Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов (П)-распределения 26
1. Дифференциальные уравнения Н(И) - распределения проективного пространства 26
2. Поля фундаментальных и охваченных объектов регулярного Н(П) -распределения 37
3. Поля нормалей базисного Л - подрасслоения данного Н - распределения 48
ГЛАВА II. Двойственный образ (П) -распределения 53
1. Построение двойственного образа Н(Н) -распределения 5 3
2. Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного Н -распределения в смысле Э. Картана 60
3. Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного Н(П) -распределения в смысле Э. Бортолотти 63
ГЛАВА III. Двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго рода базисного Л-подрасслоения данного 7i(Yl) -распределения 71
1. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на Л-подрасслоении 71
2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л-подрасслоении 91
3. Двойственные нормальные связности сильно оснащенного Л-подрасслоения 97
4. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях 99
Литература 105
- Поля фундаментальных и охваченных объектов регулярного Н(П) -распределения
- Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного Н -распределения в смысле Э. Картана
- Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного Н(П) -распределения в смысле Э. Бортолотти
- Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л-подрасслоении
Введение к работе
1. Постановка вопроса. В данной работе представлены исследования по теории т-полосных распределений (т п-1) проективного пространства
Рп Определение. Пару распределений соответственно г -мерных плоскостей Л (Л-распределение) и т-мерных плоскостей М (М-распределение) проективного пространства Рп с отношением инцидентности ХеЛсМ (\ г т п-\) их соответствующих элементов в каждом центре X назовем т -полосным распределением П или, короче, П-распределением, в котором Л-распределение назовем базисным, а М-распределение — оснащающим распределением.
Показано, что к П-распределению в первой дифференциальной окрестности внутренним образом присоединяется распределение гиперплоскостей Н (//-распределение). П-распределение, оснащенное полем Н-плоскостей, назовем Н(П)-распределением. Ясно, что теория П распределений (точнее 7і(П) -распределений) проективного пространства Рп включается в общую теорию распределений в однородных пространствах.
Дифференциальная геометрия распределений многомерных линейных элементов в однородных и обобщенных пространствах была предметом многочисленных исследований, причем во многих работах она именовалась геометрией неголономных многообразий. Геометрия распределений в однородных пространствах, восходящая к работам Г. Врэнчану, В. Гловатого, И.А. Схоутена (см. обзор в работе [93]), Е. Бомпьяни [132], А. Пантази [142], Д.М. Синцова [77], В.В. Вагнера [148], в последние десятилетия интенсивно изучается с различных точек зрения. С одной стороны, это объясняется многочисленными связями данной теории с различными разделами геометрии, а также близостью теории распределений к теории подмногообразий однородных пространств. С другой стороны, теория распределений получила дальнейшее развитие благодаря новому
подходу к исследованию распределений с применением современных теоретико-групповых методов исследования. Так, например, в работах Г.Ф. Лаптева и Н.М. Остиану [37], [41], [42], [56] при изучении теории распределений были применены инвариантные методы изучения дифференциально-геометрических структур. Кроме того, истолкование, например, распределения m-мерных элементов в Рп как расслоенного многообразия специального типа расширяет и обновляет проблематику этой теории [57], превращая ее в одну из наиболее актуальных проблем дифференциальной геометрии. При изучении структуры 7і(П)-распределений главным направлением исследований являются двойственные нормальные связности 7 (П)-распределения. Теория связностей в различных расслоенных пространствах составляет важное направление исследований современной дифференциальной геометрии. Начало этой теории положила в 1917 г. работа Леви-Чивита [139] о параллельном перенесении вектора в римановом пространстве. Эта идея нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. Для построения единой теории поля Г. Вейль [149] дал понятие пространства аффинной связности. Р. Кениг [138] рассматривал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. В 1926 году Э. Картан ввел общее понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой G» [135]. Связь между концепциями Кенига и Картана установил И.А. Схоутен [143], [144]. В 1950 г. В.В. Вагнер [7], [8] и Ш. Эресман [137] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов Э. Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г.Ф. Лаптева [37], [38], [40], где он отождествил понятие связности, возникшее как обобщение понятия параллельного переноса, с понятием геометрического объекта специального вида. Объект связности, согласно теории Г.Ф. Лаптева [58], является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы соответствующего порядка (например, проективной дифференциальной группы [40]). Очерк дальнейшего развития теории связности приведен в работе Ю.Г. Лумисте [44].
Важное место в дифференциальной геометрии расслоенных пространств занимает теория связностеи в однородных расслоениях и ее применение при изучении оснащенных многообразий, погруженных в различные пространства.
Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [37], [58] если на нем определено поле некоторого геометрического объекта ga (поле оснащающего объекта многообразия): где coh - главные (первичные) формы, а б)"2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии, тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций y/as{g), определяющих оснащающий объект ga. В зависимости от строения основных функций y/aSi(g) получаем различные оснащения погруженного многообразия (например, в смысле А.П. Нордена [55], Э. Картана [134], Э. Бортолотти [133] и др.).
В.В. Вагнер [147], а затем и Ю.Г. Лумисте [43] с помощью теории связностеи в однородных расслоениях исследовали геометрию многообразий плоскостей в классических пространствах.
Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразий евклидова пространства и пространства постоянной кривизны, рассматривал еще Э. Картан [134]. Понятие нормальной связности в проективном пространстве независимо друг от друга ввели А.П. Норден [55] (он называет такую связность внешней) и Chen B.Y. [136], далее отметим исследования А.В. Чакмазяна [46], [118], [121]. Значительная часть результатов изучения геометрии подмногообразий с помощью нормальной связности включена в
монографию Chen B.Y. [136] и освещена в работе Ю.Г. Лумисте [45]. Обзор результатов более поздних исследований содержится в работе [46]. В работах [5], [121], [116], [117] изучаются оснащенные подмногообразия аффинного пространства с плоской нормальной связностью.
В настоящее время (в связи с актуальностью проблемы) продолжаются исследования по теории нормальных связностей на различных подмногообразиях классических пространств. Прежде всего, отметим цикл работ А.В. Чакмазяна [114] - [121] по изучению подмногообразий проективного, аффинного, проективно-метрического, евклидового пространств с привлечением связностей в нормальных расслоениях. Затем, ряд работ А.В. Столярова [78] - [92], который вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и гиперполосном распределении пространства проективной связности (проективного пространства). Конструкция двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальными связностями, разработанная А.В. Столяровым [88], позволяет существенно продвинуться в изучении (исследовании) геометрии оснащенных подмногообразий (в том числе и неголономных).
П.А. Фисунов [97] - [106] и СВ. Фисунова [107] - [111], а так же в их совместных работах [112], [113] продолжают исследования двойственных нормальных связностей, соответственно, на гиперполосах, гиперполосных распределениях и на гиперплоскостных распределениях, гиперповерхностях проективного пространства. Работы Л.Ф. Филоненко [94], [95], А.В. Столярова [91], [92], А.Н. Михайловой [52] - [54] посвящены исследованиям линейных нормальных связностей на распределениях и гиперполосах конформного пространства.
Ассоциируя связность с полями плоскостей специального типа, А.К. Рыбников [75] изучает проективные и конформные связности (в частности, нормальную связность) на гладком многообразии.
Ю.И. Попов [65], [66] исследует нормальные аффинные связности на оснащенной гиперполосе аффинного пространства. Т.Ю. Максакова [47], [48] исследует двойственные нормальные аффинные и проективные связности на тангенциально вырожденной гиперполосе проективного пространства, а СЮ. Волкова [13] - [16] - на скомпонованных трехсоставных распределениях (S-распределениях) проективного пространства. С.Н. Юрьева [131] изучает линейные аффинные связности, индуцируемые полями нормалей первого рода на гиперполосном распределении аффинного пространства. Ю.И. Шевченко [123] изучает связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями.
Предметом изучения настоящего диссертационного исследования является К(П)-распределение и нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей на оснащенном базисном Л-подрасслоении Н(П) распределения, погруженного в п -мерное проективное пространство Pn.
2. Актуальность темы. Актуальность исследуемой темы обусловлена с одной стороны тем, что в интенсивно развивающихся теориях расслоений и связностей, дифференциальной геометрии подмногообразий грассманова многообразия и многообразий пар фигур (при этом теория распределений трактуется как составная часть одной из указанных теорий, либо теснейшим образом с ней связана) исследование гиперполос, занимает исключительно важное место в связи с приложением в вариационном исчислении, в физике, в механике (например, [7], [19], [83]). Да и сама теория распределений (в различных пространствах), как это показано в работах [140], [146], [64], [145] связана с приложениями в механике, теоретической физике, вариационном исчислении и в динамике склерономных механических систем с нелинейными связями [7], [19]. С другой стороны, теория связностей в однородных расслоениях составляет одно из основных направлений исследования современной дифференциальной геометрии, особенно это касается исследований разнообразных структур на многообразиях. Эта теория в расслоенных пространствах находит широкое применение в современной теоретической физике. Это связано с прогрессом теории калибровочных полей, которые соответствуют связностям в главных расслоенных пространствах.
При изучении связностей широко применяются классические результаты известных ученых, таких как Э. Картан [33], [134], [135], Г.Ф. Лаптев [34], [36], [40] и А.П. Норден [55]. В частности, А.П. Норден разработал метод нормализации, позволяющий индуцировать аффинные связности в касательных расслоениях подмногообразий, погруженных в различные пространства. П.А. Широков и А.П. Широков [129] исследовали локальное строение подмногообразий в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении. Двойственную теорию оснащенных подмногообразий разработал А.В. Столяров [88].
В рамках теории связностей чаще всего находят приложение, например, линейные связности при изучении геометрии оснащенных подмногообразий (см., например, [5], [70], [46], [55], [116], [122], [130]). При этом в классических однородных пространствах исследования ограничивались, в основном, изучением связностей
а) в касательных расслоенных пространствах оснащенного подмногообразия,
б) в случае, когда данное подмногообразие является голономным,
в) без привлечения теории двойственности.
Следует отметить, что нормальные связности на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства, рассматривались в работах ряда геометров (см., например, [45], [46], [55], [84], [121], [136]). Однако, с 90-х годов XX века усилились исследования геометрии связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях) и двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных) благодаря работам А.В. Столярова [88], [89] и его учеников П.А. Фисунова [97] - [106], СВ. Фисуновой [107] - [111], А.Н. Михайловой [52], [53], Д.А. Абрукова [1], [2].
Все вышесказанное подтверждает актуальность темы исследования и раскрывает основные цели работы.
Цель работы. Цель диссертационной работы - заложить основы построения проективно-дифференциальной геометрии т-полосных распределений СН(Т1) -распределений). Для достижения этой цели в диссертационной работе решены следующие задачи: построение полей фундаментальных и охваченных объектов 7і(П) -распределения, построение инвариантных полей нормалей Л подраслоения данного 7і(П) -распределения; построение двойственного образа К(П) -распределения; построение инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и 3. Бортолотти Л-подраслоения данного Н(П) -распределения; построение двойственных центропроективных (нормальных) связностей, индуцируемых в расслоениях нормалей первого и второго рода Л-подрасслоения данного Н(Щ -распределения. 4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [37] и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [96]. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков.
В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф. Лаптевым [37].
5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что: 7і(П) -распределение, его двойственный образ и двойственные нормальные связности "Я(П)-распределения ранее в геометрии распределений не изучались; в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных т -полосных распределениях проводится инвариантными аналитическими методами [37], [96] посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия. В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.
6. Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий. Так, например, отметим, что проективно-дифференциальная геометрия Н(Щ распределений может найти и находит теоретическое применение при исследовании нормальных подрасслоений и подрасслоений касательного расслоения поверхностей полного или неполного ранга, двухсоставных [124] - [128] и трехсоставных [60] - [64] распределений, скомпонованных распределений [13] - [18], специальных классов регулярных гиперполос [10] -[12], [68], вырожденых гиперполос [47] - [49], а также при изучении дифференциально-геометрических структур на распределениях [67] проективного пространства.
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно:
а) по теории полосных распределений проективного пространства;
б) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью.
7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре высшей алгебры и геометрии Калининградского государственного университета (2000, 2003 гг.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, ЧТУ, 2001 г.), на Международном математическом семинаре «К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета» (Калининград, КГУ, 2002 г.), на IV Международной междисциплинарной научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования» (Ялта, 2003 г.), на третьей Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2003» (Казань, 2003 г.), на заседании научно-исследовательского семинара по геометрии Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2004 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2004 г.), при подготовке отчета в рамках Санкт-Петербургского конкурса грантов для студентов, аспирантов и молодых специалистов (категория гранта: кандидатский проект, № гранта: М02-2.1К-739) по теме «Н(ІЇ) распределения проективного пространства» (диплом АСП №302176).
8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 печатных работах [21] - [32] автора.
9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.
10. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (общая характеристика работы), краткого изложения ее содержания, трех глав и списка использованной литературы, включающего 149 наименований. Полный объем работы составляет 117 страниц машинописного текста.
11. Некоторые замечания. Все рассмотрения в настоящей работе проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими.
Во всей работе индексы принимают следующие значения: I,K,L = 0,n; I,K,L,P,Q = \,n; p,q,s,t,r,f = l,r; ij,k,l,m,h = r + l,m; a,b,c,d,e,g = \,m; а,/3,у,є,8 = m + l,n-\; d,/3 = m + l,n; u,v,w,x = r + \,n — l; u,v = r + l,n; u,v = Q,r + \,n; т,р,т = 1,п-1; j;,,g = (l,r,m + l,n-iy, = (l,r;m + l,w); р = 1;Ф = 0,1; = 0,11 = 1,11.
Знак « ==» означает сравнение по модулю базисных форм со .
Значения других индексов объясняются в ходе изложения.
Операция внешнего дифференцирования обозначена буквой «D», а внешнего умножения «л».
При записи дифференциальных уравнений погруженных многообразий внешние замыкания в большинстве случаев опущены.
По индексам, заключенным в квадратные скобки, производится операция альтернирования: a[w] = -(а„ -aqp), а[рШ = -{apsq -aqsp); по индексам, заключенным в круглые скобки, производится операция цитирования: W) = № + %Р + „ • Дифференциальный оператор V действует по закону: фиксированных главных параметрах этот оператор обозначается через V , а формы со\ - через ж\ . Содержание диссертации В первой главе изучается общая структура Н(П) -распределения. В $1 дано задание П-распределения в репере нулевого порядка R0 и доказано, что П-распределение проективного пространства Рп существует с произволом г(п - г) + (п - т)(т - г) функций п аргументов. Доказана Т / Т 1 Ч г(г +1) 1-г основная теорема I главы (теорема 1.1): при п-г — с П распределением в первой дифференциальной окрестности относительно репера R0 внутренним образом ассоциируется поле гиперплоскостей Н. П-распределение, оснащенное полем гиперплоскостей Н, назовем Н(И) распределением. Далее приведено задание Л(Щ -распределения в репере 1 го порядка R1 и доказана теорема 1.2 существования: Н(Н) -распределение, заданное в репере 1-го порядка R\ существует с произволом 2т(п - т -1) + г(2т - 2г +1) функций п аргументов.
Следуя работам А.В. Столярова [79], [88], Ю.И. Попова [61], [64], СЮ. Волковой [17], в §2 построены поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов 7 (П)-распределения, в основном ассоциированные с базисным Л-подрасслоением. Даны аналитические признаки взаимности Л-,/,-,М-подрасслоений и сопряженности систем (A,L),(L,E), (А,Е\(М,Е) распределений, принадлежащих, соответственно, М-,Ф-,Т-,//-подрасслоениям fiQT) -распределения (теорема 1.3). Получены аналитические признаки голономности Л-,-,М-,#-подрасслоений и выяснены их геометрические интерпретации (теоремы 1.5 -1.8). Так, например, обращение в нуль тензора гу (тензор неголономности Л -подрасслоения) есть условие [17], которое можно трактовать, как одно из следующих расслоений проективного пространства Рп на 1)(и -г) -параметрическое семейство регулярных г-мерных гиперполос tfr(L) [11],[12]; 2) (п- г) -параметрическое семейство регулярных г-мерных гиперполос Нг, оснащенных полем касательных т -мерных плоскостей М; 3) («- г) -параметрическое семейство регулярных г-мерных полос Kr(m) порядка т, оснащенное полем касательных гиперплоскостей Н. В §2 приведены (по аналогии с гиперполосой [9]) аналитические признаки плоских и конических Л -подрасслоений Н(Н) -распределения. _§3 носит в основном реферативный характер. Следуя работам [60], [64], [79], [88], для базисного Л-подрасслоения введены двойственные нормализации в смысле Нордена-Чакмазяна и, в частности, нормализации Михэйлеску, Фубини, Вильчинского, внутренним образом присоединенные к Л -подрасслоению в дифференциальных окрестностях 1-го - 3-го порядков. Вторая глава диссертации посвящена построению двойственного образа Н(П) -распределения и построению инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти базисного Л-подрасслоения Н(П)-распределения.
В $1 следуя работам [64], [88] построен двойственный образ Н(ІЇ)-распределения относительно инволютивного преобразования Z (ИЛ) структурных форм проективного пространства Ра. Доказано (теорема II. 1), что регулярное Н(ТТ)- распределение проективного пространства Рп во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует:
1) проективное пространство Р„, двойственное исходному проективному пространству Рп относительно инволютивного преобразования 2 форм оj по закону (П.1),
2) регулярное распределение 7i(Yl)czPn, двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (П.2) -(И.З) имеют вид (И.14), аналогичный уравнениям (1.49) Н(П)- распределения проективного пространства Рп.
Двойственная теория имеет место и для оснащенного Н(П) распределения. Показано (теорема П.2), что нормализация одного из регулярных полосных распределений 7i(IT) zPn и Н(П)с:Рп равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащающих объектов связаны соотношениями (11.15) - (11.17).
В §2 и §3 второй главы, следуя работам А.В. Столярова [88], [89], [79], СВ. Фисуновой [111], П.А. Фисунова [101], для базисного Л -подрасслоения 7і(П)-распределения построены оснащения в смысле Э. Картана и
Э. Бортолотти [134], [133], [87]. Особую роль в дальнейшем изложении играет теорема П.З: при охвате (11.51) оснащение в смысле Бортолотти распределения Н(Л) (базисного Л-подрасслоения данного H(Jl)-распределения) полем гиперплоскостей Вп_х равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа Н(А) полем г-мерных плоскостей Кг, принадлежащих полю вторых осей Кёнигса распределения Н(А). Выяснены аналитические и геометрические признаки неподвижности оснащающей плоскости Картана и оснащающей гиперплоскости Бортолотти Л -подрасслоения: -на Л-подрасслоении (г 1) оснащающая гиперплоскость Бортолотти
Ді-іС4 ) неподвижна тогда и только тогда, когда она «вращается» вокруг нормали второго рода К Л ) (теорема ІІ.4); - если на регулярном Л -подрасслоении оснащающая гиперплоскость Вп_х неподвижна, то она в каждом центре \ является гиперплоскостью Кёнигса нормали °р второго рода (теорема ІІ.5). Введены в рассмотрение сильно оснащенные Л-подрасслоения JiiJX)-распределения: Л-подрасслоение назовем сильно оснащенным [101], если оно оснащено в смысле Э. Бортолотти и Э. Картана одновременно. Показано, что аналитическим условием согласованности оснащения Л-подрасслоения является обращение в нуль относительного инварианта 7 ° (11.63). Третья глава диссертации посвящена изучению двойственных нормальных связностей, индуцируемых 7і(П)-распределением в расслоениях нормалей первого и второго рода на оснащенном (в смысле Нордена-Картана и Нордена-Бортолотти) Л -подрасслоении. В §1 изучаются двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго рода на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении. Показано (теорема III. 1), что на оснащенном в смысле Нордена-Картана базисном Л-подрасслоении в расслоении его нормалей первого рода индуцируются двадцать четыре нормальные связности V"1, Vі, задаваемые системами слоевых форм ФЧ ФЧ „ Ф11 {01, 01} (Ф = 0,1; Ч = 0,11), причем связности V х определены при A"pq] = 0. Ф5 Ф6 Связности V L и V1 будут совпадать: - в случае голономного Л -подрасслоения, - в случае голономности М -подрасслоения или если М -распределение несет двухкомпонентную сопряженную систему (A,L), - в случае голономности Н -распределения или взаимности Л-, L-, М - подрасслоении.
Нормальная связность Vі называется полуплоской [121], если обращается в нуль подтензор {ЩРд} тензора кривизны-кручения {R?PQ}, то есть B?PQ = 0; нормальная связность Vі называется плоской [121], если ее тензор кривизны-кручения обращается в нуль Щрд - 0. Справедливо утверждение: нормальная связность Vх, индуцируемая на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении, является полуплоской тогда и только тогда, когда система уравнений Щ = О вполне интегрируема и является плоской тогда и только тогда, когда каждая из систем уравнений 0" = 0, ®° = 0 вполне интегрируема.
Доказано (теорема Ш.2), что если на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении оснащающая плоскость Картана Кп_г_х неподвижна, то индуцируемая в расслоении его нормалей 1 -го рода связность Vі является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская.
Для нормальных связностей, индуцируемых на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении, найдены условия совпадения и вырождения в одну связность (теоремы III.3 - III. 11 и следствия из них): ФА ФО
1) Нормальные связности УХ(Л = 1,3) и Vі, индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л -подрасслоении, совпадают тогда и только тогда, когда поле нормалей первого рода Nn_r определяется соответственно полями квазитензоров Н (1.128), Н (1.130), Н (1.132) второго порядка.
2) Индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л Ф5 ФО подрасслоении нормальные связности Vі и Vх совпадают тогда и только тогда, когда нормализация Л -подрасслоения является взаимной.
3) Если оснащенное в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоение нормализовано полями нормалей Фубини Ф,Ф° (1.145) (в случае А"м] = 0 полями нормалей Михэйлеску М%, М° (1.141) или полями нормалей Ф5 ФО
Вильчинского (-W),Wp(1.148)), то нормальные связности Vі и Vі совпадают.
4) Индуцируемая на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л ФА Ф5 Ф0 подрасслоении каждая тройка нормальных связностей (Vі, Vі, Vі), где ,4 = 1,3 вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда полем нормалей 1-го рода являются соответственно поля квазитензоров Нр, Нр,
Нр и нормализация взаимная.
5) Индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л ФО Ф5 Ф9 подрасслоении нормальные связности Vі, Vі, Vі вырождаются в одну связность тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение нормализовано полями нормалей Фубини Ф, Ф°р.
6) Индуцируемая на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л Ф4 Ф6 Ф1 подрасслоении тройка нормальных связностей (Vі, Vі, Vі) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда любые две из них совпадают. Аналогичное утверждение имеет место для троек нормальных связностей Ф4 Ф7 Ф2 Ф4 Ф8 ФЗ (vW .v1), (vWW1).
7) На оснащенном в смысле Нордена-Картана Л -подрасслоении с полем симметрического тензора Л любые две нормальные связности из каждой Ф4 Ф6 Ф1 Ф4 Ф7 Ф2 Ф4 Ф8 ФЗ тройки (V \ V х, V х), ( V \ V х, V х), ( V х, V \ V х) совпадают со связностью Ф0 Vх тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение нормализовано соответственно полями нормалей (Нр,Н°р), (Нр,Н°р), (Нр,Н°р).
8) На оснащенном в смысле Нордена-Картана Л -подрасслоении с полем ФО Ф4 Фб Ф1 симметрического тензора А"м нормальные связности Vі, Vі, VXH VІ вырождаются в одну связность тогда и только тогда, когда Л -подрасслоение нормализовано полями нормалей (Нр,Н°р). Аналогичное утверждение имеет место для каждой из четверок нормальных связностей ФО Ф4 Ф7 Ф2 ФО Ф4 Ф8 ФЗ (Vі, Vх, Vі, Vх), (Vх, Vх, Vх, Vх), в случае, когда Л-подрасслоение нормализовано, соответственно, полями нормалей {Нрп,Нр), (Нр,Н°р).
9) На оснащенном в смысле Нордена-Картана Л -подрасслоении с полем симметрического тензора A"pq любые две нормальные связности из тройки Ф4 Ф6 Ф1 (Vх, Vх, Vх) совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода Nr_x является поле квазитензора Н р.
10) На оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении с полем симметрического тензора Л любые две нормальные связности в каждой из Ф4 Ф7 Ф2 Ф4 Ф8 ФЗ троек (Vх, Vх, Vх), (Vх, Vх, Vх) совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода JVr_, являются соответственно поля квазитензоров #°, Н°р, (см. (1.136), (1.137)).
11) На оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении с полем симметрического тензора Л" любая из троек нормальных связностей Ф4 Ф6 Ф1 Ф4 Ф7 Ф2 Ф4 Ф8 ФЗ (Vх, Vх, Vх) (Vх, Vх, Vх), (Vх, Vх, Vх) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода служат соответственно поля нормалей #° #° Я °. j Р 2 р 3 р 12) На оснащенном в смысле Нордена-Картана регулярном Л Ф4 ФО подрасслоении, нормальные связности Vх и Vх совпадают, если полями нормализующих объектов {vp, v°p} в первой дифференциальной окрестности являются поля нормалей { р,°р}. 13) На регулярном, оснащенном в смысле Нордена-Картана Л- подрасслоении с полем симметрического тензора А" нормальные связности ФИ ФО Vх и Vх совпадают тогда и только тогда, когда подмногообразие Л коинцидентное. ФЧ» Приведены строения компонент тензоров кривизны-кручения R "st ФТ связностей V L, получена теорема III. 12: на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении с полем симметрического тензора Л", подтензор ФЧ ФЧ R "st тензора кривизны-кручения каждой из нормальных связностей Vх обращается в нуль тогда и только тогда, когда подмногообразие Л голономно. Центральным результатом §2 является теорема ПІЛ : на оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти Л-подрасслоении в расслоении нормалей ФЧ/ второго рода индуцируются двадцать четыре нормальные связности V х, фЧ/ фч/ ФЧ двойственные V \ задаваемые системами слоевых форм {0 °й, 0 }, причем ФН Ф5 Ф6 связности Vх определены при A"pq] = 0, а связности Vі и Vі будут совпадать: - в случае голономного Л -подрасслоения; -в случае голономности М-подрасслоения или в случае, когда М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л,); -в случае голономности Я-распределения или взаимности Л-, L-, М - подрасслоении. ФЧ Ф Связности V1 и Vх при каждом фиксированном наборе значений индексов Ф, F являются двойственными [88]. Справедливы утверждения, двойственные теоремам § 1 гл. III (теоремы Ш.2 ,Ш.6 ,Ш.11 ,Ш.12 ):
1) Если на оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти Л-подрасслоении оснащающая гиперплоскость Бортолотти Вп_х неподвижна, то индуцируемая в расслоении нормалей второго рода связность Vі является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская.
2) Индуцируемая на оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти Л Ф4 Ф6 Ф_1 подрасслоении тройка нормальных связностеи (Vі, Vі, Vі) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда любые две из них совпадают. Аналогичное утверждение имеет место для троек нормальных связностеи Ф4 Ф7 Ф2 Ф4 Ф8 ФЗ (vWW1), (v\v\vx).
3) На регулярном, оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти Л- подрасслоении с полем симметрического тензора Л нормальные связности ФП ФО V1 и Vі совпадают тогда и только тогда, когда подмногообразие Л коинцидентное.
4) На оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти Л-подрасслоении с ФУ полем симметрического тензора Л", подтензор R "st тензора кривизны ФЧ кручения любой из нормальных связностеи V х обращается в нуль тогда и только тогда, когда Л -подрасслоение голономно. На оснащенном в смысле Нордена-Бортолотти взаимном с полем симметрического тензора Л" Л-подрасслоении имеем предложения, двойственные теоремам III.3 - Ш.5, III.7 - ШЛО: Ф1 ФО
1) Нормальные связности Vх и Vі совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей второго рода является соответственно поле нормалей Михэйлеску т°а. 5 ФО
2) Нормальные связности Vі и Vі совпадают тогда и только тогда, когда нормализация Л -подрасслоения является взаимной (например, таковой является нормализация Фубини {Ф ,Ф°}, ФО Ф6 Ф9
3) Тройка нормальных связностей (Vх, Vі, Vі) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда Л-подрасслоение нормализовано полями нормалей Фубини Фрп, Ф°. ФО Ф4 Ф1 Ф6 Ф5
4) Для того чтобы четверка нормальных связностей ( V х, V1, V1, V х= V1) вырождалась в одну связность, необходимо и достаточно, чтобы Л- подрасслоение было нормализовано полями нормалей Михэйлеску т%, т°р (1.142). Ф4 Ф1 Ф_6 Ф5
5) Любые две связности из тройки (V ±, V1, V х= V х) совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей первого рода служит поле нормалей Михэйлеску трп. Ф4 ФО
6) Нормальные связности Vі и Vі совпадают, если полями нормализующих объектов {V%,V°P}B первой дифференциальной окрестности являются поля нормалей {%,°р}.
В §3 показано, что на сильно оснащенном Л -подрасслоении (т. е. на Л -подрасслоении, оснащенном в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти одновременно) в расслоении нормалей 1-го и 2-го рода индуцируется по ФЧ Фу двадцать четыре нормальных попарно двойственных связностей V х и V ± (теорема III. 13). Доказано (теорема III. 14), что если на сильно оснащенном Л-подрасслоении оснащающие плоскости Картана и Бортолотти неподвижны, 00 м то нормальные связности Vі и Vі являются полуплоскими, а следовательно (см. теоремы Ш.2 и Ш.2 ), плоскими тогда и только тогда, когда подмногообразие Л либо согласованно оснащено (Т° =0), либо является взаимным (Л" = 0) с полем симметрического тензора Л" .
В $4 рассмотрены поля плоскостей, являющиеся параллельными в исследуемых нормальных связностях. Показано (теоремы III. 15 - ПІЛ 7), что:
1) поле L -плоскостей (М-плоскостей) переносится параллельно в каждой нормальной связности Vі (Vі) тогда и только тогда, когда выполняются условия (111.94) [(111.95)], которые имеют следующую геометрическую интерпретацию:
- М-подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (A,Z);
- М-подрасслоение голономно;
- H(Yl) -распределение представляет собой (я-г)-параметрическое семейство тангенциально вырожденных гиперполос Нгт;
2) поле Е-плоскостей (-плоскостей) переносится параллельно в каждой ФУ от нормальной связности Vі (Vі) тогда и только тогда, когда выполняются условия (111.92) [(111.93)], которые имеют следующую геометрическую интерпретацию:
- Ч -подрасслоение несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л,);
- Ч -подрасслоение голономно;
- Н(П)-распределение представляет собой (и-г)-параметрическое
семейство тангенциально вырожденных гиперполос Нгп_т+Г_у;
3) пара распределений (L,E) [(M,W)) переносится параллельно в каждой ФУ от из нормальных связностей Vі (Vі) тогда и только тогда, когда выполняются условия (111.92) и (111.94) [(111.93) и (111.95)], геометрическая интерпретация которых следующая: 7і(П) -распределение представляет собой (л-г)- параметрическое семейство регулярных гиперполос Нг с распадающимся полем характеристик Фп_г_,(4)) = Р ЧЛ)» ДЛ)] •
Поля фундаментальных и охваченных объектов регулярного Н(П) -распределения
Цель диссертационной работы - заложить основы построения проективно-дифференциальной геометрии т-полосных распределений СН(Т1) -распределений). Для достижения этой цели в диссертационной работе решены следующие задачи: построение полей фундаментальных и охваченных объектов 7і(П) -распределения, построение инвариантных полей нормалей Л подраслоения данного 7і(П) -распределения; построение двойственного образа К(П) -распределения; построение инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и 3. Бортолотти Л-подраслоения данного Н(П) -распределения; построение двойственных центропроективных (нормальных) связностей, индуцируемых в расслоениях нормалей первого и второго рода Л-подрасслоения данного Н(Щ -распределения. 4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [37] и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [96]. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков. В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф. Лаптевым [37]. 5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что: 7і(П) -распределение, его двойственный образ и двойственные нормальные связности "Я(П)-распределения ранее в геометрии распределений не изучались; в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных т -полосных распределениях проводится инвариантными аналитическими методами [37], [96] посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия. В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.
Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий. Так, например, отметим, что проективно-дифференциальная геометрия Н(Щ распределений может найти и находит теоретическое применение при исследовании нормальных подрасслоений и подрасслоений касательного расслоения поверхностей полного или неполного ранга, двухсоставных [124] - [128] и трехсоставных [60] - [64] распределений, скомпонованных распределений [13] - [18], специальных классов регулярных гиперполос [10] -[12], [68], вырожденых гиперполос [47] - [49], а также при изучении дифференциально-геометрических структур на распределениях [67] проективного пространства.
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно: а) по теории полосных распределений проективного пространства; б) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью. 7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре высшей алгебры и геометрии Калининградского государственного университета (2000, 2003 гг.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, ЧТУ, 2001 г.), на Международном математическом семинаре «К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета» (Калининград, КГУ, 2002 г.), на IV Международной междисциплинарной научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования» (Ялта, 2003 г.), на третьей Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2003» (Казань, 2003 г.), на заседании научно-исследовательского семинара по геометрии Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2004 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2004 г.), при подготовке отчета в рамках Санкт-Петербургского конкурса грантов для студентов, аспирантов и молодых специалистов (категория гранта: кандидатский проект, № гранта: М02-2.1К-739) по теме «Н(ІЇ) распределения проективного пространства» (диплом АСП №302176). 8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 печатных работах [21] - [32] автора. 9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.
Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного Н -распределения в смысле Э. Картана
В 2 приведены (по аналогии с гиперполосой [9]) аналитические признаки плоских и конических Л -подрасслоений Н(Н) -распределения.
3 носит в основном реферативный характер. Следуя работам [60], [64], [79], [88], для базисного Л-подрасслоения введены двойственные нормализации в смысле Нордена-Чакмазяна и, в частности, нормализации Михэйлеску, Фубини, Вильчинского, внутренним образом присоединенные к Л -подрасслоению в дифференциальных окрестностях 1-го - 3-го порядков.
Вторая глава диссертации посвящена построению двойственного образа Н(П) -распределения и построению инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти базисного Л-подрасслоения Н(П)-распределения. В $1 следуя работам [64], [88] построен двойственный образ Н(ІЇ)-распределения относительно инволютивного преобразования Z (ИЛ) структурных форм проективного пространства Ра. Доказано (теорема II. 1), что регулярное Н(ТТ)- распределение проективного пространства Рп во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует: 1) проективное пространство Р„, двойственное исходному проективному пространству Рп относительно инволютивного преобразования 2 форм оj по закону (П.1), 2) регулярное распределение 7i(Yl)czPn, двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (П.2) -(И.З) имеют вид (И.14), аналогичный уравнениям (1.49) Н(П)- распределения проективного пространства Рп. Двойственная теория имеет место и для оснащенного Н(П) распределения. Показано (теорема П.2), что нормализация одного из регулярных полосных распределений 7i(IT) zPn и Н(П)с:Рп равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащающих объектов связаны соотношениями (11.15) - (11.17). В 2 и 3 второй главы, следуя работам А.В. Столярова [88], [89], [79], СВ. Фисуновой [111], П.А. Фисунова [101], для базисного Л -подрасслоения 7і(П)-распределения построены оснащения в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти [134], [133], [87]. Особую роль в дальнейшем изложении играет теорема П.З: при охвате (11.51) оснащение в смысле Бортолотти распределения Н(Л) (базисного Л-подрасслоения данного H(Jl)-распределения) полем гиперплоскостей Вп_х равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа Н(А) полем г-мерных плоскостей Кг, принадлежащих полю вторых осей Кёнигса распределения Н(А). Выяснены аналитические и геометрические признаки неподвижности оснащающей плоскости Картана и оснащающей гиперплоскости Бортолотти Л -подрасслоения: -на Л-подрасслоении (г 1) оснащающая гиперплоскость Бортолотти Ді-іС4 ) неподвижна тогда и только тогда, когда она «вращается» вокруг нормали второго рода К Л ) (теорема ІІ.4); - если на регулярном Л -подрасслоении оснащающая гиперплоскость Вп_х неподвижна, то она в каждом центре \ является гиперплоскостью Кёнигса нормали р второго рода (теорема ІІ.5). Введены в рассмотрение сильно оснащенные Л-подрасслоения JiiJX)-распределения: Л-подрасслоение назовем сильно оснащенным [101], если оно оснащено в смысле Э. Бортолотти и Э. Картана одновременно. Показано, что аналитическим условием согласованности оснащения Л-подрасслоения является обращение в нуль относительного инварианта 7 (11.63). Третья глава диссертации посвящена изучению двойственных нормальных связностей, индуцируемых 7і(П)-распределением в расслоениях нормалей первого и второго рода на оснащенном (в смысле Нордена-Картана и Нордена-Бортолотти) Л -подрасслоении. В 1 изучаются двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго рода на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении. Показано (теорема III. 1), что на оснащенном в смысле Нордена-Картана базисном Л-подрасслоении в расслоении его нормалей первого рода индуцируются двадцать четыре нормальные связности V"1, Vі, задаваемые системами слоевых форм {01, 01} (Ф = 0,1; Ч = 0,11), причем связности V х определены при A"pq] = 0. Связности V L и V1 будут совпадать: - в случае голономного Л -подрасслоения, - в случае голономности М -подрасслоения или если М -распределение несет двухкомпонентную сопряженную систему (A,L), - в случае голономности Н -распределения или взаимности Л-, L-, М - подрасслоении. Нормальная связность Vі называется полуплоской [121], если обращается в нуль подтензор {ЩРд} тензора кривизны-кручения {R?PQ}, то есть B?PQ = 0; нормальная связность Vі называется плоской [121], если ее тензор кривизны-кручения обращается в нуль Щрд - 0. Справедливо утверждение: нормальная связность Vх, индуцируемая на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении, является полуплоской тогда и только тогда, когда система уравнений Щ = О вполне интегрируема и является плоской тогда и только тогда, когда каждая из систем уравнений 0" = 0, = 0 вполне интегрируема.
Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного Н(П) -распределения в смысле Э. Бортолотти
Дифференциальные уравнения регулярного 7 (П)-распределения, двойственного данному регулярному 7і(П)-распределению, имеют аналогичный вид (1.49) (здесь не выписываются соответствующие замыкания): Таким образом, доказана Теорема ІІ.1. Регулярное Н(П) -распределение проективного пространства Рп во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует: 1) проективное пространство Рп, двойственное исходному проективному пространству Рп относительно инволютивного преобразования Э форм of по закону (II. 1), 2) регулярное распределение 7і{ІЇ)сіРп, двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (11.2)-(11.3) имеют вид (II.4), аналогичный уравнениям (1.49) ТіЩ)-распределения проективного пространства Рп. В разных дифференциальных окрестностях можно построить поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов двойственного многообразия 7і(П)сРя, используя те же формулы охватов (соответствующие объекты пишутся с черточкой сверху). Построенные поля геометрических объектов определяют внутреннюю геометрию многообразия 7і(П)сРп, двойственную геометрии исходного 7Ї(ТІ) -распределения проективного пространства Рп. Двойственная теория имеет место и на оснащенном 7Ї(П)- распределении в Рп. Пусть основные структурные подрасслоения Н(П)- распределения нормализованы полями квазитензоров v%, vp, v n, v, vn vl Используя соотношения (1.51), (1.82), (ИЛ), убеждаемся, что функции Таким образом, всякая нормализация 7і(П)-распределения индуцирует двойственную ей нормализацию. При этом оснащающие объекты (v , v), (ЙГ Й?) связаны соотношениями (11.15)-(11.17). Из уравнений (11.15)-(11.20) непосредственно вытекает Теорема II.2. Нормализация одного из регулярных полосных распределений (П) с Рл и Н.(П)аРп равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащающих объектов связаны соотношениями (11.15)-(11.17).
В первых трех дифференциальных окрестностях мы построили (без применения теории двойственности) различные внутренние инвариантные нормализации 7i(Yl)- распределения проективного пространства. Теперь, следуя работе [88], утверждаем: в силу двойственности теории Н(П)- распределения, зная закон охвата объекта нормали первого (второго) рода v (v) любого ассоциированного распределения с данным полосным Н(П) -распределением, можно построить внутренним образом определенную соответствующую нормаль второго (первого) рода v(v) рассматриваемого ассоциированного распределения по следующей схеме. Построим охват квазитензора v„ff(v) двойственного образа Н(П)с:Рп, аналогичный охвату v (v), после чего по закону (II.4) найдем соответствующую нормаль v (v ). В этом случае будем говорить [88], что поля нормалей V H V двойственны друг другу по отношению к инволютивному преобразованию 3 (II. 1).
В случае Л - подрасслоения с полем симметрического тензора Л" имеем Из соотношений (11.24) и (11.25), используя закон (11.15), получим, что нормали второго рода, двойственные к Ff и Wf совпадают, соответственно, с нормалями F и W y то есть нормализации Фубини Fnp, Fp и Вильчинского Wp, Wp Л-подрасслоения с полем симметрического тензора Л" являются двойственными [88].
Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л-подрасслоении
Таким образом, справедливо следующее утверждение: Теорема ІІІ.9. На оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении с полем симметрического тензора А" любые две нормальные связности в каждой из троек ( V х, V х, V х), (V х, V1, V х) совпадают тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода N являются, соответственно, поля квазитензоров Нр, Нр (см. (1.136), (1.137)). Следствие. На оснащенном в смысле Нордена-Картана Л -подрасслоении с полем симметрического тензора Л любая из троек нормальных связностей (Vх, Vх, Vі) (Vх, Vх, Vх), (Vх, Vх, Vх), вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода служат соответственно поля нормалей Я п, Я п, Замечание. На голономном или взаимном с полем симметрического тензора Л Л-подрасслоении любая из троек нормальных связностей (V х, V х, V х= V х) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда полем нормалей 2-го рода служит поле нормалей Михэйлеску тр (1.142). Соотношениям (111.58) удовлетворяют в первой дифференциальной окрестности элемента Л-подрасслоения - поля нормалей р,р (1.126), поэтому справедлива Л -подрасслоении, нормальные связности Vі и Vі совпадают, если полями нормализующих объектов {v;f,v}e первой дифференциальной окрестности являются поля нормалей { %,р}. Так как на регулярном Л-подрасслоении тензор Л невырожден, то из соотношений (111.65) вытекает Теорема 111.11. На регулярном, оснащенном в смысле Нордена-Картана К-подрасслоении с полем симметрического тензора Л нормальные Ф11 Ф0 связности Vх и Vх совпадают тогда и только тогда, когда подмногообразие Л коинцидентное. Из выражений (111.46), (111.52), с использованием соотношений (1.52)-(1.54), (1.106), (1.107) получим: Следовательно, в силу соотношений (111.31) и невырожденности тензора Л справедлива: Теорема 111.12. На оснащенном в смысле Нордена-Картана Л ФЧ подрасслоении с полем симметрического тензора Л", подтензор R "st ФЧ тензора кривизны-кручения каждой из нормальных связностей Vх обращается в нуль тогда и только тогда, когда подмногообразие Л голономно. Отметим, что из соотношений (III.66) и (111.31) следует, что на оснащенном в смысле Нордена-Картана Л-подрасслоении подтензор R1st ОЧ тензора кривизны-кручения нормальной связности Vх обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметрический тензор ЛфЛ,".,, (это условие выполняется, например, в случае конического Л подрасслоения (см. гл. I, 2)). 2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л -подрасслоении Допустим, что распределение 7i(A) (базисное Л-подрасслоение 7Ї(П)-распределения) оснащено в смысле Нордена-Бортолотти (гл. II, 3). В силу наличия подмногообразия Н(А), двойственного исходному распределению Н(Л), системам форм (Ш.ЗЗ), (111.34) соответствуют двойственные [83] им фу ФУ системы форм {0 ,0 ), имеющие аналогичные строения (формы и функции, входящие в выражения форм (Ш.ЗЗ), (111.34) записываются с фу чертой сверху). Эти системы форм определяют нормальные связности V 1 в расслоении нормалей второго рода, двойственные [83] по отношению к ФУ связностям Vі относительно инволютивного преобразования (II. 1). ФУ ФУ __ Для того чтобы найти выражения форм {0 ,0 ), следуя работе [99], формы и функции с чертой, входящие в выражения этих форм, заменим на соответствующие формы и функции без черты с использованием соотношений (ИЛ), (П.4), (11.15), (11.18), (11.21), (11.22), (11.26), (11.44), (11.48), (11.49),(11.51),(11.52).
