Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. В последние годы для повышения точности проведения строительных н сельскохозяйственных работ используются мобильные роботы, оснащенные системами спутниковой и инерциалыюй навигации. Задачи, возникающие при управлении подобными машинами, можно разделить на два вида:
планирование траектории,
выход на заданную траекторию и стабилизация движения по пей. Постановка первой задачи определяется содержанием строительного
или сельскохозяйственного задания. Вторая задача решается с помощью синтеза закона управления, стабилизирующего движение машины вдоль кривой, полученной нз решения первой задачи.
В литературе встречаются различные модели мобильных роботов. В работах Мирошиика И.В., Никифорова В.О., Фрадкова А.Л., Рапопорта Л.Б., Самсона С, Уткина В.И., Уолша Г. решается задача синтеза управлення, позволяющего стабилизировать движение по отрезку прямой или гладкой кривой с ограниченной кривизной.При этом управление может быть непрерывным или разрывным. Очень часто синтезированный закон управления не удовлетворяет заданным ограничениям. С другой стороны, ограниченность управления не позволяет добиваться гарантированной скорости убывания нормы отклонения от предписанной траектории для произвольного начального положення целевой точки и ориентации платформы робота. Другими словами, замкнутая система в общем случае не обладает свойством глобальной устойчивости, т.е. для начальных условий, лежащих вне области притяжения, автоматический выход мобильного робота на требуемую траекторию не гарантируется. Таким образом, возникает задача оценки области начальных состояний, из которой возможен выход на заданную траекторию.
Задача построения инвариантной области для линейной системы рассматривается в ряде работ. В книге Поляка Б.Т. и Щербакова П.С. предлагается метод инвариантного эллипсоида для случая линейной системы с ограниченным возмущением. В работах Черноусько Ф.Л. и его учеников разработай метод эллипсоидов для аппроксимации областей достижимости в линейных системах с шумом, ограниченным в Ь% норме. Формаль-ским A.M. исследована структура областей достижимости для линейных систем.
Важно отметить тот факт, что даже самая простая кинематическая схема колёсного робота описывается системой нелинейных дифференцн-
альных уравнений, поэтому описанные выше методы неприменимы для аппроксимации областей притяжения в задаче управления колёсным роботом. Кроме того, при движении колесного робота с приводом поворота переднего колеса, обладающим инерционностью, вдоль траектории с быстро меняющейся кривизной возникают переходные процессы, которые не позволяют достичь асимптотической устойчивости. Это означает, что для данного случая области притяжения положения равновесия просто не существует. Поэтому вместо попыток оценки областей асимптотической устойчивости в диссертации предлагается метод построения двух инвариантных областей, оценивающих как величину переходных процессов, вызванных переключением с сегмента на сегмент, так и область начальных условий, из которых гарантируется попадание в первую область. Как будет показано ниже (глава I), такие области можно построить для некоторого класса нелинейных систем. Области похожей структуры строились для в стохастических систем в работе Барабанова И.Н. и Пятницкого Е.С.
Предлагаемый метод получения оценок областей притяжения и инвариантных множеств основан на построении непрерывных функций Ляпунова в виде квадратичных форм. Похожая задача — исследование устойчивости при постоянно действующих возмущениях в большом была сформулирована в книге Малкина И.Г. и получила дальнейшее развитие в работах советских ученых Красовского Н.Н., Четаева Н.Г. и Черноусько Ф.Л. Однако построение таких функций для исследования нелинейных систем было бы невозможно без методов теории абсолютной устойчивости, которые развиты Пятницким Е.С, Лурье А.И., Постниковым В.Н., Айзерманом М. А., Гантыахером Ф.Р., Гелигом А.Х., Леоновым Г.А., Якубовичом В.А. н другими учеными.
В современной литературе можно встретить различные способы аппроксимации областей притяжения и инвариантных множеств. В работах Ху Т., Ма Л., Лина 3., Лу Л., Коунтиньё Д.Ф. область притяжения строится из пересечения нескольких эллипсоидов или в виде одного для системы с произвольным переключением между N линейными системами. Чизи Г. и Хапг Й.С. предлагают численный метод, позволяющий уточнить границу некоторой начальной области притяжения с помощью квази-квадратичной функции Ляпунова. Розгонуй С. и Хэнгос К.М. предлагают численный метод, последовательного уточнения границы области притяжения. Ванел-ли А. и Видьясагар М. рассматривают построение функций Ляпунова в виде отношения полиномов для нелинейных систем. Все описанные методы подходят только для аппроксимации области притяжения положения равновесия, для оценки переходных процессов они не подходят. Разработке численного метода для решения этой сложной задачи посвящена первая глава и применении его в задаче управления колёсным роботом — вторая.
Целью диссертационной работы является разработка численных методов построения оценки областей притяжения и инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем, с последующим применением разработанных методов в задаче управления колесным роботом.
Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, оптимизации функций многих переменных, линейной алгебры, линейных матричных неравенств и вычислительной математики.
Научная новизна:
В терминах линейных матричных неравенств получена оценка области притяжения совместно с оценкой инвариантного множества для некоторого класса нелинейных систем.
Впервые полиномиальное преобразование координат применено для уточнения границы области притяжения.
Разработаны численные методы итерационного оценивания областей притяжения и инвариантных множеств для некоторых классов нелинейных систем и применены в задаче управления колёсным роботом.
Научная и практическая ценность. Результаты, полученные в настоящей работе, являются развитием вычислительных методов теории абсолютной устойчивости и методов решения линейных матричных неравенств. Рассмотренные методы позволяют строить оценки областей притяжения и инвариантных множеств для нелинейных систем, а также могут быть использованы при проверки оптимальности синтезированных законов управления.
Положення, выносимые па защиту:
Новые достаточные условия устойчивости нулевого положения равновесия одного класса нелинейных систем, встречающегося в теории управления.
Метод построения оценки области притяжения для этого класса систем, основанный на методах решения системы линейных матричных неравенств.
Метод последовательных итераций, позволяющий улучшить оценку области притяжения, основанный па методах решения системы линейных матричных неравенств.
Метод построения оценки области притяжения в задаче управления колесным роботом.
Численный метод итерационного оценивания инвариантного множества, обеспечивающий минимизацию его объёма, при максимизации объёма области притяжения в задаче управления колёсным роботом.
Численный метод построения оценки области притяжения с помощью форм чётных степеней в задаче управления колёсным роботом.
Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.
Личный вклад соискателя. Все исследования, представленные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: 1-ой Российской мультикон-ференции по проблемам управления "Мехатропика, автоматизация, управление" (Санкт-Петербург, 2006), Н-ой школе - семинаре молодых ученых "Управление большими системами" (Воронеж, 2007), IX-ой конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2007), Ш-ей Всероссийской молодежной научной конференции по проблемам управления (Москва, 2008), Х-ом международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2008), 17-ом Международном конгрессе IFAC (Сеул, Юж. Корея, 2008), IV-ой Всероссийской школе-семинаре молодых ученых "Проблемы управления и информационные технологии" (Казань, 2008), IX-ой Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова н его приложения" (Алушта, Украина, 2008), Международной мультикопференции "Теория и системы управления" (Москва, 2009).
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 13 печатных работ, в том числе 3 в ведущих научных журналах.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из "Введения", двух глав "Основной части", "Выводов" и "Списка литературы" (64 источника), а также содержит 15 рисунков. Общий объём диссертации составляет 78 страниц.
