Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Предварительные сведения 27
1.1. Функциональные пространства 27
1.2. Линейная задача управления 30
1.3. Относительные резольвенты и относительно присоединенные векторы 32
1.4. Относительно р-радиальные операторы 34
1.5. Относительно р-секториальные операторы 36
Глава II. Существование решений задач оптимального управления для абстрактных уравнений 39
2.1. Критерий разрешимости сингулярного уравнения 39
2.2. Сильное решение задачи Коши 41
2.3. Условие Коши. Распределенное управление 49
2.4. Задача с обобщенным условием Шоуолтера 54
2.5. Задачи с сильной нормой функции управления 55
2.6. Стартовое управление 59
2.7. Задачи с жестким управлением 62
2.8. Жесткое стартовое управление 66
2.9. Случай относительно р-секториалыюго оператора 67
Глава III. Задачи оптимального управления для вырожденных систем уравнений математической физики 70
3.1. Уравнение с многочленами от эллиптических самосопря- женных операторов 70
3.2. Задачи оптимального управления для уравнения с много-членами от эллиптических самосопряженных операторов 72
3.3. Задачи с начальным условием Шоуолтера 74
3.4. Задачи стартового управления для уравнения с многочленами 75
3.5. Алгебро-диффсрснциальная система уравнений в частных производных 76
3.6. Задачи оптимального управления алгебро-дифференциальной системой 79
3.7. Стартовое управление алгебро-дифференциальной системой 82
3.8. Линеаризованная система Навье - Стокса 84
3.9. Распределенное управление для линеаризованной системы Навье - Стокса 88
3.10. Стартовое управление для линеаризованной системы Навье - Стокса 90
3.11. Начально-краевая задача для системы уравнений фазового поля 91
3.12. Распределенное управление для системы уравнений фазового поля 97
3.13. Стартовое управление системой уравнений фазового поля 99
Глава IV. Системы оптимальности 102
4.1. Система оптимальности для абстрактной задачи Распределенное управление 102
4.2. Система оптимальности для задач с сильной нормой функции управления 107
4.3. Системы оптимальности для задач стартового управления . 111
4.4. Системы оптимальности для задач с жестким управлением 115
4.5. Система оптимальности для уравнения Дзекцера 118
4.6. Уравнение Дзекцера и функционалы с сильной нормой функции управления 121
4.7. Системы оптимальности для уравнения Дзекцера. Стартовое управление 122
4.8. Системы оптимальности для уравнения Дзекцера. Жесткое управление 123
4.9. Система оптимальности для линеаризованных уравнений фазового поля 125
4.10. Линеаризованные уравнения фазового поля. Системы оптимальности для задач с гладкими функциями унравления127
4.11. Линеаризованные уравнения фазового поля. Системы оптимальности для задач стартового управления 129
4.12. Линеаризованные уравнения фазового поля. Системы оптимальности для задач жесткого управления 132 4.13. Система оптимальности для алгебро-дифференциальной
системы 135
Список цитированной литературы 138
- Относительные резольвенты и относительно присоединенные векторы
- Задача с обобщенным условием Шоуолтера
- Задачи стартового управления для уравнения с многочленами
- Уравнение Дзекцера и функционалы с сильной нормой функции управления
Введение к работе
Постановка задачи
Пусть X, У и U - гильбертовы пространства, операторы L Є С(Х; У), kerL ф {0}, М є С1(Х;У), В Є С(К\У), функции и : [0,Т] -> U, у ;[Q,T]~* У,Т Є R+. Рассмотрим задачу оптимального управления я(0) = жо, (0.1) Li{t) = Мф) + y(i) + Bu(t), (0.2) tt На, (0.3) J(ac,«) = —Ця: - НІЯ'і(ло + у IIй ~ «o||jU(W) ^ inf> (-4) где гі Є {0,1}, Г2 Є No, жо ^- заданный вектор, у, ш, ио - заданные функции, константа N > 0, Н# - непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений НГ2{11).
Назовем сильное решение х Є Я^Д7) задачи (0.1), (0.2) состоянием системы (0.1), (0.2). При фиксированных xq и у воздействие на систему (0.1), (0.2) производится с помощью варьирования функции и, назыве-мой управлением или функцией управления. Естественные ограничения па функцию и приводят к появлению некоторого множества И$, называемого множеством допустимых управлений.
Пара (х,и) называется допустимой для задачи (0.1) - (0-4), если она удовлетворяет условиям (0.1) - (0.3). Множество всех допустимых пар обозначим через 2JJ. Задача оптимального управления заключается в отыскании такой допустимой пары (х,й), для которой выполняется соотношение J(x,u)= inf J(x,u). (x,U)Gffl
Минимизируемый функционал J при этом будем называть функционалом стоимости.
Управляющее воздействие может входить в исследуемую систему в качестве начального значения, и тогда рассматривается задача стартового управления х(0)^и, (0.5) Lx(t) = Mx(t) + y{t), (0.6) и На, (0-7) J(x, и) = -]|ж - адЦя^цл-) + у11« - «ollwo ~> inf (-8)
В этом случае itg - непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Uo С Ы — Л\
При некоторых естественных предположениях на операторы L и М, гарантирующих существование сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения Lx(t) = Mx(t), система (0.1), (0.2) является абстрактной формой многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, встречающихся в естествознании и технике. При этом заметим, что в приложениях часто более естественным оказывается вместо условия Коши (0.1) рассматривать так называемое обобщенное условие Шоуолтера [85, 122]
Ря;(0) = Pxq, (0.9) где Р - проектор, являющийся единицей упомянутой полугруппы операторов. Задача стартового управления в таком случае вместо условия (0.5) содержит условие
Рх(0) = и. (0.10)
Целью данной работы является исследование разрешимости описанных задач оптимального управления при различных п,Г2 в случаях N > 0 и N — 0 (случай жесткого управления) и нахождение необходимых и достаточных условий экстремума в этих задачах в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства. При этом взаимосвязанные параметры ri и гч берутся по возможности минимальными в целях ослабления требований на гладкость функций состояния и, соответственно, управления. Увеличение одного из этих параметров в рассмотренных задачах позволяет уменьшить другой без потери функционалом стоимости свойства коэрцитивности. Особенности же вырожденного уравнения (0.2) таковы, что взять одновременно Г\ = 0 и Г2 = 0 без потери коэрцитивности не представляется возможным.
Полученные результаты используются при исследовании задач оптимального управления не разрешенными относительно производной по времени линейными распределенными системами, встречающимися в математической физике, такими, как линеаризованная система Навье -Стокса, линеаризованная система уравнений фазового поля, уравнепие Дзекцера эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости и ДР-
Историография вопроса
В настоящее время одной из основных областей практического использования математики является теория оптимального управления. С развитием науки и техники люди имеют дело со все более сложными системами и процессами, которыми необходимо управлять. Вместе с этим растет сложность задач математической теории оптимального управления.
Некоторые управляемые объекты можно характеризовать в каждый момент времени конечным набором параметров. Это так называемые объекты с сосредоточенными параметрами, они описываются системами обыкновенных дифференциальных или дифференциально-разностных уравнений. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина [69], методов динамического программирования [2), с результатами Н.Н. Красовского и его учеников, касающимися классической /-проблемы моментов, теории игр и др. [41, 42, 43, 47).
В то же время большинство реальных объектов управления можно рассматривать как объекты с распределенными параметрами, то есть объекты, состояние которых в каждый момент времени характеризуется функциями распределения. Для эффективного управления многими системами приходится рассматривать именно такие объекты, и в этом случае возникают задачи оптимального управления для систем дифференциальных уравнений в частных производных - распределенных систем. Дать хоть сколько-нибудь полный обзор по теории управления распределенными системами не представляется возможным, О многообразии сфер применения этой теории, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами [6, 7, 18, 19, 55], с теорией игр и задачами позиционного управления [33, 37, 59, 60, 62, 63], с обратными задачами динамики управляемых систем [28, 35, 36, 45, 46, 61].
В монографии Ж.-Л. Лионса [53] исследованы различные задачи оптимального управления для систем, описываемых корректными по Ада-мару краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптических, гиперболических, параболических, корректных по Петровскому. Для этого состояние системы выражается через управление, и коэрцитивный функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Работы [54, 100, 101] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем - так называемое условие компактности.
В данной диссертации исследуются задачи оптимального управления с различными квадратичными функционалами для систем, описываемых задачей Коши (0.1) или обобщенной задачей Шоуолтера (0.9) для уравнения (0.6) с сильно (,р)-радиальным оператором М, то єсть в случае существования сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения Lx{t) = Mx{t). (0.11)
Поэтому важным моментом в диссертационной работе является исследование однозначной разрепшмости задач (0.1), (0.6) и (0.6), (0.9) в смысле сильных решений.
Заметим, что исследования уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной, во многом обусловленные интересом к системе Навье - Стокса, встречаются еще в работах Пуанкаре, Озина [118], Лере, Шаудера [113, 114]. Но первые, по-настоящему глубокие результаты, касающиеся начально-краевых задач для таких уравнений, получены С.Л. Соболевым [88, 89], поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.2), часто называют "уравнениями Соболевского типа" или "уравнениями типа Соболева" [14, 66, 77, 121]. Перечислим некоторые из наиболее существенных на наш взгляд результатов, касающихся уравнений Соболевского типа.
Задача (0.1), (0.6) в конечномерном случае (X = У = М.т, L,M ~ постоянные квадратные матрицы) исследовалась еще К. Вейерштрассом для регулярных и Л. Кронекером для сингулярных пучков матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р. Гантмахера [11, гл. XII]. (Пучок квадратных матриц М -\- \ih называется регулярным, если определитель \М -Ь \іЬ\ не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным.)
Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [3, 5, 4, 102, 103, 104] продолжены исследования конечномерной задачи в случае X — W1, У = Жт. При этом используются различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (т ф п) матриц. Исследуются также уравнения с матрицами, зависящими от t.
М.И. Вишиком [8] исследована задача (0.1), (0.6) в случае, когда У - сепарабелыюе гильбертово пространство, пространство X плотно и непрерывно вложено в У, операторы іиМ фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галеркина - Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того описана его непрерывная зависимость от y(t) и от начального значения xq.
А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [40, 107] установили разрешимость задачи Коши для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, в классе экспоненциально растущих функций. R.E. Showalter и T.W. Ting в работе [123] рассматривают уравнение (0.6) с дифференциальными операторами п » р. р. п л х 6 Q С R'\ Q - ограниченная область, domL и domilf плотны в гильбертовом пространстве 1^(0) = X = У. Решается обобщенная смешанная краевая задача, доказывается теорема существования и единственности решения. Обсуждается асимптотическое поведение решений.
Однородную задачу (0.1), (0.2) изучали математики из школы С.Г. Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К. Вейерштрассу и Л. Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка М + fiL [22, 23, 44].
А.П. Осколковым [64, 65] исследована разрешимость в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи w(x,0) = wq(x), х Є Q, ш(аг, t) = 0, (х, t)edQx (0, Т), для системы уравнений в цилиндре Q х (О, Т) (А - V2M - v V2 w + ЧР = /, V w = 0-
Здесь w : fi х (О, Г) -* R", р : П х (О, Г) -> R, і/ > О, А > -Ль Лі -наименьшее собственное число спектральной задачи —Av + ур = Ли, v v — 0> и = О на dQ.
Отметим работы Н.А. Сидорова и его учеников - О.А. Романовой, М.В. Фалалеева, B.C. Шароглазова [85, 86, 87, 105]. Н.А. Сидоров [85] доказал существование и единственность решения однородной задачи (0.1), (0.6) с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, М, где L фредголь-мов. Н.А. Сидоров и М.В. Фалалеев [87] исследовали задачу Коши для линейного уравнения типа Соболева (0.6) с замкнутым фредгольмовым оператором L, замкнутым оператором М, банаховыми пространствами Х->У\ domi С domM. Кроме того, предполагается, что оператор L имеет полный М-жордаиов набор, a y{t) - достаточно гладкая функция. Обобщенное решение уравнения (0.6) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.
Заметим также что R.E. Showalter [122] и Н.А. Сидоров [85] независимо друг от друга рассматривали начальную задачу Lx(0) = Lx0 (0.12) для уравнений Соболевского типа. Задача (0.6), (0.12) в точности совпадает с задачей (0.6), (0.9) в случае, когда оператор М сильно (,0)-радиален, то есть когда разрешающая полугруппа уравнения (0.11) вырождается только на ядре оператора L.
В работах В.Н. Врагова и его учеников [9, 15] исследуется разрешимость начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений Соболевского типа. А.И. Кожанов [29], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частности рассматривает уравнения вида (I-A)ut = Bu + f(xtt), где А, В - дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и В. В работе [30] А.И. Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Ви = f(x,t), где А, В - эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор А + В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности.
Монография Г.В. Демиденко и СВ. Успенского [14] содержит систематическое изложение результатов цикла работ авторов, касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В частности с использованием методов построения приближенных решений и получения Lp-оценок решений [12, 13] изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского типа.
С задачей (0.1), (0.6) тесно связана задача исследования спектра пучка операторов fib — М или, другими словами, Л-спектра оператора М aL(M) = С \ {у, Є С : (fiL - М)"1 Є C(T\U)}. Спектральная задача цЬи — Ми исследовалась С.Г. Пятковым [20] в случае, когда М неограниченный симметрический положительно определенный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве, L самосопряженный невырожденный оператор. В работах [73, 74] найдены достаточные условия базисности по Риссу собственных функций этой задачи в терминах интерполяционных пространств. В работе [74] показано, что эти условия близки к необходимым. Приведены различные примеры, в которых М - дифференциальный оператор, скажем, эллиптический, a L - оператор умножения па функцию. В работе [75] такие результаты были получены в случае самосопряженных операторов М, L. Кроме того, здесь рассмотрен вопрос об ограниченности проекторов Риеса, соответствующих неограниченной компоненте спектра позитивного оператора.
А.А. Шкаликовым [106] спектральная задача fxLu = Ми рассматривалась в случае, когда оператор L симметричен и равномерно положителен, а М - самосопряженный положительный оператор, возмущенный оператором, подчиненным оператору L в смысле квадратических форм. Рассматриваемый линейный пучок операторов является абстрактной моделью для известной в гидромеханике задачи Орра - Зоммерфельда. В шкале соболевских пространств, связанных с заданными операторами, пучку операторов \ih — М ставится в соответствие оператор Г — Ь^М> где Lp - расширение по Фридрихсу оператора L. Область определения оператора Т подобрана таким образом, чтобы его спектр совпадал со спектром пучка. Исследован вопрос базисности Рисса корневых векторов оператора Т.
Современное состояние области исследования
Одними из наиболее завершенных на данный момент представляются результаты, касающиеся задач оптимального управления, снабженных квадратическим функционалом стоимости, и касающиеся линейных систем, описываемых корректными краевыми задачами. В то же время предлагаемая для исследования задача (0-1), (0.2) с вырожденным оператором L является, вообще говоря, некорректной. Эти соображения во многом стали определяющими при выборе объекта исследования дайной работы.
Необходимость в исследовании задачи (0.1) - (0.4) с вырожденным оператором L и с конечномерными пространствами X, У,Ы часто возникает при моделировании некоторых процессов в механике и технике. При этом соответствующая система называется дескрипгпорной (D.G. Luen- bcrger [116], D. Cobb [108], E. Jonckheere [112]) или алгебро-дифференци-альпой (IO.E. Бояринцев, В.Ф. Чистяков [5]). Задачи управления алгебро-дифференциальными системами также исследуют в своих работах L. Рап-dolfi [119, 120], Г.А. Курина [48, 49, 50, 51], F.L. Lewis [115]. L. Pandolfi в работе [120] получены условия существования оптимальных решений конечномерной задачи (0.1) - (0.3) с функционалом стоимости управления ,7(3:(0),) и вычислено его значение на оптимальных траекториях.
Г.А. Курина [48] рассмотрела задачу минимизации функционала C(u)i заданного в матричном виде, на траекториях системы
4(М0) = M(t)x(t) + B(t)u{t), at Lx(tQ) = xo, где x(t) Є Em, u(t) Є Жг, причем допустимые управления u{t) являются непрерывными функциями на фиксированном конечном интервале времени to
Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [5] рассмотрена конечномерная задача (0.1), (0.2) с компромиссным квадратичным функционалом стоимости общего вида. При этом матрицы L и М являются квадратными, начальное значение xq берется из аффинного многообразия, определяемого значениями функций и их производных в правой части уравнения. Найдены необходимые и достаточные условия оптимальности пары (состояние, управление) в терминах сопряженной системы. Кроме того, в [4] показано, что задача Lx(0) = х0 для уравнения (0.6) в Rn разрешима тогда и только тогда, когда разрешима некоторая задача минимизации квадратичного функционала на решениях краевой задачи для вспомогательной алгебро-дифференциальной системы.
В работах Г.А. Свиридгока и А.А. Ефремова [21, 79, 80] исследована задача минимизации квадратичного функционала (0.1) - (0.4) с n = 1, т"2 = р+ 1 в бесконечномерных пространствах. Рассмотрены случаи существования аналитической в С группы и аналитической в секторе полугруппы, разрешающей уравнение (0.11). Заметим, что для разрешимости задачи Коши х(0) = xq для неоднородного уравнения (0.6) с вырожденным оператором L необходимо выполнение некоторого условия согласования между проекцией начального значения xq этой задачи на ядро разрешающей полугруппы и проекцией вектора Ви(0) + у(0) [5, 77, 124]. Другими словами, начальное значение должно принадлежать некоторому аффинному многообразию, определяемому вектором В«(0) + у(0). Это обстоятельство вынудило авторов работ [21, 79, 80] существенно сузить как множество начальных значений задачи Коши xq, так и пространство функций управления. А именно, ими используется пространство управлений {и Є Hp+l(U) : v№(0) = 0, A; = 0,р+ 1}, а начальные значения задачи Коши берутся из множества L є X : (I - Р)х = ~J2GkM^(I - Q)yW(0)l, (0.13)
I ь=о J где Р - единица упомянутой разрешающей полугруппы (или группы) операторов, Q - единица разрешающей полугруппы уравнения, эквивалентного уравнению (0.11), но заданного на пространстве У, а р -наибольшая длина цепочки относительно М-присоединенных векторов оператора L1 на которых вырождается проектор Р. Г.А. Свиридкжом и А.А. Ефремовым установлена однозначная разрешимость рассмотренных задач, полученные абстрактные результаты приложены к исследованию задач оптимального управления для уравнения Барепблатта -Желтова - Кочиной и для уравнения свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости.
Актуальность темы исследования
Как уже было замечено, математическая теория оптимального управления является весьма востребованной с точки зрения ее практического применения. Это касается и задач управления линейными системами, поскольку с одной стороны часто изучение линейных систем становится первым шагом на пути изучения нелинейных объектов, а с другой стороны линейные системы могут представлять и самостоятельный интерес в смысле приложений - например, при моделировании в экономике.
С другой стороны системы вида (0.1), (0.6) или (0.6), (0.9), не разрешенные относительно производной по времени, часто встречаются при моделировании различных процессов в естественных и технических науках. При этом речь идет как о системах с сосредоточенными параметрами (дескрипторные или алгебро-дифференциальные системы), так и о распределенных системах. И если даже исследования задач оптимального управления дескрипторными системами в настоящее время весьма далеки от завершения, то исследование задач управления вырожденными распределенными системами находится только в начальной стадии развития. Поэтому тема исследования диссертационной работы представляется весьма актуальной.
Методы исследования задачи
А.В. Балакришнан подчеркивал [1], что удобным инструментом исследования задач оптимального управления распределенными системами, описываемыми линейными эволюционными уравнениями с постоянными коэффициентами, является теория полугрупп операторов. В то же время в настоящее время весьма популярным подходом к исследованию разрешимости абстрактной задачи (0.1), (0.6) является подход, основанный на идеях и методах теории полугрупп операторов. Особо отметим, что характерной чертой полугруппы, разрешающей однородное уравнение (0.11) с вырожденным оператором L, является наличие у ее единицы нетривиального ядра.
Вырожденные полугруппы операторов исследуются в работах A. Favini и A, Yagi [109, 110], И.В. Мельниковой и ее учеников [56, 57, 58]. В данной работе будут использованы результаты теории вырожденных полугрупп операторов, развитой в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [77, 84, 93, 124]. В работе предполагается, что оператор М в уравнении (0.11) сильно (,р)-радиален (или в частном случае - сильно (Ь,р)~ секториалеп). Выполнение такого условия, как уже было сказано, влечет существование сильно непрерывной (или, соответственно, аналитической в секторе) разрешающей полугруппы однородного уравнения, вырождающейся не только на ядре оператора L, но и на его М-присоединенных векторах высоты не больше р. Кроме того, отсюда следует представление пространств Х,У в виде прямых сумм ядра и образа единиц полугрупп операторов и расщепление действий операторов L, М вдоль этих подпространств. При этом на одном подпространстве непрерывно обратим оператор М, а на другом - оператор L. Все это позволяет редуцировать исходное уравнение (0.6) к системе, двух уравнений x(t) = Sx{t) + L^lQy(t), (0.14) Gx{t) = x(t) + Mq\I - Q)y(t), (0.15) заданных на взаимно дополнительных подпространствах Xі и Xй соответственно. При этом оператор S = L~[lM\ порождает Со-полугруппу и поэтому задача Коши для уравнения (0.14) является корректно поставленной и для исследования задачи оптимального управления системой (0.14) могут быть использованы классические методы [1, 53].
Возникающий в уравнении (0.15) оператор G является нильпотент-ным, что позволяет получить однозначную разрешимость уравнения (0.15) без какого бы то ни было начального условия. По этой причине задача Коши для уравнения (0.15), а значит и для всего уравнения (0.6), разрешима лишь при начальных значениях Xq из аффинного многообразия (0.13). Поэтому, чтобы пара (х,и) была допустимой, надо, чтобы выполнялось условие р+1 (I - P)XQ = ~ GkM^(I - Q)(5«W(0) + у{к)(0)) (0.16) на управление и. В отличие от упомянутых работ [21, 79, 80] мы ищем оптимальное управление при любом начальном значении задачи Коши q, а пространство управлений, вообще говоря, берем более широким, вплоть до LziU). Достигается это за счет использования удобной для систем, описываемых некорректными краевыми задачами, схемы исследования задач оптимального управления, предложенной в монографии А.В. Фурсикова [101]. Эта схема позволяет, не выражая функции состояния х через функции управления и, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления при выполнении условий ограниченности снизу, полунепрерывности снизу и коэрцитив-иости функционала стоимости и так называемого условия нетривиальности. Последнее означает условие существования хотя бы одной пары функций (ж,к), удовлетворяющей условиям (0.1) - (0.3), например, существование достаточно гладкой функции управления, для которой выполняется условие (0.16) с заданными в задаче xq и у. При этом для остальных функций управления задача (0.1), (0.2) может вообще оказаться неразрешимой.
Все трудности, связанные с согласованием начального значения xq с правой частью уравнения, исчезают при рассмотрении обобщенного условия Шоуолтера (0.9) вместо условия Коши (0.1). В этом случае условие нетривиалыюсти для задачи, скажем, (0.2) - (0.4), (0.9) означает лишь существование хотя бы одного достаточно гладкого управления класса НР+1(Ы) без других дополнительных условий.
Новизна полученных результатов
В диссертационной работе исследуются задачи оптимального управления с квадратичными функционалами стоимости для систем, описы- ваемых уравнением (0.6), не разрешенным относительно производной и снабженным условием Коши или обобщенным условием Шоуолтера. Заметим, что условие сильной (,р)-радиальности оператора М является более слабым, чем условие сильной (L, р)-секториальности или (L, а)-ограниченности с несущественной особой точкой у L-резольвепты оператора М в бесконечности. Тем самым охвачен более широкий класс систем, чем рассмотренный в работах [21, 79, 80]. Но даже для случая сильно (,р)-секториального оператора полученные в данной работе результаты являются более обідими, чем результаты упомянутых работ (см. предыдущий раздел). Кроме того, в работе рассмотрены различные варианты функционалов стоимости, в частности терминальный функционал, зависящий от финального наблюдения состояния системы, а также задачи с жестким управлением и задачи стартового управления, которые ранее для бесконечномерных систем вида (0.6), по-видимому, не рассматривались.
Задачи оптимального управления для бесконечномерных систем с обобщенным условием Шоуолтера ранее в общем виде также не рассматривались. При этом условие Шоуолтера естественным образом возникает при рассмотрении различных систем уравнений математической физики и даже часто является более "физичным", как, например, при рассмотрении линеаризованной системы Навье - Стокса или системы уравнений фазового поля (см. третью главу).
Особо отметим, что впервые получен критерий разрешимости уравнения (0.15) с иилыютентным оператором G, показывающий, что такое уравнение разрешимо не при всякой правой части д = ilf^"1(/ — Q)y Є 2(0,Т; 3^)- Гарантирует же разрешимость уравнения лишь принадлежность функции д пространству Нр+1(0уТ\У). Это согласуется с утверждением Р.С. Muller [117] о том, что в общем случае управление дескрип-торными системами осуществляется не только функцией управления, но и ее производными.
В отличие от упомянутых ранее результатов о задачах оптимального управления для распределенных систем соболсвского тина почти для всех рассмотренных в данной работе задач в случае, когда оператор М в уравнении (0.2) сильно (,р)-секториален, получены так называемые системы оптимальности, то есть необходимые и достаточные условия на оптимальное управление и соответствующее ему состояние системы в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства.
Полученные абстрактные результаты используются при исследовании задач оптимального управления для линеаризованной системы Навье -Стокса, линеаризованной системы уравнений фазового поля, а также для уравнения (0.6), в котором операторы L и М являются многочленами от эллиптических самосопряженных операторов высокого порядка. Частными случаями такого уравнения являются уравнение Баренблатта -Желтова - КочиноЙ, уравнение Дзекцера и многие другие уравнения математической физики.
Краткое содержание диссертации
Диссертационная работа содержит Введение, четыре главы и Список литературы.
В первой главе приведены вспомогательные результаты, которые используются при доказательстве основных результатов диссертации во второй, третьей и четвертой главах. В первом параграфе определены и охарактеризованы пространства Лебега - Бохнера и Соболева - Бохне-ра, в которых в дальнейшем мы будем искать решения абстрактных задач. Второй параграф содержит абстрактную теорему А.В. Фурсикова, используемую далее при исследовании различных задач оптимального управления. В третьем параграфе определяются относительные резольвенты, относительно присоединенные векторы и соотношения между ними. Четвертый параграф содержит определение и свойства относительно радиальных операторов. В частности здесь же приводится формула для построения вырожденной сильно непрерывной разрешающей полугруппы однородного уравнения с вырожденным оператором при производной. В пятом параграфе собраны аналогичные результаты об относительно сектор иальных операторах и соответствующих им вырожденных аналитических в секторе полугруппах. Здесь сформулирована теорема о существовании сильного решения задачи Кош и для неоднородного вырожденного уравнения с сильно (,р)-секториальным оператором М, полученная ранее в [21, 79].
Вторая глава содержит новые результаты о разрешимости задач оптимального управления для систем, описываемых начальными задачами Коши или Шоуолтера для уравнения первого порядка в банаховом пространстве, не разрешимого относительно производной по времени.
В первом параграфе второй главы приведен критерий разрешимости сингулярного уравнения (0.15), во втором параграфе доказана теорема о существовании и единственности сильного решения задачи Коши (0.1) для уравнения (0.6) с сильно (,р)-радиальным оператором М. Получена оценка на норму сильного решения.
В третьем параграфе найдены достаточные условия однозначной разрешимости задачи оптимального управления (0.1) - (0.4) с сильно (L,p)-радиальным оператором М в случае N > 0, п ~ 1, Г2 Є {0,... ,р + 1}. В четвертом параграфе доказана теорема об однозначной разрешимости обобщенной задачи Шоуолтера, и получены результаты аналогичные результатам третьем параграфа для задачи (0.2) - (0.4), (0.9). Пятый параграф посвящен рассмотрению случая г^ = р + 1 - задачи с гладкими функциями управления. При этом возможно рассмотрение задач с г і = 0 или с терминальным функционалом стоимости, зависящим от финального наблюдения состояния системы.
В шестом параграфе рассмотрены задачи стартового управления (0.5) - (0.8) с т*1 = 1, Uq = U или cUo~ domM (при этом возможны случаи ї*і — 0 или терминальный функционал стоимости) и задачи вида (0.6) - (0.8), (0.10) для случаев г\ — 1, Uq = U или Uq ~ domS с нормой графика оператора S = LllM\.
В седьмом параграфе рассмотрены задачи с управлением в правой части уравнения в случае, когда константа N в функционале стоимости равна нулю - задачи с жестким управлением, а восьмой параграф содержит задачи жесткого стартового управления. Наконец, в девятом параграфе второй главы содержатся комментарии по поводу возможных улучшений полученных результатов в случае, если условие сильной (L, р)-радиальности оператора М заменить на более жесткое условие сильной (,р)-еекториальности.
Третья глава содержит приложения результатов второй главы к исследованию задач оптимального управления для уравнений или систем уравнений, не разрешенных относительно производной по времени и возникающих при моделировании реальных процессов.
В первом параграфе рассмотрен класс начально-краевых задач для дифференциального уравнения с многочленами от эллиптических дифференциальных по пространственным переменным операторов высокого порядка. Нетрудно убедиться, что этот класс содержит многие задачи для неклассических уравнений математической физики. Показано, что при редукции такой начально-краевой задачи к абстрактной задаче Коїли мы получаем уравнение с сильно (L, 0)-радиальным оператором. Во втором параграфе исследованы различные задачи оптимального управления для соответствующей системы с управлением в правой части и с условием Коши, а в третьем - с условием Шоуолтсра . В четвертом параграфе рассмотрены задачи стартового управления системами, описываемыми начально-краевыми задачами для уравнений с многочленами.
Далее исследуется модельная алгебро-дифференциальная система уравнений в частных производных. В пятом параграфе показано, что рассматриваемая начально-краевая задача для нее редуцируется к абстрактной задаче Коши с сильно (L, 1)-секториальным оператором. В шестом параграфе рассмотрены задачи с управлением в правой части алгебро-диффсренциальной системы, а в седьмом - задачи стартового управления системой.
В восьмом параграфе проведена редукция линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса к задаче (0.6), (0.9) с сильно (L, 1)-секториаль-ным оператором М (см. [81, 82]). В девятом параграфе исследованы задачи с управляющим внешним воздействием в правой части системы уравнений, в десятом - задачи стартового управления для линеаризованной системы Навье - Стокса.
Одиннадцатый параграф содержит редукцию начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля к задаче Шоуолтера с сильно (L, 0)-сектори ал ьным оператором. В двенадцатом параграфе рассмотрены задачи с управлением в правой части уравнений, а в тринадцатом - задачи стартового управления.
В четвертой главе сначала найдены системы оптимальности для задач управления уравнениями Соболевского типа в абстрактных банаховых пространствах с сильно (Ь,р)-секториальным оператором Af, а затем полученные результаты использованы при рассмотрении аналогичных задач для систем, состояние которых описывается уравнениями в частных производных, не разрешенными относительно производной по времени.
Первый параграф посвящен системам оптимальности для задач с негладким распределенным управлением в правой части уравнения, снабженного начальным условием Коши, либо условием Шоуолтера . Отметим, что при использовании последнего в системе оптимальности появляется несвойственное для задач с условием Коши некое условие перпендикулярности, накладываемое на начальное значение решения сопряженной краевой задачи. Во втором параграфе получены системы оптимальности для аналогичных задач с функционалом стоимости, использующим сильную норму функции управления. Гладкость управления поз- воляет в частности рассмотреть задачу с терминальным функционалом, зависящим от финального наблюдения функции состояния.
Третий параграф содержит результаты о системах оптимальности для задач стартового управления с условием Коши и с условием Шоуолтера . Во втором случае рассмотрены также задачи с функционалом с сильной нормой функции управления, в том числе с терминальным функционалом стоимости. В четвертом параграфе рассмотрены задачи жесткого управления.
В пятом параграфе показано, что уравнение Дзекцера свободной эволюции фильтрующейся жидкости, снабженное подходящими краевыми условиями, содержит сильно (L, 0)-секториальный оператор М. Там же сформулированы условия экстремума в задаче с распределенным управлением для уравнения Дзекцера. Шестой параграф содержит систему оптимальности для задач с гладкими функциями управления для уравнения Дзекцера, седьмой - систему оптимальности для задач стартового управления, восьмой - для задач с жестким управлением. Все эти результаты получены прямым применением теорем из первых четырех параграфов. В параграфах с девятого по двенадцатый аналогичным образом получены системы оптимальности для задач оптимального управления решениями начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля. Для обеих рассмотренных систем (Дзекцера и фазового поля) упомянутые выше условия перпендикулярности, возникающие при использовании начального условия Шоуолтера , выполняются автоматически. Тринадцатый параграф содержит пример системы, в которой условие перпендикулярности на начальное значение решения сопряженной краевой задачи нетривиально.
Апробация
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Г.А. Свиридюк) и на следующих конфе- ренциях: Всероссийская научная конференция "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 2001, 2004 гг.; Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинск, 2002 г.; Воронежская зимняя математическая школа, 2003 г.; Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", Екатеринбург, 2003 г.; Международная конференция "Общие проблемы управления и их приложения", Тамбов, 2003 г.; на конференции ИФАК "Моделирование и анализ логически управляемых динамических систем", Иркутск, 2003 г.; Международная школа-семинар по геометрии и анализу, Абрау-Дюрсо, 2004 г.; на IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление", Иркутск, 2005 г.
Относительные резольвенты и относительно присоединенные векторы
В настоящее время одной из основных областей практического использования математики является теория оптимального управления. С развитием науки и техники люди имеют дело со все более сложными системами и процессами, которыми необходимо управлять. Вместе с этим растет сложность задач математической теории оптимального управления.
Некоторые управляемые объекты можно характеризовать в каждый момент времени конечным набором параметров. Это так называемые объекты с сосредоточенными параметрами, они описываются системами обыкновенных дифференциальных или дифференциально-разностных уравнений. Бурное развитие теории управления системами с сосредоточенными параметрами во многом связано с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина [69], методов динамического программирования [2), с результатами Н.Н. Красовского и его учеников, касающимися классической /-проблемы моментов, теории игр и др. [41, 42, 43, 47).
В то же время большинство реальных объектов управления можно рассматривать как объекты с распределенными параметрами, то есть объекты, состояние которых в каждый момент времени характеризуется функциями распределения. Для эффективного управления многими системами приходится рассматривать именно такие объекты, и в этом случае возникают задачи оптимального управления для систем дифференциальных уравнений в частных производных - распределенных систем. Дать хоть сколько-нибудь полный обзор по теории управления распределенными системами не представляется возможным, О многообразии сфер применения этой теории, ее методов и результатов говорит ее тесная связь с техническими задачами [6, 7, 18, 19, 55], с теорией игр и задачами позиционного управления [33, 37, 59, 60, 62, 63], с обратными задачами динамики управляемых систем [28, 35, 36, 45, 46, 61].
В монографии Ж.-Л. Лионса [53] исследованы различные задачи оптимального управления для систем, описываемых корректными по Ада-мару краевыми задачами для дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптических, гиперболических, параболических, корректных по Петровскому. Для этого состояние системы выражается через управление, и коэрцитивный функционал стоимости становится зависящим лишь от функции управления. Работы [54, 100, 101] посвящены исследованию задач оптимального управления для распределенных систем, описываемых некорректными краевыми задачами. При этом выразить функцию состояния через функцию управления, вообще говоря, не представляется возможным, и для установления разрешимости задачи используются свойства самого функционала, а также условия нетривиальности, коэрцитивности и для нелинейных по функции состояния систем - так называемое условие компактности.
В данной диссертации исследуются задачи оптимального управления с различными квадратичными функционалами для систем, описываемых задачей Коши (0.1) или обобщенной задачей Шоуолтера (0.9) для уравнения (0.6) с сильно (,р)-радиальным оператором М, то єсть в случае существования сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения Lx{t) = Mx{t). (0.11)
Поэтому важным моментом в диссертационной работе является исследование однозначной разрепшмости задач (0.1), (0.6) и (0.6), (0.9) в смысле сильных решений.
Заметим, что исследования уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной, во многом обусловленные интересом к системе Навье - Стокса, встречаются еще в работах Пуанкаре, Озина [118], Лере, Шаудера [113, 114]. Но первые, по-настоящему глубокие результаты, касающиеся начально-краевых задач для таких уравнений, получены С.Л. Соболевым [88, 89], поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.2), часто называют "уравнениями Соболевского типа" или "уравнениями типа Соболева" [14, 66, 77, 121]. Перечислим некоторые из наиболее существенных на наш взгляд результатов, касающихся уравнений Соболевского типа.
Задача (0.1), (0.6) в конечномерном случае (X = У = М.т, L,M постоянные квадратные матрицы) исследовалась еще К. Вейерштрассом для регулярных и Л. Кронекером для сингулярных пучков матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р. Гантмахера [11, гл. XII]. (Пучок квадратных матриц М -\- \ih называется регулярным, если определитель \М -Ь \ІЬ\ не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным.)
Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [3, 5, 4, 102, 103, 104] продолжены исследования конечномерной задачи в случае X — W1, У = Жт. При этом используются различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (т ф п) матриц.
Задача с обобщенным условием Шоуолтера
В отличие от упомянутых работ [21, 79, 80] мы ищем оптимальное управление при любом начальном значении задачи Коши Q, а пространство управлений, вообще говоря, берем более широким, вплоть до LziU). Достигается это за счет использования удобной для систем, описываемых некорректными краевыми задачами, схемы исследования задач оптимального управления, предложенной в монографии А.В. Фурсикова [101]. Эта схема позволяет, не выражая функции состояния х через функции управления и, установить существование и единственность решения задачи оптимального управления при выполнении условий ограниченности снизу, полунепрерывности снизу и коэрцитив-иости функционала стоимости и так называемого условия нетривиальности. Последнее означает условие существования хотя бы одной пары функций (ж,к), удовлетворяющей условиям (0.1) - (0.3), например, существование достаточно гладкой функции управления, для которой выполняется условие (0.16) с заданными в задаче XQ И у. При этом для остальных функций управления задача (0.1), (0.2) может вообще оказаться неразрешимой.
Все трудности, связанные с согласованием начального значения XQ с правой частью уравнения, исчезают при рассмотрении обобщенного условия Шоуолтера (0.9) вместо условия Коши (0.1). В этом случае условие нетривиалыюсти для задачи, скажем, (0.2) - (0.4), (0.9) означает лишь существование хотя бы одного достаточно гладкого управления класса НР+1(Ы) без других дополнительных условий.
Новизна полученных результатов
В диссертационной работе исследуются задачи оптимального управления с квадратичными функционалами стоимости для систем, описы 20 ваемых уравнением (0.6), не разрешенным относительно производной и снабженным условием Коши или обобщенным условием Шоуолтера. Заметим, что условие сильной (,р)-радиальности оператора М является более слабым, чем условие сильной (L, р)-секториальности или (L, а)-ограниченности с несущественной особой точкой у L-резольвепты оператора М в бесконечности. Тем самым охвачен более широкий класс систем, чем рассмотренный в работах [21, 79, 80]. Но даже для случая сильно (,р)-секториального оператора полученные в данной работе результаты являются более обідими, чем результаты упомянутых работ (см. предыдущий раздел). Кроме того, в работе рассмотрены различные варианты функционалов стоимости, в частности терминальный функционал, зависящий от финального наблюдения состояния системы, а также задачи с жестким управлением и задачи стартового управления, которые ранее для бесконечномерных систем вида (0.6), по-видимому, не рассматривались.
Задачи оптимального управления для бесконечномерных систем с обобщенным условием Шоуолтера ранее в общем виде также не рассматривались. При этом условие Шоуолтера естественным образом возникает при рассмотрении различных систем уравнений математической физики и даже часто является более "физичным", как, например, при рассмотрении линеаризованной системы Навье - Стокса или системы уравнений фазового поля (см. третью главу).
Особо отметим, что впервые получен критерий разрешимости уравнения (0.15) с иилыютентным оператором G, показывающий, что такое уравнение разрешимо не при всякой правой части д = ilf "1(/ — Q)y Є 2(0,Т; 3 )- Гарантирует же разрешимость уравнения лишь принадлежность функции д пространству Нр+1(0уТ\У). Это согласуется с утверждением Р.С. Muller [117] о том, что в общем случае управление дескрип-торными системами осуществляется не только функцией управления, но и ее производными. В отличие от упомянутых ранее результатов о задачах оптимального управления для распределенных систем соболсвского тина почти для всех рассмотренных в данной работе задач в случае, когда оператор М в уравнении (0.2) сильно (,р)-секториален, получены так называемые системы оптимальности, то есть необходимые и достаточные условия на оптимальное управление и соответствующее ему состояние системы в терминах сопряженной краевой задачи и вариационного неравенства.
Полученные абстрактные результаты используются при исследовании задач оптимального управления для линеаризованной системы Навье -Стокса, линеаризованной системы уравнений фазового поля, а также для уравнения (0.6), в котором операторы L и М являются многочленами от эллиптических самосопряженных операторов высокого порядка. Частными случаями такого уравнения являются уравнение Баренблатта -Желтова - КочиноЙ, уравнение Дзекцера и многие другие уравнения математической физики.
Задачи стартового управления для уравнения с многочленами
Первый параграф посвящен системам оптимальности для задач с негладким распределенным управлением в правой части уравнения, снабженного начальным условием Коши, либо условием Шоуолтера . Отметим, что при использовании последнего в системе оптимальности появляется несвойственное для задач с условием Коши некое условие перпендикулярности, накладываемое на начальное значение решения сопряженной краевой задачи. Во втором параграфе получены системы оптимальности для аналогичных задач с функционалом стоимости, использующим сильную норму функции управления. Гладкость управления позволяет в частности рассмотреть задачу с терминальным функционалом, зависящим от финального наблюдения функции состояния.
Третий параграф содержит результаты о системах оптимальности для задач стартового управления с условием Коши и с условием Шоуолтера . Во втором случае рассмотрены также задачи с функционалом с сильной нормой функции управления, в том числе с терминальным функционалом стоимости. В четвертом параграфе рассмотрены задачи жесткого управления.
В пятом параграфе показано, что уравнение Дзекцера свободной эволюции фильтрующейся жидкости, снабженное подходящими краевыми условиями, содержит сильно (L, 0)-секториальный оператор М. Там же сформулированы условия экстремума в задаче с распределенным управлением для уравнения Дзекцера. Шестой параграф содержит систему оптимальности для задач с гладкими функциями управления для уравнения Дзекцера, седьмой - систему оптимальности для задач стартового управления, восьмой - для задач с жестким управлением. Все эти результаты получены прямым применением теорем из первых четырех параграфов. В параграфах с девятого по двенадцатый аналогичным образом получены системы оптимальности для задач оптимального управления решениями начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений фазового поля. Для обеих рассмотренных систем (Дзекцера и фазового поля) упомянутые выше условия перпендикулярности, возникающие при использовании начального условия Шоуолтера , выполняются автоматически. Тринадцатый параграф содержит пример системы, в которой условие перпендикулярности на начальное значение решения сопряженной краевой задачи нетривиально.
Апробация
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Г.А. Свиридюк) и на следующих конфе 26 ренциях: Всероссийская научная конференция "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 2001, 2004 гг.; Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Челябинск, 2002 г.; Воронежская зимняя математическая школа, 2003 г.; Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", Екатеринбург, 2003 г.; Международная конференция "Общие проблемы управления и их приложения", Тамбов, 2003 г.; на конференции ИФАК "Моделирование и анализ логически управляемых динамических систем", Иркутск, 2003 г.; Международная школа-семинар по геометрии и анализу, Абрау-Дюрсо, 2004 г.; на IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление", Иркутск, 2005 г.
Уравнение Дзекцера и функционалы с сильной нормой функции управления
Современное состояние области исследования
Одними из наиболее завершенных на данный момент представляются результаты, касающиеся задач оптимального управления, снабженных квадратическим функционалом стоимости, и касающиеся линейных систем, описываемых корректными краевыми задачами. В то же время предлагаемая для исследования задача (0-1), (0.2) с вырожденным оператором L является, вообще говоря, некорректной. Эти соображения во многом стали определяющими при выборе объекта исследования дайной работы.
Необходимость в исследовании задачи (0.1) - (0.4) с вырожденным оператором L и с конечномерными пространствами X, У,Ы часто возникает при моделировании некоторых процессов в механике и технике. При этом соответствующая система называется дескрипгпорной (D.G. Luen 15 bcrger [116], D. Cobb [108], E. Jonckheere [112]) или алгебро-дифференци-альпой (IO.E. Бояринцев, В.Ф. Чистяков [5]). Задачи управления алгебро-дифференциальными системами также исследуют в своих работах L. Рап-dolfi [119, 120], Г.А. Курина [48, 49, 50, 51], F.L. Lewis [115]. L. Pandolfi в работе [120] получены условия существования оптимальных решений конечномерной задачи (0.1) - (0.3) с функционалом стоимости управления ,7(3:(0),) и вычислено его значение на оптимальных траекториях.
Г.А. Курина [48] рассмотрела задачу минимизации функционала C(u)i заданного в матричном виде, на траекториях системы 4(М0) = M(t)x(t) + B(t)u{t), at Lx(tQ) = xo, где x(t) Є Em, u(t) Є Жг, причем допустимые управления u{t) являются непрерывными функциями на фиксированном конечном интервале времени to t Т, переводящими систему из состояния, удовлетворяющего начальному условию, в произвольную точку пространства Шт. Матрица D предполагается вырожденной. Г.А. Куриной доказано равенство, которое определяет оптимальное управление в виде обратной связи, а также найдено минимальное значение функционала стоимости. Аналогичный результат для случая бесконечного интервала времени получен Г.А. Куриной в более поздней работе [50].
Ю.Е. Бояринцевым и В.Ф. Чистяковым [5] рассмотрена конечномерная задача (0.1), (0.2) с компромиссным квадратичным функционалом стоимости общего вида. При этом матрицы L и М являются квадратными, начальное значение XQ берется из аффинного многообразия, определяемого значениями функций и их производных в правой части уравнения. Найдены необходимые и достаточные условия оптимальности пары (состояние, управление) в терминах сопряженной системы. Кроме того, в [4] показано, что задача Lx(0) = х0 для уравнения (0.6) в Rn разрешима тогда и только тогда, когда разрешима некоторая задача минимизации квадратичного функционала на решениях краевой задачи для вспомогательной алгебро-дифференциальной системы.
В работах Г.А. Свиридгока и А.А. Ефремова [21, 79, 80] исследована задача минимизации квадратичного функционала (0.1) - (0.4) с n = 1, т"2 = р+ 1 в бесконечномерных пространствах. Рассмотрены случаи существования аналитической в С группы и аналитической в секторе полугруппы, разрешающей уравнение (0.11). Заметим, что для разрешимости задачи Коши х(0) = XQ ДЛЯ неоднородного уравнения (0.6) с вырожденным оператором L необходимо выполнение некоторого условия согласования между проекцией начального значения XQ этой задачи на ядро разрешающей полугруппы и проекцией вектора Ви(0) + у(0) [5, 77, 124]. Другими словами, начальное значение должно принадлежать некоторому аффинному многообразию, определяемому вектором В«(0) + у(0). Это обстоятельство вынудило авторов работ [21, 79, 80] существенно сузить как множество начальных значений задачи Коши XQ, так и пространство функций управления. А именно, ими используется пространство управлений {и Є Hp+l(U) : v№(0) = 0, A; = 0,р+ 1}, а начальные значения задачи Коши берутся из множества L є X : (I - Р)х = J2GkM (I - Q)yW(0)l, (0.13) I ь=о J где Р - единица упомянутой разрешающей полугруппы (или группы) операторов, Q - единица разрешающей полугруппы уравнения, эквивалентного уравнению (0.11), но заданного на пространстве У, а р -наибольшая длина цепочки относительно М-присоединенных векторов оператора L1 на которых вырождается проектор Р. Г.А. Свиридкжом и А.А. Ефремовым установлена однозначная разрешимость рассмотренных задач, полученные абстрактные результаты приложены к исследованию задач оптимального управления для уравнения Барепблатта -Желтова - Кочиной и для уравнения свободной эволюции поверхности фильтрующейся жидкости.
