Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 22
1.1 Пространства (М*) и {LN*) 22
1.2 Уточненные порядки 26
1.3 Весовые пространства последовательностей 27
Глава 2. Представление элементов пространства F(V) экспоненциальными рядами в топологии пространства E(U) 38
2.1 Ряды геометрических прогрессий в случае простых корней 39
2.2 Экспоненциальные ряды в случае кратных корней 46
2.2.1 Биортогональная система 46
2.2.2 Коэффициенты ряда и интерполирующая функция 49
2.2.3 Теорема единственности и восстановление последовательности по ее коэффициентам степенного ряда 59
2.2.4 Формулы для частичной суммы и остаточного члена ряда 65
2.2.5 Разложение в ряд 69
Глава 3. Представление элементов пространства E(U) экспоненциальными рядами, сходящимися в топологии Е (U) 76
3.1 Формула остаточного члена 78
3.2 Разложение в ряд 83
Глава 4. Представление аналитических функций обобщенными рядами экспонент 89
4.1 Представление функций, аналитических в замкнутом круге 90
4.2 Представление функций, аналитических в открытом круге 94
4.3 Представление целых функций 97
Список литературы 101
- Уточненные порядки
- Экспоненциальные ряды в случае кратных корней
- Теорема единственности и восстановление последовательности по ее коэффициентам степенного ряда
- Представление функций, аналитических в открытом круге
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬТЕМЫ. В1965 годуА.Ф. Леонтьев положил началоново-му направлению — представление произвольных аналитических функций рядами экспонент. Основной публикацией в этом направлении является монография А.Ф. Леонтьева [4], где изложена также история вопроса и приведена обширная библиография. Другой подход к задаче разложения произвольных аналитических функций в ряды предложен в статьях АЛ. Хромова [15,16].
Случай нормированного пространства аналитических функций для многоугольной области D исследован впервые АФ. Леонтьевым в работе [6], а затем В.К. Дзядыком [1], Б.Я. Левиным, Ю.И. Любарским [3, 2, 7, 8], А.М. Седлецким [14], М.Л. Содиным [9]. Интерес к задачам подобного рода обусловлен тем, что имеется тесная связь с задачей спектрального синтеза для однородного уравнения свертки, с задачами о базисе, интерполяции, представляющих системах и другими.
В диссертации рассматривается дискретный аналог рядов экспонент. Исследуется задача о представлении элементов весовых пространств последовательностей экспоненциальными рядами (дискретный аналог рядов экспонент). Также доказана теорема единственности и рассмотрена возможность применение построенной теории для решении классических задач о представлении аналитических функций обобщенными рядами экспонент (см. [5]).
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Изучить возможность представления элементов весовых пространств последовательностей экспоненциальными рядами и
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ і
1 СПетервург л-. }
использовать полученные результаты для работы с'обобщенными рядами экспонент в пространствах аналитических функций.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все результаты являются новыми. Получены следующие основные результаты:
найдены условия, при которых любой элемент индуктивного предела весовых пространств последовательностей есть предел частичных сумм экспоненциального ряда (единый для всего пространства) в топологии более широкого проективного предела;
доказана теорема единственности для экспоненциального ряда;
найдены условия, при которых любой элемент проективного предела весовых пространств последовательностей можно представить преде-лом частичных сумм экспоненциального ряда;
на основании полученных результатов построены новые доказательства классических результатов относительно рядов экспонент в пространствах аналитических в открытом (замкнутом) круге функций и пространстве целых функций. <
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Использованыметоды теории целых функций, функционального и комплексного анализов.
АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Основные результаты диссертации до-каладывались автором на семинарах по теории функций в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинарах по теории функции комплексного переменного в Уфимском Государственном Авиационном Техническом Университете, на международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», Уфа, 2000 г.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы четыре статьи. Список публикаций приведен в конце автореферата.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертации состоит из введения и четырех глав. Объём ПО страниц. Библиография 41 название.
Уточненные порядки
Материал данного параграфа излагается по книге Левина [7] (глава 1, параграф 12), за исключение свойства 3) уточненного порядка, взятого из [10], с.27. Дифференцируемая на положительной полуоси функция р{г), удовлетворяющая условиям называется уточненным порядком. Назовем положительную функцию L(r) медленно растущей, если равномерно на любом интервале 0 а к Ь . Следующая лемма играет фундаментальную роль в изучении уточненных порядков. ЛЕММА 1.1. Если р (г) есть уточненный порядок, тогда фукнция является медленно растущей. Уточненные порядки обладают следующими свойствами. 1) При р 0 функция rpW является возрастающей при г г0 для некоторого г0. Пусть w = (w„) _00 — последовательность положительных чисел (весовая последовательность). Рассмотрим банаховы пространства последователь ностей lp{w), 1 р о, c0(w), /oo(w) с весом w: пространствах c0(w), lp(w), 1 р выполняется следующий критерий компактности: 2) М равностепенно абсолютно непрерывно по норме, то есть для любого є О существует натуральное п0 О такое, что при п п0 остаток Rnx = Данный критерий справедлив, так как эквивалентен следующему критерию: множество РП()М ={(...О,...0,х_п ,...,хп ,0,...),х Є М} является относительно компактной -сетью для множества М. Последний критерий эквивалентен относительной компактности множества М (см. [19], с.121). Говорят, что нормированное пространство А1 вложено в нормированное пространство А2 вполне непрерывно, если единичный шар Ах относительно компактен в А2. Пусть v = {v„) _00 — другая весовая последовательность. При помощи предложения 1.1 можно доказать ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Для того, чтобы выполнялось вполне непрерывное вложение lp{w) С lp{v), 1 р оо, (cQ(w) С C0(V) ) необходимо и достаточно, чтобы wn/v„ - О при \п\ — ». Доказательство. Проверим достаточность для lp{w) С /p(v) при 1 р . Пусть и л/уя - 0 при и — оо. Тогда единичный шар /p(w) удовлетворяет условию 1) предложения 1.1.
Пусть л0 0 такое, что wm/vm є при \т\ п0. Поэтому при п п0 верно соотношение для любого х из единичного шара lp{w). В силу этого соотношения второе условие предложения 1.1 также выполняется, что влечет за собой достаточность. Проверим необходимость. Пусть выполняется вполне непрерывное вложение Ipiyv) С lp{v). Тогда в силу предложения 1.1 для любого 0 существует натуральное п0 такое, что при п п0 для любого х из единичного шара lp(w). Так как элементх = (хт) такой, что хп — w„, хт = О при тфп принадлежит единичному шару lp{w), то wn/vn є при \п\ п0, то есть wn/vn - 0 при \п\ - сю. Таким образом доказана необходимость. Для пространств cQ(w), c0(v) утверждение доказывается аналогично. В случае пространств /«(w), /«(v) для доказательсва утверждения предложения достаточно заметить, что 2) wn/vn - 0 при \п\ — сю тогда и только тогда, когда /«(и») с c0(v). Пусть последовательность U = {up{t)) неотрицательных выпуклых функций, заданных на вещественной оси обладает следующими свойствами: для любого натурального р ЕЗ) для любого А/ 0 существуют натуральное/?j и константа А(М,р) О, такие, что up (t) - u p{t) M\t\ —A(M,p) для любого вещественного t, где (р — сопряженная по Юнгу функция [31], для выпуклой функции (р: Легко видеть, что условия El) и Е2) выполняются. Найдем сопряженную по Юнгу функцию. Приравнивая производную по t от функции xt — ( У + \/m)tp к нулю, находим точку максимума: tmax.m = (х/((сг+ \/т)р))1 р 1\ Вычислив значение указанной функции в этой точке, найдем сопряженную по Юнгу функцию где 1/р + 1/0=1, {(G+l/m)p)l/P{T+(m)q)\/q=l. Поэтому для любого натурального р и любого М
О можно подобрать константу А (М) так, что условие ЕЗ) выполнится при р1 = р + 1. 2) um{t) = /(ln/ — 1п(рсте))/р - \t\ln(R- 1/р), где р 1, a,R 0. Легко видеть, что условия Е1) и Е2) выполняются. Положив p(t) = tint, найдем сопряженную по Юнгу: р (t) = ef l, тогда Поэтому для любого натурального р и любого М 0 можно подобрать константу А (М) так, что условие ЕЗ) выполнится при р1 = р + 1. Рассмотрим также последовательность V — (vp(t)) неотрицательных, выпуклых функций, заданных на вещественной оси, наделенную следующими свойствами: для любого натурального р F3) для любого M О существует натуральное рх и константа В(М, р) 0, такие, что v p(t) -v (t) M\t\ —В(М,р), для любого вещественного /. ПРИМЕРЫ. 1) vm(t) = (a- l/m)\t\P, где сг 0, р 1. Для такой последовательности условия F1) и F2) выполняются. Сопряженная по Юнгу функция находится также как в примере 1) последовательности со свойствами Е1)-Е3): {{a-l/m)p)]/p{T_{m)q)l/q=l. Поэтому для любого натурального р и любого М 0 можно подобрать константу В(М) так, что условие F3) выполнится при р1 = р + 1. 2) v,„(f) = f(lnf - С)/р - \t\ ln(tf + 1/m), где p 1, С,Д 0. Легко видеть, что условия F1) и F2) выполняются. Так как где cp(t) = tint (см. соотв. пример), то для любого натурального р и любого М 0 можно подобрать константу В(М) так, что условие F3) выполнится Через (/) обозначим проективный предел пространств /OQ(exp(w/,)) при р- оо. Здесь запись ехр(ф) обозначает весовую последовательность (е РМ). В силу условия Е1) и предложения 1.2 пространство E(U) является М -пространством (см. параграф 1.1) В силу условия Е1) выполняются вложения причем эти вложения непрерывны. Из определения проективного предела следует, что E(U) совпадает с проективным пределом пространств с0(ехр(ир)). Выполняется соотношение: (с0(ир)) = 1{(ир) [3]. Поэтому, в силу теоремы 1.1 и теоремы 1.2 сопряженным к E{U) будет индуктивный предел пространств /j(exp( )). Индуктивный предел банаховых пространств /oo(exp(vp)) при /? -» обозначим через F(V). Пространство F(V) будет LN -пространством, сопряженным к F(V) будет проективный предел пространств /j (exp(vp)) — рассуждения аналогичные. По условию F2) для любого элемента/ = {fn) F (V) преобразование /(Я): есть целая 27п -периодическая функция. Справедливо
Экспоненциальные ряды в случае кратных корней
Построим систему ЧРЯ = { p,q) -oo, биортогональную к системе (Е ), Обозначим через d q п-ът коэффициент Фурье функции Из формулы Коши следует, что при Rv \е \ Последнее равенство в цепочке равенств выполняется в силу равномерной сходимости на компактах ряда /// Из определения оператора D следует, что С помощью теории вычетов, получаем Утверждается, что система В силу соотношений (2.9) и (2.8) Можно показать, что ряды в определении (2.12) сходятся абсолютно рав номерно на любом компакте (по д). Тогда из (2.6) следует Поэтому Pv.k = k\(mv-k-l)\ mv-k—l х І -к-,О7=І- Ш№ І0 с(»,х))= (2.13) q=0 ck j SfylT - iMM x)]. По коэффициентам /3V k можно построить экспоненциальный ряд оо mv—1 (2.14) Рассмотрим внутреннюю сумму ряда (2.2) при фиксированном v, точнее, ее л-ыи член как последовательности: mv—\ I PvjPi-i, ] k=0 Используя (2.13) и свойства оператора D получаем mv—1 ІА- =А. [« ] = yfc=0 , mv-\ jyn, (іИу-l)! =А При помощи теории вычетов находим ,-1 jyn v=l ti(«v-l)! V=K J од где Tj — замкнутый контур из замьжания полосы П, на котором G(fi) не обращается в 0, и внутри которого лежат только нули с номерами от 1 до j. Таким образом І wv l v=l k=0 пКл _ l -e dii. (2.15) rj На основе последнего равенства функция COG(JJ,,X) названа интерполирующей. Отметим свойства функции (2.12). \)(0G{}i,Axxl +А2х2) = А1соСт(ц,х1)+А2со0{ц,х2),тде А Х,А2 — постоянные, x\x2EF(V). 2)ECRHG{X) =A]Gl(X)+A2G2{?i),npwieMGl(?i),G2(?i) ЄP(V ),xeF{V), то fi)G(M,x) = А ІЦіХ) +A2CQG2(II,X). Свойства 1) и 2) вытекают из определения (2.12). 3) Пусть (х"1) = (( ) __ee) сходится кх = (x„) L_00 в пространстве F(V). Свойство 4) имеет место, в силу того, что из равномерной сходимости в любой ограниченной области Gm{X) -» G(X) следует поточечная сходимость последовательности коэффициентов Фурье соответствующих функций: f]1 -+fj,aB силу предложения 1.3 для любого натурального рх верна равномерная оценка: \f?\ CPl ехр(—vpi (/)), где СР 0 — некоторая константа. Отсюда следует сходимость j к / в пространстве F (V). Доказательство схоже с доказательством свойства 3). 5) Пусть G(/3) = 0, g{X) = ех - 1 и (70(А) = G(X)/g(X -/3), L0(X) = GWfg{p -1). Имеют место тождества: a GGM =g{ji P)coGQ{ ,x)+e MGQ{x), (2.16) где Л/7» = JJ yjXj, если І(. (2.15) rj На основе последнего равенства функция COG(JJ,,X) названа интерполирующей. Отметим свойства функции (2.12). \)(0G{}i,Axxl +А2х2) = А1соСт(ц,х1)+А2со0{ц,х2),тде А Х,А2 — постоянные, x\x2EF(V). 2)ECRHG{X) =A]Gl(X)+A2G2{?i),npwieMGl(?i),G2(?i) ЄP(V ),xeF{V), то fi)G(M,x) = А ІЦіХ) +A2CQG2(II,X). Свойства 1) и 2) вытекают из определения (2.12). 3) Пусть (х"1) = (( ) __ee) сходится кх = (x„) L_00 в пространстве F(V). Свойство 4) имеет место, в силу того, что из равномерной сходимости в любой ограниченной области Gm{X) -» G(X) следует поточечная сходимость последовательности коэффициентов
Фурье соответствующих функций: f]1 -+fj,aB силу предложения 1.3 для любого натурального рх верна равномерная оценка: \f?\ CPl ехр(—vpi (/)), где СР 0 — некоторая константа. Отсюда следует сходимость j к / в пространстве F (V). Доказательство схоже с доказательством свойства 3). 5) Пусть G(/3) = 0, g{X) = ех - 1 и (70(А) = G(X)/g(X -/3), L0(X) = GWfg{p -1). Имеют место тождества: a GGM =g{ji P)coGQ{ ,x)+e MGQ{x), (2.16) где Л/7» = JJ yjXj, если І(Я) = Z7=—VА. Функция G0(A) принадлежит P(K ) (см. доказательство теоремы 2.1), поэтому тождество (2.16) имеет смысл. Через (рк обозначим к-ый коэффициент Фурье функции G0(X). Аналогично (2.6) можно показать, что j=- j-k+l поэтому -1 я . J % , ) = X » I (у "_1) S Ле И=—oo j=—oo k=— я=0 j=n+l k—— Тогда -co И=—oo J —_ oo t=—о oo - Ы -И) І //(і-л Jfce -со и=0 у—« A=—о = -ft)G(M,x)+ %о(д,х)+ MGQ(X), откуда следует (2.16). Так как l/g(/3 — Я) = — 1 — \/g{X — /3), то 0(Я) = — G(A) — G0(A). Поэтому (2.17) следует из свойства 2) 6) Пусть7(0) = 0и ад = ед (/3-Я), К0(Я) = LQ{X)e-m x\ т — натуральное. Имеют место тождества: / т-\ \ COWQ{H,X) = UGo(n,S_mx) - G0(n) TLxn-m r{n+m J . (2-18) coVo ,x)=e-mP(coLo(n,Smx)+L0(n) X хп+те-{п+1) . (2.19) n=—m где 6} — оператор сдвига: (5}x)w = JCW+/ (/, m — целые числа). Доказательство. Из определения функций G0(JI) и W0(fi) имеем щи)= х х fkeHk J\ j=—оо k—j+m+\ поэтому — їй о оч(д) = - X » X е"0-«-о. X / W)+ о оо о 1 I «"f— ) І / ( -л. Я=0 У=л+1 =,/+тя+1 Полагая в последнем равенстве последовательно j = j + m, п = п + т, преобразуем его правую часть — 1 п+т оо VO(A0 = - X « X -" -«-n X Л ( "л+ Д=-ео у—-оо Л=У+1 оо оо оо Х « X -яри- -ъ X /кер{к л = (2.20) п=0 j=n+l k=J+l ТИ—Я) = Z7=—VА. Функция G0(A) принадлежит P(K ) (см. доказательство теоремы 2.1), поэтому тождество (2.16) имеет смысл. Через (рк обозначим к-ый коэффициент Фурье функции G0(X). Аналогично (2.6) можно показать, что j=- j-k+l поэтому -1 я . J % , ) = X » I (у "_1) S Ле И=—oo j=—oo k=— я=0 j=n+l k—— Тогда -co И=—oo J —_ oo t=—о oo - Ы -И) І //(і-л Jfce -со и=0 у—« A=—о = -ft)G(M,x)+ %о(д,х)+ MGQ(X), откуда следует (2.16). Так как l/g(/3 — Я) = — 1 — \/g{X — /3), то 0(Я) = — G(A) — G0(A). Поэтому (2.17) следует из свойства 2) 6) Пусть7(0) = 0и ад = ед (/3-Я), К0(Я) = LQ{X)e-m x\ т — натуральное. Имеют место тождества: / т-\ \ COWQ{H,X) = UGo(n,S_mx) - G0(n) TLxn-m r{n+m J . (2-18) coVo ,x)=e-mP(coLo(n,Smx)+L0(n) X хп+те-{п+1) . (2.19) n=—m где 6} — оператор сдвига: (5}x)w = JCW+/ (/, m — целые числа). Доказательство. Из определения функций G0(JI) и W0(fi) имеем щи)= х х fkeHk J\ j=—оо k—j+m+\ поэтому — їй о оч(д) = - X » X е"0-«-о. X / W)+ о оо о 1 I «"f— ) І / ( -л. Я=0 У=л+1 =,/+тя+1 Полагая в последнем равенстве последовательно j = j + m, п = п + т, преобразуем его правую часть — 1 п+т оо VO(A0 = - X « X -" -«-n X Л ( "л+ Д=-ео у—-оо Л=У+1 оо оо оо Х « X -яри- -ъ X /кер{к л = (2.20) п=0 j=n+l k=J+l ТИ—1 И оо = «""1-Х -« I е"(у " " х //(t-j)+ Т7 = -оо J——00 к—j+l X »- х - х //( -у) и=тн У=и+1 /с=7+1 В силу того, что %(/0 = X " X V "-0. У=-оо =/+1 и -1 и хп-т 2 И=- j=-oo k=j+l % , -„ ) = - X .-., X «"""_" X //( -у)+ Х „-т X є"0 ""-" X Л Л и=0 У=л+1 /W+1
Теорема единственности и восстановление последовательности по ее коэффициентам степенного ряда
Последовательности х = (хп) из F(V) сопоставляется ряд (2.11), в котором коэффициенты определены формулами (2.10). Прежде чем решать вопросы сходимости или суммируемости ряда к последовательности х, выясним, в какой степени коэффициенты этого ряда определяют исходную последовательность Л:, при некоторых дополнительных условиях на функцию G(fx), у. — комплексное. Числа Ху участвуют в произведение mv раз (то есть учитывается кратность нулей). Верна следующая теорема единственности. ТЕОРЕМА 2.3. Пусть функция С7(Я) из P(V ) представимо в виде произведения (2.23) и имеет нули (Av) кратности mv из полосы П (v = 1,2,...), которых бесконечно много как в правой, так и левой полуплоскости. Пусть х Є F(V). Еслиpvк = 0, для v = 1,2,..., к = l,...,mv- 1, тох = 0. Для доказательства этой теоремы нам понадобятся две следующие леммы. ЛЕММА 2.1. Пусть функция G(ju) удовлетворяет условию теоремы 2.3. Положим Ф„(А) = G(A) / \ e-Wj(Av-A) ew_i(Av-A) ReXv 0 SK v - Л) ReXv Q g{A - Av) \ v n v n J Тогда Фп равномерно стремится к С на любом компакте и для любого натурального р, существует константа Ср 0, такая, что выполняется равномерная на любом компакте оценка: \Fn(X)\ Cpev p(ReX\ Доказательство. Так как Фп(іл) есть производная от ехр(71 + 7_1(е" ) + («,-«_1)д)х х Yl (l-e W - ) П {\-е х)рг{ек-х,т_х), ЛеЯу 0 ДеАу 0 v n v n то равномерно на любом компакте lim D„(A)=:G (A). П-їо Положим 2 "via jn-ri H / рт{Х.-Х) \ \ЯеЛ, 0 8( --hi ) Тогда Ф«(А) = Ф+(А)+ Ф (Я). Из леммы 2.2.4 и леммы 2.2.5 монографии [11], следует, что если \ik — нули целой функции конечного порядка р, s р S + 1, то существуют константы А,В 0 такие, что для любого целого п выполняется оценка f v /rt УГІД-МУ А д \в, д — комплексное число. где суммирование ведется с учетом кратности нулей juv. На основе последнего неравенства можно получить оценки для Ф% и Ф , сумма которых, есть искомая оценка на функцию Фп. Лемма доказана. ЛЕММА 2.2. Пусть функция G(fi) удовлетворяет +1)fl) ет-ЛЬ -»)оу(іі) Z_( n-m, r /..\ ) и=0 бу(/0 поэтому сож (n,x)/Wv(n) — целая, так как & G (n,S_mx)/Gv(n) — целая в силу свойств 10) и 8) интерполирующей функции. Аналогичным образом можно показать, что cov (n,x)/Vv(ii) — целая. Используя свойство 2) интерполирующей функции, получаем, что G)Fn(n,x)/Fn(n) является целой функцией. Переход к пределу при п -» о равномерно на любом компакте (по д), с учетом Леммы 2.1 и свойств 4) и 9) интерполирующей функции доказывает лемму. Перейдем к доказательству Теоремы 2.3. Пусть х ф 0. Тогда существует целое число /, такое, что хг Ф 0. Так как G{X) не равна тождественно нулю, то существует целое число у, такое, что fj ф 0. Рассмотрим функцию 4 {z) = X fnxn+l_/2. (2.24) Л = — оо
Эта функция целая, так как ряд в правой части (2.24) сходится абсолютно и равномерно в любой ограниченной области, в силу того, что \/п\ Сєехр({-су + }пр), а Л; є А(р,а1). Так как для любого к коэффициент (5к = О, то coG(n)/G(ii) — целая (см. [10]). Тогда, в силу леммы 2.2 для любого положительногоs функция со {s)(n,x)/G(s\fi) — целая. По свойству 8) интерполирущей функции для любого целого т MG{s)(Smx) = 0, поэтому, УМ(0)= nsfnxn+l_. = MG(s){Sl_Jx) = 0 для любого неотрицательного целого s. Следовательно, (z) = 0. Это означает, что fnxn+l_j — 0 для любого целолого п [27], и в частности, fpcl = 0, что противоречит нашему предположению. Таким образом, теорема 2.3 доказана. Данная теорема в упрощенной форме доказана в работе [25]. Согласно теореме единственности 2.3, если известны многочлены (степени не выше mv- 1),где mv—1 Pv(z)exp = X 0vifcffH то по этим данным можно восстановить последовательность х. Нам пона добится ЛЕММА 2.3. Система {Ч } полна в пространстве F (V). Доказательство. Воспользуемся следующим критерием полноты: для того, чтобы система {ф- } последовательностей из пространства F {V) была полна в этом пространстве необходимо и достаточно, чтобы из равенств DO ] ф{ап = О для любого j, где ф; = (0/) __оо, а = {ап) =_00 Є F( V), следовало, что а = 0. Критерий справедлив, так как F (V) = F{V) (Предложение 1.6), и для любого замкнутого подпространства L, не совпадающего со всем пространством X {X — топологическое векторное пространство), существует непрерывный линейный функционал, ядро которого содержит L (см. [29]). В силу теоремы единственности 2.3, если а = {ап)с -_00 Є F(V), то ею J, Ч Ял = 0ддялюбого v= 1,2,...,& = 0,...,mv — 1 п=— равносильно а = 0. Откуда, воспользовавшись приведенным выше критерием, получаем утверждение леммы. Таккакортые = (е ) =_00 = (5т я) =_00 принадлежат пространству F(V), то в силу Леммы 2.3 существуют числа aJ (т), такие, что в топологии про
Представление функций, аналитических в открытом круге
Пусть функция v(/) и последовательность функций up{t) те же, что и в оо предыдущем пункте. Каждой функции F(A) = X сД", аналогичной в от л=1 крытом круге R соответствует последовательность х = {хп)=0 Є E{U), где хп =с„/ п. Это утверждение доказывается также как аналогичное утверждение относительно функций, аналитических в замкнутом круге и пространства F(V). Покажем, что пара (U,v) удовлетворяет условиям А1)-А5). Достаточно рассматривать только t 0. Действительно, свойство А1) выполняется, так как R Свойство А2) вьптолняется, так как Свойство A3) выполняется, так как при больших t Так как v (/) = oRPeP1, то гт в данном случае — точка максимума функции хт — аЯрерх. Приравнивая производную от этой функции к нулю, находим р cjRPp Проверим выполнение свойства А4). Существует р0, такое, что при р р0 существует константа С О такая, что при т - + и р1 р Последнее соотношение влечет за собой выполнение свойства А4). Свойство А5) выполняется, при а р — 1, так как Таким образом, условия А1)-А5) выполняются. Пусть L(p) — целая функция с нулямим av кратности mv, такая, что функция G(A) = L{ex) удовлетворяет теореме 3.2, где Av = lnav. Тогда для любого х є N(p, где функция (р из теоремы 3.1, существует возрастающая последовательность положительных чисел г, такая, что в топологии пространства Е{ U) Последовательность(3vk, v = 1,2,..., к = 0,...,mv — 1 определяется форму-лой (2.13). Если F(A) = X с„Я",гдех= (с„/ (л)) Є N0, то для F(z) остается справедливой формула (4.6), так как все выкладки, использованные для ее вывода верны и в данном случае. Для любого х Є E(U) существует ср, удовлетворяющая условию теоремы 3.1 такая, что х Є Л (см. параграф 3.2). Функция G(A) удовлетворяет теореме 3.2, если соответствующая ей целая функция L(z) имеет порядок q с индикатрисой роста h(q ) = GRP , имеет следующую оценку сверху с нулями av, лежащими вне заданного множества Е0, имеющая оценку снизу В [11], с. 194, по любой такой у находится функция L(fi), удовлетворяющая указанным выше условиям. Поэтому, формула (4.6) верна для любой аналитической в замкнутом круге функции. Так как нули av простые, и r-j = {\ak\ + \ak+l )/2, то справедлива теорема 2.3.9 из [11]: ТЕОРЕМА 4.3. Пусть функция F(z) регулярна в открытом круге \z\ R.
Существует последовательность av, limv_ 00(v/avp) (av лежат вне заданного множества Е0 нулевой относительной меры), такая, что F(z) представляется равномерно сходящимся внутри круга \z\ R рядом (4.9). 4.3 Представление целых функций В данном пункте материал главы 2 применен для доказательства теоремы о разложении в ряд целых функций. Пусть целая функция Н{Х) = ш=оЛ У имеет уточненный порядок Будем также предполагать, что Пусть г = (p(t) — функция, обратная функции t = rP r\ а 0. Верна следующая ЛЕММА 4.1. Выполняется асимптотическое равенство при t — , г —у . Доказательство. Положим Взяв в качесве г корень уравнения t = аргр(г\ имеем sup( lnr- огРІЇ) t\nq (—) - - = t\n p(t) + /ln ( — j - -. - YKp j p rw (p{t) J p Так как см. [7], с.42, формула (1.58), то выполняется асимтотическое неравенство Из свойств сопряженных по Юнгу функций [31], с. 117-120, следует, что выполняется асимптотическое неравенство С другой стороны, из (4.12) следует, что поэтому, положив t = porp(r\ имеем Откуда, учитывая соотношение (4.13), получаем формулу (4.11). Лемма доказана. Положим где p pj, C7j 0. Используя Лемму 4.1, также, как в пункте 4.1, получаем, что пара (U, V), где U = (ир), V = (vp) образует (,77)-пару. Обозначим В(Н,р{, ах) класс целых функций F(z) = X =0a«z", коэффициенты которых таковы, что Пусть H(z) = =0y zw — целая функция уточненного порядка р(г) с нулями av. Из определения класса 5 (Я, pl, сх) и пространства F(V), следует, оо что каждой функции F{X) = спХп, из класса B{H,px,G ) соответствует «=i последовательностьх = {хп)=0 є (П где лг„ = сп/ п Тогда, проведя те же рассуждения что и в пункте 4.1, можно показать, что верна ТЕОРЕМА 4.4. Пусть нули av имеют кратность mv и существует последо вательность О гк —у такая, что для некоторой константы См О. Тогда справедливо соотношение (4.7) равномерно на любом компакте из открытого круга радиуса R с центром в начале координат. Коэффициент /3V k находится из формулы (4.8). ТЕОРЕМА 4.5. Пусть нули av — простые, и существует последовательность О rk - о такая, что
