Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Классы областей. 15
I. Определения однородных областей. 15
2. Однородные области,близкие к шару 20
3. Интегральные свойства областей 36
ГЛАВА II. Аппроксимаодя и продолжение отображений 42
4. Свойства мебиусовых отображений 42
5. Аппроксимация подобиями квазиконформных отображений 47
6. Квазиизометрические отражения. 55
7. Продолжение отображения из области 64
ГЛАВА III. Образ прямой при квазиконформных отобра жениях пространства, близких к конформным ... 73
8. Формулировка результата и вспомогательные утверждения 73
9. Построение отображения яз прямой на кривую ...82
10.Продолжение отображения на R 93
Литература 103
- Однородные области,близкие к шару
- Аппроксимация подобиями квазиконформных отображений
- Продолжение отображения из области
- Построение отображения яз прямой на кривую
Однородные области,близкие к шару
Классы состоят из сле дующих областей: а) шаров й, в) Я. \V , где V - произ вольное замкнутое подмножество v\-% - мерной сферы . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения 1.6 следует, что если л-» . 0,{» 6 (Л є U (i) , то найдется семейство шаров с 14. При инверсии относительно S(о,і)получаем семейство открытых полупространств, расположенных на произвольном расстояний от О . Отсюда следует, что в (Л-найдется полупространство, касающееся 0 . Значит, U є U(i) = U(i) тогда и только тогда, когда для любых ьхг6 найдется шар sBc[/{, такой, что Х4,х2 8.Повторяя рассуждение, докажем, что для любых xi7x2 It найдется В U такой, что Хі,Хг В . Если Ъ\к р , то утверждение леммы верно. Будем считать, что оо е dLL (в противном случае возьмем еМц такое, что оо е (ди) я рассмотрим V(U.) ). Тогда шар к В может быть полупространством дли обычным шаром. Значит, ІЛ выпукло и содержит полупространство. Как замечено в ([24], свойство 1.4), отсюда следует, что ІЛ есть полупространство или все Rh . Во втором случае предположим, что д U содержит и точек -й ..., , не лежащих в и-% - мерной плоскости. Через А обозначим их выпуклую оболочку, р - гиперплоскость, содержащая Д . ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЛЕММА. Пусть Д - симплекс в RИ , натянутый на Я,...,ЛИ ; Хв б 1 0У р( о,Щ 0, d = ctiav Й . Тогда, если Ъ %dz/g и х/6 (х, Ъ) , то найдется А- - вершина А , принадлежащая Ь(х,й). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - полупространство,p(Xe,SD) й$/& . Если все aL 6 RMN5) ,ТО ({ и S) . ЕсливаВ0е,4)и Х-хв4б(г/ , то x-acl +rf 1 , значит, А В . Если же [X X6) jf /р , возьмем полупространство Ж такое, что Э 5) перпендикулярно ! С о хвТ "и р ( ,2))= Р/2 . Тогда найдется , а. 6 . Так как I а- - х \z d г + О -р/ )2 Ъг , то aL є 8 (х, fc). Воспользуемся леммой в нашем случае.
В гиперплоскости Р возьмем xe е Lm.t ±flt положим = р( 0,Э й) , d - dlam й .На перпендикуляре к р в т. хо возьмем точки х , хА симметричные относительно р и такие, что Р(хг?Р) =2 /р . Тогда любой шар или полупространство В такие, что х, х б В , будут содержать хотя бы одну точку &1 . Так как х х е bt, В с Ц , то получили противоречие ( &i - граничные точки). 2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ."Пусть і %0, і 1, область IIе К такова, что (А? Ф 0 УІ оо ео LL , 1) Область Li принадлежит классу V0 (i)f если 2) Область t принадлежит классу V ( ) ,если для любых х.± ,хгеЭИ найдется непрерывное семейство шаров B c-li, iejc?,if , таких, что (х х В гм-ё и В - ХД при -к- О , Є 4. хл ДРИ і — 4. 3) Область U принадлежит классу V () , если для любого X Э6С ч{} для любого % о найдутся шары B(j, 0-i))cO., В (г, Ъ ( -)) : tf, такие, что х- ( = /х-г=г . 4) Область 1АУ принадлежит классу V3 (), если для каждого X Gall4{J, для любого t 0 найдется гиперплоскость Р = р(х5 fc) такая, что X 6 р и dist (9UL Л В(х,ъ), р} fc. Будем говорить, что область удовлетворяет условию Vi С&) $ если она принадлежит классу \Л (,) . Условие V3()показывает, что граница области является "почти плоской" с точностью до t . Принципиальное различие между условиями в том, что условие V0 - внутреннее (для внутренних точек области), Vj. - граничное одностороннее,a V и VI - двусторонние граничные условия. 2.3. ТЕОРЕМ. Классы VL областей (l = - ±А ) эквивалентны при достаточно малых L , т.е. для каждой пары V. , V. найдутся L. 0 и функции сь.( ) такие, что g.. ()- о при i o и VLU) V. СЗj С ) при О і 6 І . При доказательстве получены следую-ще g.. и -, : () = 630 при І 2- о ? Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству теоремы и некоторых других свойств однородных областей. 2.4. ЛЕММА. Ve () с N () . к ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Х± eU, 29U. Сделав подходящее мебиусово преобразование, будем считать, что Х±=0, Х = . Возьмем последовательность ъ є II такую,что lzwtl -vv," 00 монотонно, соединим х± с г континуумами 2» п0 определению 1.4.
Пусть A w, = V , через I обозначим компоненту связности множества Z O В (о, Хи) , соединяющую О и (,XJ. Положим Хи = (JY tow симальности найдутся ХА , Х 6 5(Xe, /1 9V такие, что 1 ХА-X j Ъ \П? В семействе шаров й В. , соединяющих Xd и Х по определению 1.7, выберем шар ж В , граница которого S пересекает перпендикулярно гиперплоскость р = {х 1х-х4 - 1х-х2 J # так как о бдЫ, то В - шар или полупространство. Полный угол "веретена", соединяющего Х± и Хя и касающегося В , не превосходит ЪЧ\ /к , отсюда о 4 Sttt3Ji/g (см.замечание 1.6.2). Утверждение а) доказано. Доказательство равенства ЪЫ =Э1г повторяет предыдущее, только в предположении противного выбираем Ц в ЭИ ч ЭМ 2.6. ЛЕММА. Пусть X1,XJl6 R и Bt -непрерывное семейство шаров таких,что В - Xd при -» О , В Х при t - 1,и (х±, хя, Bt ) S при О 4t l. Тогда в этом семействе найдется шар В радиуса ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если среди В + нашелся неограничен ный шар s, то радиусы В + принимают все значения из]о,оо[. Если же все о, ограничены, то возьмем с ( о) такое, что 1хв-ХА (х -х ! Рассмотрим плоскость, проходящую через Х0 Xi? X л .Проведя простые вычисления в плоском случае, получим нужную оценку для t (t0). Равенство может достигаться, если 2.7. ЛЕММА. Если U- є V (&) , 0, М,то по любому отображению б[1и такому, что (Li) ограни чено, найдется шар В (х0, ь) С Р ( UI) такой, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть \А/ - Ч (U ) - ограниченная область, В(х0, ъ) l/t - шар максимального радиуса. Возьмем х± ЭИ произвольно и х є ЭИ на прямой, соединяющей Х _ и Х% так, что х0 [ ,, Х ] .По лемме 2.6, найдется шар В ( Ч Р) с W такой, что р х±-хл[(1-\[яТ )/Я (1- ) .
Таккак ЛЕММА. Пусть В (0, і) С (і с В ( А), где Тогда, если х±,ХгбЭЫ, Хз = С -Хл)/;г , то а) р 1 - J7/# или в) р 4 0,0 В . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведем плоскость через 09 Х± Х . Таккак jx і, (хг , ха v/T p7 , Іха+ РІ и JD А то \і-р + JU, р A , vTi-J) + р А + (і-jW.)p 4 1 + 5,І П « б Совокупность решений последнего неравенства р (б + \J й- с /Я или р ( -NIF? 2)/ несвязна при б" «Ир0 $ 40 получаем требуемые оценки. Заметим, что в случае а): С В(0; i,e9/(i-i, . 4jb)) В (0, 5) .Значит, реализуется случай а) из предыдущей леммы. Рассмотрим теперь характеристику Q ( i , я,, В.") Для 1, 1 б Э1А и В.. из семейства шаров, соединяющих Xt и хя , полагая Q (х±, х , В ) = s up \ u по всем Ч? (дії) , где бМ„ такое, что с (Х1)=-1, (Хь) = 1, ( В ) = В (0, ci). Из непрерывности В следует, что (x X Bj непрерывно по t . Для рассмотренных выше Х± и Хг отсюда следует, что Пусть для некоторых ХА , Л и всех В. из семейства соединяющего Х± и Хд , выполнено неравенство @ (Х, Хд, В ) і « 3,2 \JT . Тогда, повторяя рассуждения, получим то же неравенство для ЧХ.Ч достаточно
Аппроксимация подобиями квазиконформных отображений
ТЕОРЕМА. Пусть Не Ы ( $) - область в R ,причем оо [X . Тогда найдутся постоянные о 0 и С , зависящие только от , и И. , такие, что любое отображение с ограниченным искажением f і U, - Й , переводящее оо в оо , обладает следующим свойством. Если K, = :l+ l + 0 , то для любого шара В(Хв,ъ) найдется подобие Т такое, что для всех х б6(Х0, )Я Щ . Весь параграф посвящен доказательству этой теоремы и некоторых ее следствий. ЗАМЕЧАНИЯ. I). Для полупространства аналогичные результаты получены П.П.Белинским [3,4] и А.П.Копыловым [13, 14]. Первоначально классы Щ (d-, $ ) однородных областей введены в[іб] именно потому, что они позволяют для каждой пары точек X, Ч Ы и области (j класса )j (V X - Ч » і ft j х - ч і ) » содержащей X и Ц % воспользоваться частью а) теоремы 3.1 Ю.Г.Решетняка. Отсюда непосредственно вытекает инъективность отображения с ограниченным искажением, следовательно, его квазиконформность. Поэтому, не ограничивая общности, отображение в формулировке теоремы и в дальнейшем считаем квазиконформным. 3 ) Если (оо)ф. о , то существует преобразование «Ип такое, что $ (оо) =z о& . Следовательно, -f удовлетворяет условию теоремы. Более того, если «о ф Ц, 9 то найдутся Ч , еМи такие,что ЧЧV(oo)roo.
Так как по следствию из теоремы 1.5, то f -f V удовлетворяет условию теоремы. 5.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем произвольный шар В = В ( «,, ъ) « R . Если В П 11 = , то доказывать нечего. Если и о є В /1 И » то В с: ( и 2 . Оценка (Ї) для 6( ,,,2)дает ту же оценку для В( в,ъ) с увеличением постоянной вдвое. Поэтому ограничимся случаем Через і : к — К обозначим инверсию относительно 3(хв,ъ) ,т.е. 1(х)= хв+(х х0) х-хо12. Очевидно, I"L- 1 . Положим U/= I (U,) , тогда х0 (Х, о ц/ и по теореме 1.5, UL = Ur (d, j? ) . По определению (//,( ,) -области, найдется точка Ц& S(x0 ) такая, что шар ВА = В ( Jf 0 п bd/fr) CL U . Положим Вг= (., W4), Ь3 = В(х.,ъл/4), В, = В (jfo, d/Spj . Непосредственно проверяется, что KB -U)) Э B(a„, Xb/(i+\)) . тогда щя od/ , 5" имеем включения I ( В ) з BUl, « 4,3, 3. Воспользовавшись леммой 1.9 для областей Ы , U, и шара В =5. (хо 2,), найдем области (г-, Й- е 6 (Яо ,2 ) такие, что on L4/ id BOW/ ( е/± и й1 зависят только от & и )а ). непрерывное отображение, причем F (х) - X 4 С Тогда Р (В(х0, )) z В (xe fcr). Так как непрерывно в (г , то из (2) и леммы при условии с± t /8в следует, что 1(8 ) BU, с = і , &, 3 .Тогда Общий случай подобием приводится к рассмотренному. Отсюда и из (3) следует неравенство I -f (Х) Х 4 М C t , . если хе ВЛ. 4) Положим X = I { f (г) , где г е В 4 . Тогда Хб1(63)сВя .Так как =ІІ , то (xH jflfV b 14 () . Неравенство (3) перепишем в виде I If- OO-lfVo %саг ,еслигеВ,. Теперь из (4) имеем: II Р 1 Vі (г) - f vVe)! ct б , если г є В, . Если в оценке (2) положить х --f Р fe), где ге В 4 »то 2 - + (г)[ 4 С± Z .Из двух последних оценок получаем: :1 Р 1 4 ()-2 а ± , если г в В,.
По построению, Ц (хй) = х0 , значит, I 1( ») = ос? .следовательно, Iе? ! - подобие. Тогда из 4.4 следует,что Свойство 4.2. I) дает оценку коэффициента р для шара В - В(ха,2): Р -1 (В) 4 %Сг /{ 1/ц -Сг&) . Считаем столь малым, что сг & /./4&о . Полагаем С ЪХС /cL , тогда pri(B) C3i . Используя 4.3.3) для 4 и шара В » найдем Тб Пи о ;такое, что jT feWl 4 СаИ ДЛЯ ВСеХ 2.6 В . Положим "2. -f (х) , где X В . Тогда [T-f (х)- (f-f ( х) С3 Ъ , что вместе с (2) дает неравенство (Ї), где с -С3 + ct . Необходимое в условии теоремы число д получим, учтя все ограничения, накладываемые на при доказательстве. Теорема доказана. 5.5. ЛЕММА. Пусть В В(хв,Ъ), :В - RW -непре рывное отображение, для которого нашлись подобия Т1 и Т такие, что Т -fCxl-xl tZWu. всех Х6 В » причем І 0,5 (1 = 1,2). Тогда ІТ.ТГ М-Х) г для X 6 6 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 5.3, Т. 1(6») В ( о , 1{ &)) . Взяв произвольно X В( в? ( ё)) » найдем 2. 6 В такие, что ffo),:- , . Тогда I t-Xl іг Используя 4.5, получаем для всех X є В требуемое неравенство. 5.6. Пусть Т 6 Г7И . Через ЦТ ( обозначим величину T(a) T( )/U-[ » не зависящую от а и (CL 6). Ясно также, что (Т (=ТГ\ (IT TJI e/TJM(T# Если для всех X из шара В (хд ус) справедливо неравенство J Т Т 1(х) - х ] 4 А Ъ .то 5.7. Пусть Ц- -область, Li б U/( ,f ) и -f : Ц, -» RW , у () - отображение с ограниченным искажением, Kp-i= 0&4о, где g0 найдено по теореме 5.1. Возьмем произвольный ша-рО 0 0,(хаъ\х0 U, Рассмотрим последовательность шаров В = в(хг Х съ) таких, что X-L е № и В В._4 для всех і б // . Соединяя Х с достаточно удаленной точкой по определению W (0 ) - области, видим, что найдутся точки #16 (х. г. Ч Ьакие, К =В( г "Чь ) у)сВ.ПЙ Следовательно, В с &L„± . Воспользовавшись теоремой 5.1 для В (с 0) А, 2,,... ) t найдем подобия Т. такие, что Ч\ "? (х) - х j согИ для всех х &. П 6С , в частности, для Х6 В . Воспользуемся леммой 5.5 для В. иТ , Тг-1 . Имеем: [Т. Т Д ( Ьх %Сйг ОТ1 . Теперь из 5.6 следует, что a-e icivji ищи i iiTYjf, где = % Сб tf/d. {\ - d/$) .
Отсюда получаем оценку О-Є ЙГІ/TJ 6 Т. 4 (W /llTJI. (5) 5.8. Пусть Хв 6 t , В - Bxe, fc/O"" произвольный шар, e d 6 & О (Л . Рассмотрим последовательность шаров: В0=В(хв,г), B-B( .,2 t)ae l тогда Вг с Bfc,. и для подобий Tj справедлива оценка (5). Если где Се найдено по теореме 5.1. Тогда І - І-Гс «v-f( i)-2e« І і- .НСсо . Так как Tj,-f ( в)-ге( сСвг , то Теперь из 5.6 и (5) получаем оценки По построению, l+i ao (t/{21-20) . о , следовательно, (uc )\ ( /uu-2o,) u (vut-,0ifV Пусть і удовлетворяет неравенствам о с ё о, s . Тогда eja(4-ee)-cfn справедлива оценка Используя предыдущие оценки, получаем: 5.9. ТЕОРЕМА. Пусть (/ Є UO,), Є И» .Тогда найдутся С и о » зависящие от vL, В и )г , такие, что любое отображение с ограниченным искажением с условиями {(ос?)» со, К +5 обладает следующим свойством. Если Xft, Xi? 2е,2± U, причем IXo-XiUJx H - с?, і , то Vxi -X.I/ -f(xj-f(x.)j Vxt .l ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Цусть X± -Х„ = гД . Тогда точки 2.. и г„ удовлетворяют условиям предложения 5.8, следо
Продолжение отображения из области
Продолжение Отображения Из Оемсти. 7.1. Пусть А - {& , ...,#w} с R" - И -точечное множество. Через 2 (А) обозначим (и- і) - мерную пло щадь выпуклой оболочки # множества # .Если Z (#)Ф0 , то А является невырожденным (и-і)- мерным симплексом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество $) с $. удовлетворяет условию А ( ), Ъ 0, если для любого х є о) , Ъ о найдется множество fl = { & ., ..-, П 8 ( , г) такое, что д ss х и X (#) 5 fc11" 1. Множество J)c Rh удовлетворяет $(с») - условию, если ему удовлетворяет ПРИМЕРЫ. Ї) Произвольное связное неограниченное множество на плоскости является $(1)- множеством. В пространстве условие более обременительно. 2) Пусть область Ы с и, Ы є U ( /.) 9 е и Тогда для любого x±6 U4{ooJ положим хг = .Воспользовавшись замечанием 1.6.4), по любому 0 в семействе шаров Bt найдем такой Б(хб? )? ЧТо 0-? = Положил #А - х и выберем Яг,...,Яь еЗ(хб/ъ)п B(x,fc) так, что для й = {а4,...,ац). ZfflJ VyCvt-i)! "1-Следовательно, Ц, # ( 5) , где Ь - bLhmZ/(h-i)l и""4. 7.2. ЛЕММА. Пусть fl = { ,..., ай} cR\ А с ъ(ах%ъ) ж Т. (A) Z- & Тогда найдется с& х , за висящее от и и такое, что для любого Т Пи , сохраняющего ориентацию, из неравенства V (Я 0 - # L I С = , t ) следует неравенство ТО) - х св г для всех х 6(ад.,г). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Считаем &e=0? t = i .Так какТ(х)-х аффинно, то неравенство Т(х)-х выполнено на симплек-се й - выпуклой оболочкв f[ . Для линейного отображения L 00 =Т(х)-Т(0)-х справедлива оценка Ь( )И %, , если X є А .В гиперплоскости " , натянутой на А , возьмем базис (tf2v..7#J.Пусть Jf = Z! І І & Неравенства У і задают параллелепипед объема #И (и-і)! 51 ("А) .В случае и з площадь (и-г) --мерной грани его не превосходит % г , следовательно, высота его \\ 2 (\л-і)\ 5 , и в параллелепипеде содержится шар В - 12» (о, 5 (и-і)! ) Л & И-1 В частности, это неравенство справедливо для и В0 Теперь из линейности L следует, что L (ч) Теперь в R выберем ортонормированный базис (,-., ен) так, что е2 ,.}е е X. Отображение Т (х)=Т(х)-Т(о) является линейным подобием, сохраняющим ориентацию.
Отсюда легко заметить, что из неравенства Т0 (х")-х С4х для х Є В?(о, і) Л 0У следует то же неравенство для всех X 6 Я. Значит, [ТОО- ! (ci+ ) для X Б (о, 4). і 7.3. ТЕОРЕМА. Пусть R - А ( ) - множество. Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы 5.9 за исключением следующих моментов: а) вместо ссылки на теорему 3.2 достаточно использовать определение и - подобия 5.И, б) Вместо леммы 5.5 нужна следующая лемма. 7.4. ЛЕММА.Цусть fl { .„AJjCP 1, # с &.( . , Т /$) S Ъ И"4 .Тогда, если -f : $ - R - отображение, для которого нашлись подобия Т± и Т2 , одинаково ориентированные и такие, что Т. -f (х) - х I - L 0-= 2) для всех X А , причем 6г tc , то 1 -1 . ) для всех хбВ(а4?г). Постоянные 0 о и С1 зависят только от S и И . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся леммой 7.2 для йг = Тг(Й) .По условию, сВ«?г(1+2 )) , остается оценить снизу 2Г (# ) Пусть h - длина ми-нимальной высоты в симплексе А - выпуклой оболочке А . Тогда Z(fl) / ( и - 4 ) . из 7.2 следует, что при. t (и-і). 5/4 . Лемма доказана, а с ней и теорема 7.3. . . . 7.5. ТЕОРЕМ. Пусть- 0 И - Д( 5")- множество.. Тогда найдется С С t зависящее только от 5 ж У\ , такое, что любое Ь - подобие )? : D - R допускает продолжение F J R - R , являющееся h± - подобием, причем Заметим, что результат нетривиален только при с U І.
При ей 1 продолжение строим произвольно, оно является 1 - подобием. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из теоремы 7.3 следует, что при її й \\0 отображение \ является гельдеровнм на каждом ограниченном множестве, следовательно, допускает непрерывное продолжение на 5) с сохранением неравенств 7.3 и 5.її. Ясно, что с тоже A ( ) - множество и продолжение 4 на является h - подобием. Далее считаем Я) замкнутым. 7.6. Через обозначим R ).Если = 0 ,то теорема доказана. В противном случае сделаем разбиение Уитни открытого множества Я согласно 3.3. Через Р обозначим множество вершин всех кубов разбиения. Продолжим f на Р следующим образом. Для каждого 2бР найдем g 6 Я) - произвольную ближайшую к г точку. Положим t = "E-i/ . По условию, найдется ТПИ такое, что T-f(x)-x ( її для х е BQf, ) 0 ) . Полагаем Р("2.)= Т (?) Продолжение f на каждом кубе разбиения строим по лемме 6.5. Так как на границах кубов продолжения совпадают, то F задано на ". До кажем,. что F является h ± - подобием. 7.7. Пусть xc & D, ъ 9 . Выберем T 6 П и по определению h - подобия такое, что iT-fC )- х I 6.г Ь для х 6 В С о,бг)п SD. Вели б В(хв,2й) П Я) ", то выберем U 6 Я) - ближайшую к точку, полагаем Ъ±-\ч.-ч\ Ъ± %Ч. . Возьмем Т 6 П и такое, что Т -f (х) - х 4 fc± й для X еВ( Лі). Находим fl= { ,..., 3( .)/12) такое, что Z(fl) Ъд 1"4 . Значит, по лемме 7.4, если la 0 , то 1 ТТ W-x 1 Сй (6Ъ l/i + li) g С± Л для X 6 В ( Н d). Если - вершина куба разбиения, 2 ерП B(X(,, ) , то по построению Если ъ & V0 \Ъ( 0 ъ) , то куб разбиения, содержащий г , лежит в "\5 (х Я ъ) Лемма 6.5 утверждает, что последнее неравенство справедливо для всех х из этого куба. Значит, [TF( )-x\ 8c±/t U для всех X 6 В(х0?г). Более сложно аналогичное неравенство доказывается для хбб g . 7.8. ЛЕММА. Пусть Q. « { X lxL 1 u=l,..., hV (5 - симплищальный комплекс, построенный в 6.4. Через Р0 обозначим О - мерный остов Q- - множество точек Q. с целочисленными координатами. Тогда, вслиЧ - Q- R -непрерывное отображение, аффинное на каждом симплексе из 7.9. Через P обозначим объединение о - мерных остовов комплексов « по всем кубам К разбиения типа. Уитни множества # . Пусть Е =( ,...,ги)б Р4 , t - минимальная длина ребра куба разбиения, содержащего 2 . Из свойства 3.3.3) следует, что максимальная длина не превосходит % в . Через К4 С?) обозначим куб {х/х.-2 / 4 /2 J .
Тогда отображение F., построенное в 7.6, аффинно на симплексах из К± ( ) положим Kt(z) = -{ ІІХі-2-И /г ]. Тогда U г (г) э для кавдого куба К разбие : " ЪПРХ ния, значит; U К (г) z Возьмем хв в SD произвольно. Цусть х / ( t (Л?, ) - о Из 3.3.Ї) следует, что L x\n К Значит, длина ребра куба К удовлетворяет неравенству о , /4 JTT . Выберем г 6 К П ;Р1 такое, что х0 в К (2) .Тогда В( в,ъ) СКІ (г) при г4.ъв/гШ Д . Длина ребра К± (г) не менее / . Взяв Ч $Ь такое, что [ Ч-Хб=0, найдем Т Є Пи по 7.7, удовлетворяющее неравенству )Т Р х) - х 4 46 С й для всех X 6 В (4, Atd) ., в частности, для хб (г). Воспользуемся леммой 7.8 для К±(2) вместо Q , Т Р вместо вместо t . Имеем (TPfx) -ТР(хб)Н .)1 42 К cjb гб Мх-хв / Так как Te Л/) = ТЛ{) - TF (х0) + хй является подобием, то при ъ й % /% І \Ги для всех, х 6 В (хо,ъ) имеем оценку Т0Р(х)- х 4 28CdH г Ь = сгк При t 0 I%к Ти воспользуемся оценкой, получен ной в 7.7, взяв t 6 5) вместо х0?и %5ії\ї, вместо Ъ . Тогда В ( tj, 25 NTH Ъ) :? В (х0? й) ,и найдет ся Т б Пи такое, что \TF(x)-xl 200 С± г К для всех Л В» (Ц , 2 5 \Ги t ) . Теорема доказана. . 7.10. ТЕОРЕМ. Пусть Цс R - область класса №(о). Тогда найдутся ів- {) і Є м , зависящие только от о и 1л , такие, что любое отображение -f : W- — R с коэффициентом искажения Кл-4+ 1+ о допускает квазиконформное продолжение F - R - Rh , причем КР й і + с . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если оо [А и f () = оо, то продолжение получаем.непосредственно из теоремы 7.5, используя: а) теоремы 1.5, 1.8 об эквивалентности классов областей Ы ( ,р), W.(5) U/(3)j6) пример 7.Ї.2), показывающий, что 1/L обладает свойством (\ (S) , в) теорему 5.1, переформулированную в 5.11 и утверждающую, что . f является к?-- подобием, h с, г) замечание 5.10, из которого следует квазиконформность fo - подобия. Если оо jlЫ или -(оо )ф оо , то, воспользовавшись замечание 6.Ї.З), строим продолжение р отображения , где э е и таковы, что V () t , -J? C ooJ= ос . Тогда " р7 (р - есть искомое продолжение f . . 7.ЇІ. Предыдущая.теорема позволяет, в частности, дока- . зать аналог теоремы 5.Ї для ограниченных однородных областей. ТЕОРЕМА. Пусть U с R - область класса М, (Б) Тогда найдутся постоянные i6 О и С оо , зависящие только от и И , такие, что по любому отображению t : И - К с коэффициентом искажения К -1+ І 1+ 0 можно указать мебиусово отображение , при котором отображение { будет и - подобием, и С &
Построение отображения яз прямой на кривую
Значит, как минимум, для двоично-рациональных точек о5 x±i хг є » если хі и Х2 симметричны относительно х0 , то задавать отображение f в этих точках надо согласованно. Отображение f » построенное ниже, на первом шаге задается в точках ± % (при этом отображение согласуется в "далеких" симметричных точках). На втором шаге отрезки [ Ъ1 , 2,i+1 ] делятся пополам, но ((2,Ч +1)Д) задается не при помощи аффинного отображения Т , заданного в двух точках, а с помощью отображения Щ 14 1 ч и , определенного в трех точках. Этот прием позволяет согласовывать отображение в "близких" симметричных точках. Здесь существенно не только свойство 4.2.1) мебиусовых отображен.: 84 ний, но и свойство 8.9. 9.Ї. Для С, j Zl положим a f = L-2 J .Заметим, что &? = о л.гД = at для всех u, J 2- -По мере построения, будем полагать \-(осі) , /! 6 у . Зададим Зададим проекцию ОТ : R — #, полагая для х R t(x) = Kax{i I U( )-x=J (ХД)3, и ЗГ(х)= # (t (х)) - самая "правая" точка на $ из ближайших к X . Выбор "правой" точки нужен только для определенности 9Ґ t при этом не требуется нецрерывность отображения. Теперь полагаем (а, t+1 ) =, JT Р 1. (а㥱 ) Таким образом, отображение -f задано на множестве двоично-рациональных чисел. Основная задача этого параграфа - изучение свойств построенного отображения, в частности, доказательство локальной гельдеровооти его для непрерывного продолжения на 9.3. В дальнейшем везде считаем й. й o"3.
Неравенство р й t вытекает непосредственно из условия 3± () на кривую й и задания о . . Докажем, что р 1 і оі Пусть й - проекция i\ на Г о, &гА Ъ- іг- /%ч В = Z . Тогда Докажем 9.5.2). Используя предыдущее неравенство и (4), имеем %Z, i t (1,01/2,) .+1- .При х . о имеем ту же оценку. Значит, . (х) образуют фундаментальную последовательность. Полагаем \ (х) = & и . (х) Л- Оо J Пусть X в 1 . для некоторых і ; 6. 7 0+1 о -4 Докажем оценку IfW- 1 001 «Двір?1 Для всех Х6ІгС+1 (5) J х чі + 1 0+4. По построению, при к j-v-1 9.12. ЛЕММА. Пусть f M1?Vl , рсДр, ]) S ± P =4 V(p) - 4(CL)\ . Тогда, если Т:- - аффинное отображение, удовлетворяющее условиям Tfp ) = Ц(р) (%) = П ) .то Т(х)-Ч»(х)1 5р. Доказательство получается из плоского случая аналогично 9.6. 9.13. Следовательно, для каждого I .ь+ можно выбрать аффинное отображение Т такое,что 0 + 1 0+ d » v. / і - для X 6 J 2t+1 Отсюда легкої следует, что f : g - й является h подобием, h 4 c6i. Пример 7.Ї.Ї) показывает, что 15. является. A (і) - множеством на плоскости Rz . Следовательно, если Xе Йг і то,го теореме 7.51 построенное отображение продолжается до к ± - подобия Р:Йг- R , что доказывает теорему 8.3 в случае R .. В случае И Z прямая не обладает свойством ft ( ). Поэтому в 10 продолжение строится непосредственно, более сложно, чем в 7.5. Случай и = % не выделяется. 10. ПРОДОЛЖЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА R . 10.1. Произведем разбиение полуплоскости R + =г X C t 2.) і г J на неперекрывающиеся квад-раты К : о, \ 6 Z » полагая К V = «1 О — J = {xe R j і 2Г3 xd (Ui)2T\ ITU хг :аі+і }.
Положим fl-=(l 5 W)=( , +i)6R2 Тогда вершины К\ -точки А \ , (\1?\ Аг1 Аг1+г и точка п !+4 лежит на границе К . Ї0.2. Строим Т] 6 П и такие, что удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям. Заметим, что для любого Т Пи xe6 R и справедливо представление Т(х) = Т(х0) + А 0(х-хв) ,где А=ЦТЦ , (?)- линейное ортогональное. В частности, 0j однозначно.определяется значениями на базисе "( ,..., Єн ) - Положим е . = ej" (Єк), 1 а 4,...., и s t &Z » гДе векторы e,u . будут построе-ны ниже. 10.3. Полагаем Є1 ( ё L?L -4 )/рги± Из простого векторного неравенства JL - Л. И из 4.2.3), 9.7 (Ї) следует, что 4 l " -1 "— =%р" 18Ы. (2) r Аналогично, о j+1 10.4. ЛЕММА. Пусть (е) =(e1},.,,ewV ортонормированный базис, и 1пА - единичный вектор, такой, что ( е±- U \ , Тогда \а± можно дополнить до базиса ( h) , удовлетворяющего неравенствам 1 в L - U I & , С = d.,.. va. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Т -
поворот пространства, переводящий е1 в п± и оставляющий на месте (и-г) - мерное подпространство, ортогональное Є1 н k4 . Полагаем г Т е о Так как для любого вектора 6L по построению [ a - Too 6 fc а , то базис ( U) удовлетворяет требуемым неравенствам. 10.5 ЛЕММА. Пусть (е), () - базисы в R , І еі " 3 і I 6 i і /5 и . Тогда существует базис (й) такой, что І Є L - la L о S3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Цусть (? - матрица перехода от (е) к ( г) , положим fl = 6- - Е , В - ( a j ) Так как (? ор и г и тогональна, то У ft. = У #., . Введя полунор мы HAIL =( й.М1Д и норму fl = иах II All. . из неравенства Гельдера получим следующие неравенства. Iflk. II ЯП. И (\\Ґ 7Г , llflkHnk/i flk. Найдем матрипу И такую, что И = G . Рассмотрим ряд Тейлора
