Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация относится к теории итераций непрерывных отображений графов. Одномерные топологические динамические системы рассматривались в работах А. Пуанкаре, А.Н. Шар-ковского, Дж. Милнора, 3. Нитецки, М. Мисюревича и других математиков. В настоящее время их исследование интенсивно продолжается.
Интерес к таким системам объясняется несколькими причинами. С одной стороны, существует тесная связь с другими разделами теории динамических систем. Например, для отображений многообразий с инвариантным слоением коразмерности один соответствующее фактор-отображение оказывается определенным на пространстве с одномерной структурой. Динамика псевдоаносовских гомеоморфизмов поверхностей в ряде случаев может быть сведена к анализу некоторых специальных графов1,2. А. Н. Шар-ковский и его школа углубили3 изучение разностных уравнений, основываясь на современной теории одномерных динамических систем (во многом созданной ими). С другой стороны, граф обладает следующим техническим преимуществом — топологическим свойством, тесно связанным с общеизвестной теоремой о промежуточном значении: малая окрестность точки разбивается этой точкой, в то время как для многообразий высших размерностей окрестность после выкалывания точки остается связной.
Основная задача топологической и, в частности, одномерной динамики — изучение асимптотических инвариантов, характеризующих такие свойства как возвращение и разбегание траекторий. Так как чаще всего требуется выяснить как ведет себя траектория на бесконечном интервале времени, изучение самой траектории сводится к изучению ее предельных точек — и>-предельного множества. Степень «возвращаемости» точек в произвольную окрестность своего первоначального положения можно переформулировать на языке w-предельных множеств. Из структуры w-предельных множеств можно также установить наличие или отсутствие свойства разбегания траекторий. Систематическое исследование одномерных систем на основе анализа w-предельных множеств началось с работ А. Н. Шарковского.
1 Franks J., Misiurevicz М. Cycles for disk homeomorphisms and thick trees. Contemporary Mathematics. 1993. v.152, p. 69-139.
"*Кэссон Э., Блейер С. Теория поверхностей по Нильсену и Терстону, пер. с англ. Жиров* А.Ю под ред. АносоваД.В. Москва.: Фазис, 1998.
3Шарковский А.Н. и др. Разностные уравнения и их приложения. Киев.: Науковадумка, 1986.
Конечные w-предельные множества — периодические траектории (циклы) — играют особую роль в одномерной динамике. А. Н. Шарковский получил4 теорему о сосуществовании периодов циклов непрерывных отображений отрезка в себя. Она дает окончательный ответ на вопрос, какие периоды влекут за собой появление других периодов. Теорема Шарков-ского инициировала важное направление в исследованиях одномерных динамических систем — комбинаторную теорию. Часть усилий здесь была направлена на получение теорем, аналогичных теореме Шарковского, для систем с более сложным фазовым пространством. Наиболее близкий по форме результат был получен С. Балдвином для случая n-ода (т.е. графа, состоящего из и расходящихся отрезков от общего центра)5. Возможные множества периодов отображений окружности описаны в работах6, 7' 8. Однако для окружности нет такой строгой иерархии периодов, как в случае отрезка: зависимость между циклами не сводится лишь к одним периодам, но сохраняет элементы комбинаторного типа траектории, т.е. перестановки точек траектории под действием отображения9. Долгое время незатронутым оставался вопрос сосуществования траекторий более сложных, чем периодические. Трудность заключалась в том, что для этих траекторий не существовало такого полезного инварианта, каким является период для периодических точек.
Прорыв в этом направлении был осуществлен Е Сян Дуном в конце 80-х гг10. Каждой почти периодической точке (т.е. точке, замыкание траектории которой совпадает с w-предельным множеством и это множество минимально) был сопоставлен инвариант — декомпозиционная функция (D-функция), играющий ту же роль, что и период для периодической точ-
4Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. КЧ. с. 61-71.
* Baldwin S. An extension of Sharkovsku's theorem to n-od// Ergod. Th. Dynam. Sys. 1991. v.U, p. 249-271.
bBlock L. et. ol. Periodic points and topological entropy of one dimensional maps. Lecture notes in math. 1980. v.819, p. 18-34.
7 Block L. Periods of periodic points of maps of the circle which have a fixed point // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. v.82, p. 481-486.
'Misiurevicx M. Periodic points of maps of degree one of a circle // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1982. v.2, p. 221-227.
'Abcda L., Llibrc J., Misiurevricz M. Badly ordered cycles of circle maps // Pacif. Journal of Math. 1998. v.184, №1, p. 23-41.
iaE Слндун Минимальные множества и сосуществование почти периодических точек преобразований отрезка // Доклады АН СССР, т.309. №5. 1989. с. 1049-1051.
ки. Получена теорема11, характеризующая в терминах D-функций сосуществование почти периодических траекторий непрерывных отображений отрезка.
А. И. Демин развил идеи Е Сян Дуна, «двигаясь» в двух направлениях. С одной стороны, он дал определение D-функции для рекуррентной тонки (т.е. точки, замыкание траектории которой совпадаете ее ш-предельным множеством), основываясь на теории ультрафильтров12, и показал эквивалентность с определением Е Сян Дуна в случае, когда рекуррентная точка является почти периодической. С другой стороны, получено обобщение теоремы Шарковского для всех рекуррентных траекторий n-ода. А именно, для эндоморфизма n-ода описаны всевозможные множества периодов периодических точек и .D-функций рекуррентных, но не периодических, точек13. Отметим, что к понятию аналога периода рекуррентной точки с других позиций пришел Д. Бэнкс14.
Определение D-функции можно дать и для общей точки. Возникает вопрос: верен ли результат в духе теорем Шарковского-Е Сян Дуна-Демина для всех точек? В диссертации рассматривается следующая задача. Зная характер динамической сложности одной точки (не обязательно периодической, почти периодической или рекуррентной), определить все обязательно наличествующие динамические сложности траекторий других точек.
Отправной точкой другого направления в одномерной динамике можно считать работу15, где показано, что одномерность фазового пространства накладывает сильные ограничения на структуру множеств, важных с точки зрения динамики отображения. Типичным примером здесь служит результат А. Н. Шарковского о том, что замыкание рекуррентных точек отображения отрезка всегда совпадает с замыканием его периодических точек. Когда фазовым пространством системы является отрезок многие технические трудности в изучении динамики удается избежать, воспользо-
11 YeX.D. D-function of minimal set and extension of SharkovskU's theorem to minimal sets// Ergod. Th. Dynam. Sys. 1992. v.12, p. 365-376.
17 Демин А. И. Стабилизатор рекуррентной точки // Вестник Моск. ун-та, сер.1, математика, механика. 1994. №6. с. 3-6.
13Демин А. И. Сосуществование периодических, почти периодических и рекуррентных точек п-ода // Вестник Моск. ун-та, сер.1, математика, механика. 1996. №3. с. 84-87.
l*Bank» J. Regular periodic decompositions for topologically transitive maps // Ergod. Th. Dynam. Sys. 1997. v.17, p. 505-529.
16ШарковскиЛ A.M. Неблуждающие точки и центр непрерывного отображения прямой в себя // Доклады АН УССР. 1964. Л>7. с. 865-868.
вавшись линейным порядком на нем. Таким образом, актуальна проблема: какие свойства динамическая система приобретает, а какие свойства остаются неизменными при замене отрезка более «сложным» графом? Среди работ этого направления особо отметим статью А. М. Блоха16. Результаты этой работы применяются в диссертации.
Цель работы. Цель настоящей диссертации — исследовать топологические и комбинаторные свойства предельных множеств одномерных динамических систем.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми и состоят в следующем.
Доказано, что образ D-функции точки является идеалом в решетке натуральных чисел. Построен пример, показывающий, что этот инвариант (в общем случае) не определяется одним лишь предельным множеством.
Для отображений графов со свойством топологического перемешивания установлено наличие всех за исключением, быть может, конечного числа D-функций. Доказаны теоремы о сосуществовании точек п-ода (в частности, отрезка) относительно введенного инварианта. Аналогичные результаты получены для окружности и топологических цепей Маркова.
Для отображений графов доказана, известная в случае отрезка, теорема о том, что объединение всех предельных множеств есть асимптотический образ множества неблуждающих точек.
Методы исследования. В работе используются методы теории континуумов, теории линейно упорядоченных топологических пространств и методы символической динамики.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны в исследованиях по теории одномерных динамических систем.
Апробация диссертации. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах: научно-исследовательский семинар по общей топологии им. П.С. Александрова, семинар «Меры, размерность и топологическая динамика» под рук. проф. В.В. Федорчука, проф. С.А Бога-
!6Блох A.M. О динамических системах на одномерных разветвленных многообразиях. // Теория функций, функциональный анализ и их при л. 1986. Т. 46, с. 8-18.
того, доц. Ю.В. Садовничего, семинар «Эргодическая теория и динамические системы» под рук. акад. Д.В. Аносова, проф. A.M. Степина, а также на конференции молодых ученых МГУ (2004 г.).
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 64 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 35 наименований.
Похожие диссертации на О предельных множествах отображений графов
