Содержание к диссертации
Введение
Глава I Аффинная связность на распределении гиперплоскостньгх элементов в конформ ном пространстве сп и её приложение 27
1. Конформное пространство Сп 27
2. Распределение 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп 35
1. Взаимно ортогональные распределения 94 гиперплоскостных и одномерных линейных элементов в С„ 35
2. Частичные и полные оснащения распределений 94 и Зї в Ся 39
3. Сферическое распределение гиперплоскостных элементов в Сп 45
4. Гиперполосное распределение Н в Рн+1, ассоциированное с распределением 94 гиперплоскостных элементов в Сп 48
3. Пространства аффинной связности на вполне оснащённых распределениях 94. и 9в конформном пространстве сп 30
1. Теорема Картана - Лаптева 50
2. Аффинные связности, индуцируемые полным оснащением распределения 94 гиперплоскостных элементов в С„ 51
4. Приложение аффинной связности к изучению внутренней геометрии тканей на распределении 94 гиперплоскостных элементов в С„ 57
1. Дифференциальные уравнения ткани Е на распределении 94 гиперплоскостных элементов в Сп 57
2. Гиперсопряжённая система конформного пространства Сп .61
3. Ткань линий кривизны на голономном распределении. 94 гиперплоскостных элементов в С„ 66
4. Чебышевские и геодезические ткани на распределении 94 гиперплоскостных элементов в Сп 68
5. Чебышевская ткань линий кривизны на распределении 94 гиперплоскостных элементов в Сп 71
Глава II Нормальные и конформные связности на распределении 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп 79
1., Нормальные связности на вполне оснащённом распределении 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп 79
1. Нормальная связность V , индуцируемая полным оснащением распределения 94 в Сп 79
2. Нормальная связность V , индуцируемая полным оснащением распределения 94 в Сп 86
3. Нормальная связность V"1, индуцируемая полным оснащением распределения 94 в Сп 89'
2. Параллельные перенесения инвариантных полей пучков гиперсфер в нормальных связностях на распределении 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп 92
1. Инвариантные прямые на регулярном гиперполосном распределении Н в Р,г+1 92
2. Поля одномерных направлений на распределении 94 в Сп, параллельно переносимые в нормальных связностях 93
3. Конформные связности на вполне оснащённом распределении 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп 98
1. Пространство конформной связности Спп х, индуцируемое касательным оснащением распределения 94 в Сп 98
2. Нормализованное пространство конформной связности С 102
1 3. Пространство конформной связности Сп,п-\, индуцируемое полным оснащением распределения М в Сп 104
Глава III Линейные связности на оснащённой неголономной гиперполосе в конформном пространстве Сп 108
1. Дифференциальные уравнения гиперполосного распределения в Сп 108
2. Внутренние оснащения гиперполосного распределения в 112
3. Аффинные связности на вполне оснащённом гиперполосном распределении в Сп 118
4. Нормальные связности на вполне оснащённом гиперполосном распределении в Сп 132
5. Приложение теории гиперполосного распределения в Сн 135
Литература 137
- Распределение 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп
- Пространства аффинной связности на вполне оснащённых распределениях 94. и 9в конформном пространстве сп
- Параллельные перенесения инвариантных полей пучков гиперсфер в нормальных связностях на распределении 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп
- Аффинные связности на вполне оснащённом гиперполосном распределении в Сп
Введение к работе
li Исторический обзор
1. Конформным «-мерным пространством Си называется «-мерное евклидово пространство Еп, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором группа конформных преобразований является фундаментальной. Образующими элементами конформного пространства являются гиперсферы евклидова пространства Еп, в частности,.точки как.гиперсферы нулевого радиуса и гиперплоскости как гиперсферы, проходящие через несобственную точку.
Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри.классической дифференциальной геометрии в конце XLX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров:.В: начале XX века появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты, и инвариантные квадратичг ные формы при конформных преобразованиях пространства;. К, работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура; Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится* в статье Бер-вальда [100] в математической энциклопедии (1927 г.).
В отличие от аффинной и проективной дифференциальными геометриями конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты - аффинные и проективные, а пришзу-чении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.
В 1924 г. появляется работа Томсена [118], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пента-сферические координаты и тензорное исчисление; к этому направлению относится также работа Вессио [119]. В 1929 г. выходит книга Бляшке [101], написанная им совместно с Томсеном, в которой дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лагерра и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований G. Ли. К этому направлению исследований относятся также работы Т. Такасу; свои;результаты В: области дифференциальной геометрии сфер Такасу изложил в трехтомной монографии, первый' том которой^ вышедший в 1938 г. [117], посвящен конформной геометрии.
В работе [104] Э. Картан вводит понятие w-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств кон-
формной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. В работах С. Сасаки [114], [115] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.
Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий. Это сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.
Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров. Здесь можно выделить три основных направления. Первое из них связано с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах, развитой Б. А. Розенфельдом в работах [76], [77], второе - с применением к конформной геометрии общей теории нормализованных поверхностей, развитой А. П. Норденом в работах [62]-[66], третье - с применением к конформной геометрии общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями, развитой Г. Ф. Лаптевым в работах [29], [30].
Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2], [99] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, w-мерных поверхностей «-мерного конформного и псевдоконформного пространств.
В работах [63]—[66], а также в совместной с Г. В. Бушмановой работе [9] А. П. Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.
Л. Ф. Филоненко в своих работах [89], [90], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в «-мерном проективном пространстве Р„, рассматривает распределение m-мерных линейных элементов в (и-І)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию.
Исследования А. М. Михайловой [60], [61] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства.
Т. Н. Глухова (Андреева) [17]—[21], [87] рассматривает линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве, а также находит приложение аффинных связностей к изучению сетей на гиперповерхности в конформном пространстве.
А. В. Столяров [82]-[85] рассматривает оснащения и линейные связности на распределениях в конформном пространстве Сп. В работах [86], [87] он строит пространство конформной связности Сп на базе пространства проективной связности Ри>#1+1 и изучает внутреннюю геометрию нормализованного пространства конформной связности.
В работе В. Б. Лазаревой и А. М. Шелехова [28] при изучении тканей, порождаемых пучками сфер, широко используется отображение Дарбу многообразия сфер трехмерного пространства в четырехмерное проективное пространство Р4. Аналогичным образом в работе [97] А. М. Шелехов
решает конформную задачу, поставленную Бляшке [102]: перечислить все регулярные (параллелизуемые) три-ткани, образованные пучками окружностей.
2. Наряду с интенсивным изучением дифференциальной геометрии го-лономных многообразий в последние 60-70 лет объектом исследования многих математиков явились неголономные многообразия, то есть распределения m-мерных линейных элементов, погруженных в различные однородные и обобщенные пространства.
Некоторые задачи движения механических систем, подчиненных добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см., например, работы В.В.Вагнера [11], [13], А. В. Гохмана [23], И. К. Рашевского [74], С. А. Чаплыгина [96]).
Наряду с этим к понятию неголономного многообразия математики пришли независимо от задач механики путем обобщения основных положений геометрии подпространств на случай, когда поле m-мерных пучков направлений не задает семейства m-мерных подпространств (см. работы В.В.Вагнера [10], [12], Д.М.Синцова [78], Схоутена [116], монографии Врэнчану [120] и Михэйлеску [112]).
В 70-х годах XX века теория распределений m-мерных касательных элементов (неголономных поверхностей) в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщенная теория распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности Ри п (в частности, в
проективном пространстве Р„) получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [32], [33], [70], [71]); в случае распределений гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория получила свое отражение в работах В. И. Близникаса [6], [7]. Ю. Г. Лумисте [37] исследует распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. А. П. Норден [67], [68] устанавливает связь теории многочисленных композиций с теорией распределений. А.В.Столяров [81] строит инвариантную двойственную теорию регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов, а также регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности Р„ „ и
находит некоторые пути приложения этой теории. В монографии Ю. И. Попова [73] построена инвариантная теория трехсоставных распределений, вложенных в проективное пространство Р„.
3. В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.
История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [111] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 г. Г. Вейль [121] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р. Кэниг [ПО], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [27] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами.
Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда В. В. Вагнер [14], [15] и Ш. Эресман [108] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [34].
Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [63]-[66]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. П. А. Широков и А. П. Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [98].
Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г. Ф. Лаптевым [29]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев [29], следуя идеям Э. Картана [27], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия; эти отображения должны быть согласованы с действием структурной группы на расслоении (теорема Картана - Лаптева).
Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел Э. Картан в 1926-1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно
Д. И. Перепелкин [72] и Фабрициус-Бьерре [109], а также Э. Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие; чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [36], [38].
Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели А. П. Норден в работе [66] (внешняя связность) и А. В. Чакмазян [94]. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [95]; в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия- в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.
В отечественной и зарубежной- математической литературе появилось много работ, в которых изучаются вопросы теории связностей в нормальных расслоениях подмногообразий в пространствах постоянной кривизны; обзор исследований подмногообразий с плоской нормальной связностью в пространствах постоянной кривизны дан в работах Чена [106] и Ю. Г. Лумисте [36]. В работах [35], [38] дается-сводное изложение результатов Ю. Г. Лумисте и А. В. Чакмазяна, относящихся к изучению строения подмногообразия пространства постоянной кривизны, допускающего поле нормальных ^-направлений, параллельное в нормальной связности подмногообразия. Чен и Яно [107] изучают подмногообразия Vm риманова пространства Vn с параллельным /7-мерным подрасслоением нормального расслоения; М. А. Аки-вис и А. В. Чакмазян [3], [4] исследуют геометрию Vm с плоской нормальной связностью в евклидовом пространстве Еп.
П. А. Фисунов [92] изучает двойственные нормальные связности на оснащенной регулярной голономной и неголономной гиперполосах я-мерного проективного пространства.
В работах С. Ю. Волковой [16], Н. А. Елисеевой [25], Т. Ю. Максаковой [39] исследуются нормальные связности на распределениях специальных классов в проективном пространстве Ри.
2. Общая характеристика диссертации
1. Постановка вопроса и актуальность темы. Известно, что геометрия распределений /и-мерных линейных элементов (геометрия неголоном-ных поверхностей) тесно связана с проблемой Пфаффа [113], то есть с проблемой описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы уравнений Пфаффа
ва = 0, а = \,п-т, (*)
задаваемой набором п-т форм Пфаффа ва в некоторой области D однородного пространства Мп, .линейно независимых в каждой точке х є D; с
геометрической точки зрения система (*) определяет распределение ги-мерных линейных элементов Ах [33], [37]:
Ах = {^еТх(Мп), 0;<у) = о}.
Важность проблемы Пфаффа, а следовательно, и актуальность, изучения геометрии распределений определяется тем, что систему дифференциальных уравнений с частными производными всегда можно трактовать как пфаффову систему [26], [74], то есть задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа.
Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [29], если на нем определено поле некоторого геометрического объекта gp (поле оснащающего объекта многообразия):
где со ' - главные (первичные) формы, со 2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций <р (g), определяющих оснащающий
объект gp; в зависимости от их строения имеем различные оснащения многообразия. Заметим, что задание оснащения многообразия определяет на нем соответствующую дифференциально-геометрическую структуру.
Отметим, что задачи, возникающие при изучении оснащенных распределений, в зависимости от типа оснащения и характера объемлющего пространства оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных распределений неисчерпаемой.
Предметом исследования настоящей-работы являются распределение гиперплоскостных элементов и гиперполосное распределение тя-мерных линейных элементов, погруженные в конформное пространство Сп (псев-
доконформное или собственно конформное), а также линейные связности (аффинные, нормальные, конформные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) указанных распределений.
Теория конформного пространства Сп и вложенных в него поверхностей к настоящему времени разработана достаточно полно (см., например, работы [1], [2], [9], [17]-[22], [59]-[61], [63], [65], [66]). Однако, вопросы конформно-дифференциальной геометрии оснащенных неголономных поверхностей (распределений) и линейных связностей, индуцируемых при этом, до настоящего времени оставались слабо изученными; исключение составляют работы [8], [82], [84], [85], [90]. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению оснащенных распределений (в особенности, различных линейных связностей, индуцируемых оснащениями рассматриваемых распределений) в конформном пространстве представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.
2'. Цель.работы. Целью настоящего диссертационного исследования является разработка инвариантными аналитическими методами ключевых вопросов по изучению оснащенных распределений, погруженных в. «-мерное конформное пространство Сп, а именно:
построение в разных дифференциальных окрестностях инвариантных внутренним образом определяемых нормальных, касательных, полных оснащений распределения гиперплоскостных элементов и гиперполосного распределения га-мерных линейных элементов в конформном пространстве С„;
разработка основ теории линейных связностей (аффинных, нормальных, конформных), определяемых различными оснащениями рассматриваемых распределений;
приложение аффинной связности, индуцируемой полным оснащением распределения 9Л. гиперплоскостных элементов в С„, к изучению геометрии тканей на подмногообразии Ж,
приложение теории гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов к изучению внутренней геометрии распределений га-мерных линейных элементов в конформном пространстве Сп.
3. Методы исследования. Теория указанных оснащенных распределений развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [29] и методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [91].
Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [29]-[31].
Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Все рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими.
4. Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что вопросы конформно-дифференциальной геометрии оснащенных распределений и линейных связностей, * индуцируемых при этом, геометрами раннее почти не изучались. Исключение составляют работы [8], [82], [84], [85], [90].
Использование аналитического метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева и исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями фундаментальных и оснащающих объектов рассматриваемых подмногообразий, позволило получить новые существенные результаты в теории оснащенных распределений гиперплоскостных элементов и гиперполосных распределений, погруженных в конформное пространство Сп, а именно:
в разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения распределения гиперплоскостных элементов (глава I) и гиперполосного распределения ш-мерных линейных элементов (глава III) в С„;
найдено необходимое и достаточное условия, при выполнении которых распределение гиперплоскостных элементов является сферическим распределением гиперплоскостных элементов в С„ (глава I);
рассмотрена аффинная связность, индуцируемая полным оснащением распределения М гиперплоскостных элементов в Сп, найдено ее приложение к изучению внутренней геометрии тканей на подмногообразии 9А. (глава I);
получен ряд результатов по исследованию нормальных связностей на вполне оснащенном распределении 9/L гиперплоскостных элементов в Сп, а также на регулярном гиперполосном распределении Н в проективном пространстве Ри+1, ассоциированном с распределением М гиперплоскостных элементов в Сп (глава II);
рассмотрены конформные связности на вполне оснащенном распределении М гиперплоскостных элементов в Сп (глава П);
6) получены аффинные и нормальные связности на вполне оснащенном
гиперполосном распределении m-мерных линейных элементов в конформ
ном пространстве Сп (глава III);
7) найдено приложение теории гиперполосного распределения
m-мерных линейных элементов к изучению внутренней геометрии распре
делений m-мерных линейных элементов в конформном пространстве Сп
(глава III).
В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.
5. Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная рабо
та имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть
использованы- при изучении геометрии различных многообразий, погружен
ных в пространства более общей структуры (например, в пространство кон
формной связности). Они могут быть использованы при изучении распреде
лений 7Я-мерных линейных элементов, вложенных в пространства конформ
ной структуры.
Теория, разработанная* в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.
6. Апробация. Основные результаты диссертационного исследования
докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по
современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-
исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геомет
рии Чувашского государственного педагогического университета им.
И. Я. Яковлева (2005-2009 гг.), на научно-практических конференциях
преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашского государственного
педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2005-2009 гг.), на Регио
нальной научной конференции «Современные вопросы геометрии и
механики деформируемого твердого тела» (г. Чебоксары, 19-20 октяб
ря 2006 г.), в Пятой молодежной научной школе-конференции «Лоба
чевские чтения - 2006» (г. Казань, 28 ноября - 2 декабря 2006 г.), в
III Республиканском конкурсе научно-исследовательских работ студен
тов, аспирантов, молодых ученых и научно-технических работников
«Наука XXI века» (г. Чебоксары, декабрь 2006 г.) (работа удостоена
диплома и золотой медали.за лучшую научно-исследовательскую рабо
ту в области естественно-математических наук), на XV международной
конференции «Математика. Образование» (г. Чебоксары, 28 мая - 2 июня.
2007 г.), в Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачев
ские чтения - 2007» (г. Казань, 16-19 декабря 2007 г.), на заседаниях Го
родского геометрического семинара при кафедре геометрии Казанского госу
дарственного университета (г. Казань, 2008-2009 гг.).
Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 19 печатных работах автора (см. [40]-[58]).
Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 121 наименование. Полный объем диссертации составляет 145 страниц машинописного текста.
10. Некоторые замечания. Все рассмотрения в диссертации проводятся
с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются дос
таточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообра
зия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - анали
тическими. ,
Для теорем и формул в диссертации принята двойная нумерация: первое число указывает на номер главы, а второе (после точки) - на порядковый номер теоремы или формулы в этой главе.
В работе образующие элементы (точки, гиперсферы или гиперплоскости) конформного пространства Сп обозначаются прописными латинскими буквами с курсивом, а соответствующие им при отображении Дарбу точки проективного пространства Р,/+1 обозначаются прописными латинскими
буквами без курсива.
В главах I и II индексы принимают следующие значения: Л,/і,р = 0,п + 1; I,K,L = \,n; K,L = 0,n;
г,уД,,ґ,/ = 1,и-1; i,j,k = 0,n-l; a,/3,y = 0,n; а,6,с = 0,и-1,л + 1.
В главе III индексы принимают следующие значения:
A,ju = 0,n + l; K,L = l,n; K,L = 0,n; i,j,k,s,t,l = \,m; i,j,k = \,m;n;
a,]8,у,т,<^ = m + \,n; n,v,w,z = m + l,n-l; a,b,c = l,n-l.
Операция внешнего дифференцирования обозначена буквой D, а внешнего умножения — символом « л ».
В работе по индексам, заключенным в квадратные скобки, производится операция альтернирования:
Л';и=1(4 -л»,), л';№ =і(л»у -л-,и),
а по индексам, заключенным в круглые скобки, производится операция циклирования:
am=aijk+ajki + akij'
Операция обычного дифференцирования обозначается буквой d, а при фиксированных главных параметрах — буквой 5; при этом формы а>% обозначаются через 7Г%.
Ссылки на литературу даются в квадратных скобках.
1 3. Содержание диссертации
Диссертационная работа состоит из трех глав.
В главе I рассматривается аффинная связность на вполне оснащенном распределении 9/L гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп и получено ее приложение к изучению внутренней геометрии тканей на подмногообразии Ж
В 1, 2 главы I приводится материал, большая часть которого носит реферативный характер и необходима для дальнейшего изложения. Здесь рассматриваются оснащенные взаимно ортогональные распределения М гиперплоскостных элементов и Л одномерных линейных элементов, погруженные в конформное пространство Сп.
В п. 3 2 вводится понятие сферического распределения гиперплоскостных элементов в Сп, найдены необходимое и достаточное условия, при
которых распределение гиперплоскостных элементов в Сп является сферическим (теорема 1.4).
В п. 4 2 доказано, что полное оснащение распределения М гиперплоскостных элементов в Сп при отображении Дарбу в пространстве Ри+1 индуцирует «-мерное взаимным и двойственным образом нормализованное регулярное гиперполосное распределение Н (я-1)-мерных линейных элементов (A0,n„_j), для которого базисным распределением п является образ подмногообразия М и полем характеристик семейства касательных к гиперквадрике Дарбу Qn а Рп+1 гиперплоскостей в точках А0 є Qn служит поле прямых [А0А„], сопряженных текущим элементам /г относительно
О, (теорема 1.5).
3 главы I посвящен аффинным связностям, индуцируемым полным оснащением распределений М гиперплоскостных элементов и JC одномерных линейных элементов в конформном пространстве Сп. Доказано, что
при полном оснащении одного (а следовательно, каждого) из распределений М и .7/" в Сп на подмногообразиях 9А. и 9 индуцируются пространства
аффинной связности Ап п_х и Ап х соответственно, которые являются вейле-выми (вообще говоря, с кручением) с полями метрических тензоров g.. и
g соответственно и дополнительной формой 0 = u)q - xkg)q (теоремы 1.6,
1.7). Для каждого пространства аффинной связности найдены строения тензоров кручения и тензоров кривизны. Доказаны также следующие предложения:
при полном оснащении распределения 9А. гиперплоскостных элементов в Сп пространство аффинной связности Ап и_, имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда исходное распределение 9А. является сферическим (теорема 1.9);
если аффинная связность-пространства Апп_х, индуцируемого полным оснащением распределения М в Сп, имеет нулевое кручение, то она является римановой с полем метрического тензора gt тогда и только тогда, когда пространство аффинной связности Ап х есть пространство с абсолютным параллелизмом (теорема 1.10);
если оба пространства аффинной связности ~ Ап п_1 и Ап l, индуцируемые полным оснащением распределений М и Нв Сп, имеют нулевое кручение, то пространство Апп_1 является римановым сполем метрического тензора g. тогда и только тогда, когда пространство Ап х — плоское; в работе
приведены инвариантные аналитические условия последнего (теорема Ы1).
Найдены необходимое и достаточное условия, при которых пространство аффинной связности Ащп_х является обобщенно римановым (теорема
1.12). Эти условия выполняются, например, при полном оснащении распре
деления М в С„ полями квазитензоров akd— ак, ап ап второго
п-\ п-\
порядка.
л-1
4 главы I посвящен приложению аффинной связности V пространства Ап „_, к изучению внутренней геометрии тканей, заданных на распределении М гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп.
В п. 1 4 приведены дифференциальные уравнения ткани на подмногообразии М, рассмотрены некоторые порождаемые ею инвариантные геометрические образы (гармонические гиперсферы Ft, псевдофокальные гиперсферы F' ортогональной ткани). Доказано, что поле гармонических окружностей [F;] ткани Е, заданной на распределении 9d в Сп, и поле касательных гиперсфер Fn =апА0+Ап во второй дифференциальной окрестности внутренним образом определяют полное оснащение распределения 9/L в Сп
(теорема 1.14). Найден геометрический смысл гармонических гиперсфер ортогональной ткани: каждая из п-\ гармонических гиперсфер Ft ортогональ-
ной ткани есть среднее арифметическое псевдофокальных гиперсфер F'-касательной А0А{ к линии ткани.
В п. 2 4 рассмотрены голономная ткань и гиперсопряженная система в конформном пространстве Сп; найдены необходимое и достаточное условия, при которых ткань на распределении 94 в С„ является голономной (теорема 1.15), а также необходимое и достаточное условия, при которых голономное распределение 94 в Сп, несущее ортогональную сопряженную ткань, является гиперсопряженной системой (и>3) (теорема 1.16). При я=3 всякое голономное распределение 2-мерных линейных элементов в С3, несущее ортогональную сопряженную ткань, является 2-сопряженной системой. Доказано, что голономное распределение 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп (п>3), несущее ортогональную сопряженную ткань, есть гиперсопряженная система тогда и только тогда, когда ткань является голономной (теорема 1.18).
В п. 3 4 рассмотрена ткань линий кривизны на голономном распределении 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп; приведена геометрическая характеристика главных направлений и линий кривизны на голономном распределении 94в Сп.
В п. 4 4 рассмотрено параллельное перенесение направления А0А{ касательной к і-й линии ортогональной ткани на распределении 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп вдоль ееу'-й линии в
«-і аффинной связности V , индуцируемой полным оснащением распределения 94 в Сп. Введены в рассмотрение геодезические и чебышевские ткани в
аффинной связности V , получены аналитические условия, характеризующие эти ткани. Доказаны следующие предложения:
- если относительно некоторого полного оснащения распределения 94
в Сп полями квазитензоров х?, х подмногообразие внесет ортогональ-
ную геодезическую ткань в аффинной связности V , то она является тканью с совпавшими псевдофокальными гиперсферами и данное полное оснащение является оснащением полем его гармонических окружностей [F{ ]
и полем квазитензора х (то есть касательное оснащение - любое) (теорема 1.19);
- если ортогональная ткань на распределении 94 в С„ есть ткань с сов
павшими псевдофокальными гиперсферами, то при полном оснащении
распределения 94 в Сп полем его гармонических окружностей [F{] и полем
квазитензора хп (касательное оснащение — любое) данная ткань является
геодезической относительно аффинной связности V (теорема 1.20);
— если ортогональная ткань на распределении 94 в С„ относительно
некоторого полного оснащения распределения 94 в Сп является чебышев-
и-1
ской в аффинной связности V, то она является геодезической; при этом данное полное оснащение есть оснащение распределения 94 в Сп полем
его гармонических окружностей [Ft] и полем квазитензора х (касательное оснащение - любое) (теорема 1.21); при п=3 всякая ортогональная ткань на распределении 94 в С3 при полном оснащении распределения 2-мерных линейных элементов 94 в С3 полем его гармонических окружностей [Ft] и полем квазитензора х3 относительно аффинной связности V является геодезической и чебышевской одновременно;
- голономное распределение 94 в Сп {п > 3 ) является распределением,
несущим чебышевскую ткань линий кривизны, тогда и только тогда, когда оно является* гиперсопряженной системой, несущей геодезическую1 ткань (теорема 1.22); при п=Ъ всякая ортогональная ткань на распределении 94 в С3 при полном оснащении распределения 2-мерных линейных элементов 94 в Съ полем его-гармонических окружностей [FJ и полем квазитензора
о 2
^з относительно аффинной связности V является чебышевской и геодезической одновременно, а в случае ее сопряженности голономное распределение 94 есть 2-сопряженная система.
В п. 5 4 чебышевские ткани линий кривизны рассмотрены на голо-номном распределении М гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп {п>Ъ), а также на голономном распределении 9Л. 2-мерных линейных элементов в конформном пространстве С3.
Доказаны теоремы существования рассмотренных классов тканей (теоремы 1.13,1.17,1.23,1.24).
Распределение 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп
Рассмотрим конформное пространство Сп, отнесенное к подвижному полуизотропному реперу R = {АЯ}. В каждой точке AQ Є Сп возьмем п линейно независимых гиперсфер Рк, причем Потребуем, чтобы все гиперсферы Р{ и Рп проходили через точку AQ : следовательно, имеем: Определение [85]. Совокупность точки AQ и связки Ln_x гиперсфер P = g AQ + g lPi, натянутых на точку AQ И гиперсферы Pt, называется (п-1)-мерным линейным элементом {AQ,Ln_ ). Аналогично, пучок Ц ги- персфер Q = 7]AQ +г}пРп натянутых на точку А0 и гиперсферы Рп, называется одномерным линейным элементом (AQ,! ), при этом будем считать, что п 3. Отметим, что все гиперсферы Р и Q проходят через точку AQ . В силу (1.9), (1.11), (1.15) справедливо 5Р, = (&, - xffi + ху0 + х? Следовательно, условия инвариантности элементов Ln_x и Iq имеют соответственно вид: Таким образом, структурные формы полей элементов Ln_x и Ц, то есть полей объектов xf и xj,, имеют соответственно вид Равенства Ал:," =0и Ал: = 0 представляют собой условия стационарности соответственно элементов Ln_x и Ц при допустимых преобразованиях репера R. Каждая из систем форм {COQ,AX"}, {со,Ах1п} вполне интегрируема, следовательно, каждое из многообразий элементов {O)Q,AX"}, {a Q,Axln} является расслоенным пространством, базой которого служит пространство С„, а слоями - пучки соответственно элементов (AQIL ) и ( ,Lj), соответствующие точкам AQ єСп. Определение [85]. и-мерные погруженные многообразия 9А. и ТС в пространствах представления {COQ,AX"}, {сОц,Ах п}, определяемые системами дифференциальных уравнений называются распределениями в конформном пространстве Сп соответственно (и-І)-мерньгх и одномерных линейных элементов [А ,Ьп_ ) И (ЛЛ) Каждая из систем (1.17) и (1.18) задает сечение в расслоенном пространстве {U)Q,AX"} И {a Q,Ax n}: каждой точке А$ (центр распределения) ставит в соответствие один (л-І)-мерньш или одномерный линейный элемент пучка (AQ, ) или {А ,Ьу) соответственно.
В силу соотношений (1.16)-(1.18) имеем что возможна частичная канонизация [69] конформного репера R = {Ая}, при которой в этом репере формы со", со1п становятся главными: Каждая из систем (1.20), (1:21) в выбранном репере представляет собой систему дифференциальных уравнений распределений 94 и 0Ї соответственно. В этом репере гиперсферы Pi и Рп (см. (1.15)) в силу равенств (1.19) имеют следующие разложения: Потребуем, чтобы в каждом центре А0 текущие элементы Ln_x и Z, распределений 94 и #"были ортогональны: При выполнении соотношений (1.23)-распределения Ж и называются взаимно ортогональными [85]. Частично канонизированный полуизотропный конформный репер Я={АЯ} определяемый объединенной системой равенств (1.1-9), (1.23), называется полуортогональным [85] репером 0-го порядка, адаптированным к взаимно ортогональным распределениям Ж и !Н1 Отметим, что при перенесении Дарбу конформного пространства Сп в проективное пространство Рп+1 линейный элемент Ln_v распределения Ж я одномерный линейный элемент 1 распределения отображаются соот ветственно в (и-І)-мерную плоскость. ПИ_1(А0) = [А0А,]- и прямую [А0 A J, лежащие в касательной гиперплоскости ТИ(А0) к гиперквадрике Дарбу Ql в точке А0, пересекающиеся в точке А0 и сопряженные относи тельно абсолюта Qn . Распределение плоскостей Ип_х а Ри+1 обозначим через к. Из дифференциальных уравнений (1.11 б) для равенств (1.23) следует откуда с использованием уравнений (1.20), (1.21) находим связь между компонентами полей фундаментальных объектов первого порядка на распределениях Ж и 9: В полуортогональном репере 0-го порядка матрица (1.6) примет вид (1.20), (1.21), (1.23) система функций g(j образует невырожденный симметричный тензор, а функция gnn есть невырожденный относительный инвариант: уравнение (1.262),- находим Линия / в конформном пространстве Сп определяется уравнениями [85] В силу соотношений (1.9), (1.22), (1.28) справедливо Следовательно, кривая 1,м, принадлежащая распределению 9/L гиперплоскостных элементов, имеет уравнения [32], [85]:
Пространства аффинной связности на вполне оснащённых распределениях 94. и 9в конформном пространстве сп
Все точки X, принадлежащие гиперсфере Р, удовлетворяют уравнению Линейные преобразования полисферических координат точек Р, сохраняющие уравнения (1.2), переводят точки конформного пространства Сп в точки, а гиперсферы - в гиперсферы, причем бесконечно удаленная точка может переходить в любую конечную точку пространства Еп. Более того, эти преобразования сохраняют значение cos (р, то есть сохраняют углы между гиперсферами. Следовательно, указанные преобразования называются конформными преобразованиями конформного пространства Сп [99]. Эти преобразования образуют группу L конформных преобразований конформного пространства С„. В проективном пространстве Ри+1 указанным преобразованиям соответствуют проективные преобразования, переводящие в себя гиперквадрику Дарбу 02п. Таким образом, группа конформных преобразований конформного пространства Сп изоморфна стационарной подгруппе гиперквадрики Дарбу Рассмотрим модель конформного пространства Сп. В проективном пространстве Рй+1 возьмем неподвижную гиперквадрику Qn овального типа, которую назовем гиперквадрикой Дарбу. С помощью гиперквадрики Дарбу Ql установим соответствие между точками пространства Ри+1 и точками некоторой гиперплоскости, принимаемой за основную. Пусть эта гиперплоскость является экваториальной гиперплоскостью тп гиперквадрики Дарбу 02п. Будем проектировать точки гиперквадрики Qn из полюса S на ос новную гиперплоскость т„. Точке X є Оп ставится, в соответствие точка X гиперплоскости. Рассматриваемая проекция называется стереографической.
Она устанавливает биективное и непрерывное соответствие точек гиперквадрики и гиперплоскости тп, если условиться, что точке S соответствует бесконечно удаленная точка гиперплоскости тп. Точкам, лежащим на гиперквадрике Qn а Р„+1, соответствуют точки-(гиперсферы нулевого- радиуса) гиперплоскости тп. Полярная плоскость точки ZePw+I, расположенной вне гиперквадрики Qn, пересечет, ее по овальной квадрике 0%_х, которая при стереографической проекции переходит в гиперсферу Ql_x на плоскости г„. Полярная плоскость точки Y є Pn+1, лежащей внутри гиперквадрики Qn, не пересекает ее. Можно считать, что каждой такой точке на тп соответствует гиперсфера мнимо го радиуса. Любая квадрика Qn_x, проходящая через полюс S гиперквадрики- Ql, отображается при стереографической проекции в плоскость размерности п-\. Очевидно, все (л-І)-плоскости проходят через несобственную точку. Плоскость тп является моделью конформного пространства Сп. Так как в проективном пространстве Рп+1 система из п+2 линейно независимых точек А0, А и А„+1 составляет проективный репер, то репером в конформном пространстве Сп называется система, состоящая из п+2 линейно независимых гиперсфер AQ, АК, An+l. Рассмотрим конформное пространство Сп, отнесенное к так называемому подвижному полуизотропному [2], [9], [99] реперу R = {AX}, состоящему из двух точек AQ , Ап+1 и п линейно независимых гиперсфер Ак, проходящих через эти точки. Рассмотрим геометрическую интерпретацию полуизотропного репера в проективном пространстве Ри+1. В проективном пространстве Рп+1 выберем проективный репер R = {AA} таким образом, чтобы п его вершин А лежали в (и-І)-мерной плоскости П,7_І5 не пересекающей гиперквадрику Q\. Через плоскость Пд_! проведем две гиперплоскости Пи и П , касательные к гиперквадрике Ql; за вершины А0 и Ал+1 репера принимаем точки касания этих гиперплоскостей с гиперквадрикой Дарбу.
Выбранный таким образом проективный репер R = {Ая} пространства Ри+1 называется полуизотропным репером. При отображении Дарбу про образами вершин A0,An+1 eQn сР/!+1 являются точки А0 и Ап+Х конформного пространства Сп, прообразами вершин А7 являются линейно независимые гиперсферы Aj пространства Сп, проходящие через точки А0 и Ап+{. В конформном пространстве Сп имеем полуизотропный конформный репер Я = {АЛ}, соответствующий выбранному проективному репе pyR = {AA}. В этом случае справедливы соотношения: В конформном пространстве С„ выберем нормировку точек А и А+1 так, чтобы Если скалярные произведения (АЯА ) элементов выбранного репера обозначить через g , то в силу соотношений (1.4), (1.5) имеем: Любую гиперсферу Р сС„ можно представить в виде линейной комбинации элементов репера R: Если P(x )R — точка пространства С„, то в силу соотношений (1.6), (1.7) и (РР) = 0 ее координаты удовлетворяют уравнению Уравнение (Г. 8) есть уравнение действительной овальной гиперквадрики Дарбу Оп (абсолют) проективного пространства Ря+1, на которую отображаются все точки конформного пространства Сп при перенесении Дарбу. При бесконечно малом конформном преобразовании элементы репера R (R) получают бесконечно малые приращения, главную часть которых определяют дифференциалы с1Ая, являющиеся гиперсферами (с?Ая, являющиеся точками); эти дифференциалы могут быть разложены по элементам исходного репера i?(R) в виде где со — дифференциальные формы Пфаффа от параметров группы L конформных преобразований. При этом число линейно независимых форм со% равно числу независимых параметров этой группы. Дифференциальные формы Пфаффа со удовлетворяют структурным уравнениям конформного пространства Сп [2], [99]: Отметим, что внешние квадратичные уравнения (1.10) представляют собой условия полной интегрируемости системы уравнений (1.9). Дифференцируя соотношения (1.4), (1.5), получим все линейные зависимости, которым должны удовлетворять формы а %:
Параллельные перенесения инвариантных полей пучков гиперсфер в нормальных связностях на распределении 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп
Согласно гл. I, 2, п. 4, гиперполосное распределение Н в Ря+1 с базисным распределением ж плоскостей n„_j с Pw+1 индуцируется заданием распределения 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп. При этом полное оснащение подмногообразия 94. определяет взаимную и двойственную нормализацию распределения Н в Ри+1. При смещении точки А0 вдоль кривых, принадлежащих распределению 94 гиперплоскостных элементов в Сп, точка Хп+1 смещается вдоль кривых, принадлежащих распределению 94 гиперплоскостных элементов в С„. Найдем геометрическое условие обращения в нуль тензора Х к (см. (11.17)). Дифференциал точки Х/1+1 eQ% проективного пространства Ри+1 (см. (1.71)) при смещении вдоль кривых (1.70) в силу (11.17) примет вид: Соотношения (11.43) доказывают следующее предложение: Теорема П.13. При полном оснащении распределения 94 гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп при перенесении Дарбу образы текущих элементов распределений 94 и 94 гиперплоскостных элементов в Сп при смещении центра А0 вдоль кривых, принадлежащих распределению 94, пересекаются по нормали второго рода [Р;] тогда и только тогда, когда указанное оснащение допускает обращение в нуль тензора Хк {см. (П. 17)). В этом заключается геометрический смысл обращения в нуль тензора У0 В условиях теоремы L5 в нормали первого рода N2 =[А0АиХп+1] гиперполосного распределения Н в Рп+1 возьмем прямую h = [AoN„+iL гДе Условие инвариантности прямой h ( 5h = 0h), в силу (1.69), (П.44), равносильно выполнению уравнения Последнему уравнению в первой дифференциальной окрестности удовлетворяет охват где относительные инварианты а и g есть дискриминанты соответственно тензоров а? и g. (см. (1.52) и (1.26)). Таким образом, в нормали первого рода N2 гиперполосного распределения Нв Рп+1 прямая hs[A0NB+1], где является инвариантной. Замечание. Уравнению (11.45) удовлетворяет также охват
Следовательно, в нормали первого рода N2 гиперполосного распределения Н в Рй+1 прямая h = [A0NB+1], где является также инвариантной. Следует при этом заметить, что охват (П.46), в отличие от (II. 46 ), не зависит от оснащения распределения WL в Найдем условие параллельности гладкого поля одномерных направлений, принадлежащего полю N2 =[А0АиХи+1] нормалей первого рода ги о , перполосного распределения Н в Рп+1 в нормальной связности V при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению к в Pn+,. Определение. Если N AQ) - прямая, проходящая через центр А0 гиперполосного распределения Н в Рп+1, причем NjCA c , то, согласно о , [95], поле Nj(A0) называется параллельным в нормальной связности V , если при любом инфинитезимальном перемещении точки А0 вдоль любой кривой /, принадлежащей базисному распределению п, смещение прямой Nj(A0) происходит в и-мерной плоскости, натянутой на текущий элемент П„_!(Ао) базисного распределения л и на прямую N AQ). Если [А0М] - гладкое поле одномерных направлений, принадлежащее полю N2 = [А0А„Хи+1], то точка М имеет разложение где xn,x"+i одновременно не равны нулю; при xn+l =0 это направление принадлежит полю характеристик [А0АИ], а при хп = 0 совпадает с полем инвариантных прямых h = [A0N„+1]. С использованием (1.71), (11.46)-(11.48) справедливо (11.50) М + При смещении вдоль кривых /, принадлежащих распределению я-(и-1)-мерных плоскостей в Рл+1 (см. (1.70)), уравнения (11.50) примут вид: Из соотношений (11.52) непосредственно следует условие параллель 0 , ности поля направлений [АоМ] в нормальной связности V при смещении вдоль кривых, принадлежащих распределению п в Ри+1: dx" + х" (2 - & ;) + x"+l И+1Х - С, о - ё""Х о ) = Л (п.53) dxn+l=@xn+l (mod/J. При хп+х = 0 из,(11.53) имеем условие параллельности поля характеристик [А0АП] гиперполосного распределения Н в Рп+1 в нормальной связно 0 , сти V при смещении вдоль кривых, принадлежащих распределению-, п в Р„+1; это условие тождественно выполняется, если в качестве формы Пфаффа.принять 0 = d lnx" + 2а " - 0 ". Доказана. Теорема. 11.14 .
При полном оснащении распределения М гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп поле характеристик [А0АЙ] гиперполосного распределения Н в Ря+1 параллельно переносится в о нормальной связности V при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей распределению ж (п-\)-мерных плоскостей в Р„+1. Так как характеристика [А0А„] гиперполосного распределения Н в Р„+1 при отображении Дарбу есть.образ пучка касающихся между собой в точке Д гиперсфер О = г}А0+7]пАп, ортогональных гиперсферам Pt = xfA$ + Д, то теорему 11.14 можно сформулировать на языке конформного пространства Сп: Теорема 11.14 . При полном оснащении распределения М гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Сп поле пучка касательных гиперсфер Q = 7]AQ + 7jnАп подмногообразия М параллельно перено 0 сится в нормальной связности V при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей подмногообразию Ж Продолжая уравнение (11.47), имеем: її п , і п ҐГ\ 0 . п\ і п L , с»і гп 0 L" т " Lw Т иОп+\,К + Ьп+\,К \ZCOo + СО п) On+\,L СО К + ОК Оп+\ COi Оп+\ БпК СОп+\ Ьп+\,КТ СОо Из этих уравнений при смещении вдоль кривых /, принадлежащих распределению к в Ри+1, в частности, находим dbnn+\,k+b"1+i,k(2соо+й)п)-bnn+\,jcol+b"n+icol = b"n+i,ho (mod/,T) В силу последних уравнений и уравнений (11.12), (1.39), (1.26), (11.18) система функций
Аффинные связности на вполне оснащённом гиперполосном распределении в Сп
Пусть задано полное оснащение гиперполосного распределения Т в конформном пространстве Сп полями нормальных (и-га)-сфер [/)] и касательных m-сфер [Ра], определяемыми полями квазитензоров xf и х (см. (III. 19)). Такое оснащение эквивалентно тому, что в пространстве Сп задано дифференцируемое соответствие AQ — Хп+Ї, где точка Хп+1 имеет разложение (III. 18). Деривационные уравнения конформного репера R = {А0,Р{,Ра,Хп+1} определяются дифференциальными формами Пфаффа 1%: Отметим, что формы Q удовлетворяют структурным уравнениям пространства Сп (см. (1.10)). Рассмотрим систему форм {0Q, &)}, где ) а следовательно, определяла аффинную связность V на вполне оснащенном гиперполосном распределении (F, равносильно следующим дифференциальным уравнениям: dr0L - Г0К »Ь + r0LQ k - FkL 0 - SL- a + .К (111.37) .0 Tl „K 7-.I 7-.it „ К \0 Ы глк 7--/ „К , r,k , U 7-т( Л 7-.І J-lK Л т-т( . txKI 0ЬШ0 1 kL1 0КШ0 А QLK Q dPJL + r)Lll - J QJ - Г)ка 1 + r LQ!k + 3[Щ + + 5)SkLal + 5)5{l\ + gjLQ!n+l + xKrjLa - ГЬГ ка - (11137) -(AaJL +x f - ) = 7% ; при этом тензоры кривизны и кручения связности V имеют строение г1 --9Г r0KL — 1 0[KL] = -2Ґ г, JKL j[KL] к Уравнения (111.37), (III.38) в силу (III.34) запишутся в виде: образом, каждая из систем функций r 0L и r JL есть тензор: Теперь из соотношений (111.39) получим строение тензора кручения и тензора кривизны аффинной связности V: 4KL = А- П[Щ - Пік 0 - gLygiS4) + r Sb + + + -gL]agis ) + x Kr 0]L]+rj[Kr(m г)кь = -2 , +2 + r rW4 +(AV + 4% -S JcXAj.m + i ; -g xj)] Построим охваты компонент тензоров Г оь и .Г х. Продолжая уравнения (ШЛ9і), находим откуда получаем Рассмотрим систему функций эти функции в силу (111.42), (III. 19), (Ш.З), (Ш.15і 4) подчинены дифферен циальным уравнениям следовательно, совокупность функций (111.43) образует тензор.
Продолжая уравнения (111.44), имеем откуда получаем В силу уравнений (Ш.44НШ.47), (III. 19), (111.20), (Ш.З) каждая из следующих систем функций образует тензор: Предположим, что тензор Z невырожден: уравнений (Ш.З), (111.51), (111.45)-(111.47) дифференциальным уравнениям (Ш.404-б) удовлетворяют охваты Продолжая уравнения (III.404), получим откуда получаем В силу уравнений (111.53), (Ш.404), (ПІЛ9), (111.20), (Ш.З) каждая из следующих систем функций образует тензор: (111.54), (111.51) дифференциальным уравнениям (Ш.40і.з) удовлетворяют охваты Доказана Теорема Ш.4. Инвариантное полное оснащение гиперполосного распределения F т-мерных линейных элементов в конформном пространстве Сп полями квазитензоров xt, xQa индуцирует аффинную связность V, определяемую системой слоевых форм (111.35), где компоненты тензоров Г оь и Г)ъ имеют строение (111.52), (111.55); при этом компоненты тензора кручения и тензора кривизны связности имеют вид (111.41). При полном оснащении гиперполосного распределения F в Сп в различных расслоениях рассмотрим шесть систем форм Пфаффа: Рассмотрим первую пару систем форм (111.56) и (111.57); каждая из этих систем удовлетворяет структурным уравнениям Картана - Лаптева [24], [29]: Из соотношений (111.62) следует, что каждая из систем форм (III.56) и т п—т (III.57) устанавливает аффинную связность V или V на вполне оснащенном распределении ЗС га-мерных линейных элементов или Я (и-га)-мерных линейных элементов соответственно. Уравнения (111.31,2) в силу строения форм в/ и 6% (см. (111.56) и (111.57)) и соотношений (1.11), (Ш.2) запишутся в виде п—т последние уравнения говорят о том, что аффинные связности V и V являются вейлевыми [66] (вообще говоря, с кручением) с полями метрических тензоров g.. и gap и дополнительной формой Внешний дифференциал дополнительной формы (111.65) имеет вид
Следовательно, дополнительная форма 0 (см. (III.65)) является полным дифференциалом тогда и только тогда, когда выполняется система Таким образом, справедлива Теорема Ш.5. При полном оснащении гиперполосного распределения F в конформном пространстве Сп на базисном распределении % т-мерных линейных элементов (на ортогональном распределении 9Ї (п-т)-мерных ли т п—т нейных элементов) индуцируется аффинная связность V ( V ), которая является вейлевой (вообще говоря, с кручением) с полем метрического тензора gy (gan) и дополнительной формой 0 (см. (111.65)); связности V и п—т V являются обобщенно римановыми тогда и только тогда, когда обращаются в нуль тензоры Ту, Tia, Тар (см. (111.66)). Возьмем совокупность функций На распределении (F функции (Ш.67) образуют тензор первого порядка (необязательно симметричный): В случае невырожденности тензора яг", то есть ах - a"j = 0, существует обратный ему тензор aJnl, компоненты которого определяются из соотношений
