Введение к работе
Актуальность темы. Геометрия псевдоевклидовых пространств и геометрия Лобачевского, а также геометрия касательных расслоений дифференцируемых многообразий занимают ваяное место в современной геометрии.
На протяжении уже более полутора, веков вопросы неевгслвдо-вых геометрий находятся в центре внимания многих геометров. Эти-.: вопросам посвящены, например, работы С 3 , Н , 7 , 8 1
Изучение касательных расслоений дифференцируемых многообразий является одним пз наиболее быстро развивающихся направлений современной геометрии С '6, 2,17,16,12,153 Геометрия касательного расслоения в настоящее время активно изучается в различных направлениях С 3 7
Актуальным является вопрос о приложениях теории касательных расслоений к различным разделам геометрии а теоретической физики. Здесь можно отметить, например, работы С I , 5 , 12 3 .
В настоящей диссертации даются приложения теории касательных расслоений к изучению осевых круговых преобразований в псевдоевклидовых пространствах и их аналогов в идеальной области пространств Лобачевского. Осевые круговые преобразования впервые рассматривались французским математиком Эдмондом 1а-герром ( 1834-1886 годах), поэтому их часто называют преобразованиями Лагерра. Позднее іти преобразования рассматривали И. М. Яглом СЭ ,141 , А. П. Широков (например, |0 , II] ) . В этих работах А. П. Широков изучает аффинные коллинеации
х-
связности 2 при »г = { и получает интересные аналоги группы Лагерра в релятивной линейчатой геометрии плоскости, где 2 - связность в касательном'расслоении индикатрисы,
Приведем здесь один из результатов статьи [f 1 ] , который используется в настоящей диссертации: 6-членная группа в касательном расслоении индикатрисы (окружности псевдоевклидовой плоскости), инфинитезимальные преобразования которой образованы как полными, так и вертикальными лифтами векторных полей базы ( индикатрисы) в ее касательное расслоение, является группой преобразований Лагерра на псевдоевклидовой плоскости.
Изучение преобразований Лагерра в псевдоевклидовых пространствах и идеальной области пространств Лобачевского представляет интерес с точки зрения возможных приложений к задачам теоретической физики.
Цель работы. Изучить аналоги преобразований Лагерра в идеальной области плоскости Лобачевского в связи как с преобразованиями Лагерра в. псевдоевклидовой плоскости, так и с преобразованиями в различных касательных расслоениях. Построить возможное обобщение на случай идеальной области трехмерного пространства Лобачевского.
Методы исследования. Используются методы тензорного анализа, аппарат дифференцирования-Дд и поднятия геометрических объектов с базы в касательное расслоение. Исследования носят локальный характер.
Теоретическое и практическое значение работы. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер и могут быть применены в исследованиях по неевклидовым геометриям, связанных с различными их моделями и их приложениями в исследовании линейчатых образов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научно-исследовательского
- 5 -семинара при кафедре геометрии Казанского университета /руководитель профессор А. П. Широков/, на итоговой научной конференции Казанского университета в 1993 году, на семинаре при кафедре геометрии, и алгебры Калининградского университета / руководитель профессор В. С. Малаховский/.
Публикации. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С I - Ч 3 .
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 121 странице машинописного текста и состоит из введения, трех глав, содержащих 15 параграфов, и списка литературы из 53 наименований. Нумерация параграфов сквозная.
