Оптимальное управление гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе Рябова Елена Александровна

Содержание к диссертации

Введение

1 Гиперболические полулинейные системы на стандартном симплексе 23

1.1 Системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка на стандартном симплексе; необходимые и достаточные условия принадлежности данному классу систем 23

1.2 Система, записанная в инвариантах: необходимые и достаточные условия принадлежности классу систем на стандартном симплексе 27

1.3 Уравнения химической кинетики: пример гиперболической системы полулинейных уравнений на стандартном симплексе 32

1.4 Формы представления гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе

1.5 Решение задачи Коши для гиперболической полулинейной системы на стандартном симплексе 45

1.6 Условия приведения системы дифференциальных уравнений к системе на стандартном симплексе 54

1.7 Проектирование симплекса 61

1.8 Решение задачи Коши в классе абсолютно непрерывных функции 62

2 Предельные свойства решения задачи Коши для гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе 65

2.1 Стремление решения к вершине симплекса: необходимые и достаточные условия выполнения 65

2.2 Необходимые и достаточные условия стремления к вершине симплекса для частного случая гиперболической системы 71

2.3 Примеры исследования предельного поведения решения систем гиперболического типа на стандартном симплексе 75

2.4 Попадание решения в окрестность вершины симплекса: достаточные условия 78

3 Оптимальное управление гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе 86

3.1 Постановка задачи оптимального управления для системы на стандартном симплексе 86

3.2 Необходимые условия оптимальности допустимого процесса в задаче на ограниченном интервале времени 88

3.3 Решение одного класса оптимизационных задач 92

3.4 Теорема о постоянстве управления вдоль характеристик 94

3.5 Решение оптимизационных задач на ограниченных интервалах времени 95

3.6 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени 10G

3.7 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени в случае линейных функций перехода 108

3.8 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени в случае нелинейных функций перехода 115

3.9 Исследование задачи оптимального управления на неограниченных интервалах времени для частного случая гиперболической системы на стандартном симплексе 121

Литература 124

• Система, записанная в инвариантах: необходимые и достаточные условия принадлежности классу систем на стандартном симплексе
• Условия приведения системы дифференциальных уравнений к системе на стандартном симплексе
• Необходимые и достаточные условия стремления к вершине симплекса для частного случая гиперболической системы
• Необходимые условия оптимальности допустимого процесса в задаче на ограниченном интервале времени

Введение к работе

Для математического описания многочисленных явлений и процессов различной природы используются нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными, в том числе системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Такие системы широко применяются в теории переноса и излучения, при моделировании процессов в ядерных реакторах, газовой динамике, при описании процессов иоиуляцноппой генетики и химической кинетики.

Большинство реальных физических процессов описывается нелинейными уравнениями, и только существенные дополнительные предположения приводят к линейным уравнениям, которые изучены более глубоко. При всем обилии различных методов исследования и решения нелинейных уравнений эта область математики до сих пор не изучена так же полно, как теория линейных уравнений. Это связано в первую очередь с тем, что к нелинейным дифференциальным уравнениям неприменим принцип суперпозиции решений, так что многообразие решений не является линейным. Поэтому для приложений большое значение имеет изучение отдельных классов уравнений, исследование которых существенно опирается на их специфику.

Основные вопросы, возникающие при изучении систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, связаны с проблемами существования, единственности, непрерывной зависимости от входных данных решения задачи Коши, построения алгоритмов численного и аналитического поиска этого решения, проблемой глобальной разрешимости задачи Коши.

Первые результаты по существованию и единствен пости решения задачи Коши для уравнений и систем уравнений в частных производных были получены методом Коши - Ковалевской в предположении аналитичности входных данных задачи Коши. Теорема Коши - Ковалевской применима для широчайших классов дифференциальных уравнений в частных производных, по ценность полученных результатов снижается достаточно обременительными для приложений требованиями на входные данные, так как задачу Коши для систем дифференциальных уравнений, описывающих процессы различной природы, часто требуется рассматривать при минимальных ограничениях на входные данные.

Среди гиперболических систем нелинейных уравнений с частными производными наиболее простыми являются системы квазилинейных уравнений. Теоремы общего характера о разрешимости квазилинейных гиперболических уравнений порядка выше первого и систем квазилинейных уравнений гиперболического типа начали изучаться в начале 20 века в работах Э. Леви [235,236]. Однако затем, как отметил Курант [111] "... работа Э. Леви о гиперболических уравнениях оставалась забытой, пока почти все его результаты не были заново открыты." Позднее, независимо от работ Э. Леви, Ю. Шаудером [255], Г. Леви [237], К. Фридрихсом и Г. Леви [211 J, Ф.И. Франкелем [182], С.А. Христиаповичем [184] были установлены различные условия локальной разрешимости задачи Коши для систем нелинейных и квазилинейных уравнений гиперболического типа как с двумя, так и со многими независимыми переменными. Наиболее общие результаты в этом направлении были получены II.Г. Петровским в его классической работе [143].

Естественная степень общности построения классического решения задачи Копій для случая гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными была достигнута в работах А. Дуглиса [208], Ф. Хартмаиа и А. Винт-пера [220], обобщивших результаты К. Фридрихса [212], Р. Куранта и П. Лакса [204]. А. Дуглис [208] с помощью гладкой аппроксимации данных задачи и последующего предельного перехода, а Ф. Хартман и А. Винтнер [220] с помощью метода характеристик [59,61,187,258] доказали существование и единственность классического (гладкого) решения задачи Коши для квазилинейной системы при предположениях о том, что начальные условия, коэффициенты и правые части системы уравнений обладают лишь первыми непрерывными производными в соответствующих областях. Несколько иное доказательство этих результатов приведено в книге Б.Л. Рождественского и Н.Н. Яненко [158].

Заметим, что область существования классического решения, вообще говоря, ограничена. Это связано с возможностью пересечения характеристик одного и того же семейства и образования разрывов решения, что, как видно из работ [227,234,240], довольно обычно для квазилинейных гиперболических систем. Основные условия глобальной разрешимости в этом направлении были связаны с построением обобщенного решения, включающего и разрывный случай. Наиболее значительные результаты общего характера здесь были достигнуты Дж. Глиммом [210] (см. также [10,241]).

Однако интерес представляют и условия, при которых такого пересечения характеристик не наступает. Так, в [157] был исследован случай, когда задача Коши для слабо-нелинейной системы из двух уравнений может быть разрешена в классическом смысле глобально. Условия глобального существования гладкого решения задачи Коши для однородных систем из т уравнений были получены в работе [222]. Достаточные условия существования непрерывного обобщенного решения задачи Коши для неоднородных систем из т уравнений были получены в [133]. Несмотря на перечисленные важные результаты, проблема глобальной разрешимости задачи Коши остается актуальной до сих пор [44,45,215,223,232,249].

Наряду с системами квазилинейных уравнений [53,115,132,197,198,220,247,253] изучаются и их следствия — гиперболические системы законов сохранения [55,139, 190,191,219,225,233,256].

Систему квазилинейных уравнений, в которой коэффициенты перед частными производными не зависят от искомых функций, называют полулинейной. В случае полулинейной системы ее можно записать в инвариантах [15G, т.е. с помощью замены переменных добиться, чтобы в каждом из уравнений дифференцировалась лишь одна функция. Для таких систем строится обобщенное решение в классе непрерывных функций [158,212]; значительно упрощается нахождение области определенности [158]; производные решения полулинейной системы остаются ограниченными в области, в которой остается ограниченным само решение. В [2G] подробно исследован класс -гипорболических по Фридрихсу систем (полулинейный случай): доказаны теоремы единственности гладких решений задачи Коши и смешанной задачи в рассматриваемых областях, теоремы существования для некоторых частных случаев этих задач, получены оценки решений симметрических гиперболических снегом. Полулинейные системы уравнений в частных производных гиперболического тина привлекают к себе внимание широкого круга исследователей [29,42,43,124,132,251,252].

Во многих случаях физическая постановка задачи требует, чтобы ее решение принимало лишь неотрицательные значения. Так, в физических процессах положительными остаются энергии частиц, в химических - концентрации реагирующих веществ, в биологических - количества особей различных видов и т.д.. Проблема положительности решения также является одним из важнейших вопросов, возникающих при изучении систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Признаки существования положительного решения дифференциальных уравнений рассматриваются, например, в работах [65-67,69,1б7,

Большое практическое значение имеет случай, когда решение z = {z\,... ,zn) системы дифференциальных уравнений поточечно удовлетворяет условиям

п

Zi О, і = 1,п, 2_]zi — const,

i=l

то есть система дифференциальных уравнений задается относительно функций, областью изменения которых является конечномерный симплекс. С помощью замены переменных в такой системе можно перейти к рассмотрению задачи, решение которой принадлежит стандартному симплексу

п

Х = 1 0, г = Т п. (0.1.1)

г=1

В дальнейшем системы, решение которых поточечно принадлежит симплексу (0.1.1), будем называть системами на стандартном симплексе.

Например, для анализа обобщенных моделей нопуляциопной динамики [15,116, 147,153,168,169] вида

N = f(t,N), N(t0) = №, (0.1.2)

где N = (Ni,...,Nn) - вектор состояния системы, / - нелинейная в общем случае функция переменных N{ и t, обеспечивающая преобразование неотрицательного вектора начальных условий № в неотрицательную полутраекторию N(t) 0, принято переходить к новым переменным, характеризующим состояние популяции, по формулам

0) = JWL, ,- = т7. (0.1.3)

Nt(t)

При этом областью изменения переменных Z{ является стандартный симплекс (0.1.1).

Системы уравнений химической кинетики, подчиняющейся закону действующих масс, могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе [9,27, 77]. Еще одним примером служит процесс самосборки [63,176,177], модель которого первоначально была предложена в связи с анализом обнаруженных экспериментально прцессов самосборки вирусов [117,199]. Уравнения, описывающие процесс самосборки, также могут быть интерпретированы как уравнения химической кинетики.

Системы на стандартном симплексе при определенных предположениях являются обобщением модели, которую предложили А.Лотка 243] при рассмотрении кинетики химических реакций, а затем независимо от пего В.Вольтерра [19] для описания динамики численности групп, составляющих биологическое сообщество. Системы типа Лотки - Вольтерра, кроме экологических задач, возникают также при описании эволюции самых разнообразных взаимодействующих объектов. Так, уравнения этого типа встречаются в исследованиях кинетики химических реакций [230,248] и динамике микробных экосистем [152], при моделировании процессов видообразования [160] и активности нейронов [205], в математической экономике [213,254], социологии [206,207], астрофизике [185,228], гидродинамике [33], к этому виду приводятся и некоторые уравнения популяционной генетики [150,151,153,188]. Такое обилие приложений определило необходимость развития качественной теории систем Лотки -Вольтерра [120,121,127,189,238,242,259,261-265].

Исследование динамики биологических видов или химических элементов в условиях сильных водных или воздушных потоков, рассмотрение эволюции популяции с учетом возрастного состава приводит к необходимости изучения процессов с распределенными параметрами, которые описываются системами уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа [12,40,172,203,217,224], а также гиперболическими полулинейными системами, решение которых в каждой точке из области определенности [158] принадлежит стандартному симплексу. Уравнения типа "реакция - перенос" не менее актуальны, чем уравнения "реакция - диффузия", предполагающие хаотичность перемещений особей по ареалу обитания [11,13, 32,110,135,155,173,183].

Системы на стандартном симплексе, с формальной точки зрения, определяют эволюцию вероятностных распределений и, естественно, находят разнообразные приложения не только при исследовании равновесия и устойчивости в моделях популяционной динамики, генетики и химической кинетики [27,153]. Так, они возникают в теории игр при нахождении устойчивого значения игры G2, в теории автоматического управления при исследовании скользящих режимов [180].

Математические особенности сосредоточенных систем на стандартном симплексе изучались в работах О.А. Кузенкова [77-80]. Кроме того, О.А. Кузенкоиым исследована задача Коши для эволюционного уравнения в семействе вероятностных мер Радона, посредством которого можно единообразно представить широкие классы сосредоточенных и распределенных систем, в том числе решение которых принадлежит стандартному симплексу [71-76]. Это позволяет выявить общие закономерности поведения различных систем, обосновать разрешимость многих классов дифференциальных, интегро-дифференциальных уравнений, исследовать предельные свойства решения, а в ряде случаев найти решение в явном виде.

Математическая проблема сохранения стандартного симплекса имеет много общего с теорией выживания (термин принадлежит J.-P. Aubin) для динамических систем [192,193]. К задачам выживания для управляемых динамических систем относится, например, задача построения управления, удерживающего траектории системы в заранее заданном множестве. Если это множество гомеоморфію шару, то, вообще говоря, с помощью соответствующих замен неременных, его можно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобразить па стандартный симплекс.

Вопрос о существовании решения x(t,Xo) задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения х = f(x) с начальным условием х(0) = Хо, в течении некоторого времени остающегося в наперед заданном множестве (такое решение называется выживающим), был разрешен в 1942 году Нагумо [24G]. А.Б. Куржаиским и Т.Ф. Филиповой [112,113] получено аналитическое описание множества траекторий линейных дифференциальных включений, выживающих до определенного момента времени в пределах заданного множества. Ими же в работе [114] установлены связи между задачами о выживаемости для дифференциальных включений и системами включений, содержащими возмущающие параметры и функции. В [179] для системы с последействием (с наследственностью) и некоторого целевого множества, заданного в пространстве абсолютно непрерывных функций были найдены достаточные условия выживаемости. В работе [7] исследованы необходимые и достаточные условия выживания систем с последействием в заданном множестве.

Еще один важный вопрос, возникающий при изучении систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе, — формы представления. В [153, 154] показано, что при определенных предположениях о развитии популяции от системы (0.1.2) можно перейти к уравнениям динамики структуры популяции z(t) =

п

Zi = Fi(t,z)-Zi 2Fj(t,z), i = T n,

3=1

где функции Fi удовлетворяют условию квазиположитсльиости [47]

Fi(t,Zi,...,Zi-l,Q,zi+u...,zn) 0 при Zi О, і = l,ti,

которое гарантирует в данном случае положительную инвариантность симплекса (0.1.1). При этом остается открытым вопрос: является ли это представление универсальным, и на сколько оно справедливо для систем в частных производных первого порядка на симплексе.

Естественно, что системы уравнений тина "реакция - перенос" являются более общими, нежели соответствующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Из них можно вывести практически все закономерности динамики сосредоточенных систем на симплексе, а вот эффекты, возможные в распределенном случае, нельзя получить при исследовании только сосредоточенной системы. Так же, как и в сосредоточенном случае, при исследовании распределенных систем встают вопросы о критерии принадлежности гиперболических полулинейных систем классу систем на стандартном симплексе, формах представления таких систем, алгоритмах решения задачи Коши. Ответы на эти вопросы тесно связаны с исследованием качественного поведения этих систем, в частности с исследованием устойчивости решения.

Вопрос об устойчивости решения - это одна из важнейших проблем теории дифференциальных уравнений. Понятие устойчивости решения было введено A.M. Ляпуновым. Им же были заложены основы методов исследования на устойчивость. Идеи A.M. Ляпунова сохранили свое значение до сих пор и широко используются в современных исследованиях вопросов устойчивости. В работе [171] развивается метод функций A.M. Ляпунова для изучения устойчивости процессов с распределенными параметрами. С шестидесятых годов прошлого века это направление получило значительное развитие. Особенно плодотворным оказалось введение [138,1G2J понятия устойчивости по части переменных. Развитие его [128-131) привело к понятию устойчивости по двум мерам; в [49] рассмотрена устойчивость инвариантных множеств; исследованию устойчивости в целом, т.е. когда начальные возмущения являются конечными или даже сколь угодно большими, но процесс протекает в неограниченном интервале времени, посвящены статьи [8,46]. В перечисленных работах доказаны необходимые и достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости и т.д. в терминах функций Ляпунова. Различным вопросам исследования устойчивости процессов с распределенными параметрами методом функций Ляпунова посвящено большое количество работ, число которых непрерывно растет. Этот метод широко применяется и при исследовании управляемых динамических систем [118].

Вопрос об устойчивости вершины симплекса, являющейся состоянием равновесия рассматриваемых систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе, связан с вопросами, возникающими в приложениях, о конечных продуктах реакции или о результатах отбора. Исследование глобальной асимптотической устойчивости вершины симплекса состоит из следующих задач: во-первых, исследование локальной устойчивости вершины симплекса и, во-вторых, исследование стремления фазовых траекторий с течением времени к вершине симплекса. Для решения второй проблемы также можно применить метод функций Ляпунова, но процесс этот не тривиален, и не всегда удается подобрать соответствующую функцию. В связи с этим имеет смысл разрабатывать и другие методы исследования поставленной задачи.

Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на объекты, описываемые сложными системами с распределенными параметрами, втом числе и системами квазилинейных уравнений гиперболического типа. К такому классу систем относятся многие производственные процессы, например, синтез и очистка вещества в ректификационной колонне, химическая сорбция, дистилляция, нагрев металла под прокатку или термообработку. Для этих объектов характерно то, что взаимодействие веществ и обработка материала происходят в процессе их пространственного продвижения через зоны обработки, во время которого на них оказывается распределенное не только во времени, но и в пространстве воздействие: тепловое, электрическое, химическое и т.п..

Во многих технических и научных приложениях часто возникает вопрос об отыскании наилучшего в том или ином смысле управления, например, для достижения наибольшего эффекта от эксплуатации управляемых объектов. С точки зрения математики это приводит к задачам оптимального управления.

Первые исследования по теории оптимизации систем с распределенными параметрами в нашей стране и за рубежом были проведены А.Г. Бутковским, А.II. Егоровым, К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдиновым, Ж.-Л. Лиопсом и др. [10,17,30,119,122,170].

В.И. Плотников предложил общий подход к получению необходимых условий оптимальности для сосредоточенных и распределенных систем с помощью метода абстрактных вариаций [50,144,146]. Он базируется на общей схеме исследования экстремальных задач, позволяющей учитывать ограничения задачи посредством отделения выпуклого конуса вариаций. С его помощью удалось обосновать принцип максимума для широких классов оптимизационных задач [109,130, 137, 145. Достоинство подхода, связанного с развитием абстрактных теорий оптимизации, использующего аппарат функционального анализа, состоит в единообразии процедуры вывода условий оптимальности для сосредоточенных и распределенных систем, в возможности изложить основные идеи более доступно, не заслоняя их техническими деталями. Абстрактные теории оптимизации были предложены в работах [14,17,22-24,34,35,51,125]. Когда даны конкретные уравнения объекта управления, абстрактный принцип максимума "расшифровывается" и приобретает форму, близкую к принципу максимума Понтрягина. Например, книга [120] посвящена изложению методики такой "расшифровки", т.е. методике применения абстрактного принципа максимума.

Различные задачи оптимального управления гиперболическими системами, в том числе и первого порядка, исследовались, например, в работах [2-0,16,25,54,122,126, 170,174,175,186,200,201,210,214,233,244,245,260]. В большинстве работ были выведены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, справедливые при самых разнообразных предположениях относительно вида системы, управляющей функции, критерия качества и ограничении. Однако, как правило, непосредственно из этих условий трудно получить оптимальное управление и для того чтобы дать окончательное решение, необходимо дальнейшее исследование, опирающееся на учет особенностей конкретной задачи. Трудности многократно усугубляются нелинейностью управляемой системы или наличием фазовых ограничений.

Управляемый процесс, описываемый системой на стандартном симплексе (0.1.1), с точки зрения оптимального управления, приводит к оптимизационной задаче с п фазовыми ограничениями типа равенства ] = 1 и неравенства Z{ 0, і — I,п.

В общем случае решение задач оптимального управления с фазовыми ограничениями вызывает определенные затруднения, связанные с тем, что принцип максимума формулируется для функции Гамильтона, содержащей неопределенные меры.

Большое практическое значение имеет исследование предельных возможностей управляющего воздействия и изучение связи между ограничениями на область управления и достижением абсолютного максимума критерием качества. Можно ли но величине, характеризующей запас управляющего воздействия, определить целесообразность поиска оптимального управления при котором интересующий нас вид элементов сохраняется в системе неограниченно долго, или же такой поиск бессмысле-нен, так как любое управление приводит к уничтожению интересующих нас элементов. Эти вопросы приводят к необходимости рассмотрения оптимизационных задач на неограниченных интервалах времени.

К задачам оптимального управления системами на стандартном симплексе при неограниченном времени управления приводят, например, оптимизационные задачи с собственным критерием качества, т.е. с критерием не навязанным извне, а проистекающим из объективных интересов и потребностей системы [47].

Вопрос о том, каким критерием должна руководствоваться система при выборе своего поведения, неоднократно рассматривался как для отдельных классов систем (например, биологических [27,28,159]) в соответствующих дисциплинах, так и для общего случая в общей теории систем [1, 202]. Одна из важных идей системного анализа состоит в том, что основным собственным критерием поведения системы является ее неограниченно долгое непротиворечивое существование; все остальные критерии либо подчинены этому, либо являются внешними, задаваемыми иными системами [257]. Наиболее просто такой критерий можно формализовать для системы конкурирующих самовоспроизводящихся объектов.

Пусть задано множество М, состоящее из конечного числа п элементов. Это могут быть биологические виды, химические вещества, варианты поведения и т.п.. Поставим в соответствие каждому г-му элементу множества М действительное число Z{, количественно отражающее существование этого элемента в системе в данный мо п мент времени так, чтобы выполнялись условия 2 Zi — 1, Zi О, г = 1, гг., которые г=1 определяют стандартный симплекс в n-мерном пространстве. Величина Zi — 0, если элемент в системе отсутствует. Это могут быть удельные численности видов, удельные количества капиталов, занятых в производстве, удельные количества произведенных или реализованных товаров, частоты использования технических решений, вероятности выбора вариантов поведения и т.н.. Например, если элементами множества М являются биологические виды, сосуществующие в общем ареале обитания, Ni(t) - количество особей г -го вида в данный момент времени, то в качестве величины Z((t) целесообразно взять удельную численность (0.1.3). Переход к удельным величинам во многих случаях очень удобен и широко используется при исследовании моделей биофизики [153].

Если с течением времени будет справедливо соотношение lim Zi(t)/zj(t) = 0,

t—юо

то г-й элемент будет постепенно вытесняться из общей системы j-м элементом. Можно утверждать, что j-й элемент лучше приспособлен к условиям существования, чем г -й. Собственным критерием для выбора поведения г -го элемента будет предел lim ф) (0.1.4)

t-юо

или в более общем случае временное среднее

7fjzi{t)dt (0.1.5)

т Zi = lim

Г-юо (если указанные пределы существуют).

Если скорости ФІ изменения величин Zi во времени являются непрерывными функциями для всех г от 1 до п, то величины Zi удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений

Zi = bi(t,Zi.,...,zn), i = \ n. (0.1.6)

Наряду с рассмотренными пределами можно исследовать средневременное значение удельной скорости воспроизводства г -го элемента

т J(zi) = lim і І dt. (0.1.7)

Т- оо 1 J Zi Нетрудно видеть, что

In Zi(T) J{zt) = hm —=—.

T- oo і

Если существуют оба предела (0.1.4),(0.1.7), то из того, что первый достигает наибольшего значения - единицы, вытекает, что второй также достигает наибольшего значения - нуля; увеличение второго никогда не может привести к уменьшению первого.

Отсюда следует, что первый критерий сильнее второго (в области их общего существования). Однако нередко на практике удобнее в качестве критерия использовать J(zi). В частности, именно через него формулируется в биологии критерий приспособленности биологического вида (как средневременной коэффициент размножения) [27,28].

Если г-й элемент обладает возможностью влиять на скорость изменения величин Z{, і = 1,п, то оптимальным управлением для него будет то, которое обеспечивает максимум указанных пределов (0.1.4),(0.1.5),(0.1.7). Если при любом управлении пределы (0.1.4),(0.1.5) равны нулю, то задача оптимизации бессмысленна. Абсолютно наилучшим будет то управление, при котором пределы (0.1.4),(0.1.5) равны единице. В этом случае г-й элемент вытесняет из системы всех остальных. Не уменьшая общности, можно считать, что г = 1, т.е. рассматривать задачу с точки зрения первого элемента. Такой подход к формированию собственного критерия качества системы подробно рассмотрен в [78,79,81].

Для системы (0.1.6) можно поставить задачу оптимального управления. Соответствующие пределы на бесконечном времени (0.1.4), (0.1.5), (0.1.7) будут играть роль критерия качества управления. Данные функционалы могут также выражать и цели внешней управляющей системы, например, выделение из общего набора конкурирующих элементов множества М элементов только одного г -го вида, интересующего нас по каким-либо причинам.

Изложенную методику построения оптимизационной задачи можно применить и для распределенной системы, описываемой уравнениями в частных производных первого порядка.

Библиография работ, посвященных исследованию задач оптимального управления на неограниченных интервалах времени, весьма обширна. В различных постановках оптимизационные задачи на неограниченных интервалах времени рассматривались в [21,30,52,118,123,134,141,142,195,190,209,218,221,229]. Указанные задачи также широко применяются при решении проблем оптимальной стабилизации [148J.

Задачи управления на неограниченных интервалах времени системами, решение которых поточечно принадлежит стандартному симплексу, тесно связаны с проблемой управляемости на бесконечном времени. Вообще говоря, множество гомеоморф-ное шару можно с помощью соответствующих замен переменных взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобразить на стандартный симплекс, который, в свою оче редь, проектируется на конечномерный симплекс с вершиной в начале координат, при этом между вершинами симплексов устанавливается взаимно однозначное соответствие. Нахождение условий, ограничивающих область управления, при которых вершина стандартного симплекса асимптотически устойчива, можно интерпретировать как построение области управляемости на неограниченном интервале времени в случае, когда начало координат лежит на границе рассматриваемой области.

Начало изучения вопроса управляемости динамической системы было положено работами Р. Калмана [57], где были сформулированы и доказаны ранговые критерии глобальной управляемости линейных стационарных систем при отсутствии ограничений на управление. В настоящее время имеется обширное количество исследований, в которых получены необходимые и достаточные условия управляемости и нуль-управляемости нелинейных динамических систем при ограничении на управление [38,39,118,140,194,239]. В работах [38,39] приводятся критерии управляемости системы в области фазового пространства. Данные критерии являются достаточными условиями нуль-управляемости системы при наличие фазовых ограничений, если начало координат лежит внутри рассматриваемой области. Изучение случая, когда начало координат лежит на границе, не является тривиальным и представляет большую сложность. Статья [70] посвящена исследованию такого случая, когда фазовые ограничения вырезают в фазовом пространстве конечномерный симплекс с вершиной в начале координат.

Приведенный выше обзор позволяет сделать вывод об актуальности проблемы изучения полулинейных гиперболических систем на стандартном симплексе и исследования вопросов оптимального управления для таких систем на ограниченных и неограниченных интервалах времени.

Цель работы состоит в исследовании систем гиперболических уравнений в частных производных первого порядка, решение которых в каждой точке из области определенности принадлежит стандартному симплексу, а именно в доказательстве критерия принадлежности гиперболических полулинейных систем указанному классу систем; в установлении форм представления таких систем; в обосновании решения задачи Коши для гиперболической системы полулинейных уравнений на стандартном симплексе; в нахождении условий, при которых систему полулинейных уравнений гиперболического типа можно свести к системе на стандартном симплексе, либо выделить ее в качестве подсистемы; в выяснении предельного поведения решения поставленной задачи Коши; в исследовании задач оптимального управления гиперболическими полулинейными системами на стандартном симплексе на ограниченных и неограниченных интервалах времени; в обосновании условий достижения абсолютного максимума некоторым семейством критериев качества на оптимальном управлении такими системами.

Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории функции действительного переменного, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также уравнений с частными производными и теории оптимального управления.

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и состоят в следующем:

- доказан критерий принадлежности системы полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа классу систем на стандартном симплексе;

- установлены формы представления гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе;

-доказаны условия, при которых систему полулинейных гиперболических уравнений можно свести к системе на стандартном симплексе, либо выделить ее в качестве подсистемы;

- обоснован метод решения задачи Коши для гиперболической полулинейной системы на стандартном симплексе, опирающийся на решение вспомогательной системы, правая часть которой является однородной относительно искомых функций;

- доказаны необходимые и достаточные условия выполнения в рассматриваемых системах предельного свойства, заключающегося в стремлении решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса вдать всех характеристик;

- выведены необходимые и достаточные условия оптимальности допустимого управления в оптимизационной задаче па стандартном симплексе при ограниченном времени управления;

-для широких классов систем полулинейных уравнений в частных производных гиперболического типа найдены ограничения на область управления, при которых критерий качества достигает своего абсолютного максимума на неограниченных интервалах времени.

Степень обоснования результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы сформулированы в виде теорем и строго математически обоснованы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, отдельные результаты могут быть использованы в прикладных исследованиях.

Проведенное исследование систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа на стандартном симплексе (особенно доказанные теоремы о представлении, разрешимости, выделении системы па симплексе) позволяет сводить решение задачи Коши для этих систем к решению более простых вспомогательных однородных систем, что облегчает построение аналитического и численного решения, а также создает дополнительные возможности для исследования широкого класса задач оптимального управления указанными системами на ограниченных интервалах времени.

Изучение предельного поведения решения задачи Кошм для полулинейных гиперболических систем на стандартном симплексе, а именно доказательство необходимых и достаточных условий стремления решения системы уравнении с течением времени к вершине симплекса вдоль всех характеристик, является необходимым этапом в изучении абсолютной глобальной устойчивости вершиш»! симплекса и служит основой для построения области управляемости таких систем на неограниченных интервалах времени в случае принадлежности начала координат границе рассматриваемой области, а также для исследования предельных возможностей управляющего воздействия, позволяющих оценить, достаточен ли запас управляющего воздействия для достижения абсолютного максимума критерием качества на неограниченных интервалах времени.

Полученные результаты имеют практическую значимость при исследовании распределенных систем, являющихся обобщением модели Лотки-Вольтерра с учетом явления переноса, применяющихся при изучении динамики удельных концентраций взаимодействующих веществ или удельной плотности распределения биологической популяции в сильных водных или воздушных потоках, а также при изучении динамики популяции с учетом возрастного состава. К рассматриваемому классу систем относятся такие производственные процессы как синтез и очистка вещества в ректификационной колонне, химическая сорбция, дистилляция.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Международном семинаре, посвященном 10-летию Самарского муниципального университета Наяновой (Самара, 1998); на Воронежских математических школах "Современные методы теории функций и смежные проблемы "(Воронеж, 1999), (Воронеж, 2001), "Современный анализ и его приложения"(Воронеж, 2000), "Понтрягин-ские чтения - XII"(Воронеж, 2001), "Понтрягинские чтения - XIII"(Воронеж, 2002); на VI и VIII Международных конференциях "Математика. Компьютер. Образова-ние"(Пущино, 1999), (Пущино, 2001); на XII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики"(Н. Новгород, 1999); на Международной конференции "Dynamical systems modeling and stability invcstigation"(KiieB, 1999); на V Международной конференции "Нелинейные колебания механических систем"(Н. Новгород, 1999); на Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва, 2000), (Москва, 2004); на II Международной конференции "Control of Oscillations and Chaos"(Санкт-Петербург, 2000); на V Крымской Международной математической школе "Метод функции Ляпунова и его приложения" (Алушта, 2000), на конференции "Вычислительная математика и кибернетика 2000", посвященной 80-летию Ю.И.Неймарка (Н. Новгород, 2000); на VI Международном конгрессе по математическому моделированию (Н. Новгород, 2004), на X междисциплинарной конференции "Нелинейный мир"(Н. Новгород, 2005).

По теме диссертации были также сделаны доклады на Всероссийском научно-исследовательском семинаре "Нелинейная динамика и управление" в МГУ (рук. акад. СВ. Емельянов и акад. С.К. Коровин, 2005), на Ижевском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управлення (рук. проф. Е.Л. Тонков, доц. Н.Н. Петров, 2005), на семинаре каф. ЧиФА ф-та ВМК ННГУ (рук. проф. С.Н. Слугин), на семинаре каф. математической (ризики механико-математического ф-та ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин и доц. М.И. Сумин, 2005), па семинаре каф. биофизики биологического факультета МГУ (рук. проф. Г.Ю. Ризничеико, 2005).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований: гранты 98-01-00635, 01-01-00591, 03-02-16680.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 30 работ. Из них: 3 статьи в центральной печати, 1 статья в издании института системного анализа РАН (Москва), 5 в научных сборниках ННГУ, 2 статьи в трудах и 19 тезисов в материалах конференций, конгрессов и семинаров (в скобках указаны номера по списку литературы).

1. [83] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Теорема существования решения одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Международный семинар, посвященный 10-летию Самарского муниципального университета Наяновой: Тезисы докладов. Самара. 1998. С.77-78.

2. [84] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Решение одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 1(20). С.63-72.

3. [85] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Исследование обобщенной модели Вольтерра с учетом явления переноса // VI Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. Москва, 1999. С. 152.

4. [86] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Влияние явления переноса па динамическую систему "т хищников - п жертв-// Воронежская математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж. 1999. С.Ш.

5. [87] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Исследование обобщенной модели Вольтерра с учетом явления переноса // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 6. Часть II. Сб. научных трудов/ Под ред. Г.Ю. Ризничеико. М.: "Прогресс-Традиция". 1999. С.429-433.

6. [88] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Достаточные условия нуль-управляемости за бесконечное время для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // XII Международная конференция "Проблемы теоретической кибернетики". Тезисы докладов. Москва. 1999. С.124.

7. [89] Кузенков О.А., Рябова Е.А. О решении системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных на конечномерном симплексе // International Conference "Dynamical systems modeling and stability investigation". Kyiv. 1999. P.29.

8. [90] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Проблема отбора для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Н.Новгород. 1999. С.130-131.

9. [91] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Исследование гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 2(21). С.138-144.

10. [92] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Необходимые и достаточные условия отбора для гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Воронежская математическая школа "Современный анализ и его приложения". Тезисы докладов. Воронеж. 2000. С. 103-104.

11. [93] Кузенков О.А., Рябова Е.А. О симметричной форме гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // VI Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. Москва. 2000. С.46.

12. [94] Kouzenkov О.A., Ryabova Е.А. Study of periodic modes in generalised Volterra model If 2000 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos". Proceedings. Volume 3 of 3. St.Petersburg. 2000. P.579-582.

13. [95] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Изучение поведения гиперболической системы па конечномерном симплексе с помощью метода функций Ляпунова // V Крымская Международная математическая школа "Метод функции Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Крым, Алушта, 2000. С.94.

14. [96] Кузенков О.А., Рябова Е.А. О форме полулинейной гиперболической системы на конечномерном симплексе // Конференция "Вычислительная математика и кибернетика 2000", посвященная 80-летию IO.II. Пеймарка. Тезисы докладов. Н. Новгород. 2000. С.47.

15. [97] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Полулинейная гиперболическая система на конечномерном симплексе: система близкая к системе отбора // Воронежская математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Тезисы докладов. Воронеж. 2001.

16. [98] Кузеиков О.А., Рябова Е.А. Пример динамики численности экологической системы с учетом явления переноса // VIII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование". Тезисы докладов. Москва. 2001. C.29G.

17. [99] Кузеиков О.А., Рябова Е.А. Решение одного класса полулинейных гиперболических систем // Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения - XII". Тезисы докладов. Воронеж. 2001. С.96-97.

18. [100] Кузеиков О.А., Рябова Е.А. О форме гиперболической системы первого порядка на конечномерном симплексе // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. N 1(23). Н. Новгород. 2001. С.87-95.

19. [101] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Гиперболическая система полулинейных уравнений на конечномерном симплексе: достаточные условия близости к системе отбора // Вести. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. N 2(24). Н. Новгород. 2001. С.212-218.

20. [163] Рябова Е.А. Оптимальное управление процессом, описываемым гиперболической системой полулинейных уравнений // Конференция "Математика и кибернетика 2002". Материалы конференции. Н. Новгород. 2002. С.84-85.

21. [102] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Исследование оптимального управления гиперболической системой полулинейных уравнений на бесконечном времени // Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения - XIII". Тезисы докладов. Воронеж. 2002. С.86-87.

22. [103] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Исследование управляемости гиперболической полулинейной системой на конечномерном симплексе // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: 8 Международный семинар. Тезисы докладов. М.: Изд-во ИПУ РАН. 2004. С. 102-103.

23. [104]Кузенков О.А., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической системой на симплексе // Изв. АН. Теория и системы управления. 2003. N 2. С.69-75.

24. [106] Кузенков О.А., Рябова Е.А. Оптимальное управление системами с объективным критерием // VI Международный конгресс по математическому моделированию. Тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2004. С.99.

25. [164] Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой на конечномерном симплексе // VI Международный конгресс по математическому моделированию. Тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2004. С.118.

26. [165] Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // Вести. ИНГУ. Мат. моделирование и оптимальное управление. 2005. Вып. 2(29). С.185-192.

27. [166]Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // Нелинейный мир: X междисциплинарная научная конференция. Тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2005. С.117.

28. [105]Кузенков О.А., Рябова Е.А. Оптимальное управление гиперболической полулинейной системой первого порядка на стандартном симплексе // Дифферент уравнения. 2005. Т.41. N 8. С.1142.

29. [107]Кузенков О.А., Рябова Е.А. Оптимальное управление за бесконечное время системой на единичном симплексе // Автоматика и телемеханика. 2005. N 10. С.70-79.

30. [108]Кузенков О.А., Рябова Е.А. Исследование предельного поведения управляемой системы на бесконечном времени // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит. 2005. С.

Краткий обзор содержания диссертации. Первая глава диссертации посвящена изучению свойств гиперболических полулинейных систем, решение которых в каждой точке из области определенности принадлежит стандартному симплексу

п

S = {{zi,...,zn) : zt 0, і = l,n, 2Zi = 1}.

i=\

В п. 1.1-1.2 доказываются необходимые и достаточные условия принадлежности систем к данному классу.

В п. 1.2 вводятся в рассмотрение гиперболические системы полулинейных уравнений в инвариантах с одинаковой главной частью. Решение задачи Копій для таких систем ищется в классе непрерывных вектор-функций, каждая из компонент которых всюду, за исключением точек разрыва правой части системы, имеет производную по переменному t вдоль характеристики.

П. 1.3 посвящен рассмотрению примера гиперболической системы полулинейных уравнений на стандартном симплексе, которая описывает химическую реакцию из класса автокаталитических, протекающую в ректификационной колонне.

В п. 1.4 обоснованы формы представления гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе.

В п. 1.5 устанавливается зависимость между решением задачи Кошн для гиперболической системы полулинейных уравнений в инвариантах с одинаковой главной частью на стандартном симплексе и решением задачи с этими же начальными условиями для вспомогательной системы, правая часть которой является однородной по искомым функциям. Полученные результаты применяются к решению конкретных задач исследуемого типа.

В п. 1.6 обосновываются условия, при которых систему полулинейных гиперболических уравнений в инвариантах с одинаковой главной частью можно свести к системе на стандартном симплексе, либо выделить ее в качестве; подсистемы. Метод приведения к системе на стандартном симплексе продемонстрирован на примерах.

В п. 1.7 доказана теорема о взаимно-однозначном соответствии между системой на стандартном симплексе и системой, решение которой принадлежит конечномерному симплексу с вершиной в начале координат.

В п. 1.8 устанавливается зависимость между абсолютно непрерывным решением вдоль каждой характеристики задачи Коши для полулинейной системы на стандартном симплексе и абсолютно непрерывным вдоль каждой характеристики решением задачи с этими же начальными условиями для вспомогательной системы, правая часть которой является однородной по искомым функциям.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию предельного поведения решения задачи Коши для гиперболических полулинейных систем с одинаковой главной частью на стандартном симплексе.

В п. 2.1-2.2 доказываются необходимые и достаточные условия, при которых гиперболические системы полулинейных уравнений в инвариантах с одинаковой главной частью на стандартном симплексе обладают предельным свойством А, заключающемся в стремлении решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса вдоль всех характеристик.

В п. 2.3 разобраны примеры исследования предельного поведения решения конкретных систем.

В п. 2.4 доказываются достаточные условия, при которых гиперболические системы полулинейных уравнений с одинаковой главной частью на стандартном симплексе обладают предельным свойством В, заключающемся в том, что решение системы уравнений за конечное время попадет в некоторую окрестность вершины симплекса. Теоретические выкладки сопровождаются большим количеством примеров.

В третьей главе диссертации рассматриваются оптимизационные задачи для гиперболических полулинейных систем на стандартном симплексе при ограниченных и неограниченных интервалах времени.

В п. 3.1 ставится задача оптимального управления такой системой с непрерывными начальными условиями на ограниченном промежутке времени. Управляющие функции входят в правую часть системы и принадлежат классу кусочно-непрерывных функций с конечным числом линий разрыва, совпадающих с характеристиками на множестве меры нуль. На множестве решений поставленной задачи определяются функционалы смешанного типа. Требуется минимизировать функционал при дополнительных фазовых и функциональных ограничениях типа равенства и неравенства. Осложнений, связанных с фазовыми ограничениями, удается избежать, используя более простую вспомогательную систему и связь между соответствующими решениями задач Коши. В итоге рассматриваемая задача сводится к более простой управляемой системе, не имеющей фазовых ограничений типа равенства, к которой применяется известная классическая методика, позволяющая эффективно находить ее решение. Окончательный результат формулируется в терминах исходной задачи. Опираясь на это, в п. 3.2-3.3 выводятся необходимые и достаточные условия оптимальности допустимого управления в поставленной задаче на ограниченных интервалах времени.

В п. 3.4 доказываются достаточные условия постоянства вдоль характеристики оптимального управления в этой задаче.

В и. 3.5 приведены примеры решения оптимизационных задач на ограниченных интервалах времени, в том числе задача оптимального управления процессом синтеза химического вещества в ректификационной колонне, который был описай в п. 1.3.

В п. З.б ставится задача оптимального управления системой полулинейных уравнений в частных производных гиперболического типа на стандартном симплексе при неограниченных интервалах времени.

В п. 3.7-3.8 доказаны достаточные условия достижения терминальным критерием качества типа (0.1.4), (0.1.5),(0.1.7) абсолютного максимума па решении гиперболической полулинейной системы на стандартном симплексе в случае линейных и нелинейных функций перехода. В то же время, эти условия являются необходимыми для выполнения в системе предельного свойства Л.

В п. 3.9 аналогично исследована оптимизационная задача на неограниченном интервале времени для частного случая полулинейной системы на стандартном симплексе.

Система, записанная в инвариантах: необходимые и достаточные условия принадлежности классу систем на стандартном симплексе

Для математического описания многочисленных явлений и процессов различной природы используются нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными, в том числе системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Такие системы широко применяются в теории переноса и излучения, при моделировании процессов в ядерных реакторах, газовой динамике, при описании процессов иоиуляцноппой генетики и химической кинетики.

Большинство реальных физических процессов описывается нелинейными уравнениями, и только существенные дополнительные предположения приводят к линейным уравнениям, которые изучены более глубоко. При всем обилии различных методов исследования и решения нелинейных уравнений эта область математики до сих пор не изучена так же полно, как теория линейных уравнений. Это связано в первую очередь с тем, что к нелинейным дифференциальным уравнениям неприменим принцип суперпозиции решений, так что многообразие решений не является линейным. Поэтому для приложений большое значение имеет изучение отдельных классов уравнений, исследование которых существенно опирается на их специфику.

Основные вопросы, возникающие при изучении систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, связаны с проблемами существования, единственности, непрерывной зависимости от входных данных решения задачи Коши, построения алгоритмов численного и аналитического поиска этого решения, проблемой глобальной разрешимости задачи Коши.

Первые результаты по существованию и единствен пости решения задачи Коши для уравнений и систем уравнений в частных производных были получены методом Коши - Ковалевской в предположении аналитичности входных данных задачи Коши. Теорема Коши - Ковалевской применима для широчайших классов дифференциальных уравнений в частных производных, по ценность полученных результатов снижается достаточно обременительными для приложений требованиями на входные данные, так как задачу Коши для систем дифференциальных уравнений, описывающих процессы различной природы, часто требуется рассматривать при минимальных ограничениях на входные данные.

Среди гиперболических систем нелинейных уравнений с частными производными наиболее простыми являются системы квазилинейных уравнений. Теоремы общего характера о разрешимости квазилинейных гиперболических уравнений порядка выше первого и систем квазилинейных уравнений гиперболического типа начали изучаться в начале 20 века в работах Э. Леви [235,236]. Однако затем, как отметил Курант [111] "... работа Э. Леви о гиперболических уравнениях оставалась забытой, пока почти все его результаты не были заново открыты." Позднее, независимо от работ Э. Леви, Ю. Шаудером [255], Г. Леви [237], К. Фридрихсом и Г. Леви [211 J, Ф.И. Франкелем [182], С.А. Христиаповичем [184] были установлены различные условия локальной разрешимости задачи Коши для систем нелинейных и квазилинейных уравнений гиперболического типа как с двумя, так и со многими независимыми переменными. Наиболее общие результаты в этом направлении были получены II.Г. Петровским в его классической работе [143].

Естественная степень общности построения классического решения задачи Копій для случая гиперболических систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными была достигнута в работах А. Дуглиса [208], Ф. Хартмаиа и А. Винт-пера [220], обобщивших результаты К. Фридрихса [212], Р. Куранта и П. Лакса [204]. А. Дуглис [208] с помощью гладкой аппроксимации данных задачи и последующего предельного перехода, а Ф. Хартман и А. Винтнер [220] с помощью метода характеристик [59,61,187,258] доказали существование и единственность классического (гладкого) решения задачи Коши для квазилинейной системы при предположениях о том, что начальные условия, коэффициенты и правые части системы уравнений обладают лишь первыми непрерывными производными в соответствующих областях. Несколько иное доказательство этих результатов приведено в книге Б.Л. Рождественского и Н.Н. Яненко [158].

Условия приведения системы дифференциальных уравнений к системе на стандартном симплексе

Заметим, что область существования классического решения, вообще говоря, ограничена. Это связано с возможностью пересечения характеристик одного и того же семейства и образования разрывов решения, что, как видно из работ [227,234,240], довольно обычно для квазилинейных гиперболических систем. Основные условия глобальной разрешимости в этом направлении были связаны с построением обобщенного решения, включающего и разрывный случай. Наиболее значительные результаты общего характера здесь были достигнуты Дж. Глиммом [210] (см. также [10,241]).

Однако интерес представляют и условия, при которых такого пересечения характеристик не наступает. Так, в [157] был исследован случай, когда задача Коши для слабо-нелинейной системы из двух уравнений может быть разрешена в классическом смысле глобально. Условия глобального существования гладкого решения задачи Коши для однородных систем из т уравнений были получены в работе [222]. Достаточные условия существования непрерывного обобщенного решения задачи Коши для неоднородных систем из т уравнений были получены в [133]. Несмотря на перечисленные важные результаты, проблема глобальной разрешимости задачи Коши остается актуальной до сих пор [44,45,215,223,232,249].

Наряду с системами квазилинейных уравнений [53,115,132,197,198,220,247,253] изучаются и их следствия — гиперболические системы законов сохранения [55,139, 190,191,219,225,233,256].

Систему квазилинейных уравнений, в которой коэффициенты перед частными производными не зависят от искомых функций, называют полулинейной. В случае полулинейной системы ее можно записать в инвариантах [15G, т.е. с помощью замены переменных добиться, чтобы в каждом из уравнений дифференцировалась лишь одна функция. Для таких систем строится обобщенное решение в классе непрерывных функций [158,212]; значительно упрощается нахождение области определенности [158]; производные решения полулинейной системы остаются ограниченными в области, в которой остается ограниченным само решение. В [2G] подробно исследован класс -гипорболических по Фридрихсу систем (полулинейный случай): доказаны теоремы единственности гладких решений задачи Коши и смешанной задачи в рассматриваемых областях, теоремы существования для некоторых частных случаев этих задач, получены оценки решений симметрических гиперболических снегом. Полулинейные системы уравнений в частных производных гиперболического тина привлекают к себе внимание широкого круга исследователей [29,42,43,124,132,251,252].

Во многих случаях физическая постановка задачи требует, чтобы ее решение принимало лишь неотрицательные значения. Так, в физических процессах положительными остаются энергии частиц, в химических - концентрации реагирующих веществ, в биологических - количества особей различных видов и т.д.. Проблема положительности решения также является одним из важнейших вопросов, возникающих при изучении систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Признаки существования положительного решения дифференциальных уравнений рассматриваются, например, в работах [65-67,69,1б7,

Большое практическое значение имеет случай, когда решение z = {z\,... ,zn) системы дифференциальных уравнений поточечно удовлетворяет условиям п Zi О, і = 1,п, 2_]zi — const, i=l то есть система дифференциальных уравнений задается относительно функций, областью изменения которых является конечномерный симплекс. С помощью замены переменных в такой системе можно перейти к рассмотрению задачи, решение которой принадлежит стандартному симплексу п Х = 1 0, г = Т п. (0.1.1) г=1 В дальнейшем системы, решение которых поточечно принадлежит симплексу (0.1.1), будем называть системами на стандартном симплексе. Например, для анализа обобщенных моделей нопуляциопной динамики [15,116, 147,153,168,169] вида N = f(t,N), N(t0) = №, (0.1.2) где N = (Ni,...,Nn) - вектор состояния системы, / - нелинейная в общем случае функция переменных N{ и t, обеспечивающая преобразование неотрицательного вектора начальных условий № в неотрицательную полутраекторию N(t) 0, принято переходить к новым переменным, характеризующим состояние популяции, по формулам 0) = JWL, ,- = т7. (0.1.3) Nt(t) При этом областью изменения переменных Z{ является стандартный симплекс (0.1.1). Системы уравнений химической кинетики, подчиняющейся закону действующих масс, могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе [9,27, 77]. Еще одним примером служит процесс самосборки [63,176,177], модель которого первоначально была предложена в связи с анализом обнаруженных экспериментально прцессов самосборки вирусов [117,199]. Уравнения, описывающие процесс самосборки, также могут быть интерпретированы как уравнения химической кинетики.

Необходимые и достаточные условия стремления к вершине симплекса для частного случая гиперболической системы

Системы на стандартном симплексе при определенных предположениях являются обобщением модели, которую предложили А.Лотка 243] при рассмотрении кинетики химических реакций, а затем независимо от пего В.Вольтерра [19] для описания динамики численности групп, составляющих биологическое сообщество. Системы типа Лотки - Вольтерра, кроме экологических задач, возникают также при описании эволюции самых разнообразных взаимодействующих объектов. Так, уравнения этого типа встречаются в исследованиях кинетики химических реакций [230,248] и динамике микробных экосистем [152], при моделировании процессов видообразования [160] и активности нейронов [205], в математической экономике [213,254], социологии [206,207], астрофизике [185,228], гидродинамике [33], к этому виду приводятся и некоторые уравнения популяционной генетики [150,151,153,188]. Такое обилие приложений определило необходимость развития качественной теории систем Лотки -Вольтерра [120,121,127,189,238,242,259,261-265].

Исследование динамики биологических видов или химических элементов в условиях сильных водных или воздушных потоков, рассмотрение эволюции популяции с учетом возрастного состава приводит к необходимости изучения процессов с распределенными параметрами, которые описываются системами уравнений в частных производных первого порядка гиперболического типа [12,40,172,203,217,224], а также гиперболическими полулинейными системами, решение которых в каждой точке из области определенности [158] принадлежит стандартному симплексу. Уравнения типа "реакция - перенос" не менее актуальны, чем уравнения "реакция - диффузия", предполагающие хаотичность перемещений особей по ареалу обитания [11,13, 32,110,135,155,173,183].

Системы на стандартном симплексе, с формальной точки зрения, определяют эволюцию вероятностных распределений и, естественно, находят разнообразные приложения не только при исследовании равновесия и устойчивости в моделях популяционной динамики, генетики и химической кинетики [27,153]. Так, они возникают в теории игр при нахождении устойчивого значения игры G2, в теории автоматического управления при исследовании скользящих режимов [180].

Математические особенности сосредоточенных систем на стандартном симплексе изучались в работах О.А. Кузенкова [77-80]. Кроме того, О.А. Кузенкоиым исследована задача Коши для эволюционного уравнения в семействе вероятностных мер Радона, посредством которого можно единообразно представить широкие классы сосредоточенных и распределенных систем, в том числе решение которых принадлежит стандартному симплексу [71-76]. Это позволяет выявить общие закономерности поведения различных систем, обосновать разрешимость многих классов дифференциальных, интегро-дифференциальных уравнений, исследовать предельные свойства решения, а в ряде случаев найти решение в явном виде.

Математическая проблема сохранения стандартного симплекса имеет много общего с теорией выживания (термин принадлежит J.-P. Aubin) для динамических систем [192,193]. К задачам выживания для управляемых динамических систем относится, например, задача построения управления, удерживающего траектории системы в заранее заданном множестве. Если это множество гомеоморфію шару, то, вообще говоря, с помощью соответствующих замен неременных, его можно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отобразить па стандартный симплекс.

Вопрос о существовании решения x(t,Xo) задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения х = f(x) с начальным условием х(0) = Хо, в течении некоторого времени остающегося в наперед заданном множестве (такое решение называется выживающим), был разрешен в 1942 году Нагумо [24G]. А.Б. Куржаиским и Т.Ф. Филиповой [112,113] получено аналитическое описание множества траекторий линейных дифференциальных включений, выживающих до определенного момента времени в пределах заданного множества. Ими же в работе [114] установлены связи между задачами о выживаемости для дифференциальных включений и системами включений, содержащими возмущающие параметры и функции. В [179] для системы с последействием (с наследственностью) и некоторого целевого множества, заданного в пространстве абсолютно непрерывных функций были найдены достаточные условия выживаемости. В работе [7] исследованы необходимые и достаточные условия выживания систем с последействием в заданном множестве.

Еще один важный вопрос, возникающий при изучении систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе, — формы представления. В [153, 154] показано, что при определенных предположениях о развитии популяции от системы (0.1.2) можно перейти к уравнениям динамики структуры популяции z(t) = п Zi = Fi(t,z)-Zi 2Fj(t,z), i = T n, 3=1 где функции Fi удовлетворяют условию квазиположитсльиости [47] Fi(t,Zi,...,Zi-l,Q,zi+u...,zn) 0 при Zi О, і = l,ti, которое гарантирует в данном случае положительную инвариантность симплекса (0.1.1). При этом остается открытым вопрос: является ли это представление универсальным, и на сколько оно справедливо для систем в частных производных первого порядка на симплексе. Естественно, что системы уравнений тина "реакция - перенос" являются более общими, нежели соответствующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Из них можно вывести практически все закономерности динамики сосредоточенных систем на симплексе, а вот эффекты, возможные в распределенном случае, нельзя получить при исследовании только сосредоточенной системы. Так же, как и в сосредоточенном случае, при исследовании распределенных систем встают вопросы о критерии принадлежности гиперболических полулинейных систем классу систем на стандартном симплексе, формах представления таких систем, алгоритмах решения задачи Коши. Ответы на эти вопросы тесно связаны с исследованием качественного поведения этих систем, в частности с исследованием устойчивости решения.

Необходимые условия оптимальности допустимого процесса в задаче на ограниченном интервале времени

Вопрос об устойчивости решения - это одна из важнейших проблем теории дифференциальных уравнений. Понятие устойчивости решения было введено A.M. Ляпуновым. Им же были заложены основы методов исследования на устойчивость. Идеи A.M. Ляпунова сохранили свое значение до сих пор и широко используются в современных исследованиях вопросов устойчивости. В работе [171] развивается метод функций A.M. Ляпунова для изучения устойчивости процессов с распределенными параметрами. С шестидесятых годов прошлого века это направление получило значительное развитие. Особенно плодотворным оказалось введение [138,1G2J понятия устойчивости по части переменных. Развитие его [128-131) привело к понятию устойчивости по двум мерам; в [49] рассмотрена устойчивость инвариантных множеств; исследованию устойчивости в целом, т.е. когда начальные возмущения являются конечными или даже сколь угодно большими, но процесс протекает в неограниченном интервале времени, посвящены статьи [8,46]. В перечисленных работах доказаны необходимые и достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости и т.д. в терминах функций Ляпунова. Различным вопросам исследования устойчивости процессов с распределенными параметрами методом функций Ляпунова посвящено большое количество работ, число которых непрерывно растет. Этот метод широко применяется и при исследовании управляемых динамических систем [118].

Вопрос об устойчивости вершины симплекса, являющейся состоянием равновесия рассматриваемых систем дифференциальных уравнений на стандартном симплексе, связан с вопросами, возникающими в приложениях, о конечных продуктах реакции или о результатах отбора. Исследование глобальной асимптотической устойчивости вершины симплекса состоит из следующих задач: во-первых, исследование локальной устойчивости вершины симплекса и, во-вторых, исследование стремления фазовых траекторий с течением времени к вершине симплекса. Для решения второй проблемы также можно применить метод функций Ляпунова, но процесс этот не тривиален, и не всегда удается подобрать соответствующую функцию. В связи с этим имеет смысл разрабатывать и другие методы исследования поставленной задачи.

Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на объекты, описываемые сложными системами с распределенными параметрами, втом числе и системами квазилинейных уравнений гиперболического типа. К такому классу систем относятся многие производственные процессы, например, синтез и очистка вещества в ректификационной колонне, химическая сорбция, дистилляция, нагрев металла под прокатку или термообработку. Для этих объектов характерно то, что взаимодействие веществ и обработка материала происходят в процессе их пространственного продвижения через зоны обработки, во время которого на них оказывается распределенное не только во времени, но и в пространстве воздействие: тепловое, электрическое, химическое и т.п..

Во многих технических и научных приложениях часто возникает вопрос об отыскании наилучшего в том или ином смысле управления, например, для достижения наибольшего эффекта от эксплуатации управляемых объектов. С точки зрения математики это приводит к задачам оптимального управления.

Первые исследования по теории оптимизации систем с распределенными параметрами в нашей стране и за рубежом были проведены А.Г. Бутковским, А.II. Егоровым, К.А. Лурье, Т.К. Сиразетдиновым, Ж.-Л. Лиопсом и др. [10,17,30,119,122,170].

В.И. Плотников предложил общий подход к получению необходимых условий оптимальности для сосредоточенных и распределенных систем с помощью метода абстрактных вариаций [50,144,146]. Он базируется на общей схеме исследования экстремальных задач, позволяющей учитывать ограничения задачи посредством отделения выпуклого конуса вариаций. С его помощью удалось обосновать принцип максимума для широких классов оптимизационных задач [109,130, 137, 145. Достоинство подхода, связанного с развитием абстрактных теорий оптимизации, использующего аппарат функционального анализа, состоит в единообразии процедуры вывода условий оптимальности для сосредоточенных и распределенных систем, в возможности изложить основные идеи более доступно, не заслоняя их техническими деталями. Абстрактные теории оптимизации были предложены в работах [14,17,22-24,34,35,51,125]. Когда даны конкретные уравнения объекта управления, абстрактный принцип максимума "расшифровывается" и приобретает форму, близкую к принципу максимума Понтрягина. Например, книга [120] посвящена изложению методики такой "расшифровки", т.е. методике применения абстрактного принципа максимума. Различные задачи оптимального управления гиперболическими системами, в том числе и первого порядка, исследовались, например, в работах [2-0,16,25,54,122,126, 170,174,175,186,200,201,210,214,233,244,245,260]. В большинстве работ были выведены необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина, справедливые при самых разнообразных предположениях относительно вида системы, управляющей функции, критерия качества и ограничении. Однако, как правило, непосредственно из этих условий трудно получить оптимальное управление и для того чтобы дать окончательное решение, необходимо дальнейшее исследование, опирающееся на учет особенностей конкретной задачи. Трудности многократно усугубляются нелинейностью управляемой системы или наличием фазовых ограничений.