Введение к работе
Актуальность темы. Основой многих направлений исследований в современнном анализе служат спектральные теории, связанные с тем или иным понятием спектра, а также функциональным исчислением для линейных замкнутых операторов. Важную роль играет понятие спектра в проблеме гармонического анализа векторов из банахова пространства, в котором действует некоторая группа операторов. В случае, если в банаховом пространстве действует однопараметрическая группа операторов, то ее генератор (инфинитезимальный оператор) допускает обширное функциональное исчисление. Соответствующий класс функций совпадает с классом функций на R, который состоит из преобразований функций из групповой алгебры Li(R). Таким образом, при исследовании векторов из банахова пространства возникает возможность широкого использования методов гармонического анализа. К наиболее важным примерам относятся банаховы пространства C&(R) непрерывных и ограниченных на R комплексных функций и пространства Степанова S'p(R), р Є [1, оо). Еще одним важным примером может служить банахово пространство линейных ограниченных операторов.
Таким образом, глубоко развитые методы гармонического анализа могут быть использованы в спектральном анализе некоторых классов линейных операторов.
Диссертация посвящена этому направлению исследований в спектральной теории несамосопряженных операторов. Такие исследования проводились в работах Н. Данфорда1 (спектральные операторы), К. Фойаша2 (разложимые операторы), Ю.И. Любича, В.
хДанфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц.- М.:
МИР.- 1966.- Т.3.-663 С.
2Foias С. Spectral maximal spaces and decomposable operators in Banach space / C. Foias //Arc.
И. Мацаева (неквазианалитические операторы, почти периодические группы), И. Домара4 (неквазианалитичные представления) и связаны со спектральным анализом операторов, имеющих некоторые аналоги спектральных разложений (разложений единицы группы).
Диссертация посвящена спектральному анализу некоторых классов несамопряженных операторов, играющих важную роль в исследованиях по теории функций (операторы свертки, оператор дифференцирования) и методе подобных операторов (коммутаторы в пространстве операторов). Проведенные исследования тесно связаны с исследованиями по теории спектральных по Данфорду линейных операторов, теории разложимых операторов (К. Фойаш), теории неквазианалитических операторов и неквазианалитических представлений (Ю. И. Любич, В.И. Мацаев, К. Фойаш), которые имеют многочисленные приложения. Таким образом, тема диссертации является актуальной.
Цель работы.
Получить точную оценку резольвенты генератора изометрической группы операторов в условиях, когда его спектр лежит на полупрямой;
получить точные оценки оператора интегрирования в однородных
Math.- 1963.-14.- Р. 341-349.
3Любич Ю. И. Об операторах с отделимым спектром / Ю. И. Любич, В. И. Мацаев //Матем.
сб.- 1962.- Т.56.-№4.- С.433-468.;Любич Ю. И. Об условиях полноты системы собственных векторов
коректного оператора /Ю. И. Любич// УМН.-1963.- Т. 18.- Вып. 1.-С. 165-171.;Любич Ю. И. Об
одном классе операторов в банаховом пространстве / Ю. И. Любич// УМН.- 1965.- Т.20.-№6.-
С. 131-133.;Любич Ю. И. О спектре представления топологической абелевой группы / Ю. И.
Любич// Доклады АН ССР.- 1971.- Т. 200.-№4.- С.777-780.; Любич Ю. И. О представлениях с
отделимым спектром /Ю. И. Любич, В. И. Мацаев, Г. M. Фельдман// Функц. анализ и его прил..-
1973.-Т.7.-№2.- С.52-61.; Любич Ю. И. Введение в теорию банаховых представлений групп / Ю. И.
Любич// Харьков:Вища школа.- 1985.
4Domar Y. Harmonic analysis based in certain commutative Banach algebras/ Y. Domar // Acta
Math.-1956.-96.-P. 1-66.; Domar Y. Three spectral notions for representations of commutative Banach
algebras/ Y. Domar, L.-A. Lindahl//Ann. Inst. Fourier.-1975.-25.-№2.-P. 1-32.
пространствах функций с положительным спектром;
получить приложения к методу подобных операторов и, в частности, теорему о подобии возмущенного (каузальным оператором) генератора изометрической группы операторов самому генератору;
получить достаточные условия сходимости рядов Фурье почти периодических векторов с разреженным спектром;
получить достаточные условия сходимости рядов Фурье почти периодических векторов, спектр которых имеет единственную предельную точку
Методика исследований. Основным методом исследования рассматриваемого класса операторов являются методы гармонического анализа, спектральной теории операторов, теории функций.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
получена точная оценка резольвенты генератора изометрической группы операторов в условиях, когда его спектр лежит на полупрямой;
получены точные оценки оператора интегрирования в однородных пространствах функций с положительным спектром;
получены приложения к методу подобных операторов и, в частности, теорема о подобии возмущенного (каузальным оператором) генератора изометрической группы операторов самому генератору;
получены достаточные условия сходимости рядов Фурье почти периодических векторов с разреженным спектром;
5. получены достаточные условия сходимости рядов Фурье почти периодических векторов, спектр которых имеет единственную предельную точку.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях проводимых в научных коллективах Московского, Санкт-Петербургского, Воронежского, Нижегородского, Ростовского, Саратовского и Ярославского государственных университетов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции 'Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна' (г. Воронеж, 2008 г.), на '20 Крымской осенней математической школе-симпозиуме' (г. Севастополь, 2009 г.), на конференции 'Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна' (г. Воронеж, 2010 г.) и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики.
Публикации работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Работы [1], [4] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. В совместных публикациях [1], [4] соавтору принадлежит постановка задач.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 63 источника. Общий объем диссертации - 86 страниц.
