Содержание к диссертации
Введение
1 Прямое произведение пространств аффинной связности 15
1.1 Прямое произведение гладких многообразий 15
1.2 Прямое произведение пространств аффинной связности по А. П. Нор-дену 19
1.3 Продолжение тензорных полей с гладких многообразий на их прямое произведение 23
1.4 Прямое произведение аффинных связностей и естественные продолжения векторных полей 32
1.5 О проективно-евклидовости прямого произведения пространств аффинной связности 38
1.6 Симметрические прямые произведения пространств аффинной связности 41
1.7 Рекуррентность прямого произведения пространств аффинной связности 43
2 Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения проективно-евклидовых пространств аффинной связности 45
2.1 Алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований 45
2.2 Исследование уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности 50
2.3 О размерностях алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоского проективно-евкли-дового пространства аффинной связности и плоского 52
2.4 Алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения неплоских проективно-евклидовых пространств аффинной связности 63
3 Инфинитезимальные аффинные преобразования прямого произведения пространств аффинной связности в случае- когда хотя бы одно из них непроективно-евклидово 69
3.1 О прямом произведении пепроективно-евклидового и плоского пространств аффинной связности 69
3.2 Аффинные преобразования прямого произведения неплоского проективно-евклидового и непроективно-евклидового пространств аффинной связности 72
3.3 Аффинные преобразования прямого произведения непроективно-евклидовых пространств аффинной связности 84
4 Аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгеброй двойных чисел 94
4.1 Голоморфные функции над алгеброй двойных чисел 94
4.2 Гладкие многообразия над алгеброй двойных чисел и их вещественные реализации 97
4.3 Вещественные реализации векторных полей и голоморфных линейных связностей - 99
4.4 Инфинитезимальные аффинные преобразования вещественных реализаций голоморфных линейных связностей над алгеброй двойных чисел 103
Литература 107
- Продолжение тензорных полей с гладких многообразий на их прямое произведение
- Исследование уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности
- Аффинные преобразования прямого произведения неплоского проективно-евклидового и непроективно-евклидового пространств аффинной связности
- Гладкие многообразия над алгеброй двойных чисел и их вещественные реализации
Введение к работе
Актуальность темы. Понятие аффинной связности возникло в 1917 г. в римановой геометрии (в виде Леви-Чивита связности); самостоятельный смысл оно обрело в 1918-24 гг. в работах Г. Вейля [51] и Э. Картана [50]. В 1927 году впервые поставлен вопрос о движениях в пространствах аффинной связности Л. П. Эйзенгардтом и М. С. Кнебельманом. Они получили систему дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, определяющую составляющие бесконечно малого движения в пространстве аффинной связности и доказали, что группа движений конечномерна и ее размерность не превосходит п2 + п. Ими же было установлено, что пространства, допускающие группу движений размерности n2 + п, являются локально плоскими. Начиная с 30-х годов^исследуются движения симметрических проективно-евклидовых пространств аффинной связности П. А. Широковым [45]. В это же время в теории симметрических пространств аффинной связности проводились исследования Э. Картаном [23], П. К. Рашевским [36]. Изучением симметрических пространств занимались также И. Л. Кантор, А. И. Сирота, А. С. Солодовников [22]. Начиная с 40-х годов, исследованием групп движений пространств аффинной связности занимались К. Яно, У. Муто, И. Левин, Г. Вранчаиу, Я. Л. Шапиро, В. Думитраш. Результаты, полученные вышеуказанными учеными приведены в обзоре И. П. Егорова [21]. Б. Л. Лаптев исследовал многообразия с объектами аффинной и проективной связностей, зависящими от точки и направления, им получены условия интегрируемости уравнений проективных и аффинных движений в инвариантной форме [29]. Дальнейшее развитие теории связностей, производной Ли было продолжено Б. Н. Шапуковым [43], [44], В. В. Шурыгиным [46].
Важные результаты в теории групп движений пространств аффинной связности были получены и И. П. Егоровым [14] - [21]. Внимание И. П. Егорова привлекла опубликованная в 1903 году теорема Фубини: не существует рима-новых пространств с полной группой движений порядка п 2+ — 1, то есть на единицу меньше наивысшего порядка ^>—, который допускают лишь про-
странства постоянной кривизны и только они. И. П. Егоров впервые поставил аналогичный вопрос для пространств аффинной связности, а именно: существуют ли пространства аффинной связности, обладающие группами движений порядка г = п2 + п — 1? В 1945 году им установлено, что максимальная размерность группы движений пространств аффинной связности без кручения ненулевой кривизны равна точно п2, причем, как оказалось, такие группы движений необходимо транзитивны. Из этого следовало, что не существует пространств аффинной связности, группы движений которых имеют размерности г, где п2 < г < п2 + п (п > 2). Тем самым была выявлена первая лакуна, то есть интервал 'запрещенных' размерностей групп движений пространств аффинной связности. Им же найдена максимальная размерность интранзитивных групп движений не плоских пространств аффинной связности, которая равна тт.2 — 1. Все пространства, допускающие группы движений размерности п2,п2 — І^бьіли названы пространствами второй лакунарности (пространства первой лакунарности —- локально плоские пространства). Пространства второй лакунарности имеют следующую тензорную характеристику: эти пространства просктивно-евклидовы ненулевой кривизны и тензорное поле Риччи — симметричное. Такие пространства называются эквипроек-тивными. Изучая группу аффинных преобразований проективно-евклидовых пространств с несимметричным тензорным полем Риччи, И. П. Егоров доказал, что максимальная размерность групп движений таких пространств равна точно п2 — п + 1. Таким образом, было доказано наличие еще одной лакуны. Пространства с группами движений размерности п2 — п — 2, п2 — п — 1, п2 — п, п2 — п + 1 называются пространствами третей лакунарности. Далее И. П. Егоровым было установлено, что пространствам, максимальная размерность групп движений которых равна п2 — п +1, предшествуют пространства, допускающие группы движений максимальной размерности п2 — 2п + 5 (п > 3). Эти группы являются транзитивными. Пространства, размерности групп движений которых не превосходят п2 — 2п + 5, являются непроективио-евклидовыми, то есть тензор Вейля таких пространств отличен
от нуля. Непроективно-евклидовые пространства аффинной связности относятся к пространствам четвертой лакунарности. Максимальная размерность интранзитивных групп движений непроективно-евклидовых пространств аффинной связности была установлена в 2000 году А. Я. Султановым [39], она равна п2 — Ъп + 3. В своих исследования И. П. Егоров применил метод, основанный на изучении условий интегрируемости уравнений движений, который в последствии нашел развитие и применение в работах А. В. Аминовой [1], [2], Н. С. Синюкова [38], А. 3. Петрова [35], А. Я. Султанова [39], [40] и других ученых.
В 1963 году в работе [33] А. П. Нордена введено понятие пространства декартовой композиции. В этой же работе А. П. Норден показал, что задание аффинной связности, по отношению к которой композиция является декартовой, равносильно заданию произвольной аффинной связности на любой позиции каждого базисного многообразия. Среди этих связностей можно выделить связности, являющиеся прямым произведением аффинных связностей. Исследованию групп движений пространств аффинной связности, представляющих собою прямое произведение двух пространств аффинной связности, посвящена данная диссертационная работа. Известно, что размерность групп движений пространства аффинной связности равна размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований.
Целью диссертационной работы является исследование алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности, инфинитезимальных аффинных преобразований вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй двойных чисел.
Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы локальной дифференциальной геометрии, теории групп Ли преобразований, используется аппарат тензорного анализа и производной Ли.
Научная новизна результатов. В диссертационной работе получены оценки размерностей алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобра-
зований прямого произведения двух пространств аффинной связности в следующих случаях:
одно из пространств является неплоским проективно-евклидовым, а другое локально плоским;
оба сомножителя прямого произведения являются неплоскими проек-тивно-евклидовыми пространствами аффинной связности;
одно пространство — проективно-евклидовое, а другое пространство является непроективно-евклидовым;
оба пространства являются непроективно-евклидовыми.
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании прямого произведения пространств аффинной связности, в теоретической и математической физике, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов и факультативных курсов для студентов-математиков.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения"(Казань, КГУ, 2005, 2006, 2007), на международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения"(Казань, КГУ, 2007), на международном геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева (Пенза, ПГПУ, 2007), на геометрическом семинаре кафедр геометрии и алгебры ПГПУ (рук. проф. В. И. Паиьженский и проф. А. Я. Султанов), на внутривузовских конференциях профессорско-преподавательского состава физико-математического факультета ПГПУ (2006, 2007, 2008), на геометрическом семинаре кафедры геометрии КГУ (2008).
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации отражены в 13 опубликованных работах автора, список которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы и списка публикаций автора по теме
диссертации. Объем диссертации составляет 115 страниц.
Краткое содержание диссертации.
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы основные результаты диссертации, приведено краткое содержание работы.
Продолжение тензорных полей с гладких многообразий на их прямое произведение
Сначала рассмотрим построение естественного продолжения векторных полей с сомножителей аМПа (а = 1, 2) на прямое произведение Мп = 1МП1 х2 МП2. Прежде всего докажем следующее предложение. Предложение 1.3.1 Если X — векторное поле на Мп такое, что для любых функций af Є С(аМ) (а = 1, 2), то X = 0. Доказательство. Пусть р — произвольная точка на Мп, (х/ x2U, (гхг) , (2а?а)(о)) — координатная окрестность, содержащая точку р. Тогда каждое векторное поле X, определенное в окрестности точки р, можно разложить по векторным полям g В силу произвольности функций 1/ и 2/ условие (3.1) выполняется и для функций 1хг, 2Ха. Следовательно, С(р) — О-Аналогично находим, что Таким образом, векторное поле X, удовлетворяющее условию (3.1), является нулевым. Предложение 1.3.2 1. Существует единственное векторное поле X на 1МЩ х2 МП2; удовлетворяющее условиям: С?АЯ любых функций af G С(аМПа) (а = 1,2). 2. Существует единственное векторное поле X на 1МП1 х2 МП2, удовлетворяющее условиям: любых функций af Є С(аМПа) {а = 1, 2). Доказательство.
Приведем подробное доказательство только первого предложения, так как доказательство второго предложения аналогичное. Существование. Пусть 1Х — произвольное векторное поле на 1МП1, 1,г — координаты этого векторного поля 1Х на XU, где (1 1хг) — карта на 1МП1. В области каждой карты (1 х2 U, ( )(0), (2яа)(о)) па Мп определим функции Л (А = 1, п\ -f- пг) следующим образом: Аналогичные функции получим в другой карте (ХУ х2 У, (1жг )(0), (2а:а )(о))! где — координаты векторного поля 1Х на У. Покажем, что функции А при переходе к другой карте преобразуются по следующему закону: Если А Є {1, 2,..., пі} (положим Л = г ), то правая часть соотношения (3.4) примет вид Таким образом, показали справедливость соотношения (3.4). Следовательно, задание функции вида (3.3) в каждой карте определяет на Мп векторное поле X, ограничение которого на координатную окрестность lU х2 U локально имеет вид: X = Сг)(0)э(1д») Покажем, что построенное векторное поле удовлетворяет условиям теоремы. Для любых af Є C(aMnJ (о = 1, 2) имеем Единственность. Предположим, что существует другое векторное поле Y на Мп, удовлетворяющее условиям (3.2): Тогда X (V)(0) - У" (7)(о) = 0 и X (2/)(0) -У (7)(о) = 0. Отсюда заключаем, что (Х-У)(1/)(0) = 0и(Х-Г)(2/)(0) = 0. Следовательно, на основании предложения 1.3.1 получили, что векторное поле X — Y является нулевым. Значит, X = Y. Доказанное предложение позволяет ввести следующее определение. Определение 1.3.1 Для каждого векторного поля аХ единственное векторное поле аХ на Мп, удовлетворяющее условиям: для любых функций f (b — 1,2), называется естественным продолжением векторного поля аХ с многообразия аМПа на многообразие Мп =1 МПі х2МП2. Предложение 1.3.3 Имеют место тождества:
Исследование уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения пространств аффинной связности
Пусть (Мп = 1М„1 х2МП2, V = 1Vx2V) — пространство аффинной связности, X — ХА8А — произвольное инфинитезимальное аффинное преобразование этого пространства. Тогда, как было показано в разделе 2.1, координаты XА векторного поля X удовлетворяет системе двХс + ТМСХВ + ТВМХС - ТВСХМ + X ЗМ БС = 0-Распишем подробнее эту систему в зависимости от того, какие значения принимают индексы А, В, С, D, получим систему: На основании соотношений (4.2) главы 1 эта система примет вид: Перейдем к исследованию первой серии условий интегрируемости полученной системы. Как было сказано выше, эти условия имеют вид: LxR = 0, которые к локальных координатах равносильны системе развернутом виде это соотношение имеет вид: В зависимости от того?какие значения принимают индексы A,B,C,Df и учитывая соотношения (4.5) главы 1, получаем систему, равносильную системе (2.2) 4ухЩ = О-В дальнейшем будем эту систему использовать для оценки размерности алгебры Ли инфинитезимальных аффинных преобразований. В этом разделе исследуется алгебра Ли инфинитезимальных аффинных преобразований прямого произведения (Мп = 1МП1 х2 Mn2,V = XV х2 V), в случае, когда (1МП1, 1V) является неплоским проективно-евклидовым пространством аффинной связности, а (2МП2, 2V) — локально плоское. Последнее означает, что тензорное поле кривизны 2R связности 2V равно нулю. Поскольку {}МП11 1V) — проективно-евклидово пространство аффинной связности, то тензорное поле Вейля XW является нулевым.
Это условие локально равносильно тому, что для составляющих тензорного поля кривизны lR в локальных координатах справедливы соотношения [38]: Учитывая, что 2R = О, получаем, что система (2.3), первая серия условий интегрируемости уравнений инфинитезимальпых аффинных преобразований пространства (Мп, V), имеет вид: Свернув соотношения по индексам і и I, получим где Rsk — составляющие тензорного поля Риччи связности V. Учитывая соотношения (3.1), равенства RlsklX — О примут вид: Отсюда на основании (3.2) находим Рассмотрим теперь соотношения Rl-slX% = 0. Аналогично, учитывая соотношения (3.1), получим Применяя соотношения (3.2), находим, что Из (3.3) и (3.4) выделим подсистему Отсюда находим, что RkiX% = 0. Так как Rki =1 Rki, то последнее равенство перепишется в виде: 1RkiX = 0. Пространство (1МП1, 1V) имеет ненулевую кривизну, поэтому 1Rki ф 0 для некоторых индексов к,1. Следовательно, Хга = 0. Таким образом, если (1МП1, 1V) — проективно-евклидово ненулевой кривизны, а (2МП2, 2V) — локально плоское, то первая серия условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (Мп, V) имеет вид: Как известно, тензор Риччи может быть симметричным (Rij = Rji для любых i,j), антисимметричным и не являться симметричным. Рассматривая проективно-евклидовы пространства, И. П. Егоров доказал, что не существует проективно-евклидовых пространств аффинной связности с антисимметричным тензорным полем Риччи. Следовательно, проективно-евклидовое пространство либо с симметричным тензорным полем Риччи (эк-випроективно), либо с несимметричным тензорным полем Риччи. Второе означает, что у этого тензорного поля Риччи можно выделить симметричную и антисимметричную части, причем наличие обеих частей обязательно. Значит, при построении прямого произведения неплоского проективно-евклидового пространства аффинной связности и плоского возможны следующие случаи: (I) тензорное поле Риччи симметричное; (II) тензорное поле Риччи не является симметричным. I. Пусть тензорное поле Риччи пространства Q-Mni,1 V) является симметричным, то есть lRij = xRji для любых индексов i,j. В каждой точке пространства будем выбирать систему координат таким образом, чтобы форма lRijd(lxl)d(1xi) принимала канонический вид, содержащий лишь квадраты t первых дифференциалов, где t — ранг симметрической части. Следовательно,
Аффинные преобразования прямого произведения неплоского проективно-евклидового и непроективно-евклидового пространств аффинной связности
Предположим, что проективно-евклидовое пространство Мщ, гУ) имеет ненулевую кривизну. Возникают следующие случаи: Поскольку (2МП2, 2V) — непроективно-евклидово, то для этого пространства выполняется одно из условий (а) или (б) (раздел 3.1). Поэтому для прямого произведения (1МЩ х2 МП2, 1V х2 V) имеет место один из следующих случаев: (1) (1МПі, 1V) — неплоское проективно-евклидовое пространство аффинной связности, тензорное поле Риччи которого является симметричным, (2МП2, 2V) — непроективно-евклидовое пространство аффинной связности, удовлетворяющее условию (а); (2) (1МП1, 1V) — неплоское проективно-евклидовое пространство аффинной связности, тензорное поле Риччи которого является симметричным, (2МП2, 2V) — непроективно-евклидовое пространство аффинной связности, удовлетворяющее условию (б); (3) ( lV) — проективно-евклидовое пространство аффинной связности, тензорное поле Риччи которого не является симметричным, (2МП2, 2V) — непроективно-евклидовое пространство аффинной связности, удовлетворяющее условию (а); (4)(1 Мщ, 1V) — проективно-евклидовое пространство аффинной связности, тензорное поле Риччи которого не является симметричным, (2МП2, 2V) — непроективно-евклидовое пространство аффинной связности, удовлетворяющее условию (б). Исследуем каждый из случаев в отдельности. (1). Пусть (гМП1, V) является проективио-евклидовым с симметричным тензорным полем Риччи, а (2МП2, 2V) — ненроективно-евклидово, удовлетворяющее условию (а).
Рассмотрим первую серию условий интегрируемости инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (}МП1 X2 МП2, XV х2 V). Так как (1МП1, 1V) — проективно-евклидово с симметричным тензорным полем Риччи, то, как было показано в третьем разделе второй главы, следующая подсистема соотношений (2.3) главы 2 (первой серии условий интегрируемости уравнений инфинитезимальных аффинных преобразований пространства (гМП1 х2 МП2, V х2 V): равносильна системе: Ранг системы (3.1) не меньше, чем П\ + П1П2 + П2{П\ — 1). Рассмотрим другую подсистему первой серии условий интегрируемости: Ранг Х д Щ А + Д( 7А)Х5 = 0 не меньше, чем Зтт-2 — 5. Поскольку Хга — 0, JQ7 = 0, I т Іі, то остается оценить ранг следующей системы: Для этого рассмотрим матрицу Л, составленную из коэффициентов при неиз вестных в уравнениях системы (3.3), соответствующих индексам ( a.,) и в уравнениях системы (3.4), соответствующих индексам ( aj-Выпишем эти уравнения: В более подробной форме они примут вид: / Отсюда заключаем о следующем строении матрицы А: Тогда матрица В, составленная из коэффициентов при неизвестных в уравнениях первой серии условий интегрируемости уравнений инфините-зимальных аффинных преобразований имеет вид:
Поскольку пространство (2МП2, 2V) удовлетворяет условию (а), то существует хотя бы одна составляющая вида 2Ящ щ щь отлична от нуля. Значит., у связности 1V х2 V на 1МП1 х2 МП2 компонента тензорного поля кривизны вида Rala а отлична от нуля. Следовательно, ранг матрицы А равен двум, а значит ранг матрицы В не меньше, чем щ + пупі + Пг(п1 — 1) + Зп2 — 5 -Ь 2 = = п\ + Ъп\п 1 + 2п2 — 3. Отсюда находим, что Для доказательства точности найденной границы приведем Пример 3.2.1. Пусть 1М = Rni, аффинную связность lV без кручения на этом многообразии зададим следующим образом: является проективно-евклидовым пространством с симметричным тензорным полем Риччи. И рассмотрим непроективно-евклидовое пространство аффинной связности (МП2, 2V), удовлетворяющее условию (б), где 2V задана условиями:
Гладкие многообразия над алгеброй двойных чисел и их вещественные реализации
Пусть А — алгебра двойных чисел, М — топологическое пространство. Определение 4.2.1 [10]. п-мерной А-шртой на топологическом пространстве М называется пара (U, К), состоящая из открытого множества U С М и гомеоморфизма h области U на некоторую область U С Ап. Это означает, что каждой точке х Є U гомеоморфизм h ставит в соответствие упорядоченный набор (гг1, х2,..., хп), где хг = х\е1 + хг2е2: г = 1,п. а;1, ж2,... ,хп называются А-координатами точки х, h — А-координатным гомеоморфизмом, U — область А-карты. Определение 4.2.2 [10]. А - гладким атласом на М называется набор {UА-, Ь А) А-карт, удовлетворяющей условиям: (а) UUA = М; (б) если UА П UB 7 m0 20МЄ0М0рфиЗМ задается голоморфными функциями хгв = Тв(х\,..., ж ). Определение 4.2.3 [І0]. 1. А-карта (U, К) на М называется согласованной с атласом Л, если Л U {(/, /і)} также атлас на М. 2. А-гладкий атлас называется максимальным, если он содержит все согласованные с ним А-карты. Определение 4.2.4 [10]. Гладким многообразием размерности п называется хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой вместе с заданным на нем максимальным А-гладким атласом. Гладкое многообразие над А размерности п обозначим М . Будем говорить, что на М задано векторное поле, если в каждой карте (11,хг) заданы функции г, преобразующиеся при переходе к другой карте (и\хг ) по закону г = г- Составим оператор X следующим образом: X = ,гд{. Значение этого оператора в точке р, Хр = ,г(р)дг\р, является касательным вектором к многообразию М Определение 4.2.5
Векторное поле X называется голоморфным, если для любой функции Т Є В(МП) функция XT является голоморфной. Множество всевозможных голоморфных векторных полей, заданных на Mjf, допускает структуру В(М )-модуля. Наряду с гладкой структурой над алгеброй двойных чисел на М можно построить гладкую структуру класса С над алгеброй R, порожденную А-гладкой структурой. Размерность полученного многообразия равна 2п. Это многообразие называется вещественной реализацией многообразия Mjf и обозначается Мг . Известно [10], что на прямом произведении 1Мп х2 Мп вещественных гладких многообразий размерности п существует структура гладкого многообразия над алгеброй двойных чисел размерности п. Атлас этой структуры состоит из карт.полученных следующим образом: если (х/7 х2 /У, (х\,хг2)) — карта атласа прямого произведения вещественных многообразий, то ([/, хг) — карта А-гладкого атласа на М , причем U =1 U х2 /, где U1 С 1Mn, U2 С 2Мп, U С М , Xі = х\е1 + х\е2. Следовательно, Mfn = гМп х2 Мп. Результаты этого раздела взяты из работы [62]. Пусть А — векторное пространство над R линейных форм, заданных на А и принимающих значения в К. Это пространство порождается формами Єї, Є2, которые определяются условиями: На А определим внешнюю операцию /І : А х А —» А умножения элементов А на элементы алгебры А следующим образом: для любых 6, с Є А. В дальнейшем будем использовать обозначение: //(а ,Ь) = а Ъ. Тогда получаем Линейная форма а Є А позволяет для любой голоморфной функции Т Є B(Mjf) построить функцию -(а ), принадлежащую алгебре С(М 1) гладких функций на М , следующим образом: где о означает композицию отображений.
Для любой точки р Є М п имеем: Отметим некоторые свойства функции .F(a ). (1) (AJF + ///)(„.) = \F{a ) + M V) А,/хЄІ, (2) {Xa +fib ) = (а ) + (6 ); (3) Т .ъ) = (Ь ")(0.); (4) {TQ)(cf) = "(а е1) !) + (а -е2) ); (5) если (а ) = 0 Для всех а , то .77 = 0. Пусть X — произвольное голоморфное векторное поле на M,f. Имеет место Предложение 4.3.1 На М п существует единственное векторное поле Х , удовлетворяющее условию , Определение 4.3.1 Векторное поле называется (5)-вещественной реализацией векторного поля X Є !FQ(M ). Если а Є А, то (аХ) обозначим через Х а\ Векторное поле на зывается (а)-реализацией векторного поля X. Причем, Х а — единственное векторное поле, удовлетворяющее условию
