Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Одной из основных задач асимптотической теории дифференциальных систем и теории устойчивости является изучение поведения показателей дифференциальных систем линейного приближения при различных возмущениях ее коэффициентов. При этих исследованиях широко применяются методы теории характеристических показателей Ляпунова, в том числе и наиболее часто используемый в современной теории метод поворотов В.М.Миллионщикова. Эта теория в основном сформирована и развита в работах В.М.Миллионщикова, Б.Ф.Былова, Р.Э.Винограда, Д.М.Гробмана, Ю.С.Богданова, Н.А.Изобова, Дж.Лилло, М.И.Ра-химбердиева, Н. X. Розова, Е. Л. Топкова и др.
В области приложений исследований устойчивости по Пуассону решений дифференциальных систем важное место занимают задачи о нижних показателях Перрона линейных систем. Ранее достаточно полно изучались свойства множеств нижних показателей Перрона, и оставалась малоисследованной задача поведения нижних показателей при возмущении коэффициентов.
Диссертационная работа посвящена изучению поведения нижних показателей Перрона линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих линейных возмущениях.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной темы ПИР: "Аналитические и качественные характеристики решений дифференциальных уравнений" № 01910054944 27.29 Белгосуниверситета.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является решение задачи о построении точных условий инвариантности нижних показателей Перрона линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих линейных возмущениях.
Научная новизна полученных результатов. 1. Введена величина неправильности линейной системы, определяющая класс экспоненциально убывающих возмущений, сохраняющих ее
нижние показатели Перрона;
-
Доказана точность построенных условий совпадения множеств нижних показателей Перрона исходной и возмущенной линейных систем;
-
Установлены достаточные условия инвариантности некоторых нижних показателей Перрона линейных систем относительно экспоненциально убывающих возмущений;
4. Дан конструктивный способ построения диагональной системы с
заданными множеством нижних показателей Перрона и величиной не
правильности.
Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение в асимптотической теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории показателей Ляпунова, а также могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории линейных дифференциальных систем.
Экономическая значимость полученных результатов. В связи с теоретическим характером диссертационной работы оценить экономическое значение результатов в настоящий момент не представляется возможным.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
-
Построение и доказательство условия инвариантности множеств нижних показателей Перрона линейных систем относительно экспоненциально убывающих возмущений;
-
Доказательство неулучшаемости полученного условия инвариантности множеств нижних показателей Перрона линейных систем:
-
Получение достаточных условий совпадения некоторых нижних показателей исходной и возмущенной линейной систем;
-
Построение диагональной системы с заданными величиной неправильности и множеством нижних показателей Перрона.
Личный вклад соискателя. Все результаты, приводимые в диссертационной работе, получены автором лично. Научному руководителю принадлежат лишь идеи построения величины неправильности и способов исследования ее возможных свойств.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (руководители — В.А.Кондратьев, В.М.Миллионщиков и Н.Х.Розов), совместном заседании семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества, межгосударственной научно-практической конференции творческой молодежи "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение" (г. Минск, 1994), Республиканской научно-методической конференции, посвященной 25-летию факультета прикладной математики и информатики БГУ (г.Минск, 1995).
Опубликованностъ результатов. Результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах, в том числе в 3-х журнальных статьях, одна из которых без соавторов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырех глав и списка использованных источников, включающего 24 наименования. Общий объем диссертации составляет 73 страницы машинописного текста.
