Содержание к диссертации
Введение
1.1 Обзор результатов по управляемости и оптимальному управлению на группах Ли и однородных пространствах 3
1.2 Краткое содержание диссертации 7
2 Управляемость инвариантных систем 17
2.1 Инвариантные системы на группах Ли 18
2.1.1 Общие свойства правоинвариантных систем 18
2.1.2 Системы на однородных пространствах 21
2.1.3 Насыщение Ли 24
2.1.4 Условия управляемости для специальных классов систем и групп Ли 25
2.2 Гиперповерхностные системы 26
2.2.1 Определения и формулировка критерия управляемости 26
2.2.2 Предварительные леммы 27
2.2.3 Доказательство критерия управляемости 30
2.2.4 Необходимые условия управляемости для односвязных групп Ли . 30
2.3 Вполне разрешимые группы Ли 32
2.3.1 Определения и формулировка критерия управляемости 32
2.3.2 Подалгебры коразмерности один 32
2.3.3 Фактор-системы 33
2.4 Разрешимые группы Ли и их обобщения 34
2.4.1 Обозначения и определения 35
2.4.2 Необходимые условия управляемости 38
2.4.3 Достаточные условия управляемости 45
2.5 Метабелевы группы Ли 54
2.5.1 Условия управляемости на метабелевых группах Ли 54
2.5.2 Полупрямые произведения 55
2.5.3 Аффинные системы 56
2.5.4 Группа движений плоскости 56
2.6 Классификация управляемых систем на разрешимых группах Ли малой размерности 57
2.6.1 Одномерная алгебра Ли 59
2.6.2 Двумерные алгебры Ли 60
2.6.3 Трехмерные алгебры Ли 60
2.6.4 Четырехмерные алгебры Ли 63
2.6.5 Пятимерные алгебры Ли 66
2.6.6 Шестимерные алгебры Ли 70
2.6.7 Разрешимые алгебры Ли малой размерности 87
2.6.8 Управляемость отрезков 88
2.6.9 Приложение: вспомогательные предложения 90
3. Управляемость билинейных систем в ортантах 93
3.1 Введение 93
3.2 Инвариантные ортанты билинейных систем 94
3.2.1 Знакосимметрические матрицы и их графы 96
3.2.2 Инвариантные ортанты линейного поля 98
3.2.3 Инвариантные ортанты билинейных систем 101
3.3 Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в поло жительном ортанте 103
3.3.1 Предварительные леммы 103
3.3.2 Условия управляемости 105
3.4 Управляемость билинейных систем малой коразмерности в положительном ортанте 106
3.4.1 Условия перемены знака 107
3.4.2 Системы коразмерности один 111
3.4.3 Управляемость по направлениям 113
3.4.4 Системы коразмерности два 113
3.4.5 Системы произвольной коразмерности 115
4 Симметрии систем на группах Ли 117
4.1 Плоские субримановы структуры 118
4.2 Симметрии субримановых структур 120
4.3 Случай Гейзенберга 122
4.3.1 Плоское распределение и плоская субриманова структура 122
4.3.2 Симметрии распределения 124
4.3.3 Симметрии субримановой структуры 125
4.4 Случай Энгеля 128
4.4.1 Алгебра Энгеля и группа Энгеля - 128
4.4.2 Плоское распределение и плоская субриманова структура 128
4.4.3 Модель в!4 129
4.5 Случай Картана 134
4.5.1 Алгебра Ли и группа Ли 134
4.5.2 Плоское распределение и субриманова структура 134
4.5.3 Модель в Е5 135
4.6 Общая картина 147
5 Инвариантные задачи оптимального управления на группах Ли 151
5.1 Задача Эйлера об эластиках 151
5.1.1 История задачи Эйлера 151
5.1.2 Постановка задачи 153
5.1.3 Множество достижимости 153
5.1.4 Существование и регулярность оптимальных решений 154
5.1.5 Экстремали 154
5.1.6 Эллиптические координаты 156
5.1.7 Интегрирование нормальной гамильтоновой системы 157
5.1.8 Дискретные симметрии в задаче Эйлера 160
5.1.9 Страты Максвелла 164
5.1.10 Полное описание стратов Максвелла 172
5.1.11 Верхняя оценка времени разреза 176
5.1.12 Сопряженные точки на инфлексионных эластиках 178
5.1.13 Сопряженные точки на неинфлексионных эластиках 186
5.1.14 Заключительные замечания 189
5.2 Обобщенная задача Дидоны 190
5.2.1 Постановка задачи 190
5.2.2 Существование оптимальных решений 193
5.2.3 Экстремали 194
5.2.4 Непрерывные симметрии 197
5.2.5 Интегрирование гамильтоновой системы 200
5.2.6 Отражения 205
5.2.7 Группа симметрии экспоненциального отображения 208
5.2.8 Действие отражений в прообразе экспоненциального отображения 210
5.2.9 Действие отражений в образе экспоненциального отображения . 211
5.2.10 Множество Максвелла 213
5.2.11 Кратные точки экспоненциального отображения 215
5.2.12 Неподвижные точки симметрии в прообразе экспоненциального отображения 217
5.2.13 Общее описание стратов Максвелла МАХ; 220
5.2.14 Страты Максвелла в области і\Гг 224
5.2.15 Страты Максвелла в области N2 231
5.2.16 Страты Максвелла в N3 235
5.2.17 Сопряженные точки 235
5.2.18 Время разреза 240
Библиография
- Общие свойства правоинвариантных систем
- Подалгебры коразмерности один
- Классификация управляемых систем на разрешимых группах Ли малой размерности
- Инвариантные ортанты билинейных систем
Введение к работе
Математическая теория управления — один из важных и востребованных разделов прикладной математики. Дифференциально-геометрическое направление в теории управления активно развивается в нашей стране и за рубежом, см. сборник под редакцией Р. Брокетта, Р. Миллмана и X. Суссманна [76], книги А. Изидори [100], X. Ниймей-ера и А. ВандерШафта [133], Э. Зонтага [151], М.И.Зеликина и В.Ф.Борисова [158], А.А. Давыдова [83], В. Джарджевича [105], Ж.-П.Готье и И.Купки [88], А. Блока [64], М.И.Зеликина [14], А.А.Аграчева и автора [3].
Данная диссертация посвящена центральным вопросам геометрической теории управления: управляемости, симметриям и оптимальному управлению. Хорошо известно, что наличие нетривиальной группы симметрии часто дает ключ к исследованию управляемой системы. В этой работе рассматриваются системы, заведомо имеющие большую группу симметрии; для таких систем изучаются задачи глобальной управляемости, нахождения полной алгебры инфинитезимальных симметрии, а также оптимального управления.
Более конкретно, диссертация посвящена исследованию инвариантных систем на группах Ли. Это — управляемые системы, динамика которых описывается обыкновенным дифференциальным уравнением на группе Ли, причем эта динамика инвариантна относительно всех правых (или левых) сдвигов на группе Ли. С теоретической точки зрения, это — естественный и важный класс систем, для которого возможна содержательная теория (именно такие системы возникают, например, при локальной нильпотентной аппроксимации гладких систем). С другой стороны, такие системы мо-
Общие свойства правоинвариантных систем
Математическая теория управления — один из важных и востребованных разделов прикладной математики. Дифференциально-геометрическое направление в теории управления активно развивается в нашей стране и за рубежом, см. сборник под редакцией Р. Брокетта, Р. Миллмана и X. Суссманна [76], книги А. Изидори [100], X. Ниймей-ера и А. ВандерШафта [133], Э. Зонтага [151], М.И.Зеликина и В.Ф.Борисова [158], А.А. Давыдова [83], В. Джарджевича [105], Ж.-П.Готье и И.Купки [88], А. Блока [64], М.И.Зеликина [14], А.А.Аграчева и автора [3].
Данная диссертация посвящена центральным вопросам геометрической теории управления: управляемости, симметриям и оптимальному управлению. Хорошо известно, что наличие нетривиальной группы симметрии часто дает ключ к исследованию управляемой системы. В этой работе рассматриваются системы, заведомо имеющие большую группу симметрии; для таких систем изучаются задачи глобальной управляемости, нахождения полной алгебры инфинитезимальных симметрии, а также оптимального управления.
Более конкретно, диссертация посвящена исследованию инвариантных систем на группах Ли. Это — управляемые системы, динамика которых описывается обыкновенным дифференциальным уравнением на группе Ли, причем эта динамика инвариантна относительно всех правых (или левых) сдвигов на группе Ли. С теоретической точки зрения, это — естественный и важный класс систем, для которого возможна содержательная теория (именно такие системы возникают, например, при локальной нильпотентной аппроксимации гладких систем). С другой стороны, такие системы моделируют целый ряд прикладных задач (вращение и качение тел, движение роботов, квантовая механика, компьютерное видение).
Опишем основные направления работы. Первая, вводная глава посвящена истории рассматриваемых вопросов, а также краткому изложению результатов диссертации.
Вторая глава работы «Управляемость инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах» посвящена исследованию глобальной управляемости право-инвариантных систем на группах Ли, а также их проекций на однородные пространства групп Ли. Основное внимание уделено разрешимым группам Ли, некоторым их подклассам, а также обобщениям. Причина такого интереса в следующем. Благодаря разложению Леви, любая группа Ли представляется как полупрямое произведение разрешимой и полупростой групп. Для полупростых групп Ли в 80-90-е года прошлого века были разработаны эффективные методы исследования управляемости, однако для разрешимых групп Ли их не существовало. Цель второй главы диссертации — описание таких методов и демонстрация их в работе, вплоть до классификации ряда случаев малой размерности.
С самого начала развития теории инвариантных систем на группах Ли одним из важных ориентиров был интерес к индуцированным системам на однородных пространствах, в частности, к билинейным системам, часто возникающим в приложениях. Третья глава диссертации «Управляемость билинейных систем в ортантах» посвящена вопросам управляемости билинейных систем в положительном ортанте. При такой постановке задачи естественно предполагать, что положительный ортант есть инвариантное множество для билинейной системы. В этом случае как билинейная система, так и соответствующая инвариантная система на матричной группе Ли глобально неуправляемы, и для него были разработаны специальные методы исследования управляемости в ортанте. Изложению этих методов, а также их применению для различных размерностей переменных состояния и управления и посвящена третья глава.
В четвертой главе диссертации «Симметрии инвариантных систем на группах Ли» излагаются методы отыскания полной алгебры Ли инфинитезималъных симметрии для важных классов управляемых систем — распределений и субримановых структур. Эти методы применяются к инвариантным системам на нильпотентных группах Ли в интересных маломерных случаях.
Подалгебры коразмерности один
Пятая глава посвящена исследованию двух тесно связанных между собой инвариантных задач на группах Ли: задачи Эйлера об эластиках и обобщенной задачи Дидо-ны. Для исследования оптимальности экстремальных траекторий разработаны общие методы анализа групп непрерывных и дискретных симметрии инвариантных задач оптимального управления. На основе этих методов получены оценки точек разреза и сопряженных точек в задаче Эйлера и обобщенной задаче Дидоны.
Управляемые системы, пространством состояний которых являются группы Ли, изучаются в математической теории управления с начала 70-ых годов прошлого века.
Р. В. Брокетт [75] рассматривал прикладные задачи, которые приводят к управляемым системам на матричных группах и их однородных пространствах; например, в исследованиях модели преобразователя постоянного тока и вращения твердого тела вокруг неподвижной точки возникают задачи управления на группе вращений трехмерного пространства SO(3; R) и на SO(3; R) xR3 соответственно. Такие задачи естественно приводят к матричным управляемым системам вида т x{t) = Axit) + Y Ui(t)Bix{t), щ(і) Є R, (1.1) где x(t) и A, B\,..., Bm суть п х п-матрицы. Последовательное математическое исследование управляемых систем на группах Ли было начато В. Джарджевичем и Х.Дж. Суссмашюм [110]. Они отметили, что переход от матричной системы (1.1) к более общей правоинвариантной системе т x{t) = A{x(t)) + щфВАхф), x{t) Є G, Ui{t) Є R, i=l где A, Bi,..., Bm — правоинвариантные векторные поля на группе Ли G, «никоим существенным образом не влияет на природу задачи». Простейшие свойства множеств достижимости и орбит правоинвариантных систем (в частности, необходимость рангового критерия для управляемости) были установлены в той же работе [110]. Исследование управляемых систем на однородных пространствах, подчиненных действию групп (в частности, билинейных и аффинных систем) было одной из важнейших задач, вызвавших изучение правоинвариантных систем. В работах Р. В. Брокетта [75], В. Джарджевича и И. Купки [106,107] получены результаты о связи управляемости инвариантных систем на группах Ли и управляемости их проекций на однородные пространства, а также рассмотрены основные примеры, включая системы на матричных группах Ли G С GL(n) и их однородных пространствах Шп \ {0}, 5""1.
Отметим, что полный список линейных групп, действующих транзитивно на Шп \ {0}, был найден У. Бутби и ЕЛі. Вильсоном [68,69]. В этих же работах предложен алгоритм, использующий лишь рациональные операции с матрицами, для проверки того, что группа Ли, порожденная данными матрицами, принадлежит этому списку. Все группы Ли, транзитивно действующие на сферах, также перечислены, см. работы X. Самельсона [146], А. Бореля [70,71], Д. Монтгомери и X. Самельсопа [125].
В. Джарджевичем и X. Дж. Суссманном [110] была предложена идея рассмотрения замыкания множеств достижимости в качестве инварианта правоинвариантных систем при исследовании их управляемости. На этой основе В. Джарджевичем и И. Куп-кой [106,107] было введено понятие насыщения Ли и техника расширения, связанная с вычислением касательного конуса к замыканию множества достижимости системы в единице. Этот метод оказался очень эффективным для получения достаточных условий управляемости инвариантных систем.
Помимо геометрической теории управления, инвариантные системы на группах Ли активно изучались в теории полугрупп Ли. Результаты о свойствах общих подполугрупп групп Ли (не обязательно возникающих как множества достижимости инвариантных систем) и их касательных объектов изложены в книгах К. X. Хофманна и Дж. Д. Лоусона [97], Дж. Хильгерта и К.-Х. Ниба [92], Дж. Хильгерта, К. X. Хофманна, и Дж. Д. Лоусона [90].
Известен ряд результатов об управляемости для специальных классов инвариантных систем и групп Ли. Эквивалентность рангового условия и управляемости для симметричных систем была доказана еще Р. В. Брокеттом [75] в случае матричных систем, а В. Джарджевичем и Х.Дж. Суссманном [110] для общих инвариантных систем на группах Ли. Кроме того, В. Джарджевич и Х.Дж. Суссманн [110] доказали эквива- лентность рангового условия и управляемости для компактных групп Ли. Обобщение этого результата для полупрямого произведения компактной группы Ли и линейного пространства получено Б. Боннаром, В. Джарджевичем, И. Купкой, и Г. Салле [67]. Как следствие критериев управляемости на группах SO(n) и E(n) = R" к SO(n), были доказаны условия управляемости билинейных систем на однородных пространствах S"-1 и Жп соответственно.
Классификация управляемых систем на разрешимых группах Ли малой размерности
Как отмечено выше, богатая теория управляемости была построена для полупростых групп Ли. Уже для специальной линейной группы задача управляемости оказалась очень сложной и не решена до настоящего времени даже для аффинных систем со скалярным управлением. Вся техника расширения была развита во многом именно для исследования случая SL(n). Достаточные условия управляемости для этого случая были получены Ж. П. Готье и Г. Борнаром [86] (как следствие этих результатов были доказаны условия управляемости билинейных систем на Rn \ {0}). Эти условия были обобщены для произвольных полупростых групп Ли с конечным центром в серии работ В. Джарджевича и И. Купки [106,107], Ж. П. Готье, И. Купки, и Г. Салле [87], Р. Эль Ассуди и Ж. П. Готье [52,53], Ф. Сильвы Лейте и П.Е. Крауча [150], Р. Эль Ассуди [55], кульминацией которых была статья Р. Эль Ассуди, Ж. П. Готье и И. Купки [54]. В работах Л. Сан Мартина [147] и Л. Сан Мартина, П. Тонелли [148] исследованы общие подполугруппы полупростых групп Ли. Как было отмечено выше, для другого естественного класса — разрешимых групп Ли — подобная теория управляемости не была создана. Известен принадлежащий Дж.Д. Лоусону [119] критерий управляемости для компактных расширений разрешимых групп Ли в терминах подалгебр коразмерности один. Однако для применения этого критерия требуется описание всех таких подалгебр, что составляет довольно сложную проблему теории алгебр Ли (см., например, работы К.Х. Хофманна [94,95]). Имеется также критерий управляемости аффинных по управлению систем на нильпо-тентных группах Ли, см. работу В. Аяла [56]. Излагаемые далее в главе 2 результаты восполняют недостаток конструктивной теории управляемости для разрешимых групп Ли. Более подробно с результатами по управляемости инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах можно познакомиться по обзору автора [25]. Билинейные системы вызывают постоянный интерес исследователей с 60-х годов прошлого века как в силу заманчивой (а иногда обманчивой) простоты алгебраической структуры, так и благодаря их разнообразным приложениям, см., например, работы [78,84,115-117,129,135]. Исследование управляемости билинейных систем тесно связано с теорией инвариантных систем на группах Ли, см. отмеченные выше результаты, а также работы Б.Боннара [65,66] и В.Джарджевича, Г.Салле [108]. Управляемость билинейных систем на R2 \ {0} была полностью исследована в работе Н.Л. Лепе [15]. Имеется ряд результатов автора по управляемости билинейных систем на К3 \ {0} [19,20]. Алгоритмы определения управляемости билинейных систем на плоскости были предложены в работах Ф.Адда [38], Ф.Адда и Г.Салле [39].
У.М.Бутби впервые рассмотрел задачу управляемости билинейных систем в положительном ортанте [68]; им получены некоторые частные результаты для систем со скалярным управлением, а также для случая одинаковой размерности пространств управления и состояния. Управляемость двумерных билинейных систем в положительном ортанте была впервые полностью исследована А.Баччиотти [57] и, позднее, независимо, автором [21].
Теория левоинвариантных задач оптимального управления на группах Ли восходит к теории левоинвариантных гамильтоновых систем, начинающейся еще с работы А.Пуанкаре [134]. Литература по этому вопросу обширна. Например, имеется хорошо развитая теория левоинвариантных метрик и их обобщений для гидродинамики (см. Приложение 2 в книге В.И.Арнольда [6]). В книге Р.Абрахама и Дж.Марсдена [37] подробно рассмотрены лево- и правоинвариантные механические системы.
Левоинвариантные задачи были в центре внимания геометрической теории управления с самого начала ее развития. В книге [105], суммировавшей результаты 70-90-х годов прошлого века, В.Джарджевич подробно изложил особенности гамильтонова формализма и принцип максимума для левоинвариантных задач, исследовал связи между симметриями и интегрируемостью в этом случае (в частности, описал интегрируемые системы на группе Гейзенберга, группе движений плоскости, и группе вращений трехмерного пространства). В.Джарджевич также исследовал экстремали в задаче о качении сферы по плоскости [103] и в задаче об эластиках на трехмерных пространствах постоянной кривизны [104].
Инвариантные ортанты билинейных систем
Следует отметить ряд работ по левоинвариантным субримановым задачам на ниль-потентных группах Ли: случай Гейзенберга (Р.Брокетт [77], A.M. Вершик, В.Я. Герш-кович [8]) и его обобщения (Ф.Монрой-Перез, А.Анзалдо-Менезес [124]), задачи с вектором роста (3,6) (О.Мясниченко [131]), (п,п(п+1)/2) (О.Мясниченко [132], Ф.Монрой-Перез, А.Анзалдо-Менезес [130]), и (2,3,5) (Р.Брокетт и Л. Дай [74], А.Кренер и С.Никитин [114]). Для этих задач получена параметризация геодезических, а для векторов роста (2,3) и (3,6) показано, что первая сопряженная точка на субримановой геодезической находится не раньше первой точки Максвелла, которая является точкой разреза (точкой, где геодезические теряют оптимальность). Более широко проблематика и методы субримановой геометрии отражены в недавней монографии Р.Монтгомери [126].
В частности, в разделе 2.5 (теорема 2.17) доказан критерий управляемости для систем со скалярным управлением на односвязных метабелевых группах Ли (в случае неодносвязных групп Ли эта теорема дает достаточные условия управляемости). В качестве следствий получены условия управляемости билинейных систем вида х = иАх + Ъ (теорема 2.19) и инвариантных систем со скалярным управлением на группе движений плоскости и ее односвязной накрывающей (теорема 2.20).
Далее, предположим, что билинейная система (1.2) имеет положительно инвариантный координатный ортант. Отражениями в R" вида ХІ (- — Х{ можно добиться, чтобы инвариантным стал положительный ортант R", а потому и его внутренность, открытый положительный ортант R"= {х = (ж і,... ,хп) Є Rn ХІ 0, г = 1,...,п}. В разделах 3.3, 3.4 исследуется управляемость билинейной системы (1.2) в положительном ортанте при п 2 (напомним, что эта задача при п = 2 была впервые полностью исследована А.Баччиотти [57]). В разделе 3.3 получены условия управляемости для случая гг 2ит = 1,а раздел 3.4 посвящен случаям т = п — 1, т = п — 2, а также некоторым другим случаям.
В главе 4 исследуются плоские распределения и субримановы структуры — локальные нильпотентные аппроксимации распределений и субримановых структур в регулярных точках. Такие распределения и субримановы структуры задаются левоин-вариантными управляемыми системами на нильпотентных группах Ли. Вычисляются алгебры Ли симметрии плоских распределений и субримановых структур ранга 2 максимального роста в размерностях 3, 4, и 5. В разделе 4.3 рассматривается группа Гейзенберга (вектор роста (2,3)), в разделе 4.4 — группа Энгеля (вектор роста (2,3,4)), а в разделе 4.5 — вектор роста (2,3,5). Последний случай особенно важен для теории и приложений субримановой геометрии, соответствующая субриманова задача рассматривается далее в разделе 5.2.
В главе 5 рассматриваются две тесно связанные между собой инвариантные задачи оптимального управления на группах Ли: задача Эйлера об эластиках и обобщенная задача Дидоны. В этих случаях исследуются инвариантные задачи на разрешимых группах Ли (на группе движений плоскости и на 5-мерной нильпотентной группе Ли порядка 3 соответственно), для которых гамильтонова система принципа максимума Понтрягина в вертикальном слое кокасателыюго расслоения сводится к уравнению математического маятника, поэтому интегрируется в функциях Якоби. Экстремальные траектории в обеих задачах являются подъемами эйлеровых эластик — стационарных конфигураций упругого стержня, открытых Леонардом Эйлером [36]. Для исследования оптимальности экстремальных траекторий разработаны методы построения группы симметрии экспоненциального отображения с помощью продолжения группы симметрии маятника, исследования неподвижных точек этой группы в прообразе и образе экспоненциального отображения, анализа разрешимости и оценки корней уравнений в функциях Якоби, задающих соответствующие страты Максвелла.
Опишем более подробно содержание раздела 5.1, посвященного задаче Эйлера об эластиках. В 1744 г. Леонард Эйлер рассмотрел следующую задачу о стационарных конфигурациях упругого стержня [36]. Дан упругий стержень на плоскости, у которого закреплены положения концов, а также углы наклона стержня на концах. Требуется определить возможные профили стержня при заданных граничных условиях. Эйлер получил дифференциальные уравнения для стационарных конфигураций стержня и описал их возможные качественные типы. Эти конфигурации называются эйлеровыми эластиками.
Эйлеровы эластики суть критические точки функционала упругой энергии на пространстве кривых фиксированной длины. Основной целью раздела 5.1 является исследование оптимальности эластик: является ли критическая точка точкой минимума? Мы интересуемся тем, какие эластики доставляют минимальное значение функционалу энергии среди всех кривых, удовлетворяющих граничным условиям (глобальная оптимальность), или минимальное значение среди достаточно близких кривых, удовлетворяющих граничным условиям (локальная оптимальность). Эти вопросы оставались открытыми, несмотря на их очевидную важность.
