Содержание к диссертации
Введение 4
Глава I. Матрицы Римана первого и второго рода
гиперболической системы уравнений теплопроводности 27
1.1. Задача Коши для гиперболической системы на плоскости (случай
постоянных коэффициентов). Структура разрешающего оператора 27
1.2. Гиперболическая модель теплопроводности 30
1.3. Вычисление матриц Римана гиперболической системы уравнений
теплопроводности 32
Глава П. Граничное управление процессом теплопереноса в
одномерном материале 43
2.1. Управление процессом теплопереноса в полубесконечном
стержне 43
2.2. Стержень конечной длины. Одностороннее управление 47
2.3. Стержень конечной длины. Двустороннее управление 54
Глава III. Граничное управление процессом теплопереноса в
двумерном и трехмерном материале 66
3.1. Задача Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы
уравнений теплопроводности. Представление решения в виде суперпози
ции плоских волн 66
3.2. Граничное управление процессом теплопереноса в пластинке звезд
ной формы 69
3.3. Граничное управление процессом теплопереноса в пространственном
теле звездной формы 83
Литература 91
Введение к работе
Одна из задач, возникающих в теории колебаний, теории автоматического управления, - разработка методов граничного управления процессами в сплошных средах, описываемыми краевыми задачами для уравнений с частными производными гиперболического типа. К этой проблематике приводят задачи управления волновыми процессами, стабилизации колебаний струн, мембран, стержней, пластин, задачи управления переносом электроэнергии, управления колебаниями плазмы, процессами сорбции, десорбции газов, управления процессами тепломассопереноса в химических реакторах идеального вытеснения и другие задачи.
Первые результаты по граничному управлению процессами в распределенных системах указанного типа получены в 60-е и 70-е годы минувшего века в работах А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса, Д.Л. Рассела, В. Крабса, М. Сирина, М.М. Потапова [4, 41, 46, 71, 73, 78], где исследуются различными методами задачи оптимального граничного управления решениями смешанной задачи для подклассов гиперболических уравнений второго порядка.
В частности, в книге А.Г. Бутковского [4] для решения задачи граничного управления колебаниями струны (задачи быстродействия) применен вариант метода моментов, развитый ранее в работах Н.Н. Красовского применительно к системам, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями [37, 38]. В книге рассматриваются приближенные методы решения задач управления такого типа: метод разностной аппроксимации, метод прямых, метод гармоник. В работе [46] метод разностной аппроксимации применен для построения приближенного решения задачи оптимального управления решениями смешанной задачи для системы Гурса-Дарбу, описывающей процессы сорбции,
десорбции; управление входит в правую часть дифференциального уравнения и в граничные условия.
Интенсивное развитие теории управления гиперболическими уравнениями началось во второй половине 80-х годов.
Существенный вклад в круг идей и методов этой теории внесли работы Ж.-Л. Лионса [42, 75-77]. В книге [42] методы и результаты книги [41] распространены на подклассы управляемых систем «с особенностями», когда отсутствует однозначная связь управление —» состояние. Сюда относятся, в частности, задача управления формой плазмы, задача управления энзиматическими реакциями. Развитый в книге подход к решению этого класса задач управления основан на расширении класса допустимых пар «управление - состояние». В работах [75-77] разработан метод решения задачи точной управляемости гиперболическим уравнением второго порядка (названный автором HUM-методом) сведением к задаче точной наблюдаемости для сопряженного уравнения. Этот метод (применительно к уравнениям того же класса) получил дальнейшее развитие в работах О.Ю. Эмануилова, В. Коморника и других авторов [67-69, 72, 74]. В частности, в [67, 69] развит подход к исследованию задачи точной наблюдаемости, основанный на теоремах о распространении особенностей, получены достаточные условия ее разрешимости, близкие к необходимым. В [68, 74] предложен метод исследования этой задачи, основанный на априорных оценках карлемановского типа. В работе Д. Татару [79] карле-мановские оценки применены для исследования задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением.
Существенное продвижение в этом направлении произошло в цикле работ Ф.П. Васильева, М.А. Куржанского, М.М Потапова, А.В. Разгулина [7-9, 39, 40, 47, 48]. В работе Ф.П. Васильева [9] разработана новая концепция теории двойственности для линейных систем управления,
позволившая, в частности, прояснить схему HUM-метода, сформулировать его в форме, в которой он применим к анализу широкого класса задач управления распределенными системами. В [7-9, 39, 40, 47, 48] показаны на ряде примеров возможности, которые дает предложенное в [9] расширение схемы HUM-метода при решении задач точной управляемости, в том числе задач управления гиперболическими уравнениями.
В тот же период в работах Ф.П. Васильева, А.З. Ишмухаметова и М.М. Потапова существенно продвинут метод моментов решения задач оптимального управления. В книге [6], посвященной этой проблематике, содержится, в частности, подход к решению задач оптимального управления решениями краевых задач для гиперболических уравнений второго и четвертого порядков, возникающих в теории упругости.
Интенсивные исследования по граничному управлению гиперболическими уравнениями продолжились в последнее десятилетие. В работах А.В. Аргучинцева и О.А. Крутиковой [1, 2] рассматривается задача оптимального управления решениями смешанной задачи для полулинейной гиперболической системы с одной пространственной переменной; управление входит в граничные и начальные условия. Получены необходимые условия оптимальности, построен численный метод решения задачи оптимизации, получены приложения к задаче об оптимальном управлении популяцией, о восстановлении профиля гравитационной волны. Большой цикл работ В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, В.В. Тихомирова [26-29] посвящен задаче граничного управления колебательной системой, динамика которой описывается волновым уравнением ип - и^ = 0. Задача состоит в
отыскании режима на границе, обеспечивающего переход произвольно заданного начального фазового вектора (u,u't) из некоторого класса в
произвольно заданный финальный фазовый вектор за заданное время t*.
Эта задача ранее исследовалась различными методами в работах
А.Г. Бутковского, Ж.-Л. Лионса и других авторов. Результаты, полученные в указанном цикле работ, являются завершающими по данной тематике. В работах [30-33] установлены необходимые и достаточные условия существования требуемых управлений (двусторонних и односторонних; гладких и обобщенных) в зависимости от соотношения между длиной колебательной системы и финальным моментом времени ґ*, получены явные формулы
для этих управлений. В работах [30-32] решается задача оптимального граничного управления: из построенных управлений отбираются управления, минимизирующие заданный квадратичный функционал, имеющий смысл кинетической или потенциальной граничной энергии системы. К этому циклу примыкают работы [25, 49, 64].
Наряду с работами по управлению волновыми процессами большое число исследований посвящено проблеме управления процессами теплопереноса и диффузии, моделируемыми краевыми задачами для уравнений параболического типа [4-6, 11, 41, 42]. В последние десятилетия интенсивно развивается гиперболическая теория теплопроводности, устраняющая имеющий место в параболической теории парадокс бесконечной скорости распространения тепла [3, 34-36, 43, 61, 62, 66, 70, 80]. Представляет теоретический и практический интерес разработка подходов к решению задач управления процессом теплопереноса в рамках гиперболической модели с использованием методов теории гиперболических уравнений.
Диссертационная работа посвящена этой проблематике.
В цикле работ Р.К. Романовского, Е.В. Воробьевой, Е.Н. Стратилатовой [10, 50-56, 58] построен математический аппарат, позволяющий с единой точки зрения исследовать краевые задачи для некоторых классов гиперболических систем. В частности, в [50] построено явное представление решений задачи Коши для гиперболической системы общего вида с одной
пространственной переменной. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие названия матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В частном случае постоянных коэффициентов вычисление матриц Римана приводится к вычислению контурных интегралов от аналитических матриц-функций.
Цель работы - разработка на основе указанного математического аппарата подхода к решению задачи граничного управления процессом теплопереноса в однородном материале в рамках гиперболической модели теплопроводности и построение классов решений этой задачи в случаях одномерных, двумерных и трехмерных сред.
Из сказанного выше следует актуальность темы диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор литературы и краткая аннотация результатов работы.
1. Глава 1 носит подготовительный характер. В 1.1 приводятся сведения из работ [51, 58], на которые опирается дальнейшее изложение.
В 1.2 сформулирована гиперболическая модель теплопроводности. В рамках этой модели процесс распространения тепла в однородном материале описывается системой уравнений
ср ——f-divg = 0,
э (0Л)
є — + К gradr + а = 0.
Здесь первое уравнение - закон сохранения энергии, второе - обобщенный закон Фурье, T,q - температура и вектор теплового потока, постоянные
р, с, к — плотность, удельные теплоемкость и теплопроводность, є —
малый положительный параметр, имеющий смысл периода релаксации. В рамках модели тепловой импульс распространяется со скоростью
« = J— (0.2)
В 1.3 вычислены матрицы Римана одномерной гиперболической системы уравнений теплопроводности и матрицы Римана вспомогательных одномерных гиперболических систем, возникающих при построении решений задачи Копій для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности.
2. В главах 2, 3 - основных - рассматривается задача граничного управления процессом распространения тепла в однородном материале в рамках модели (0.1). При произвольно фиксированных начальных значениях Т0 (х), q0 (х) температуры и потока из некоторого класса ищется температурный режим
ju(x,t) = T\ _
на границе Г тела, обеспечивающий в заданный момент времени t* > 0 заданную температуру Т*(х) тела. К выбору момента /* предъявляется
требование: за это время выходящий из каждой точки jc є Г тепловой импульс должен успеть достигнуть любой точки тела. В каждом рассматриваемом случае (стержень, пластинка звездной формы, пространственное тело звездной формы) строится класс решений ju(x,t) задачи управления, зависящий от функционального параметра.
Подход к решению этой задачи во всех случаях состоит в приведении задачи граничного управления к вспомогательной задаче начального управления с использованием результатов главы 1.
2.1. Поясним подход к решению задачи граничного управления
(T0,q0)--*T* (0.3)
для модельного случая, когда тело - круглая пластинка.
1 . Начальная вектор-функция h — (TQ,q0) продолжается с большой
степенью произвола из круга 5),
занимаемого пластинкой, в круг
5)'d5), выбранный так, что боковая
поверхность усеченного конуса Y в
(x,t) -пространстве с нижним основа-Рис. 1
нием 2) в плоскости f = 0 и верхним
основанием в плоскости t = t* является характеристической поверхностью
для системы (0.1) при п = 2 (рис.1).
2. В усеченном конусе Y рассматривается задача Коши для системы (0.1) с продолженной начальной вектор-функцией h на нижнем основании 2)'. Развитые в главе 1 приемы позволяют вычислить решение {T,q) этой
задачи.
3. Пусть h- ограничение на кольцо 2)'\2) продолженной вектор-функции h, Т =T\x,t;h) - компонента Т решения (T,q) задачи Коши,
указанной в пункте 2 . Ставится задача начального управления: подбора
h так, чтобы выполнялось равенство
f(x,t*\h)=T*(x\ хєй). (0.4)
На практике вычисление h приводится в ряде случаев к решению уравнения Вольтерра второго рода с хорошим ядром.
4. Пусть /г0 - решение задачи начального управления (0.4). Тогда
формула
ju{x,t) = f(x,t;h0) (0.5)
дает решение задачи граничного управления (0.3).
Аналогичная схема (в усложненном варианте) применяется в случае пластинки звездной формы, а также в одномерном и трехмерном случаях.
2.2. Рассмотрим ситуацию, когда на выходе задан полный фазовый вектор:
(Т0,д0)-->(Т*,д*). (0.6)
Изложенная в пункте 2.1 процедура решения задачи граничного управления (0.3) дает подход к построению класса «допустимых» пар (Г*,^), при которых задача (0.6) разрешима.
Пусть, при заданной Г*, функция Л0 - решение задачи начального
управления (0.4). Подставляя во второе уравнение (0.1) Т-f\x,t\h^), решая задачу Коши для полученного уравнения на вектор q методом вариации постоянной и подставляя t = ?*, получим:
q*=q[x,t,l;hQ)=e ^'^oW \е ^^gradTyxJ^jdt.
Є о
Очевидно, пара (7^ ,
В диссертационной работе рассматривается задача управления (0.3).
Ниже в пунктах 3-5 приводится краткая аннотация результатов, полученных в работе. Для упрощения записей начальные данные (T0,q0) приняты нулевыми.
3. В случае одномерного материала система (0.1) принимает вид
L(u) = Здесь
— + А— + В dt дх j
к = 0. (0.7)
u(x,t) =
Я;
О (ер) -1 О
-Л
В = є
ґо о]
О 1
Нетрудно получить
А = Z diag(a,-a)Z~1,
где а— постоянная (0.2),
Р = .
ЛҐС/7
Z =
(Р Р)
(0.8)
Лемма 1.1. Матрицы Римана первого и второго рода гиперболического оператора (0.7) даются формулами
Uk (0 = <Г' /(-2e^ZPk Z~\ k = 1,2,
V(x,t) = (^) =
-4{2е)
/г
2є
2є.
Го \2є
(0.9)
где rl2=t + х/а, r = A/r]r2eR, Ik(x) - функции Бесселя мнимого аргумента, Pk = dmg(Slk,S2k), 8tj - символ Кронекера.
3.1. Представим оператор L в виде
-і
L = ZDZ~l +В,
D = diag(Dl,D2),
(0.7')
где Dk - оператор дифференцирования по t вдоль характеристики с номером к. Будем говорить, что функция u(x,t) со значениями в R2 принадлежит классу SL, если: 1) we С (R2); 2) для каждой компоненты vk вектора v-Z~ и существует производная Dkvk є C(R ).
Далее в пунктах 3.2, 3.3 под решением (обобщенным) системы (0.7) понимается функция u(x,t) класса SL , удовлетворяющая равенству L(m)-0, где оператор L понимается в смысле (0.7').
3.2. Полубесконечный стержень. Процесс распространения тепла моделируется краевой задачей
L{u) = 0, (*,0є(0,оо)х(0,оо),
m(jc,0) = (0,0)t, Г(0,0 =/*W
(0.10)
Здесь jueC [0,), выполняется условие согласования нулевого порядка //(0) = 0, т - означает транспонирование. Задача (0.10) однозначно разрешима в классе SL [10].
Тепловой импульс в рамках данной модели распространяется со скоростью (0.2), поэтому влияние управления ju(t) за время /* сказывается на
участке [0,я**) стержня; значения температуры и потока на остальной части стержня, в том числе и при x = at*, полностью определяются их начальными значениями. Зафиксируем функцию
Г* (х)є C[0,at*], Г* (at*) = 0
и поставим задачу отыскания управления ju(t), обеспечивающего выполнение равенства
T(x,tt) = T*(x), хе[0,аи]. (0.11)
Построим на отрезке [-аГ*,0] непрерывную вектор-функцию
h(x) =
ГЛ(х)\
Л(0):
(1 А'
Рис.2
Рассмотрим в «усеченном конусе» Y (рис. 2) задачу Коши для оператора (0.7)
L(u) = 0, Иг=о =
п(х), хе[-а^,0), , хє [0,2afJ.
Решение \T,q) этой задачи вычисляется по формуле из 1.1 с учетом
формул (0.9) для матриц Римана оператора (0.7). Последующее применение процедуры, указанной в пункте 2.1, дает следующий результат.
Теорема 2.1. Каждой функции дє C[-at*,0], д(0) = 0 отвечает решение ju(t) задачи управления (0.10), (0.11), вычисляемое по формуле
/*(*) = —— W- <*) + Ря(- at)) + J(vn(- 0,t)Mp) + v12(- a,t)g(a))da,
-at
где A(x) -решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода
А(х) + jVj! (x-a+ata* )A(a)dcT = /(*),
-f*/(2fi)
хє [-af*,0],
f(x) = T* (x+at*) ——g(*)- ]у12(х-сг+аГ*,Од(сг)Лсг,
v.-.-- элементы матрицы (0.9).
3.3. Стержень конечной длины. В этом случае процесс теплопереноса описывается краевой задачей
L(u) = 0, (х,ф=(-/,/)х(0,оо),
и(х,0) = (0,0)г,
T{-l,t) = M~(t), T(l,t) = ju+{t)-
(0.12)
Здесь ju , ju+є C[0,), выполняются условия согласования нулевого
порядка jU~(0) = ju+(6) = 0. Задача (0.12) однозначно разрешима в классе SL [10].
Задача управления состоит в вычислении пары (jU~,jU+) (двустороннее управление) либо одной из функций ju~, ju+ при фиксированной второй (одностороннее управление), обеспечивающих во всех точках стержня выполнение равенства (0.11) при заданных t*, Т*(х)є C[-l,l]. Предполагается
2/
t*>—, а
в этом случае идущие от концов стержня управляющие тепловые импульсы успевают пройти стержень хотя бы один раз. Ниже во введении приводится результат для случая когда управление двустороннее и t* = 21/а. В этой ситуации усеченный конус Y имеет вид, указанный на рис. 3.
I + at±
Представим функцию Г* в виде
Т*=Т~+Т+, Г;,Г'еС, 77(/) = 7+(-/) = 0. (0.13) Зададимся парой функций
д~єC[-l-at*,-/], д+єС[/,/+а4], д~(-/)=д+(/)=0.
Поставим в соответствие паре (г*-,д~) функцию /Г(л) на отрезке [-/-а?*,-/] как решение интегрального уравнения Вольтерра
в-'./(2*) . . І
Я (*) + (vn(x-cr+at*,t*)A {
2 J
паре (Т^+,д+j - функцию Я+(х) на отрезке [l,l+at*] как решение уравнения
-Ul{2e) х
-Л+{х)+ lvn(x-a-at,A)A+(a)da = f+{x), (0.15)
f (х) = Г* (*+я?,) W~^ W ~ Jvi2 (*-cr+^*,r, )g ((т)й/сг,
e-t*/(2e)g x
f+{x) = T+ (x-at*) + ——g+ (x) - v12 (х-сг-af* A )g+ (о")й?(Т,
2 /
Vy - элементы матрицы (0.9).
Теорема 2.4. Каждому разбиению (0.13) функции Т* и каждой паре функций g,g+, указанных выше, отвечает решение (ji~,ju+) поставленной задачи управления, вычисляемое по формулам
М (0 = -^-(^ (-l-at) + 0g (-l-at))+ J(vn4 (cr) + v12g (a))da,
—l—at
l+at
-t/{2e)
;u+{t) = ^-—(Z+(l + at)-j3g+(l + at))+ f(vnA+(<7) + v12g+(
где /Г, Я+ - решения интегральных уравнений (0.14), (0.15),
Vij=Vij(-l-aA Vy=Vjy(/-C7,0.
(
\
4. Процесс распространения тепла в пластинке моделируется краевой задачей
(0.16)
L(u)= — + YAk-— + В и=0, {x,t)<= 2)х(0,оо\ и(л:,0) = (0Д0)т,
Т(хА =fl(x,t).
Здесь
u(x,t) =
(тЛ
Я =
X — [Xi, x2),
A =
1 ,л
0 (cp)~l 0
О о о о
А2 =
5) - звездная относительно точки х = (0,0) ограниченная область в R2 с границей Г. Предполагается ГєС, /л є С(Гх[0,)) (символ С обозначает множество бесконечно гладких функций с носителем, отделенным от границы области). В этой ситуации выполняются условия согласования всех порядков, и краевая задача (0.16) однозначно разрешима в
классе С [45].
Задача управления состоит в отыскании функции ju(x,t), обеспечивающей при заданных t*, Г* (х)є С {%>) выполнение равенства
Т(х,ь) = Т*(х\ хє. (0.17)
Предполагается
t >^-а
где г0 - радиус минимального круга с центром в точке (0,0), содержащем
область Ю . За это время выходящий из каждой точки хє Г тепловой импульс успевает достигнуть любой точки пластинки.
Ниже во введении приводится результат для случая /* = 21/а. В этой
ситуации характеристический усеченный конус Y в полупространстве
R2x[0,) имеет своим верхним основанием круг JC0=\x: |х|<г0} в
плоскости ? = ?* и нижним основанием - круг 3(^ =\х: |jc|
плоскости t = О (рис. 4).
Требование бесконечной гладкости кривой Г и функции Г* принято
для простоты изложения; для того, чтобы выполняемые ниже построения
Рис.4
4.1. Рассмотрим семейство ортов
были корректными, достаточно принять Г є С", Г* єНп(2>) при достаточно большом п.
(coA f
Kco2j
a =
cos^
^ sin ф J
(рє[0,я]\
Поставим в соответствие двумерному гиперболическому оператору (0.16) семейство одномерных гиперболических операторов
г) г)
Ьа)= — + Л(со)— + В, Л(о)) = о\А1+о}2А2, cogQ.
д t ds
Нетрудно получить
Я{а>) = Za diag(a,0-a) zj, Zm =
Р о р
а\ о)2 ~со\ щ -а\ -Ob
Р - постоянная (0.8). Матрицы Римана первого и второго рода Uka)(t\ Ую(s,t)операторов Lm
будем называть матрицами Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (0.16).
Лемма 1.2. Матрицы Римана двумерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (0.16) даются формулами
vk0,(t) = {(иы\ )= e-t'^ZnP, z-J, {к=1,3),
(0.18)
^2fl,(0 = e"'/eze,p2z-1,
^М=((уДу)=
,-Ч{2е)
'(О
у-^и
7-І J0) '
(0.19)
где rh2=t + s/a, r = Jr\r2~,Plc=diag(Sllc,S2k,S3lc).
4.2. Рассмотрим в усеченном конусе Y задачу Коши
L{u) = 0, и[=0=к(х)єСоо(зС11 (0.20)
где L - оператор (0.16). Задача (0.20) однозначно разрешима в классе C{Y) [44].
Теорема 3.1. Пусть начальная функция представлена в виде суперпозиции плоских волн:
Кх) = ІКІ x)d(P> K{s)& с (fiх [-r0-at*,r0+at*]), (0.21)
где со-х = (3)^ + Щх2. Тогда решение задачи Коши (0.20) дается формулой
u{x,t)= шт(а) x,t)d
где u^sj) -решение одномерной задачи Коши L(O{u0}) = Q, иа\ = /^(^):
3 s~a3l:
U(o{s,t) = YsU ксо^Жі? - ак0 + \vco(s -
=1 s -ai t
(al,a2,a3) = (a,0,-a), Ukco,VC0 -матрицы (0.18), (0.19).
4.3. Подход к решению задачи управления (0.17) состоит в построении
функций h^s) таких, что решение задачи Коши (0.20) с начальной функ
цией (0.21) удовлетворяет требованию (0.17), и последующем применении
формулы вида (0.5).
Представляя функцию Г*, продолженную нулем из 5) в R , интегралом Фурье и переходя к полярным координатам, получим:
Т* (х) = у*ю{<о x)d(p, \х\ < r0, о
Ttat(s) = (2ж)-2 \{eirsf, (гсо) + e~irsf, (- ra)))rdr, sє [-го,r0], (0.22)
л
где Г* - преобразование Фурье функции Т*. Представим функцию T^^s) в виде
где 7^,7^ є C(Qx[-Ao,r0]) и равны нулю на малых отрезках вблизи точек соответственно г(), — г0. Зададим в кольце %^\Э{^ вектор-функцию
д(х)= єС, д = 0 при достаточно малом Ы —г0>0. (0.24)
Зафиксируем ojeQ. Обозначим g^,g^ -ограничения g(jc) на интервалы соответственно
{x = sco, —r0 -at*
Поставим в соответствие парам (т^,д^), (7^, g*j функции Я~ (s), ^(s) как решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода
(0.26)
f,/(2c) 5
ЛІМ + )(^^(^-0--^,^)^(^0- = /^(5), je[r0,r0+afj,
A»W + \{yM)n(s~(7+at^t*)A'co(CT)d(7 = fo}(sl se[-r0-at^-r0l
2 где
2 -'b
2 *
/J" W = C(*~«f*)- Z ^ Ju+1 ('* )g}«,M + }K\j+i {s-G-au Л )9%{o-)do],
(ика))г>(Уб))ц -элементы матриц (0.18), (0.19). Обозначим
hM=
(0,0)\ -r0<^
VC»9i) > r0
0)e Q
(0.27)
Теорема 3.3. Каждому разбиению (0.23) функции Т„юи каждой вектор-функции (0.24) отвечает решение ju(x,t) поставленной задачи управления,
вычисляемое по формуле (0.5), где Т - первая компонента решения задачи Коши (0.20) с начальной функцией (0.21), (0.27). Процедура вычисления Т описана в 3.2.
5. Процесс распространения тепла в пространственном теле описывается краевой задачей
(
\
д х,
L{u)= — + ^Ак-— + В и = 0, (х,Оє5)х(0,о),
V«* k=l " Лк
w(jc,0) = (0,0,0,0)t, T{x,t)\xer=M(x,t).
(0.28)
Здесь
u(x,t) —
(тЛ
q =
х — [Х^, Х2, Х3 ),
\аз)
А =
0 (ср)~1 0 0
кє~х 0 0 0
(
О 0 {ср)'1 0Л
fee'1 0 0 0
А,=
кє~
,-Л
О 0 (ср) 0 0 О 0 0 О
о о
В = є
Ґ0 О О 0^
5) - звездная относительно точки х = (0,0,0) ограниченная область в R3 с границей Г. Предполагается Г є С, /л є С(Гх[0,<х>)).
Задача управления состоит в отыскании функции ju(x,t), обеспечивающей выполнение равенства (0.17) при заданных f *, Т*(х)є С{3)).
Предполагается t*>2r0/a, г0=тах|дс|.
Ниже во введении приводится результат для случая t* — 21/а. В этой ситуации верхним и нижним основаниями усеченного конуса Y в полупространстве R3x[0,) являются шары 3{q={x: |jc|
5.1. Введем семейство ортов
0 =
(о-
(G\\ (cOStp Sin^
\hj
sin
sin# cos#
є [0,/г], 0є [0,лг]
>.
Поставим в соответствие трехмерному гиперболическому оператору (0.28) семейство одномерных гиперболических операторов
? д 3
^ = — + Л{й))— + В, Л{а)) = УщАк, йєО. (0.29)
dt ds ^
Нетрудно получить
Л(со) = Zwdmg(a,0,0-a)Z(O\
где f = (sin 3,- cos ),0), g = #JXf.
Матрицы Римана первого и второго рода U^^V^Syt) операторов (0.29) будем называть матрицами Римана трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (0.28).
Лемма 1.3. Матрицы Римана трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности (0.28) даются формулами
uka(t) = ((uke,)u)=<
(0.30)
le-'^Z^Z-J, (к =1,4),
e~tleZ P,7~l
(к = 2,3),
r-l
v*M=((vJ„)=
-t/(2e)
'CD
(—]
о о
о о о о
о о
Ґ—1
K2ej
Z~\ (0.31)
где rh2=t + s/a, r = ylr\r^, Pk=diag(Slk,S2k,S3k,S4k).
5.2. Рассмотрим в усеченном конусе Y задачу Коши (0.20), где L — оператор (0.28).
Теорема 3.2. Пусть начальная функция представлена в виде суперпозиции плоских волн:
h{x)=\\h0){o)-x)smd dcpdd, к^)єС(С1х[-г0-а^,г0+а^]). (0.32)
Тогда решение задачи Коши (0.20), (0.28) дается формулой
u(x,t)= iu^co- x,t)su\6d(pd6,
где um(s,t) —решение задачи Коши L0)(u(0) = 0, uo)\t=n ~ ^co(s) '
4 s—a4t
"*>М = Xе7'kaOhnis - akt) + \vm{s -
Z^,- оператор (0.29), (а],а2,а3,а4) = (а,0,0,—а), иксоУю -матрицы (0.30), (0.31).
5.3. Решение задачи управления проводится по такой же схеме, как в пункте 4.3. Разложение функции Г* в суперпозицию плоских волн имеет вид
ж к
7; (х) = Г \Т*Ш(со *)sin ddcpdO, \х\ < r0, оо
где Т*ю дается формулой (0.22) с заменой rdr на г dr и множителя
(2л")~ на (2я")~ . Представим функцию Г*^ в виде суммы (0.23). Зададим в сферическом кольце ЗК^ХХ^ вектор-функцию
'9і Л
gW=
єС, g = 0 при достаточно малом Ы-г0>0 (0.33)
и пусть g^,g^, - ограничения д(х) на интервалы (0.25) при фиксированном О). Поставим в соответствие парам \Г*а>*$(о)> \Г*(о>+а>) функции Я~ (s), ^(s) как решения интегральных уравнений (0.26), где
з -'о
lj+l(s-(T+att Л Jg^o-yo-],
(0.34)
з s.
С M= C(*-«'*)- Z 1(^4 Jiy+, ('* )9^(^) + jfyJij+i (s-G-aU A )q+j0}(
(uka)ij> iVu))ij -элементы матриц (0.30), (0.31).
Теорема 3.5. Каждому разбиению (0.23) функции Г*^ и каждой вектор-функции (0.33) отвечает решение ju(x,t) поставленной задачи
управления, вычисляемое по формуле (0.5), где Т — первая компонента решения задачи Коши (0.20), (0.28) с начальной функцией (0.32), (0.27), где Ко->Ко~ решения интегральных уравнений (0.26), (0.34).
В работе получены следующие основные результаты.
Вычислены матрицы Римана первого и второго рода гиперболической системы уравнений теплопроводности.
Построено явное представление решений задачи Коши для двумерной и трехмерной гиперболической системы уравнений теплопроводности в виде суперпозиции плоских волн.
3. Разработан подход к решению задачи граничного управления
процессом теплопереноса в однородном теле, состоящий в сведении к
задаче начального управления процессом теплопереноса в фиктивном
теле, содержащем данное, и последующем использовании развитого в
пунктах 1, 2 аппарата.
4. Построены классы решений, зависящие от функциональных парамет
ров, задачи граничного управления процессом теплопереноса:
в полубесконечном стержне;
в стержне конечной длины (одностороннее и двустороннее управление);
в пластинке звездной формы;
в пространственном теле звездной формы.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12-23, 57, 59, 60].
