l;{П;}І=І удовлетворяющими условиям.. (2.3.6), (2.3.7) и построим матрицу л ЄПСМ) также, как и в доказательстве теоремы 2.3.1. Обозначим через X (Л решение системы (1.0.I) с матрицей п=л и начальным вектором Я j К 1,Л , где hz -какой-либо вектор из Wi .Из условий (2.3.19) следует справедливость включений - / К для всех j±i . Таким образом, имеют место неравенства (2.3.8)-(2.3.10), из которых аналогично доказательству теоремы 2.3.1 следует справедливость требуемого утверадения.
Пусть при любом выборе последовательностей матриц {Д- / = LtZ , для некоторого & {1,2} векторы ht, hx будут кол линеарны при всех.В силу выпуклости множества ёР (с )0 (j {(hz, ЪУ (hi,\г)єб/&рч!о возможно лишь тогда, когда имеет место включение Но в этом случае утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим теперь случай, когда предположение относительно существования векторов А ) с Z ;__ не выполняется. Тогда найдут ся векторы такие, что справедли вы следующие условия: Az .- Дг 9 Az - As р At « Аг , ГСЄ -Г (Є) Лі Лг j 6=l,Z . Из леммы 2.1.2 следует существование последовательностей матриц {А і }t=i ) fit tip (to) c периодами Ъ & соответственно, таких, что имеют место равенства ,а матрицы монодромии систем (1.0.1) с А=Ал-имеют один общий собственный вектор h , отвечающий соответ ственно собственным значениям ЄХР [ (А ) Г/Є }
Обозначим через / &f) решение системы (I.O.I) с А- Аі,е= ,г,і Аі. начальным вектором if , Тогда для некоторых чисел d: 0 j f l, при всех г-0 будут выполняться неравенства tn II (maxі (/C) f )t, Ч о, (2.3.20) En I i/%h)ll/l/hll 4 I-1 (max \}_e (А? ) Ґ) і . (2.3.21) Последовательно на промежутках положительной длины построим матрицу А в /1(со) t Для которой имеет место равенство К(А)=Х, Выберем какой-либо вектор /г , не коллинеарный вектору h. » и на промежутке, где матрица AU) уже определена, через Xе tf)t Ха/(/) будем обозначать решения системы (1.0.1) с матрицей А=А и соответственно с начальными векторами /г и k . На промежутке /"/ ,//,) 7 где {0=0) it = i0 + Ш Т положим AM А &-&) и тхе2 выберем настолько большим, чтобы выполнялось неравенство / С fa яг %;// - ьz (С) / " . На промежутке [ix, z)? где iz tb iU положим АШ= Ajt Ap /?х выберем настолько большим, чтобы выполнялось неравенство 1С tn и х » иг) и - д2 (АПІ г" На промежутке [{2/ 2 , tzt-i ) , где izi-i = 2i-z +П7;% } положим А( ) А; (-Ь -2) жт;єЖ выберем настолько большим, чтобы выполнялись условия (2.3.6), (2,3,7) и неравенство - 115 I C & llZ V ,-i)lj- \t (A?) I 2" . (2.3.22) На промежутке [iz i, & ) , где /.?/ = &s-j + Я , положим выберем настолько боль шим, чтобы выполнялись условия (2.3.6), (2.3.7) и неравенство /С ЄпН "(Ь.)Ц- Хх (А" )1 г- . (2.3.23) Продолжая этот процесс по индукции, построим всю матрицу А Из неравенств (2.3.22), (2.3.23) следует, что показатель решения X, tfj не меньше числа Л к , = -, . Учитывая неравенства (2.3.20), (2.3.19) и условия (2.3.6), (2.3,7), для ЇЄ (tzi j tzttz)jt lt получим:
