Введение к работе
Актуальность темы. Подмножество пространства абсолютно суммируемых последовательностей її, состоящее из последовательностей с неотрицательными компонентами, сумма ряда из которых равна единице, называется стандартным счетно-мерным симплексом:
S= < (zi,...,zn,...) : Zi > 0, і =1,оо, ^2^і = і\. (1)
В дальнейшем счетные системы дифференциальных уравнений, для которой решение любой задачи Коши в каждый момент времени принадлежит симплексу S (1) при условии, что начальные условия принадлежат симплексу S, будем называть системами на стандартном счетномерном симплексе.
Эти системы используются для моделирования разнообразных реальных объектов и процессов. В первую очередь к ним относятся случайные, в том числе марковские процессы со счетным числом состояний и непрерывным временем.
Счетные системы дифференциальных уравнений активно используются в решении задач математической физики. В частности, используя метод Фурье, от дифференциальных уравнений в частных производных можно перейти к рассмотрению счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов их решения. Как правило, значения фазовых координат в системах, описывающих реальные процессы, ограничены. В таком случае решение исходной системы принадлежит некоторому ограниченному замкнутому множеству, например, части сферы, эллипсоида в счетномерном пространстве и т.п., которое можно взаимнооднозначно и непрерывно отобразить на стандартный счетномерный симплекс. Тогда исходная система может быть сведена к системе на стандартном счетномерном симплексе.
Системы, описывающие процессы коагуляции, химической кинетики (со счетным числом реагентов), процессы количественного распределения особей биологического вида по счетному множеству генотипов также могут быть представлены в виде систем дифференциальных уравнений на стандартном счетномерном симплексе.
Несмотря на то, что дифференциальные уравнения на стандартном счетномерном симплексе можно рассматривать как частный случай дифференциального уравнения в банаховом пространстве, существует много специфических свойств, характерных только для уравнений на счетномерном симплексе и обуславливающих их дополнительные возможности для описания реальных процессов. Уже для конечномерного случая известно, что системы на симплексе имеют ряд важных особенностей по сравнению с системами общего вида. Математические особенности систем на стандартном конечномерном симплексе изучались в работах О.А. Кузенкова, Е.А. Рябовой.
По сравнению с теорией динамических систем на конечномерном симплексе на
данный момент теория систем на счетномерном симплексе развита существенно менее полно. Так же, как и в конечномерном случае, при исследовании счетных систем дифференциальных уравнений встают вопросы о критерии принадлежности классу систем на стандартном счетномерном симплексе, формах представления таких систем, методиках решения задачи Коши. Но перенос результатов, полученных для конечномерного случая, на счетномерныи случай нетривиален, он наталкивается на значительные трудности, поскольку, в отличии от конечномерного счетномерныи симплекс не является компактным множеством. В связи с этим изменяются формулировки и доказательства ряда теорем.
Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на объекты, описываемые системами с распределенными параметрами, в том числе и системами уравнений на стандартном счетномерном симплексе, как, например, в задачах оптимального управления случайными процессами, возникающих в инженерном деле, экономике, экологии.
Задачи оптимального управления счетной системой дифференциальных уравнений часто возникают при оптимизации процессов теплопроводности, играющих важную роль в многочисленных технологических производствах: в металлургии и энергетике, при сушке влажных материалов, термической обработке в томильных и индукционных печах, в ядерных реакторах. Эти производства являются весьма дорогостоящими, и экономическая целесообразность диктует поиск наиболее эффективного режима их эксплуатации. Нередко приходится рассматривать задачи оптимального управления нагревом тела с фазовыми ограничениями. В ряде случаев они сводятся к оптимизационным задачам для счетных систем дифференциальных уравнений с фазовыми ограничениями.
Решение задач оптимального управления для нелинейных систем является сложной проблемой, и, невзирая на огромное количество исследований, не создано универсального метода, который мог бы дать аналитическое решение для всех случаев. Современные исследования направлены на разработку методов, наиболее приспособленных для решения определенных классов задач, максимально учитывающих особенности этих классов.
Эффективным в задачах оптимального управления является использование управления с обратной связью. Этот тип управления более помехозащищен по сравнению с программируемым управлением. Практическая целесообразность приводит в этом случае к естественному изменению ограничения на ресурс управления: ограничивается не абсолютная величина мощности воздействия, а коэффициент обратной связи.
Как правило, задачи оптимального управления распределенными системами не поддаются полному аналитическому исследованию и требуют применения численных методов и современных ЭВМ (аналитическое решение задач оптимального управления возможно лишь в простых случаях, которые далеки от запросов современной
практики). Среди всех методов можно выделить класс, общий подход для которого состоит в том, что исходная задача оптимального управления, описываемая системой уравнений с частными производными сводится к счетной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов разложения в ряд Фурье, которая в свою очередь аппроксимируется конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. К этому классу относятся, например, метод моментов, финитного управления и др. Отличаются они друг от друга способом решения получаемых аппроксимирующих задач. В.И. Плотниковым для этой цели был использован принцип максимума Л.С. Понтрягина (необходимые условия оптимальности) при определении наискорейшего режима нагрева твердого тела до заданной температуры. Как было показано А.И. Егоровым, этот метод обладает некоторыми преимуществами по сравнению с широко известным методом моментов, в частности, большей устойчивостью относительно погрешностей в промежуточных вычислениях. Проблема отыскания наилучшего управления системами на стандартном счетно-мерном симплексе приводит к оптимизационной задаче относительно дифференциального уравнения, заданного в банаховом пространстве її абсолютно суммируемых
последовательностей, с фазовыми ограничениями типа равенства Yl Zi = 1 и нера-
г=1
венства Zi ^ 0, г = 1,оо. Задачи с фазовыми ограничениями являются наиболее трудным классом задач оптимального управления даже для конечномерного случая евклидова пространства в частности из-за того, что при этом принцип максимума формулируется через функцию Гамильтона, содержащую неопределенные меры.
Если поставить общую задачу оптимального управления для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с фазовыми ограничениями, то она будет чрезвычайно сложной. Является перспективным решение задачи оптимального управления, опирающегося на специфические особенности системы на счетномерном симплексе, позволяющие в той или иной степени обойти указанные затруднения. С одной стороны, как уже отмечалось выше, с помощью динамических систем на стандартном счетномерном симплексе может быть описано значительное число процессов физики, химии, биологии, теории массового обслуживания, что обеспечивает общность получаемых математических результатов, с другой стороны, системы на стандартном счетномерном симплексе обладают важной спецификой по сравнению с общим случаем банахова пространства, что дает возможность получить простое и удобное решение поставленной задачи.
Сказанное выше позволяет сделать вывод об актуальности проблемы изучения систем на стандартном счетномерном симплексе и исследования вопросов оптимального управления для таких систем на ограниченных и неограниченных интервалах времени.
Цель работы состоит в установлении формы систем на стандартном счетномерном симплексе; получении необходимых условий оптимальности операторного управ-
ления в форме принципа максимума для квазилинейной системы на стандартном счетномерном симплексе; в решении конкретных задач оптимального управления процессами коагуляции, случайным процессом и оптимального управления нагревом тела с обратной связью при наличии фазового ограничения; а также в обосновании необходимых условий достижения абсолютного максимума критерием качества на оптимальном управлении с обратной связью в задаче нагрева тела до заданного состояния с фазовыми ограничениями.
Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, а также теории оптимального управления.
Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, которые выносятся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:
доказан критерий принадлежности счетной системы дифференциальных уравнений классу систем на стандартном счетномерном симплексе; установлены формы представления таких систем (в том числе управляемых); доказаны условия, при которых счетную систему дифференциальных уравнений можно свести к системе на стандартном счетномерном симплексе, либо выделить ее в качестве подсистемы;
обоснована связь между решением задачи Коши для системы на стандартном счетномерном симплексе и решением вспомогательной однородной системы;
доказаны необходимые и достаточные условия выполнения в рассматриваемых системах предельного свойства, заключающегося в стремлении решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса;
выведены необходимые условия оптимальности операторного управления в оптимизационной задаче для квазилинейной системы на счетномерном симплексе;
решены конкретные задачи оптимального управления процессами коагуляции и оптимального управления случайными процессами;
решена задача оптимального управления нагревом тела при сохранении среднеквадратичной нормы решения с помощью обратной связи;
для задачи оптимального управления нагревом тела при сохранении среднеквадратичной нормы решения найдены ограничения на область управления, при которых критерий качества, характеризующий степень отклонения температурного распределения от к-ой собственной функции, достигает своего абсолютного максимума на неограниченных интервалах времени.
Степень обоснования результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы и сформулированы в виде теорем.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, отдельные результаты могут быть использованы в прикладных исследованиях.
Проведенное исследование систем дифференциальных уравнений на счетномер-
ном симплексе (особенно доказанные теоремы о представлении, разрешимости, выделении системы на симплексе) позволяет сводить решение задачи Коши для этих систем к решению более простых вспомогательных однородных систем. Изучение предельного поведения решения задачи Коши для систем на счетномерном симплексе, а именно доказательство необходимых и достаточных условий стремления решения системы уравнений с течением времени к вершине симплекса, является необходимым этапом в изучении абсолютной глобальной устойчивости вершины симплекса. Эти исследования служат основой для построения области управляемости таких систем на неограниченных интервалах времени в случае принадлежности начала координат границе рассматриваемой области, а также для исследования предельных возможностей управляющего воздействия, позволяющих оценить, достаточен ли запас управляющего воздействия для достижения абсолютного максимума критерием качества на неограниченных интервалах времени. Полученные необходимые условия оптимальности в виде принципа максимума являются теоретической базой для аналитического или численного решения задач оптимального управления указанными системами, что продемонстрировано в диссертации на ряде конкретных примеров. Разработанная методика учета фазовых ограничений имеет значение для решения реальных задач оптимального нагрева тела при сохранении постоянной внутренней энергии тепла, играющих важную роль в многочисленных технологических процессах. Эта методика позволяет особым образом учесть возникающие фазовые ограничения до применения принципа максимума, тем самым позволяя обойти математические трудности, связанные с возникновением неопределенных мер Лебега-Стильтьеса в сопряженных уравнениях и функции Гамильтона.
Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс в рамках специального курса "Теория меры "и вошли составной частью в учебное пособие (Ку-зенков О.А., Новоженин А.В. Уравнение динамики меры: Учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госунивеситета, 2010), предназначенного для студентов вузов, обучающихся по специальностям 010501 "Прикладная математика и информатика"и 010400 "Фундаментальная информатика и информационные технологии". Справка о внедрении результатов имеется.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Итоговая научная конференция учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" (Нижний Новгород, 2007); II Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов "Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем"(Пенза, 2008); III Международная научно-техническая конференция "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем"(Пенза, 2008); Всероссийская конференция молодых ученых "Технологии Microsoft в теории и практи-
ке программирования" (Нижний Новгород, 2010); XI Международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(конференция Пятницкого) (Москва, 2010); XV International Conference "Dynamical System modeling and stability investigation"(Kyiv, 2011), кроме этого результаты диссертационной работы докладывались на научном семинаре кафедры численного и функционального анализа 26.04.2011.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано в научных журналах и сборниках - 6 статей, в материалах конференций и семинарах - 4 работы, 1 учебное пособие. Из них в изданиях, рекомендованных ВАК, опубликовано 3 работы. В работах, выполненных совместно с научным руководителем О.А. Кузенковым, формулировки утверждений и их доказательства даны диссертантом. О.А. Кузенкову принадлежит постановка задач исследования и общее руководство. В совместном с О.А. Кузенковым учебном пособии А.В. Новоженину принадлежат разделы 1.1, 1.3, 3.7.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Библиография включает 203 наименования. Общий объем диссертации составляет 119 страниц.
