Введение к работе
Актуальность теыы. Интерес к асимптотическому поведению случайных последовательностей со случайными индексами возник в конце сороковых годов и с тех пор не ослабевает, главный образом, в связи с необходимостью применения подобных конструкции в качестве математических "модеделей во многих прикладных задачах . Наиболее часто используемыми на практике (и наиболее хорошо изученными) примерами случайно индексированных случайных последовательностей являются последовательности сумм случайного числа случайных величин "(случайных сумм) и статистик, построенных по выборкам случайного объема.
Все результаты, относящиеся к случайным последовательностям со случайными индексами, мохно условно разделить на две группы. Первая из них содержит утверждения, полученные в предположении стохастической независимости индексов or исходной последовательности. Вторая группа объединяет результаты, в которых такое предположение не делается. Результаты, приведенные в данной диссертации, относятся к первой из указанных групп.
На первый взгляд, условие независимости индексов от исходной последовательности может показаться слииком ограничительным. Однако на практике модели подобного типа успешно применяются даже чаче, чем мохно было бы ожидать. Это заключение подтверждается многочисленными примерами из теории массового обслуживания, теории надежности, математической экономики, финансовой математики , математической теории страхования (актуарной мтематики), ядерной физики и других областей, в которых модели, основанные на случайных последовательностях с независимыми случайными индек— —сами, играют определяющую роль. Условие независимости позволяет получить не только достаточные, но и необходимые условия сходимости случайно индексированных случайных последовательностей. Более того, если основная последовательность обладает свойством перемени в а ни я , то она асимптотически независима от любой случайной величины. Поэтому структура предельных законов, равно как и достаточные условия сходимости таких последовательностей с произвольно зависимыми индексами оказ иваются такими ке, как и в независи-
мои случае. Как известно, свойство перемешивания присуще нарастз-ющим суммам независимых одинаково распределенных случайных величин и последовательным экстремальным з начениям в однородных выборках растущего объема. Поэтому результаты, полученные в предположение независимости индексов и исходной последовательности , можно считать своего рода маяками' при изучении общей ситуации.
Среди исследовании по асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, которые мо- гут быть отнесены к числу основополагающих t следует отметить пионерную работу Г.Роббинса , в которой приведены н&которые достаточные условия сходимости распределения "нарастающих** случайных сумм к сдвиговым или масштабным смесям нормальных законов. Результаты Роббинса были затем обобщены Р-Л .Гобруминым , который с помощью специального выбора центрирующих и нормирующих констант продемонстрировал возможные виды связи между предельными распре-
делениям-і произвольных случайно и неслучайно индексированных слу-
з чайных последовательностей. О.Барндорфф—Нильсен нашел необходимые и достаточные условия сходимости распределений экстремальных порядковых статистик в выборках случайного объема. Следующий этап развития асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случайными индексами связан с исследованиями Б. В . Гнеденко и его учеников. В работе ( ) приведены достаточные условия сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий (доказана знаменитая теорема переноса). Б.В.Гнеденко впервые посгавил задачу оБ отыскании не только достаточных, ной необходимых условий сходимости случайных последовательностей со случайными инденсами в схеме серий. Ему и его ученикам принадлежат первые результаты в этом направлении. Некоторые итоги исследований в этой области подве-
( ) H.Robbins. The asymptotic distribution of the sum of a 'random number of random variables. *- Bull. Amer. Math. Soc, 194S, Vol, 54, No. 12, pp. 1151-1161-
( ) P. Л . Добрушии. Лемма о пределе сложной случайной функциии. -э УМН, 1955, т. Ї0, N 2(64), с. 157-159.
( ) О.Barndorff-Nie lsen. On the limit distribution of the maximum of a random number of indepeendent random variables. - Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1964, Vol. 15, No. 3-4, pp. 300-403.
() Б. В.Гнеденко, Х.Фахим. Об одной теореме переноса. - ДАН СССР, 1969, т. 187, N 1, с. 15-17.
дены в монографии В.М.Круглова и В.Ю.Королева ( ), содержацея, помимо прочего , исчерпывающее описание предельного поведения случайных сумм центрированных слагаемых в схеме серий. В.О.Королевым найдены необходимые и достаточные условия сходимости распределений произвольных случайных последовательностей с независимыми случайными индексами.
Во всех упомянутых выше работах рассматривался одномерный случай. В то же время во многих прикладных задачах приходится иметь дело с многомерным-л наблюдениями. Более того t в таких задачах , которые связаны, скахем, с обработкой сигналов, размерность наблюдений может быть бесконечной. Специальные виды многомерных и бесконечномерных случайно индексированных случайных последовательностей - <лучайные суммы - рассматривались во многих
работах, из которых упомянем статьи В.Паулаускаса , В.Бернотаса ,
э 10
Я.Росиньского , М.Финкельмтейна, С.Meйберга и Г.Такера , содержание многомерные обобцения упомянутых выше результатов Б.В.Гне-денко и его последователей о случайных суммах центрированных слагаемых.
Известно, что в отличие от классической ситуации, при случайном суммировании центрирование слагаемых и центрирование самих сумм приводит к разным предельным законам. За счет центрирования случайных сумм константами класс возможных предельных законов существенно расширяется и даже для случайных сумм независимых одинаково распределенных предельно малых слагаемых совпадает со множеством всех распределений. В схеме серий одномерные
) В.М.Круглов, В.Ю.Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: Изд-во Московского университета, 1990.
) В „Ю.Королев. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами . - Теория веро ятн. и ее примен., 1994, т. 39, N 2, с. 313-333.
) В.Паулаускас. О сумме случайного числа многомерных случайных векторов. - Лит. матем. сб., 1972, т.12, N2, с.109-131-
) В.Бернотас. О сумме случайного числа случайных независимых величин со значениями в гильбертовом пространстве. - Пит. матем. сб.*, 1977, т. 17, N 3, с. 17-18.
) J.Rosinski. Limit theorems for randomly indexed sums of ran-dom vectors. - Colloq. Math.. І975, Vol.34, No.1, pp.91-107. ) M.Finkelstein, S.Scheiberg, H.G.Tucker. Integral t ransforms with infinitely divisible kernels. - Теория вероятн. и ее примен., 1994, т. 39, N. 4, с. 856-363.
5"
центрированные случайные суммы ранее рассматривались в работе М.Финкельитейна и Г.Такера ( . Ї, где приведены условия их сходимости к тому же закону, к которому сходятся суммы с неслучайным числом слагаемых, а также в работах В.Ю.Королева и В.М.Кру-глова и В.Ю.Королева , где помимо достаточных получены необходимые условия слабой сходимости распределений центрированных случайных сумм. Многомерных результатов об асимптотическом поведении неслучайно центрированных случайных сумм, представляющих особый интерес для построения аппроксимирующих распределений , до недавнего времени не было. С другой стороны, упоминавшиеся выше многомерные результаты получены линь при скалярной нормировке, в то время как на практике часто выгоднее иметь дело с операторной нормировкой, например* при изучении одновремен-ного поведения различных статистик, построенных по одной и той же выборке, скажем, среднего и экстремальных значений. Г.Зиге-
14 е
лем были получены достаточные условия сходимости операторно нормированных случайных сумм в ситуации, когда элементы этих сумм принимают значения из банахова пространства. Произвольные операторно нормированные и неслучайно центрированные случайные последовательности со случайными индексами и значениями в банаховом пространстве ранее не рассматривались. Поэтому весьма актуальна задача об изучении асимптотического поведения подобных последовательностей которой и посвящена данная диссертация.
В диссертации рассматривается асимптотическое поведение случайно индексированных операторно нормированных и неслучайно центрированных последовательностей случайных элементов, принимающих значения из сепарабельного банахова пространства в предположении независимости индекса от исходной последовательности.
( > М.Finke1stеin, H.G.Tucker. Convergence of random sums with Пonrandom centering. - Теория вероятн. и ее примен., 199 1 . т. 36, N 2, с. 397-402.
( ) V.Yu.Korolev, V.M.Kruglov. Limit theorems for random sums of independent random variables. - Lect. Notes Math., 1993, Vol. 1546, pp. 100-120.
( ) В . Ю . Королев . Предельные распределения для случайных последовательностей со случайными индексом^ и некоторые их приложения. - дис. докт. физ.-матем. наук, М.: МГУ, 1993, 265 с.
{ Ї G.Siegel. Convergence of randomly selected sums in a separable Banach space. - Math. Nachr., 1988, Vol.139, pp. 139-153.
Исследованы покоординатная и. диагональная предельные схемы ( ). различающиеся, прежде всего, формулировками условии сходимости неслучайно индексированных последовательностей. Иэ-эа того. что наличие случайных индексов может по-раз ному учитываться в формулировках задач покоординатной и диагональной предельных схем', ни одна из них не сводится к другой.
Цели и задачи роботы. Изучение эффектов, вызываемых бесконечной размерностью значении, операторной нормировкой и неслучайным центрированием при изучении условий слабой сходимости случайных последовательностей с независимыми случайными индексами и их предельных законов.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с помощью метода, сочетающего элементы метода характеристических функционалов и метода вероятностных метрик.
Научная новизна работы. В данной диссертации впервые исследовано предельное поведение произвольных операторно нормированных и неслучайно центрированных случайных последовательностей со случайными индексами в случае, когда элементы этих последовательностей принимают значения из банахова пространства. Доказаны соответствующие теоремы переноса. Найдена взаимосвязь между предельными законами последовательностей со случайными и неслучайными индексами.
При некоторых дополнительных предположениях найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости бесконечномерных случайных последовательностей со случайными индексами при операторном нормировании и неслучайном центрировании. При некоторых дополнительных предположениях в схеме серии получены необходимые и достаточные? условия слэ&оя сходимости центрированных случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных ба-наховоз'ііачних элементов .
Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались в 1993-94 гг. на семинара х по избранным вопросам теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания в МГУ (руководители В.М.Золотарев, ІЇ. В. Калашников и
?
В .М.. Круглое ) и на семинарах кафедры математической статистики
факультета ВМиК МГУ (руководитель Ю.В.Прохоров).
По теме диссертации опубликовано три научные работы:
1 . В.Ю . Королев, Е.В.Коссова. Асимптотика случайно индексированных бесконечномерных случайных последовательностей; независимые индексы. - в сб. "Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара", М. :ВНШСУ1, 1990, с. 3S-44.
-
В-Ю.Королев, Є.В.Коссова. О предель ных распределениях случайно индексированных многомерных случайных последовательностей при операторной нормировке. — в сб. "Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара", И. :ВНЛ1СУ1, 1991. с. 85-100.
-
Е.В,Коссова. Сходимость спучайных сумм независимых одинаково распределенных случайных элементов со значениями в банаховом пространстве. - Вестник моек. ун-та, сер. 15 вычисл. матем.
и киберн., 1994, N 1, с. 56-59. Одна статья сдана в печать:
V.Yu. Korolev and E.V.Kossova. On convergence of multidimensional random sequences with independent random indices. -Journal of Mathematical Sciences, 1995.
Структура и об'ем работы. Диссертация состоит из введения, предварительных замечаний, двух глав и списка литературы, содержащего 37 наименований. Объем диссертации - 107 страниц.
