Введение к работе
Актуальность темы.На рубеже 19-20в.в. основным объектом исследования геометров стали обобщенные дифференциально-геометрические пространства.К этому времени относится возникновение одной из важных теорий в дифференциальной геометрии-теории автоморфизмов, в основе которой лежат работы С.Ли [У и Б.Римана [2] .
Большой вклад в развитие многомерной геометрии енєсли отечественные ученые: П.А.Широков,А.П.Норден,А.П.Широков,И.П.Егоров, В. И. Ведерников, Н. С. Синюков, В. С. Малаховский, Г. Ф. Лаптев, Н.і'Л.Остиа-ну и др. Важные результаты по теории пространств опорных элементов' принадлежат Б.Л.Ладтеву [3] .который впервые применил понятие производной Ли для изучения движений в этих пространствах.
После появления фундаментальной работы И.П.Егорова [4J интерес к изучению движений значительно возрос.В настоящее время теория движений в обобщенных пространствах является интенсивно развивающейся областью дифференциальной геометрии.Получено много интересных результатов по движениям в римановых,финслеровых про-
[1] \*it, i-, «f* F. ТЯиніе, СІІЛ- ЧшмфшаЛісну - pwfrfxn. — &ipu.o.: TtofcuM,., /,I, Lttl, 6Mi v.K, HBO, 555$; v. /її, ИЗі, ЇЇ05. [_2]. Kitonxwb lb. Wfev dk. ni[x>Uit*b , u>Utfu, dll (гісгтігіі- Ш GuuuU
[3] Лаптев Б.Л. Производная Ли для объектов,являющихся функциями точки и направления.-Изв. физ.-мат. о-ва при Казанск. ун-те,1938,сер.З, № 10,с.3-38.
[4] Егоров И.П. Группы движений пространства аффинной связности. Казань,библиотека КГУ,канд.диссертация,1945.
странствах,пространствах Дейвиса и др.Теория движений широко применяется в общей теории относительности.Много работ А.З.Петрова и его учеников посвящено движениям в четырехмерных римановых пространствах, связанных с полями тяготения [5j .Теория движений в римановых пространствах,пространствах путей аффинной и проективной связности представляв-т интерес и с прикладной точки зрения. Движения многих типов механических систем,а также тел или частиц в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде часто происходит по траекториям,которые можно рассматривать как геодезические линии финслерова или риманова пространств,или как
пути пространств путей аффинной и проективной связности,определяемых энергетическим режимом рассматриваемого процесса.Позтому, например,два аффинно связных пространства, имеющие общие пути, описывают процессы,,, протекающие при эквивалентных внешних нагрузках по одним и тем же траекториям, но при различных энергетических режимах.Следовательно,один из этих процессов можно моделиро-єать другим.При этом степень подвижности пространств будет характеризовать тот произвол.который можно использовать при выборе модели,а также с целью оптимизации изучаемых процессов.
Одним из важных вопросов в исследованиях движений в обобщенных пространствах является вопрос определения всевозможных пространств, допускающих группы движений и самих этих групп.И.П.ЕгороЕ [63 получил классификацию двухмерных пространств аффинной связности^^) по группам движений.Движения в двухмерных общих пространствах путей проективной Ра (с» у-) и аффиннойЛг^ул связности изучал Д.Левин [7J .В.Думитраж [8] определил трехмерные прост-
[5J Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности.-М.:
Наука,1966,496с. [6] Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности.-КА,-
зань:Изд.Казанск.ун-та,1965, с. 5-179.
ранства аффинной связности^гС х) с группами движений всех возможных порядков.Задача определения нешюских трехмерных пространств проективной связности Р5(х) .допускающих группы движений,решена А.Я.Султановым [9J .А.А.Ловков [10] классифицировал трехмерные общие пространства путей проективной связности Ръ(х,ц) по группам даижений.В связи с этими исследованиями естественно возникла задача классификации трехмерных общих пространств путей аффинной связностиJta(i,y) по группам движений,которая до последнего времени так и оставалась полностью нерешенной.Зто объясняется прежде всего рядом трудностей алгебраического и аналитического характера, связанных с группами, алгебрами Ли,теорией интегрирования дифференциальных уравнений.Решение ее вносит известную логическую завершенность в теорию движений общих пространств путей.
Цель работы.Целью данной работы является определение всех
трехмерных общих пространств путей аффинной связности,допускающих группы движений всех возможных порядков Т. (14 t^S) »а также самих этих групп движений.
Научная новизна и основные задачи,решенные в диссертации и
выносимые на защиту.
[7} uwitu, ^. СоШпиаЛіОґЛ іи> amvuUiuci ifwub - fiux,- JL*m.> Maih. iau, 195L , 2, р.ЦЧТ- Ц5В. "-Цит-Паз V. ^гісгтімша, ihaiii&i Лъ їм. aiuptiarAiUir 7.-iituUl w cvucta-v, tncvt. JUadL.'&AIL, i9f7, І,^і-Л ,d. H3-J54.
|9] Султанов А.Я. Об автоморфизмах в пространствах проективной связности.-Одесса, библиотека ОГУ,канд.диссертация, 1981.
[10]Ловков А.А. 0 движениях в общих пространствах путей проективной связности.-Казань,библиотека КГУ.канд. диссертация,1980.
В данной работе:
1.Определены все Г однородные и неоднородные ) общие пространства путей аффинной связностиД^х,^) с разрешимыми и неразрешимыми группами движений всех возможных порядков при общем предположении строения стационарной подгруппы Н группы движений данной точки пространства (н может быть линейной и нелинейной) -2.Для пространств Л^о^и) с разрешимыми и неразрешимыми группами движений выше четвертого порядка решена задача о полноте допускаемых ими групп движений.
3.Исследованы на полноту групп движений однородные,субпроективные, симметрические общие пространства путей аффинной связности одного класса К.
4.Доказано,что существуют два максимально подвижных неизоморфных общих пространства путей аффинной связности,отличных от точечных, с полными разрешимыми группами движений восьмого порядка.Первое-пространство-однородное, симметрическое и заведомо субпроективное. Второе-однородное,субпроективное,но несимметрическое. 5.Доказано,что максимальный порядок полных групп движений в неоднородных трехмерных общих пространствах путей аффинной связности
равен пяти.
6.Доказано,что максимальный порядок полных неразрешимых групп движений в пространствах путей Jb>(x?ip равен семи. 7.Введены ( обобщением на общие пространства путей) и геометрически проиллюстрированы понятия: заведомо субпроективных пространств, субпроективных, проективно соответствующих,проективно евк-ливовых, к-кратно проективных общих пространств путей аффинной связности.
Теоретическая и практическая значимость работы.Результаты, полученные в работе,имеют теоретическое значение и могут быть использованы в геометрии при изучении подвижности других дифференциально-геометрических пространств,а также в теории дифференци-
альных уравнений,в теории алгебр Ли и в теоретической физике.
Полученные результаты являются естественным продолжением исследований, проводящихся в теории движений обобщенных пространств.
Методика исследования.Исследования основаны на использовании свойств алгебр Ли,групп Ли, теории дифференциальных уравнений и имеют локальный характер.
Апробация работы.Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях семинара кафедры геометрии Казанского государственного университета f1995г.,научный руководитель доктор физико-математических наук,профессор Б.Н.шалунов)
и на заседаниях семинара кафедры геометрии Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г.Белинского (1992-1995 г.г.,научный руководитель кандидат физико-математических наук,доцент А.Я.Султанов J .
Публикации.Основные результаты диссертации отражены в семи опубликованных работах.
Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, четырех глав,списка литературы из 75 наименований и приложения. Текст диссертации изложен на 154страницах.
