Содержание к диссертации
Введение
1. Теорема существования и единственности обобщенного решения начально-краевой задачи для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения с сильно эллиптическим оператором 19
1.1. Начально-краевая задача для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения с сильно эллиптическим оператором 19
1.2. Некоторые свойства оператора f[u] и примеры оператора f[u] 20
1.3. Вспомогательная начально-краевая задача для линейного векторного сильно параболического уравнения 23
1.4. Теорема о существовании и единственности решения начально-краевой задачи для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения с сильно эллиптическим оператором 26
1.5. Начально-краевая задача для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения с равномерно эллиптическим оператором и третьим однородным краевым условием 29
1.6. Выполнение фазового ограничения для однородной второй краевой задачи специального вида 31
1.7. Пример взрывной неустойчивости решения скалярного интегро-дифференциального уравнения с частными производными с начальным и краевыми условиями 33
1.8. Нахождение функции р для линейного оператора f[u] 34
1.9. Нахождение функции р и пример оператора f[u] для любого фиксированного неотрицательного к и неоднородных уравнения и граничных условий 36
2. Принцип минимума в задаче оптимального управления для эволюционных векторных интегро-дифференциальных уравнений с сильно эллиптическим оператором 39
2.1. Постановка задачи оптимального управления 39
2.2. Необходимые условия оптимальности, представленные в виде принципа минимума 41
2.3. Вычисление приращений функционалов 44
2.4. Свойства приращения функции 46
2.5. Вычисление первых вариаций функционалов 50
2.6. Вычисление первых вариаций функций Г ,- 54
2.7. Отделение конусов 55
2.8. Вывод принципа минимума 60
3. Исследование математических моделей биофизики, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями 63
3.1. Обобщенная модель Вольтерра "хищник - N конкурирующих жертв" 63
3.2. Математические модели динамики роста биомассы 66
3.3. Оптимальное управление для интегро-дифференциального уравнения специального вида 70
Литература 73
- Вспомогательная начально-краевая задача для линейного векторного сильно параболического уравнения
- Выполнение фазового ограничения для однородной второй краевой задачи специального вида
- Необходимые условия оптимальности, представленные в виде принципа минимума
- Оптимальное управление для интегро-дифференциального уравнения специального вида
Введение к работе
Интегро-дифференциальные уравнения привлекают внимание большого круга исследователей как в нашей стране, так и за рубежом (Ю.А.Агранович, Н.В.Азбелев, Е.А.Барбашин, А.И.Булгаков, В.С.Владимиров, О.А.Кузенков, В,П. Максимов, Г.И.Марчук, А.П.Михайлов, С.Ф.Морозов, П.Е.Соболевский, В.И.Сумин, R.C.Grimmer, J.Hale, D.Sforza, J.Warga и др. [4] [5], [9]-[11] [17], [21], [28], [54], [59], [60], [87]-[89], [96], [97], [132], [138], [165], [166], [175]). Они занимают видное место в исследованиях, связанных с математическими моделями в физике [96], [158], [159], [171], химии [173], биологии [142] и многих других.
Важным классом являются интегро-дифференциальные уравнения с частными производными, в которых интеграл, присутствующий в уравнении, берется по некоторой области пространственных переменных. Посредством таких уравнений, в частности, описываются многочисленные процессы типа "реакция-диффузия": распространения тепла [80], газовой динамики [54], горения [173], отравления продуктами метаболизма [162], распространения инфекционных заболеваний [154], динамики сражения войск [155] и многие другие. Подобные уравнения играют значительную роль в математических моделях биофизики, в частности, популяционной биологии [119], [121]-[123], [135].
При изучении интегро-диффереяциальных уравнений возникают вопросы о существовании, единственности и виде его решения, а также об определении обобщенного решения подобных уравнений [9]—[11] [59], [60], [132], [138], [165], [166], [175]. В ряде случаев интегро-дифференциальные уравнения исследуются как частный случай различных классов функциональных [21], [132], функционально-дифференциальных [5], [17], [138] дифференциально-операторных уравнений [46], [136]. В [58]—[60], [168] О.А.Кузенковым было показано, что многие классы интегро-дифференциальиых уравнений в случае, когда интеграл, берется по некоторой области пространственных переменных, можно единообразно представить посредством эволюционного уравнения в семействе вероятностных мер Радона, что позволило обосновать их разрешимость, исследовать предельные свойства решения, а в ряде случаев найти решение в явном виде. Существенной особенностью таких уравнений является наличие первого интеграла, что соответствует равенству единице полной меры в любой момент времени при любых начальных условиях. Метод их решения основан на использо-
вании вспомогательной однородной задачи (см., например, [57], [60]). Для них было обосновано обобщенное понимание решения, определяемое некоторым интегральным тождеством (слабое решение). Один из классов подобных уравнений — интегро-дифференциальные уравнения с эллиптическим оператором Лапласа, рассмотренные в настоящей диссертации. Подобные уравнения представляют собой уравнения в частных производных параболического типа с дополнительным слагаемым, зависящим от интеграла, берущегося по пространственным переменным. Они являются частным случаем уравнения типа "реакция-диффузия". Наличие первого интеграла в этих уравнениях математически выражает закон сохранения массы Ломоносова-Лавуазье.
В.И.Суминым предложен метод сведения разнообразных начально-краевых задач (в том числе и для интегро-дифференциальных уравнений) к функциональным воль-терровым уравнениям, который позволяет рассмотреть случай, когда нелинейная часть, присутствующая в уравнении, зависит от линейного интегрального оператора [132].
Обобщением параболического уравнения являются сильно параболические системы [27]. Граничные условия для корректности смешанной задачи задаются в виде линейных дифференциальных операторов, которые удовлетворяют некоторым алгебраическим соотношениям; в частности они могут быть заданы посредством системы Дирихле [118]. Ясно, что обобщением таких уравнений являются эволюционные векторные интегро-дифференциальные уравнения с сильно эллиптическим оператором.
Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на такие системы — управлять ими. При этом часто возникает вопрос об отыскании наилучшего (оптимального) в том или ином смысле управления. Основные вопросы, которые возникают при теоретическом исследовании оптимизационных задач, — существование, единственность, и нахождение оптимального управления при условии его существовании.
Центральный результат теории оптимального управления - принцип максимума - до последнего времени входит в сферу интересов современной математики. Он был первоначально открыт Л.СПонтрягипым для сосредоточенных динамических систем [115]. Принцип максимума несет информацию о структуре оптимального управления, позволяет строить алгоритмы приближенного решения и обосновывать их. Иногда
использование его приводит к точному решению задачи. Однако, успешное применение принципа максимума нетривиально, требует изобретательности и глубоких знаний.
Необходимые условия оптимальности управления в форме принципа максимума рядом авторов выводился как следствие общих условий оптимальности для того или иного класса экстремальных задач в абстрактных пространствах (Р.Гамкрелидзе, А.А.Дмитрук, А.Я.Дубовицкий, А.С.Матвеев, А.А.Милютин, Н.П.Осмоловский, В.И. Плотников, С.Н.Слугин, Г.Л.Хараташвили, СА.Чуканов, В.А.Якубович, U.Lecizewicz, L.W.Neustadt, J.P.Raymond и др. [8], [32], [36], [38]-[40], [52], [90], [93]-[95], [99], [101], [129] [Ш]-[147], [170], [172]).
Параллельно развивалось направление, учитывающее при получении принципа максимума специфические особенности задач оптимального управления для распределенных систем (В.М.Алексеев, А.В.Арутюнов, В.Г.Болтянский, Р.Габа-сов, А.И.Егоров, Ю.В.Егоров, Ф.М.Кириллова, К.А.Лурье, А.С.Матвеев, В.И.Плотников, Т.К.Сиразетдинов, В.М.Тихомиров С.В.Фомин, H.O.Fattorini J.P.Raymond, H.Schatler и др. [6], [7], [12], [29]-[31], [41]-[45], [51], [8Щ, [91], [92], [10б]-[108], [124], [150], [161], [174]),
Теория оптимального управления разнообразными сосредоточенными и распределенными систем, получила свое развитие как в отечественных работах (С.А.Авдонин, Ю.Г.Борисович, В.А.Брусин, А.Г.Бутковский, Ф.П.Васильев, М.И.Зеликин, А.Д.Иоффе, А.З.Ишмухаметов, Ю.В.Орлов, М.М.Потапов, Л.И.Розоноэр, и др. [1]-[3], [13]-[16], [18]-[20], [22]-[26], [47]-[49], [100], [117], [153]), так и зарубежом (M.M.Denn, H.O.Fattorini, A.V.Fridman, JXXions, J.Warga, L.J.Young и др. [21], [84], [85], [148], [156], [157], [160], [163], [164], [167]).
Оптимальное управление системами интегро-дифференциальных уравнений исследовалось в работах А.Н.Джорбенадзе, В.И.Сумина, А.В.Тузинкевича, А.Л.Хотеева, Т.С.Цуцунаваи др. [21], [37], [132], [135], [139].
Одной из важнейших проблем остается численное решение задач оптимального управления. Различным численным методам решения оптимизационных задач для распределенных систем посвящена обширная литература (см. библиографию, приведенную в [18], [20], [23], [86]). Наиболее часто встречаются методы конечно-разностной аппроксимации уравнения (методы сеток, прямых); метод моментов, методы, исполь-
зующие принцип Беллмана, градиентные методы, методы финитного управления. До сих пор продолжается разработка методов, учитывающих специфические особенности того или иного класса экстремальных задач, за счет чего облегчается их численная реализация. Большую сложность при этом представляет проблема обоснования их сходимости.
При построении численных методов решения оптимизационных задач, для которых решения соответствующих начально-краевых задач могут быть получены в виде ряда Фурье, применялись методы, основой которых являлась конечномерная аппроксимация управляемой системы [18], [19], [41], [44]. В частности, к ним относится широко известный метод моментов (А.Г.Бутковский, Ф.П.Васильев, А.З.Ишмухаметов, М.М.Потапов и др. [18], [26], [48], [49]).
В 60-70 годы двадцатого века получила свое развитие Нижегородская школа оптимального управления (В.И.Плотншгов [102]-[И4], С.Н.Слугин [126]-[129], [151], [152], и др.). В.И.Плотниковым был предложен общий подход к получению необходимых и достаточных условий оптимальности для сосредоточенных и распределенных систем в форме принципа минимума. Он заключается в применении абстрактной схемы метода вариаций и является мощным средством отыскания необходимых условий оптимальности в широком классе экстремальных задач [52]. Метод приближенного построения оптимального управления, предложенный В.И.Плотниковым, состоит в том, что редуцированная конечномерная система, полученная после усечения бесконечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье, решается на основе принципа максимума Понтрягина [104]. Этот метод получил свое развитие в [41], где он применялся для решения ряда оптимизационных задач.
Методика В.И.Плотникова была впоследствии развита его учениками [50]. В частности, М.М.Новоженовым были получены необходимые условия оптимальности для параболической системы с фазовыми ограничениями [98], И.М.Старобинцем — необходимые условия оптимальности для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с фазовыми и функциональными ограничениями типа неравенства и равенства [51], [ПО], а О.А.Кузенковым — для линейной векторной сильно параболической системы с функциональными ограничениями типа неравенства [56]. В.И.Плотниковым совместно с В.И.Казимировым и И.М.Старобинцем была развита
абстрактная схема метода вариаций [52]. В.И.Суминым [131]—[134] были получены необходимые условия оптимальности для широкого класса разнообразных начально-краевых задач (в том числе и для некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений), которые могут быть приведены к функциональным вольтерровым уравнениям.
В настоящей диссертации с помощью методики О.А.Кузенкова обоснована разрешимость широкого класса векторных эволюционных интегро-дифференциальных уравнений с сильно эллиптическим оператором, где нелинейная часть, присутствующая в уравнении, имеет вид произведения решения системы и нелинейного однородного интегрального оператора. С помощью методики В.И.Плотникова получены необходимые условия оптимальности для таких уравнений при наличии фазовых и функциональных ограничений. Для частной задачи предложен метод поиска оптимального управления на случай нелинейного уравнения, который является обобщением метода моментов.
Цель работы состоит в доказательстве теоремы существования и единственности обобщенного решения для эволюционных векторных интегро-дифференциальных уравнений с сильно эллиптическим оператором с начальным и краевыми условиями; в обосновании связи между поставленной задачей и вспомогательной начально-краевой задачей для линейного сильно параболического уравнения; в получении необходимых условий оптимальности управления для систем, описываемых этими уравнениями, в виде принципа минимума; в построении метода приближенного поиска оптимального управления для частной оптимизационной задачи.
Методы исследования, В диссертации использованы методы функционального анализа и теории функции действительного переменного, функционально-дифференциальных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории оптимального управления.
Научная новизна. В работе
~ доказана теорема сз'шествования и единственности обобщенного решения для эволюционных векторных интегро-дифференциальных уравнений с сильно эллиптическим оператором;
- установлена зависимость между решениями поставленной задачи и вспомогательной начально-краевой задачи для линейного сильно параболического уравнения;
дано представление решения поставленной задачи через ряд Фурье с помощью вспомогательной функции времени - решения скалярного интегрального уравнения;
установлены свойства приращения вспомогательной функции;
получены необходимые условия оптимальности управления в виде принципа минимума;
рассмотрены математические модели, описываемые исследуемыми уравнениями;
предложен метод приближенного поиска оптимального управления для частной оптимизационной задачи и обоснована его сходимость метода.
Степень обоснования результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Проведенное исследование эволюционных векторных интегро-дифференциальных уравнений с сильно эллиптическим оператором позволяет сводить решение поставленной задачи к исследованию известных задач. Это дает возможность построения и эффективного исследования математических моделей, которые описываются распределенными системами типа "реакции-диффузии" с наличием интегрального члена, в частности, моделей поиуляционной биологии; создает возможности для изучения широкого класса задач оптимального управления с функциональными и фазовыми ограничениями.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на I Международной конференции "Control of Oscillations and Chaos" (St-Petersburg, 1997); на V Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1998); на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - VIII" (Воронеж, 1997), "Понтрягинские чтения - IX". (Воронеж, 1998 г), "Понтрягинские чтения - X" (Воронеж, 1999); на III Международной конференции из серии "Нелинейный мир". "Экология. Экологическое образование. Нелинейное мышление" (Воронеж, 1997); на Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященная памяти А.Ф.Леонтьева (Н.Новгород, 1997); на IV Крымской Международной математической школе "Метод функции Ляпунова и его приложения" (Крым, Алушта, 1998); на X Крымской Международной математической школе-симпозиуме "Спектральные и эволюционные
задачи" (Крым, 1999); на Международной конференции "Dmamical systems modelling and stability investigation" (Киев, 1999); на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 1997); на III Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения1' (Саранск, 1998); на IV Российской и V Международной конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 1996, 1999); на XII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Нижний Новгород, 1999); на школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (Казань, 1997); на Международном семинаре, посвященном 10-летию Самарского муниципального университета Наяновой (Самара, 1998).
По теме диссертации были также сделаны доклады на Всероссийском семинаре "Динамические системы: качественный анализ и управление" в МГУ (рук. акад. С,В.Емельянов и акад. С.К.Коровин), семинаре каф.ЧиФА факультета ВМК ННГУ (рук. проф. С.Н.Слугин), семинаре кафедры высшей математики НГАСУ (рук. проф. В.А.Брусин), семинаре каф. математической физики механико-математического факультета ННГУ (рук. доц. В.И.Сумин и доц. М.И.Сумин); конференции, посвященной 35-летию факультета ВМК ННГУ им. Н.И.Лобачевского; IV Нижегородской сессии молодых ученых.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 статей в научных журналах и сборниках, и 14 работ в материалах конференций и семинарах (в скобках указаны номера по списку литературы).
[62] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Исследование предельных свойств управления с обратной связью для параболических систем с фазовыми ограничениями. // IV Российская конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Н.Новгород, 1996г. С.88-89.
[63] Кузенков О.А., Эгамов А.И, Теорема существования обобщенного решения одного класса функционально-дифференциальных уравнений и ее приложения. // Дифференциальные уравнения. Т.33. N 8. 1997. С. 1143-1144.
[64] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Оптимальное управление для одного класса интегро-дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1997. Т.1. N 2. С.140-145.
[65] Кузенков О,А., Эгамов А.И. Оптимальное управление для интегро-диффе-
ренциального уравнения с эллиптическим оператором. // Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление". Тезисы докладов. Самара, 1997 г. С.88-89.
[66] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Оптимальное управление для процесса, описанного нелинейным интегро-дифференциальным уравнением с эллиптическим оператором. // Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения - VIII". Тезисы докладов. Воронеж, 1997 г. С.84.
[67] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Теорема существования обобщенного решения одного класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений и ее приложения. // "Алгебра и анализ". Тезисы докладов школы-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева. Казань, 1997. С. 129-130.
[68] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Обобщенная модель Вольтерра для системы с одним хищником и несколькими жертвами. // III Международная конференция из серии "Нелинейный мир". "Экология. Экологическое образование. Нелинейное мышление". Тезисы докладов. Воронеж, 1997г. С.86.
[69] Кузенков О. А., Эгамов А.И. Теорема существования и единственности обобщенного решения для системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. // Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева, Тезисы докладов. Н.Новгород, 1997 г. С.35-36.
[70] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Принцип минимума для задачи оптимального управления сильно параболической системой с фазовыми ограничениями. // Вестник ННГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление". N 1(18). Н.Новгород, 1998. С. 140-156.
[71] Кузенков О.А., Эгамов А.И. О слабом решении нелинейного дифференциального уравнения в семействе положительных мер и его приложениях. Саранск: Средневолжское математическое общество, 1998. Препринт N5.
[72] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Необходимые условия оптимальности граничного управления сильно параболической системой с фазовыми ограничениями. // V Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. Москва, 1998. С. 76.
[73] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Оптимальное граничное управление параболической системой с фазовыми включениями. // Воронежская математическая школа
"Понтрягинские чтения - IX". Тезисы докладов. Воронеж, 1998 г. С.115.
[74] Кузенков О. А., Эгамов А.И. Принцип минимума для задачи оптимального граничного сосредоточенного управления линейной распределенной системой с фазовыми включениями. // Труды III Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1998. С. 146.
[75] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Слабое решение некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений в семействе положительных мер. // Международный семинар, посвященный 10-летию Самарского муниципального университета Наяновой. Тезисы докладов. Самара, 1998. С.79-80.
[76] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Об обобщеном решении начально-краевой задачи для квазилинейной неоднородной сильно параболической системы // Вестник ННГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление", N 2(21). Н.Новгород, 1999. С.170-176.
[77] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Оптимизационная задача для векторного интегро-дифференциального уравнения с обобщенным критерием терминального типа // International Conference "Dinamical systems modelling and stability investigation". Kyiv, 1999. P.30.
[78] Кузенков О.А., Эгамов А.И. Оптимальное граничное и внутреннее управление с обратной связью для интегро-дифференциального уравнения // Тезисы докладов XII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики". Москва, 1999. Часть I. С.125.
[79] Кузенков О.А,, Эгамов А.И. Оптимальное граничное управление векторным интегро-дифференциальным уравнением с ограничением типа неравенств и равенств // Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения - X". Тезисы докладов. Воронеж, 1999 г. С.118.
[140] Эгамов А.И. Исследование начально-краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения с эллиптическим оператором и неоднородными граничными условиями // Вестник ННГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление". N 1(20). Н.Новгород, 1999. С.265.
[141] Эгамов А.И. Принцип минимума для некоторого класса квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с частными производными // IV Нижегородская сессия молодых ученых. Математические и гуманитарные науки. Тези-
сы докладов. Часть I. Саров, 1999 - Нижний Новгород, 2000. С.59-60.
21. [149] Agamov АЛ., Kouzenkov О.A. On Solution of Initial Boundary-value
Problem for Integro-Differential PDS with Nonhomogeneous Boundary Conditions // The
Tenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-X). Proceedings.
Simferopol, 2000. P.126-127.
22. [169] Kouzenkov O.A., Agamov A.I. The Optimal Control for Nonlinear Distributed
System Described by Integra-Differential Equation // The First International Conference
"Control of Oscillations and Chaos". Proceedings. Volume 1 of 3. St-Petersburg, 1997.
P.177-178.
В работах, выполненных совместно с научным руководителем О.А.Кузенковым, формулировки утверждений и их обоснование даны диссертантом. О.А.Кузенковым была предложена цель исследования и выбран метод исследования.
Вспомогательная начально-краевая задача для линейного векторного сильно параболического уравнения
Первая глава посвящена построению обобщенного решения начально-краевой задачи для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения с сильно эллиптическим оператором и исследованию свойств его решения. В п.1.1 ставится начально-краевая задача для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения: с сильно эллиптическим оператором L, на который накладываются условие коэр-цитивности. Краевые условия представляют собой равенства относительно линейных комбинаций граничных дифференциальных операторов, образующих систему Дирихле, и дифференциальных операторов, формально сопряженных к ним относительно формулы Грина.
Интегральный оператор f[u] = fF(U){Dau(x t)}\c \ miX,t)dQ является ОДНОРОДЕН ным порядка к. В п.1.2, приведены различные примеры оператора f[u]. В пп. 1,3-1.4 устанавливается зависимость между поставленной задачей и вспомогательной начально-кра,евой задачей для линейного сильно параболического уравнения. где p(t) - непрерывная функция на отрезке [0, Т]. В п.1.4 доказываются Теоремы 1, 2 о связи между решениями поставленной задачи и вспомогательной начально-краевой задачи для линейного сильно параболического уравнения. Показано, что если существует скалярная непрерывная положительная функция р, удовлетворяющая некоторому интегральному уравнению, то справедливо соотношение и z[p]/p В п.п.1.5-1.6 рассматриваются задачи, в которых оператор L - равномерно эллиптический оператор, причем в п. 1.6 показано, что для решения задачи специального вида справедливо равенство /udu = 1 для любого t Є [О, Т]. В п.1.7 приведен пример задачи типа (1), для решения которой наблюдается взрывная неустойчивость. В п.1.8 рассмотрен линейный оператор f[u] вида /[u] = /l(x)AudE, где 1(х) Є Е - измеримое подмножество области ГЇ. Отыскание функции р сводится к решению интегро-дифференциального уравнения; если найденная функция р является положительной, то решение задачи (1) существует и единственно. В п.1.9 рассмотрен пример задачи с оператором f[u] для любого фиксированного к 0 и неоднородных уравнения и граничных условий при наложении некоторых дополнительных ограничений. Задача нахождения функции р сводится к решению известной задачи — решению задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Во второй главе с помощью общей методики В.И.Плотникова выводятся необходимые условия оптимальности управления системой, описываемой эволюционными векторными интегро-дифференциальными уравнениями с сильно эллиптическим оператором. В п.2.1 ставится следующая задача оптимального управления: рассматривается управляемый процесс, описываемый уравнением управлением является набор {h(t) A(x)) Є J7, где U - множество допустимых управлений; управление происходит как внутри области, так и на границе. h{t) = (ho(t), ...rhm(t)), hm - внутреннее сосредоточенное управление, /i0,..., fcm-i граничное сосредоточенное управление, Заданы функционалы смешанного типа, зависящие от состояния системы, пространственных и временных переменных, и функции, зависящие от состояния системы и временных переменных. Ставится оптимизационная задача: найти управление {/г , А ) Є U, минимизирующее функционал J0[Л, Л] — inf при дополнительных фазовых и функциональных ограничениях типа неравенства и равенства. В п.2.2 формулируется Теорема о необходимых условиях оптимальности в поставленной задаче. При учете ограничений применяется обобщенный метод множителей Лагранжа, полученные необходимые условия записываются в виде принципа минимума,, где наряду с конечным набором множителей Лагранжа, участвуют неопределенные регулярные меры Бореля. Кроме этого выведены условия дополняющей нежесткости, условия Эйлера и условия, подобные условиям трансверсальности. Доказательство этой теоремы приведено в пп.2.3-2.8. Приращения первых вариаций функционалов находятся посредством введения многоточечной импульсной варианты, В п.2.4 изучаются свойства функции Ар - приращения функции р, - при этом существенную роль играют результаты, полученные в Главе 1. Особую трудность представляет собой то, что и - решение задачи (3), (2) - имеет сложную зависимость от набора управления (h, А). В п.2.5 вычисляются первые вариация функционалов, в п.2.6 - первые вариации функций. В п.2.7 доказывается, что конус первых вариаций не пересекается с "отрицательным октантом" по внутренним точкам, при этом используется метод предложенный В.И.Плотниковым и И.М.Старобинцем. Наличие свойства непересекаемости выпуклых конусов позволяет применить обобщенную теорему об их отделимости. Вывод принципа минимума осуществлен в п.2.8. В третьей главе приведены математические модели биофизики, описываемые рассматриваемыми интегро-дифференциальными уравнениями, а именно, в п.3.1 рассмотрена обобщенная модель Вольтерра системы "хищник - N конкурирующих жертв", исследована динамика изменения удельных весов жертв, приведен критерий выживаемости вида жертв при t — сю. В п.3.2 приведены - модель биологического процесса, протекающего в биоценозе, характеризующая временные и пространственные изменения биомассы, управление в этой модели трактуется как оптимальный сбор урожая; - модель, описывающая динамику популяции диких животных (или промысловых рыб), подверженной сезонному промыслу; - модель, описывающая динамику популяции диких животных (или промысловых рыб), подверженной сезонному промыслу, коэффицинт размножения которых зависит от численности популяции.
В п.3.3 показан метод решения оптимизационной задачи для уравнений типа "реакции-диффузии" специального вида. Он является обобщением известного метода моментов на нелинейный случай [26]. Для нелинейных уравнений теплопроводности известно свойство локализации, когда внутренняя энергия тела сосредотачивается на некотором его участке, а остальная часть остается холодной. Задача третьей главы, по существу, есть задача оптимального приближения к локализованному решению для интегро-дифференциального уравнения типа "реакция-диффузия". Метод состоит в приближенном нахождении решения с помощью последовательности решений конечномерных редуцированных задач, которые получаются путем усечения бесконечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье вспомогательной линейной сильно параболической системы. Доказывается, что любая слабо сходящаяся последовательность оптимального управления в редуцированных задачах позволяет получить слабо сходящуюся последовательность решений редуцированных задач, которая сходится к оптимальному решению начально-краевой задачи, а значение критерия качества редуцированной задачи при этом стремится к значению критерия качества поставленной задачи оптимального управления.
Выполнение фазового ограничения для однородной второй краевой задачи специального вида
Функции af и «2 ПРИ фиксированных и SA вследствие Леммы 1, условия, наложенного на функцию F(z), и принадлежности функций г () и ZS$A пространству V2jv (Ф) являются непрерывными.
Из равенства (2.4.6), выражений (2.4.9) и (2.4.10) вытекает утверждение леммы. Замечание. Из работы [5], в которой рассмотрены задачи вида (2.4-2), с учетом нулевого начального условия, следует, что решение задачи (2.4-2) существует, единственно и представляется в виде Q - линейный оператор: Q = I—К, где I - тождественный оператор, а вольтеррое компактный оператор К имеет вид обратный оператор Q l является ограниченным линейным. Также справедливо равенство: Так как последовательность й(,є) сходится к оптимальному управлению h сильно в пространстве 2,1(0, Г), из энергетического неравенства (1.3.7) следует, что ZW __ о сильно в F2y (Q). Заметим, что Z SA = ZZSA, {Z SA решение интегрального тождества (2.2.14) с начальным условием zSA(z,0) = 0). Поэтому of (0 —0, al(SA) — 0 сильно в пространстве Х-2,і(0,Г). Из [5] и выражения (2.4.11) следует, что Ар — 0 сильно в L2,i(0,T). Поэтому из энергетического неравенства (1.3.7) z \p ] — z\fi } сильно в V fr [Q)\ а, учитывая выражения (2.4.1), и(е) — и в V JV (Q) Отсюда также следует, что из непрерывности оператора f[u] и равенств (1.4.2), (1.4.3): it і 2.5. Вычисление первых вариаций функционалов Вычислим первый предел в выражении (2.3.11): / Последовательность h(,e) сходится к оптимальному управлению h сильно в пространстве /г2,і(0, Г), из результатов п.2.4 последовательность и(є) сходится к функции и сильно в Vx (Q) при є — 0, поэтому щ(е) —» и сильно в У2 , (Q), иг{є) -+ и сильно в L2tjv(fl), в силу предположения о непрерывности оператора f[u]: ![и{є)\ -» /[« ] сильно в (0, Т), Функции дГп/дщ dFn/d{Drju), dFi2/du, I = 0 F, j/3] m суммируемы с квадратом на множествах Q, П, и из теоремы о непрерывности оператора суперпозиции [55] следует, что при є —» 0 .лКФ); cm ои сильно в L2,N( )- ИЗ энергетического неравенства для сопряженной функции следует, что феі — сильно в V2 v (Q) при — 0. Для любой функции w Є JC2,JV(S) при є -- 0 справедлива следующая оценка [125]: j(H{$el - Щфі)ь & Сі\\фві - iMm, (2.5.1) E где Сі - некоторая положительная константа. Вследствие энергетического неравенства п.1.3 норма \\фе\ — V iSilm 0 равномерно для любого t Є [0, Т — (\ (0 ( Г), поэтому из (2.5.1) следует, что lime : / ( / $eiAhmdm dl + I Y, HiфelAhidi e!S) (ft = = lim_1( І ( fij iAkmdmdil+ і J2 H iAhididi:)dt+ Ags(s) О S = (у (&, - 4 i)&hmdm m + JJ2 Ні{ф,і - Фд&Іг і dZ) dt) = rn— 1 = М(А9ИВ - СЮ) / M Mm rffi+ (ft,.; - ft (r9)) / HMrq)di cffi). (2.5.2) Так как rg точки Лебега функций /і , Fn, то lime-1 j j AFn dttdt = bq,{J Fn{u {rq), hqs) - J Fn{u (r(J), Ь (т,)) dO). (2.5.3) Вычислим второй предел в выражении (2.3.11): т lime 1 /(/[и ] - /[«(г)]) f$eiu dldt. (2.5.4) о о Заметим, что то —1 При —» О (так как рг — - р сильно в Х2,Ї(0, Т)) первое слагаемое стремится к нулю. Рассмотрим второе слагаемое. Вследствие непрерывности функции р оо Г то —1 nm 2E ( P (dmi&hm+ Е diiAhj)exp(-\i(t - r))dr) = -Е ЕЕР Л М - ft (Tg))exp(-Ai(« - rg)) L+ m —1 Из результатов п.2.4 и теоремы о непрерывности оператора суперпозиции [55] F z(z + в3Аг) — F z{z ) сильно в L2 (Q), если функция F(u) является однородной степени к, то функция Fl(u) является однородной степени к — 1; следовательно є 1аі(і ) йі( іО 2( 4,0 йг( -4,i), oE(i,r) —» а( ,т) сильно в соответствующих пространствах.
Необходимые условия оптимальности, представленные в виде принципа минимума
Тем самым мы получаем значения удельных весов жертв при t — оо. Отсюда видно, что жертвы с номерами от s + 1 до 7V вымирают.
Аналогично рассматривается обобщенная модель Вольтерра системы " жертва -N конкурирующих хищников": где П - общий ареал обитания - двумерная область, х = {хі,х%) Є ї, г = (п(х, і), ...,fjv(x, і)) - iV-мерный вектор плотности распределения хищников; здесь д = #{) - численность популяции хищника, а - постоянная, а5 - коэффициент поглощения жертв хищником, а6 - коэффициент смертности жертв, а7 коэффициент размножения жертв, а8 - число жертв в начальный момент времени (а5, а6, а?, а8 0), А(х) - диагональная матрица, с компонентами ац(х) на главной диагонали (ац(х) 0 - коэффициент смертности г-го вида). На функции аи(х) r(x, t), ipo(x) наложены условия Теоремы 1; каждая компонента вектор-функции р(х) неотрицательна.
Модель 1. Центральным звеном в структуре развития практически любого биоценоза являются сообщества растений. Построим модель биологического процесса, протекающего в биоценозе, характеризующую временные и пространственные изменения биомассы. Пусть растения произрастают в некоторой области П С R2 с плотностью распределения и(х, t), где г-ая компонента вектор-функции и - плотность г-го вида биомассы. По аналогии с логистической моделью Ферхюльста для локальной популяции [121], [122] и пространственной моделью, описанной в [135], рассмотрим задачу: где a - постоянная диффузионного процесса (т.к. растение может произрастать в соседние близкие точки, например, вегетативным путем); А\ = А\{х) - диагональная матрица, компоненты которой - положительные измеримые ограниченные функции - коэффициенты роста биомассы, fe1A2udl - коэффициент деградации биомассы (естественно считать, что свободному развитию растений мешает ограниченность ресурсов, например, жизненного пространства, минеральных ресурсов или солнечного света), Л 2 = (х) - матрица, компоненты которой - положительные измеримые ограниченные функции; єі - вектор, состоящий из единиц; неотрицательная функция w(x,t) Є L2,M(Q) характеризует сбор урожая, которой можно управлять; ір Є і .лК ) - начальное распределение биомассы; каждая компонента вектор-функции -р(х) неотрицательна. Метод решения подобной задачи представлен в п.1.8, Нетрудно видеть, что функция VQ = (7V3mesfi) 2ei является собственной функцией оператора Лапласа с нулевыми граничными условиями, собственное число А0 = 0. Предположим, что сбор урожая однороден по всему Из выражения (3.2.2) следует, что выполнены условия (1.9.2) (см. Замечания л.1.9); учитывая это и выражение (1.8.3), уравнение (1.8.4) (для нахождения функции (p(0) = 1), здесь c0 = j t\ А2ЩdE. Если при любом t Є [0,71] функция h неотрицательна, Co 0, j eiA2Z{\)d$l 0, то из уравнения (3.2.7) следует, что функция p(t) 0 при любом t Є [0, Т]. Модель 2. Рассмотрим динамику популяции диких животных (или промысловых рыб), подверженной сезонному промыслу. Как было указано в [137] для многих интенсивно эксплуатируемых популяций процесс антропогенного изъятия стал обычным атрибутом биологического цикла. Во многих случаях промысловику оказывается выгодным концентрировать свои усилия на добыче в периоды большой плотности и практически отказаться от нее, когда плотность животных мала. Поэтому предполагается, что число охотников, пропорционально общей численности данной популяции; промысловая смертность в свою очередь пропорциональна общему числу охотников. Отсюда следует, что динамика популяции диких животных (или промысловых рыб), подверженной сезонному промыслу описывается задачей: Здесь П С R2, u(x,t) - плотность распределения жертв, a - коэффициент перемещения животных; ад 0 - коэффициент пропорциональности промысловой смертности животных; Аз = Аз(х) - положительная измеримая ограниченная функция - коэффициент размножения, функция w0(x, t) Є L2 (S) характеризует плотность проникновения жертв в ареал обитания; неотрицательная функция ір Є 2,1( ) начальное распределение жертв. Нетрудно видеть, что задача (3.2.8) является частным случаем задачи (1.1.1)-(1,1,3) с оператором (1.8.2). Метод решения таких задач был представлен в пункте 1.8. Предположим, что Wo = 0, Аз(х) = cA3, где С4з - некоторая константа, тогда согласно Теореме 2 ее решение представляется в виде и = zfp, где z - решение Модель 3, Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, однако, в этой задаче будем предполагать, что коэффициент размножения в данной точке зависит от всей популяции и имеет вид / KudCl, член в уравнении, отвечающий за промысловую смертность животных, имеет вид ufniudQ) где к = к(х) Є і/2,х( ) к1 = Kl(#) n 2,1 (П) некоторые функции, оказывающие влияние на популяцию: проникновения в ареал обитания или выхода из него нет. Начально-краевая задача представляется в виде Здесь Я С Л2, if(x,i) - плотность распределения жертв; а - коэффициент перемещения Оптимальное управление для интегро-дифференциального уравнения специального вида Применение принципа минимума во многих случаях сопряжено со многими трудностями, особенно при наличии фазовых ограничений. Ниже предлагается другой метод решения задач оптимального управления для системы, описываемой интегро-дифференциальным уравнением специального вида.
Оптимальное управление для интегро-дифференциального уравнения специального вида
Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей, однако, в этой задаче будем предполагать, что коэффициент размножения в данной точке зависит от всей популяции и имеет вид / KudCl, член в уравнении, отвечающий за промысловую смертность животных, имеет вид ufniudQ) где к = к(х) Є і/2,х( ) к1 = Kl(#) n 2,1 (П) некоторые функции, оказывающие влияние на популяцию: проникновения в ареал обитания или выхода из него нет. Начально-краевая задача представляется в виде Здесь Я С Л2, if(x,i) - плотность распределения жертв; а - коэффициент перемещения животных; положительная функция р ір(х) Є І2,х(Гї).
Применение принципа минимума во многих случаях сопряжено со многими трудностями, особенно при наличии фазовых ограничений. Ниже предлагается другой метод решения задач оптимального управления для системы, описываемой интегро-дифференциальным уравнением специального вида.
На множестве Q рассмотрим управляемый процесс, описываемый задачей (3.2.11) (Модель 3 п.3.2). Без ограничения общности можно принять, что mesSl = 1, а функция 1-р удовлетворяет условию за фиксированное время Т, где Е С П - некоторое измеримое множество ненулевой меры (то есть, учитывая тождество (3.3.5), ставится оптимизационная задача локализации жертв на заданном множестве).
Из выражения (3.3.3) следует, что функционал (3.3.7) эквивалентен функционалу Будем искать решение задачи (3.3.4) в виде ряда Фурье по системе v\ собственных функций оператора Лапласа. Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция VQ(X) = 1 является собственной функцией оператора Лапласа, соответствующее собственное число равно 0. Из этого следует, что коэффициенты Фурье (j(t) функции z удовлетворяют бесконечной системе дифференциальных уравнений с начальными условиями где re,-, if І - коэффициенты Фурье функций /с, р соответственно, А; - система собственных чисел оператора Лапласа, А, — со при і — со. Условие (3.3.6) перепишется в виде со Обозначим fo(t) = ір0ехр(кйі), При данных обозначениях, решая задачу (3.3.10), (3.3.11), получим Отсюда следует, что функции d{t), і = 1,оо не зависят от функции п(х). Пусть 4 (x,t) = Lpiexp( — \it)vi(x)i тогда справедливо тождество z(x,t) — о(0 = Ф(х,і) при любом t 0. Таким образом функционал (3.3.8) может быть переписан в виде Лю = (/ ЦТ) + ф(х, Т) dx)-2 Таким образом, задача минимизации функционала J сводится к задаче минимизации функционала J0o = 00((0( )) Для приближенного построения решения задачи минимизации функционала (3.3.13) рассмотрим последовательность вспомогательных аппроксимирующих конечномерных задач: минимизировать функционал: /оом((мо(Г)), где при выполнении ограничений Пусть Вт - множество в пространстве /3 суммируемых с квадратом последовательностей, определяемое условием (3.3.15); им = (кмо, —,#мм 0»0-") последовательность, первые М + 1 компонент которой представляют вектор оптимального управления в JVf-ой аппроксимирующей задаче, а остальные компоненты - нули. В силу условий (3.3.15), им Вт. Так как Вт - ограниченное множество, то последовательность і/і, ...,1/м, слабо компактна в пространстве из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность г/щ — о = («ОЬ-Ч ОЙ ) Обозначим j =.МЯ. Из явного выражения функций fi(t) следует, что jo(T) —» (о(Т). Поэтому при достаточно больших j J0o[ o] — -ЛгаЛ ЗІ с3іє, где с3і - некоторая положительная константа. JQQMI M] Jool o] ПРИ M — со. Аналогично JooM ЛюмМ! для любой и Є Bm, любом є 0 и достаточно большом М. Следовательно JMI M] 5- JM[V\- JM[VM\ - минимизирующая последовательность. Таким образом любая слабо сходящаяся последовательность управлений, выделенная из последовательности оптимальных управлений вспомогательных аппроксимирующих задач, позволяет получить слабо сходящуюся последовательность решений редуцированных задач, которая сходится к оптимальному решению начально-краевой задачи, а значение критерия качества редуцированной задачи при этом стремится к значению критерию качества поставленной задачи оптимального управления. Эти результаты позволяют решить поставленную оптимизационную задачу численно,
