Введение к работе
Актуальность темы. Данная работа является исследованием в области послойной обшей топологии. Хотя термин «послойная (обшая) топология» ( = (общая) топология непрерывных отображений) появился сравнительно недавно, у истоков этой области исследований находятся классические работы И. Л. Вайнштейна [1], Ж. Лере [2] и Н. Бурбаки [3], в которых был определен и изучен важнейший в современной математике класс непрерывных отображений, обычно называемых сейчас совершенными. Эти, и затем более явно, последующие исследования продемонстрировали некоторую общую закономерность, выражаемую обычно фразой «совершенные отображения ведут себя в классе непрерывных отображений так же. как и класс бикомпактов — в классе топологических пространств» (хотя точный математический смысл этому высказыванию был придан лишь недавно: с теорегпко-топосной точки зрения — П. Т. Джонстоуном [4], и, с еше более обших категорных позиций. — У. Толеном. М. М. Клементино и Э. Джули [а]) — стоит отметить в этой связи, что И. А. Ванн-штейн назвал введенные им отображения (совершенные отображения метрических пространств) «компактными».
Началом реализации идеи «автономного» исследования объектов категорий Тор/3 (т. е. категорий морфизмов категории Тор с обшим коїшом В, иначе говоря, непрерывных отображений в (=обшнх расслоений над) В) можно считать работу Дж. Т. Уайберна [6], в которой было определено понятие (би)компактификации )te-прерывного отображения (позднее усовершенствованное). В 1960-х годах (по всей видимости, появившись в исследованиях школы А. Гротендика — Ж. Дьелонне, см. [7І] определяется понятие отделимых отображений (названных позднее Б. А. Пасынковым хаусдорфовыми), которые ведут себя в классе непрерывных отображений таким
[1]И. А. Вайнщтейн. О замкнутых отображениях метрических пространств II ДАН СССР 57(1947), с. 319-:521.
[2] .1. Leray. L'anneau spectral et I'anneau fdtre d'homologie d'un space localemer.t compact et d'une application continue // J. de Math. Pares et Appl. 29(1950). pp. 1-80.
[3] N. Bourbaki. Topologie generate, 2''"' ed. Hermann. Paris, 1951.
[4] P. T. Johnstone. The Gleason cover of a topos, II // .]. Pure Appl. Alg. 22(1981), pp. 229-247.
[5) M. M. Clementino, E. Giuli, W. Tholen. Topology in a category: compactness j/ Portug. Math. 53(1996), pp. 397-433.
[6] G. T. Whyhnrn. A unified space far mapping // Trans. Arner. Math. Soc. 74 (1953). pp. 344-350.
(7) A. Grotheiulieck, J. Dieuclonne. Elements de Geometrie Algebrique I: le langage dts schemas. I. H. E. S. Publ. Math. no. 4. 1960.
же образом, как хаусдорфовы пространства — в классе (всех) топологических пространств; кроме того (по крайней мере, в качестве фольклорного утверждения) доказывается, что класс отделимых (би)компактных отображений рефлективен в категории непрерывных отображений, что является аналогом и обобщением классической теоремы существования максимального, или Стоун — Чеховского, бикомпактного расширения (тихоновского) топологического пространства. Исследования по послойной обшей топологии и близким вопросам, прежде всего связанные с проблемами теории (би)компактификацлй отображений, а также с общей теорией когомологий и теорией размерности, регулярно появлялись в нашей стране и за рубежом и в 70-х годах (В. М. Ульянов, А. В. Зарелуа. Лж. Л. Кейн, Р. Лпкхофф и др.)
В 1984 году вышла важная работа Б. А. Пасынкова [8], в которой, среди других результатов, были сформулированы аксиомы отделимости для отображений (в т. ч. было определено понятие тихоновского отображения), для тихоновских отображений был получен аналог теоремы Лихонова о вложении в куб Im и доказано существование тихоновских бикомпактификаций тихоновских отображении. Кроме того, по всей видимости, именно в этой работе была впервые явно сформулирована программа «от пространств — к отображениям».
Шагами на пути реализации этой программы (среди работ Б. А. Пасынкова и других исследователей, — см. книгу [9] и приведенную там библиографию) стали работы Б. А. Пасынкова [10], [11] и [12], в которых были введены понятия (Р-)равномер-пости и (Р-)блиэости на отображениях и доказано существование канонического взаимно однозначного соответствия между всеми тихоновскими бикомнактнфика-циями непрерывного отображения и всеми Я-близостями (вполне ограниченными Р-равномерностями) на нем, т. е. для тихоновских отображений был доказан аналог классической теоремы Ю. М. Смирнова. Определения Р-равномерностей и Р-блиэо-стен. данные в указанных работах, несколько неудобны в том смысле, что они даются косвенно (соответствующие структуры определены как максимальные элементы
[8] Б. А. Пасынков. О распространении на отображения некоторых понятий и утверждений, касающихся пространств // в сб. Отображения и функторы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984, с. 72-102.
[9] Л. К. Мусаев, Б. А. Пасынков. О свойствах компактности и полноты топологических пространств и непрерывных отображений. Лашкент, Изд-во «ФАН» АН респ. Узбекистан. 1994, с. 50-123.
[10] Б. А. Пасынков. Близости на отображениях // в сб. Обшая топология. Пространства и отображения, М.: Изд-во .Моск. ун-та, 1989, с. 99-113.
[11] В. A. Pasynkov. Uniformities on mappings // Inter. Rep. of the Prague Topol. Symp. 1988, No. 3, p. 23.
[12] B. A. Pasynkov. On completeness of uniform mappings // Inter. Rep. of the Prague Topol. Symp. 1988, No. 3, p. 24.
некоторого упорядоченного класса эквивалентных структур), а также тем, что для оперирования с ними требуется относительно сложная техника. Вместе с тем, при их изучении становится ясно, что они являются реализацией некоторой единообразной схемы «пероносач понятий структуры на множестве на понятия структуры на отображении, которая может быть применена и в других случаях. Поэтому естественно возникла задача единообразного и более явного описания Р-равиомерпостегі и Р-близостей па отображениях, а также, исследования общих подходов к переносу структур на множествах на структуры на отображениях.
Еше до появления указанной работы Б. А. Пасынкова D. П. Нории [13] ввел понятие т-близости на отображении и доказал существование канонического взаимно однозначного соответствия между m-б.тизостяміг на непрерывном отображении /: .Y —> 3 и его произвольными отделимыми бнкомпактификашіямн в предположении, что пространство В регулярно. Через некоторое время удалось освободиться от последнего предположения, усовершенствовав понятие т-близости — В. П. Но-рин и Б. А. Пасынков доказали существование канонического взаимно однозначного соответствия между всеми отделимыми бикомпактифпкания.ми непрерывного отображения и всеми NР-близостями на нем, т. е. получили «чистый» аналог теоремы Смирнова для категории Тор/В [14].
Далее. П. М. Джеймс в [15] ввел еше одно понятие равномерности на отображении (J-равномерности) и доказал, что на любом отделимом бикомпактном отображении существует единственная ./-равномерность. Последнее утверждение породило естественную гипотезу о каноническом взаимно однозначном соответствии вполне ограниченных J-равномерпостей и NР-близостей.
Таким образом, были введены несколько различных понятий равномерности и близости на отображениях, однако точные взаимоотношения между ними не были вполне установлены. К этому следует добавить, что введение и изучение равномерных и близостных структур на отображениях является одной из первоочередных целей распространения понятий, касающихся пространств, на отображения, ввиду чрезвычайной важности роли, играемой равномерными и тесно с ними связанными близостнымн пространствами в обшей топологии.
Различие понятий Р-равномерностн (Р-близости) и ./-равномерности (Л'Р-близо-сти), т. е. существование двух теории равномерпостей и близостей на отображениях, есть следствие некоторой обшей тенденции (которая стала особенно отчетливо ясна
[13] В. П. Нории. О близостях для отображений // Вестник Моск. ун-та. сер. мат. мех. 1982, Л'' 4, с. 33-36.
[14] В. П. Норин, Б. А. Пасынков. Близости на отображенпях. бикомпактифика-ции отображений // в сб. Отображения н функторы. М.:Изд-во Моск. ун-та. 1992. с. 93-111.
[loj I. М. James. Spaces // Bull. bond. Math. Soc. 18(1986), pp. 529-559.
в последние годы), состоящей в «разделении» теорий тихоновских и отделимо биком-пакгпифицируемых отображений. В первой из них рабочим инструментом является «функциональный» язык, а во второй — «чисто теоретико-множественный».
Из классического примера М. Хенриксена и Дно Р. Исбелла [16], показывающего, что свойство вполне регулярности (в отличие от свойства регулярности) топологических пространств, вообще говоря, не сохраняется в сторону прообраза при совершенных отображениях, следует, что хаусдорфово бикомпактное отображение не обязано быть тихоновским (в то время как любой бикомпакт является тихоновским пространством). Следовательно, упомянутое выше «разделение» послойно-топологических теорий имеет место ipso facto. Внутренняя причина этого кроется в том, что для отображений отсутствует адекватный аналог («большой») Леммы Урысона, которая обеспечивает взаимозаменяемость «функционального» и «теоретико-множественного» языков в общей топологии. Тем не менее, все же желательно было бы иметь какой-нибудь аналог Леммы Урысона для нормальных непрерывных отображений, который, в частности, выявил бы некоторые «функциональные» свойства хаусдорфовых бикомпактных отображений.
В связи с «разделением» послойно-топологических теорий возникает естественный вопрос: при каких условиях из (хаусдорфовой) бикомпактности непрерывного отображения следует его тихоновость? Упоминавшийся пример Хенриксена — Исбелла был усовершенствован Я. Хабером [17]. Из примера Хабера следует, что для тихоновости непрерывного бикомпактного отображения /: А' —> В недостаточно не только тихоновости пространства В, но даже его нормальности и полноты по Чеху; вместе с тем достаточно паракомпактности пространства В. Поэтому оказывается естественным для обеспечения тихоновости бикомпактного отображения попробовать наложить ограничения на его «внутреннюю геометрию». Одним из таких (весьма жестких) ограничений могла бы быть простота [18] отображения / — требование, чтобы оно было бикомпактным и не более чем один из слоев f~l(b), Ь Є В, состоял из более чем одной точки. Тем самым возникает вопрос: верно ли, что каждое хаусдорфово простое отображение является тихоновским?
Цель работы. С позиций общей теории ко(пред)пучков структурированных множеств определить и изучить некоторую общую схему переноса понятия структуры на множестве на понятие структуры на отображении. Исследовать условия, при которых «абстрактный» копучок множеств изоморфен копучку трубок некоторого
[16] М. Henriksen, .1. R. Isbell. Some properties of compactifications // Duke Math. .1. 25 (1958), pp. 83-105.
[17] J. Chaber. Remarks on open-closed mappings // Fundam. Math. 74(1972), pp. 197-208.
[18] В. В. Федорчук. Произведения и спектры топологических пространств, ч. II. М.: Изд-во. Моск. ун-та, 1980.
отображения. Установить взаимоотношения между различными определениями равномерных и близостных структур на отображениях: распространить на отображения теорему о соответствии близостей и вполне ограниченных равномерностей. Получить утверждение о непрерывных отображениях, являющееся аналогом классической Леммы Урысона. Выяснить, не следует ли из простоты (хаусдорфова) бикомпактного отображения его тихоновость.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:
-
Показано, что основные конструкции теории Р-равномерностсй и Р-близостей на отображениях, принадлежащей Б. А. Пасынкову, могут быть обобщены на случай произвольных копредпучков равномерных и близостных пространств. На основании введенного и изученного в диссертации определения Р-корефлексии в категории копредпучков структурированных множеств предложен некоторый общий подход к определению структур на отображениях.
-
Доказано, что категория вялых копучков множеств над примальным топологическим пространством 3 эквивалентна некоторой надкатегорпи категории Set/B, имеющей тот же класс объектов (и совпадающей с последней, если 3 — Гі-пространство). Также показано, что ото утверждение является характеристикой прималыюсти пространства В.
-
Установлены точные взаимоотношения между введенными разными авторами определениями структур типа равномерности и близости на отображениях.
-
Получено обобщение классической Леммы Урысона па фильтрующиеся (по фильтру открытых множеств) топологические пространства. В качестве следствия получен аналог Леммы Урысона для непрерывных отображений.
-
Получены обобщения классического результата X. Херрлнха о существовании регулярного 71-пР0СТРаі,стваі любое непрерывное отображение которого в заданное фиксированное Т]-пространство постоянно. На основании этих обобщений построены примеры простых непрерывных отображений, не являющихся тихоновскими.
Методы исследования. Использованные в диссертации категорные методы и методы теории (ко)пучков развивают методы, применяющиеся в исследованиях по послойной обшей топологии. Кроме того, в работе широко используются различные, классические методы теоретико-множественной топологии.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, работающим в области общей топологии непрерывных отображений, а также представляют определенный интерес для специалистов в области категорией топологии. Кроме того, результаты III и IV глав диссертации достаточно интересны (независимо от их приложения к задачам послойной общей топологии) и с точки зрения классических разделов теоретико-множественной топологии.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на научно-исследовательском семинаре им. П. С. Александрова механико-математического факультета МГУ, VI Тираспольской конференции по топологии и приложениям (Тирасполь — Кишинев, 1996), Международной конференции по топологии и приложениям, посвященной 100-летию со дня рождения П. С. Александрова (Москва, 1996), Международных конференциях студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов» (Москва, 1996, 1997), Александровских чтениях (МГУ, 1997).
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 15 параграфов, приложения, списка цитированной литературы, содержащего 60 наименований, предметного указателя и указателя обозначений. Обший объем диссертации — 112 с.
