Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 4
1.1 Мотивировка и основные результаты 4
1.2 Структура работы и дальнейшие результаты 7
1.3 Терминология и обозначения 9
1.4 Основные идеи доказательств 10
1.4.1 Поверхностная мера Si: случай плоского нормального расслоения 10
1.4.2 Поверхностная мера S^ общий случай 11
1.4.3 Поверхностная мера 2 13
1.4.4 Сходимость поверхностных мер на бесконечности . 13
2 Геометрия трубчатых окрестностей 15
2.1 Геометрические инварианты многообразия в специальных системах координат 15
2.1.1 Специальные системы координат 15
2.1.2 Производная проекции 7г 17
2.1.3 Производная проектора Р 18
2.1.4 Вторая фундаментальная форма в специальных координатах 19
2.1.5 Кривизна и поле трения в специальных координатах . 20
2.2 Векторное поле сноса 21
2.2.1 Две естественные меры на трубчатой окрестности . 21
2.2.2 Поле сноса: определение и свойства 23
2.3 Разложение Ферми непрерывных семимартингалов 25
2.3.1 Стохастический параллельный перенос 25
2.3.2 Разложение Ферми непрерывных Мо-значных семимартингалов 27
3 Поверхностные меры 29
3.1 Смещенный случайный процесс () 29
3.1.1 Определение и свойства 29
3.1.2 Поверхностная мера смещенного процесса 33
3.2 Соотношение между мерами W и /І 37
3.2.1 Эквивалентность мер W и //. Плотность 37
3.2.2 Приближение 38
3.2.3 Приближение плотности dW/dfi 43
3.3 Основные результаты 46
3.3.1 Поверхностная мера первого типа 46
3.3.2 Поверхностная мера второго типа 47
4 Два частных случая 50
4.1 Одномерные многообразия 50
4.1.1 Поверхностные меры для произвольных интервалов времени [0, Т] 50
4.1.2 Сходимость при Т —со 54
4.2 Случай плоского нормального расслоения 60
4.2.1 Параллельные многообразия 61
4.2.2 Разложение оператора Лапласа 64
5 Дополнение 67
5.1 Введение в поверхностные меры, порожденные диффузионными процессами 67
5.2 Введение в поверхностные меры на негладких многообразиях 72
Список обозначений 78
Список литературы 80
Предметный указатель 83
- Поверхностная мера Si: случай плоского нормального расслоения
- Вторая фундаментальная форма в специальных координатах
- Поверхностные меры для произвольных интервалов времени [0, Т]
- Введение в поверхностные меры на негладких многообразиях
Введение к работе
1.1 Мотивировка и основные результаты
Изучение поверхностных мер на бесконечномерных пространствах играет важную роль как в теории меры и функциональном анализе, так и в теории случайных процессов. Понятие поверхностной меры является естественным обобщением понятия меры Лебега на поверхности в Е": по мере ft на бесконечномерном пространстве X строится мера {Is, сосредоточенная на достаточно гладкой поверхности S в X, которая находится в том же соответствии с исходной мерой ft, что и мера Лебега на поверхности в Еп с обычной мерой Лебега в Rn. Такая мера jis называется поверхностной мерой на 5, порожденной мерой \і в объемлющем пространстве.
Существуют различные способы определения поверхностных мер, порождаемых достаточно гладкими мерами на бесконечномерных пространствах. Первый был предложен А.В. Скороходом ([4]) и затем развит А.В. Углановым ([б]). Затем П. Малявэном ([10]) был предложен другой - альтернативный - способ определения поверхностных мер.
Оба этих подхода обладают общим недостатком - они определяют поверхностные меры только в случае, когда поверхность обладает конечной коразмерностью.
В данной работе изучается случай поверхностей бесконечной коразмерности. В качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций Сао([0,1],М") со значениями в Rn, равных фиксированному значению а в нуле. Затем фиксируется гладкое компактное т-мерное риманово многообразие М С Ш.п без края, содержащее точку ао, и в качестве поверхности в объемлющем пространстве рассматривается пространство непрерывных функций СО0([0,1], М) С Сао([0,1],МП) со значениями в многообразии. Наконец, в качестве исходной меры на объемлющем пространстве рассматривается мера Винера W, соответствующая стандартному
Поверхностная мера Si: случай плоского нормального расслоения
Идея доказательства теоремы 1 была подсказана следующим разложением генератора Д броуновского движения в Жп, которое, тем не менее, верно только в случае, когда нормальное расслоение вложения многообразия М в Rn плоско (см. предложение 6): где Ма - многообразие, проходящее через точку а є Мо параллельно М} Ама - оператор Бельтрами-Лапласа, соответствующий этому многообразию, Ал,м оператор Лапласа в нормальном пространстве NaM = N a)M, а к(а) - вектор средней кривизны многообразия Ма в точке а. При этом параллельное многообразие Mat проходящее через точку а є МЄд определяется как такое m-мерное подмногообразие в Мп, содержащее а, что для всех b є Ma касательное пространство ТьМа совпадает с касательным пространством Тя(ь)М. В части 4.2 доказывается, что такие многообразия существуют тогда и только тогда, когда нормальное расслоение вложения М вЖп плоско (и поэтому разложение (1.2) имеет смысл только в этом случае). Заметим, что, хотя параллельные многообразия существуют лишь локально и вообще говоря не могут быть продолжены до глобальных параллельных многообразий над М, оператор Бельтрами-Лапласа [Дмач1(а) в точке а в формуле (1.2) в силу своей локальности корректно определен. Из разложения (1.2) следует, что случайный процесс (yt), смещенный относительно стандартного броуновского движения в W1 на векторное поле сноса тк, т.е. являющийся решением стохастического дифференциального уравнения имеет своим генератором оператор [Дма+Длг„м]- Это означает, что "ортогональная к многообразию" компонента процесса (yt) в определенном смысле почти независима от его компоненты "вдоль многообразия", которая в свою очередь близка к броуновскому движению на многообразии. Таким образом, естественно ожидать, что поверхностная мера, порожденная смещенным процессом (yt), является мерой Винера на многообразии. Наконец, поскольку смещенный процесс (yt) отличается от броуновского движения в W1 на коэффициент сноса, поверхностная мера, соответствующая стандартному броуновскому движению, может быть получена с помощью теоремы Гирсанова. 1.4.2 Поверхностная мера Si: общий случай
Оказывается, что даже в том случае, когда параллельные многообразия не существуют, можно найти такое векторное поле v на Мп, что решение стохастического дифференциального уравнения Г dyt = dbt - \v(yt)dt, \ Уо = ао порождает поверхностную меру, совпадающую с мерой Винера WM- Такое векторное поле отражает различие между сужением меры Лебега AR на трубчатую окрестность МЄо и плоской мерой Аф на МЄо, отражающей структуру декартова произведения нормального расслоения и определяемой по где Лх = тг-1(ж), а Ак и Ам - меры Лебега на Шк и М, соответственно. Пользуясь тем, что плоская мера А$ эквивалентна мере Лебега ARI, мы определяем векторное поле сноса v как для всех a Є МЄо и затем рассматриваем его гладкое продолжение на все пространство Rn. В предложении 2 доказывается, что поверхностная мера первого типа, порожденная смещенным процессом (yt)t совпадает с мерой Винера WM-Идея доказательства основана на использовании разложения Ферми смещенного процесса (yt), которое строится в части 2,3. А именно, случайный процесс (yt) представляется в виде пары случайных процессов (xt) и (zt), где (xi) принимает значения в М и является проекцией на многообразие исходного процесса, остановленного в тот момент, когда он выходит из трубчатой окрестности Мо, a () принимает значения в Жк и определяется следующим образом.
Сначала фиксируется ортонормированный базис нормального пространства NaoM, который затем перемещается с помощью стохастического параллельного переноса вдоль непрерывного семимартин-гала (xt) в точку х%. В результате мы получаем ортонормированный базис в нормальном пространстве NXtM% и случайный процесс () определяется как координаты вектора yt — Xt Є NXtM относительно этого базиса. Далее, в леммах 10 и 11 доказывается, что (zt) является /г-мерным броуновским движением, независимым от m-мерного броуновского движения, управляющего стохастическим дифференциальным уравнением для процесса (0). Используя этот факт, мы показываем, что закон распределения случайного процесса (xt) при условии, что \\zs\\ є для всех 0 s 1, сходится к мере Винера на пространстве путей в многообразии.
Вторая фундаментальная форма в специальных координатах
В этой части мы вычисляем вторую фундаментальную форму многообразия в терминах его локального представления. Пусть а Е М. Мы определяем вторую фундаментальную форму многообразия так, как это сделано в [19]. Определение 5. Вторая фундаментальная форма многообразия М е точке а по направлению v є NaM - это отображение lv : ТаМ х ТаМ —» Ж, определенное как Заметим, что правая часть равенства корректно определена лишь в случае, когда v тл v являются векторными полями в окрестности точки а, поэтому необходимо продолжить v и v до векторных полей, определенных в окрестности точки а, и доказать, что значение второй фундаментальной формы, определенной выше, не зависит от выбора продолжения. Это доказывается, например, в [19]. В этой части мы вычисляем скалярную кривизну R, вектор средней кривизны к и норму вектора трения о многообразия в терминах его локального представления. Лемма 4. Скалярная кривизна Ща) многообразия М в точке а задается формулой ад=J2 KtrF )2 - М У2] . где матрицы (Fs) из локального представления М, соответствующего некоторому и оа(п).
Доказательство. Рассмотрим первые т координат координатной системы (у1), соответствующей паре (а, и), как локальные координаты многообразия М в окрестности точки а. Тогда ?у(0) = %, и по определению скалярной кривизны мы имеем R(a) = - (0). Из уравнения Гаусса (см. Лемма 5. Обозначим символом к, координаты вектора средней кривизны относительно базиса специальной системы координат, соответствующей паре (а, и), где и Є оа(п) выбирается произвольно. Тогда Далее, норма вектора трения а вложения М С Шп в точке а Є М вычисляется по формуле где матрицы (Fs) из локального представления многообразия М, соответствующего паре (а, и). Доказательство. Первые т координат вектора к(а) равны нулю по определению специальных координат, так как вектор средней кривизны принадлежит нормальному пространству N M. Далее, по определению вектора средней кривизны к (см. [19]) и по лемме 3 мы получаем что влечет искомое равенство (2.3). В этой части мы вводим и исследуем меры Ajt» и А$ на трубчатой окрестности Мео. Первая есть не что иное как стандартная мера Лебега на Rn, ограниченная на трубчатую окрестность Мо, а вторая определяется соотношением где Ах = ir l(x), a AR и AM - стандартные меры Лебега на Rk и М, соответственно (в этом определении мы используем тот факт, что Ах С NXM, что между пространствами NXM и Шк существует линейная изометрия и что мера Лебега Аць не зависит от выбора такой изометрии; из этого вытекает корректность определения меры Аф).
Определение 6. Аф называется плоской мерой на трубчатой окрестности. Лемма 6. Меры Аф и Х п эквивалентны, а соответствующая плотность Радона-Никодима задается формулой еде z и (Fs) из локального представления многообразия М, соответствующего паре (а, и) с произвольным и Є оп(а). Доказательство. Зафиксируем а Є Мо и и Є оа{п). Пусть /, (Fs) и z из локального представления, соответствующего паре (а,и). Пусть V С М - окрестность точки 7г(а), a U С Жт окрестность нуля, такая что отображение о является биекцией. Пусть v8 : U — W1 - гладкие функции, такие что {vs{x)) - ортонормированный базис пространства Т 0(Ж)М, а и$(0) - (т + з)-ый базисный вектор специальной координатной системы, соответствующей паре (а,и). Рассмотрим отображение ф : Мы имеем где звездочкой обозначена некоторая матрица размера кхт. Действительно, дифференцируя по последним к координатам, мы получаем и, следовательно, правый верхний блок матрицы Dip(0, z) равен нулю, а правый нижний - единичной матрице. Чтобы вычислить левый верхний блок, заметим, что Понятие параллельного переноса векторов из Шп вдоль гладких кривых в многообразии хорошо изучен в классической дифференциальной геометрии. Стохастический параллельный перенос является обобщением классического на случай перенесения вдоль траекторий непрерывных М-значных семимар-тингалов (которые, вообще говоря, не являются гладкими). В данной работе используется конструкция стохастического параллельного переноса, описанная в [15]. Определим связность Г на многообразии М следующим образом: для каждого а є М и w Є TaM Далее, пусть (xt) - непрерывный М-значный семимартингал с началом в точке оо- Напомним, что ао Є М и ортонормированный базис (е») были выбраны так, что / Є oao[n), т.е. Определение 8. Пусть v є Rn; определим Vt = щи, где (щ) - решение стохастического дифференциального уравнения Стратоновича Тогда Шп-значный случайный процесс (vt) называется стохастическим параллельным переносом вектора У вдоль семимартингала (xt), а д1(п)-знач-ный случайный процесс (щ) называется матрицей переноса. Лемма 9. 1) щ Є ощ{п) для всех t. 2) Случайный процесс (uj) является решением стохастического дифференциального уравнения Доказательство. 1) По теореме 3.18 из [15] случайный процесс (щ) принимает значения в множестве ортогональных матриц о(п) и удовлетворяет равенству и, следовательно, щві Є TXtM для всех І і ти для всех і. Это означает, что щ Е oXt(n) для всех t. а Р и Q являются ортогональными проекторами и, следовательно, симметричными операторами, сопряженный оператор к Г задается формулой Пусть (yt) - непрерывный Мо-значный семимартингал с началом в точке ао. В этой части мы строим разложение такого случайного процесса в пару процессов (xt) (со значениями в М) и (zt) (со значениями в /s-мерном шаре В(єо) радиуса о с центром в нуле) таким образом, что первый является проекцией исходного случайного процесса на многообразие xt = r(tft), а второй описывает поведение ортогональной компоненты (yt — xt) случайного процесса (yt). Заметим, что по формуле Ито случайный процесс (xt) является непрерывным М-значным семимартингалом с началом в точке ао, и, следовательно, стохастический параллельный перенос вдоль него корректно определен. Рассмотрим векторы (ЩЄІ), образующиеся в результате параллельного переноса базисных векторов в{ вдоль (xt). По лемме 9 они порождают специальную систему координат в точке yt. Определим теперь случайный процесс (zt) как координаты вектора yt — Xt Є NXtM в базисе (ufe,- : m + 1 і n). Иными словами,
Поверхностные меры для произвольных интервалов времени [0, Т]
Пусть М - одномерное компактное риманово многообразие в R". Каждое такое многообразие есть ни что иное как замкнутая кривая без самопересечений, на которой определена естественная координата, определяемая длиной дуги. Так как тензор кривизны относительно этой координаты равен нулю, скалярная кривизна одномерных многообразий тождественно равна нулю. Следовательно, по теореме 1 плотность Радона-Никодима поверхностной меры первого типа для таких многообразий задается формулой где к - кривизна кривой М. В частности, если кривая М является окружностью, то ее кривизна постоянна и, следовательно, поверхностная мера первого типа Si совпадает с мерой Винера WM- Напомним, что в предыдущих главах изучались поверхностные меры на пространствах функций, определенных на отрезке [0,1],
Очевидно, что аналогичные определения поверхностных мер можно дать для произвольного отрезка [0,7і], и будут верны теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2. В частности, поверхностная мера второго типа Sf, определяемая как слабый предел броуновских движений с отражением на границе 6МЄ, определенных до времени Т, совпадает с мерой Винера на пространстве ([0, Т\, М). Далее, где W21 -мера Винера в объемлющем пространстве C QO, T],Rn). Обобщение теоремы 1 формулируется для этой меры следующим очевидным образом: для каждого Т поверхностная мера S эквивалентна мере Винера Wjy на пространстве Сао([0,Т],М), и ее плотность Радона-Никодима задается формулой Далее в этой части исследуются случайные процессы (yf),t Т, соответствующие поверхностным мерам Sf. Показывается, что процесс (у ) является неоднородным марковским процессом и вычисляется его переходная плотность (предложение 4). Кроме того, находятся стохастические дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют случайные процессы (yf) (предложение 5). Из явного вида этих уравнений следует, что случайный процесс (yf) является броуновским движением со сносом, зависящим от пространственной координаты и от времени. Предложение 4. Для каждого Т 0 случайный процесс (yf) является неоднородным марковским процессом до времени Т, а его переходная плотность задается формулой где и - решение уравнения теплопроводности с потенциалом Доказательство. Заметим, что случайные процессы (yf) можно интерпретировать как процессы, принимающие значения в R, если рассмотреть R в качестве универсального накрытия кривой М. Аналогично, можно рассматривать в К уравнение (4.2) (при этом потенциал v рассматривается как периодическая функция из Е в R). Наконец, меры $ и W2, иногда будут рассматриваться как меры на пространстве Co([0,T],R). Для каждого х R и t
О обозначим символом WJ. меру Винера на пространстве Cx([05i],IR), соответствующую стандартному одномерному броуновскому движению с началом в точке х, а символом W y - меру на том же пространстве, соответствующую броуновскому мосту с началом в точке х и концом в точке у. Тогда мы имеем по формуле Фейнмана-Каца щер(і,х,у) - переходная плотность стандартного одномерного броуновского движения. Достаточно показать, что pv, определенная выше, является решением уравнения (4.2) и pv(t,x,y)dy — 5Х. Действительно, пусть / -непрерывная ограниченная функция. Рассмотрим функцию р, определенную как По формуле Фейнмана-Каца (p является решением уравнения (4.2) с начальным условием (р(0,х) — f(x). Дифференцируя по t и по х и подставив производные в уравнение (4.2), а также используя тот факт, что полученное равенство должно выполняться для всех непрерывных и ограниченных функций /, получаем, что для любого у верно JcJJ L и(Г-і_і,я:»_і)из чего следует (см., например, [1]), что (yf) является неоднородным мар ковским процессом с переходной плотностью (4.1). Предложение 5. Для каждого Т случайный процесс (yj),t Т является решением стохастического дифференциального уравнения (4.6) Доказательство. Как и в предыдущей лемме, мы рассматриваем случайный процесс (у[) как координатный процесс (ш ) на вероятностном пространстве {С0ф, Т], R), Ft, Sf). Так как координатный процесс (u)t) является броуновским движением на этом вероятностном пространстве относительно меры Винера Wr, которая эквивалентна мере Sf, то по теореме Гирсанова мы получаем В этой части мы исследуем сходимость семейства мер (Sf) (соответственно, семейства случайных процессов (у[)) при Т сю. Основным результатом в этом направлении является теорема 3, где доказывается слабая сходимость семейства (у[) к однородному марковскому процессу, являющемуся броуновским движением с независимым от времени сносом.
Введение в поверхностные меры на негладких многообразиях
Работа состоит из пяти глав, включая введение, списка основных обозначений, предметного указателя и списка литературы из 35 наименований. В данной работе формулы имеют номера из двух чисел, первое из которых -номер главы, а второе - номер формулы в этой главе. Определения, леммы, предложения, замечания и теоремы нумеруются (отдельно) сквозным образом. В первой вводной главе 1 мы формулируем основные результаты, вводим ключевые обозначения и объясняем главные идеи доказательств. Две первых части главы 2 носят чисто дифференциально-геометрический характер. В части 2.1 вводится понятие специальных систем координат в точке на многообразии, и в терминах этих координат вычисляются основные геометрические характеристики многообразия, такие как средняя и скалярная кривизна, вторая фундаментальная форма, поле трения и производные операторы некоторых проекторов. В части 2.2 вводятся две естественные меры на трубчатой окрестности: одна их них является не чем иным, как сужением на эту окрестность меры Лебега в объемлющем евклидовом пространстве Шп, а другая, называемая плоской мерой, индуцируется структурой декартова произведения на нормальном расслоении NM. Затем определяется векторное поле на трубчатой окрестности, называемое векторным полем сноса, соответствующее этой паре мер и отражающее степень их отличия друг от друга. Наконец, в части 2.3 мы описываем понятие стоха- стического параллельного переноса и определяем разложение Ферми непрерывного семимартингала, принимающего значения в трубчатой окрестности многообразия. В главе 3 доказываются два основных результата работы. В части 3.1с помощью векторного поля сноса определяется смещенный случайный процесс (yt) со значениями в Еп, и изучается порождаемая им поверхностная мера первого типа. В части 3.2 доказывается эквивалентность закона распределения смещенного случайного процесса С{у) и меры Винера W, и строится непрерывное и ограниченное приближение для соответствующей плотности Радона-Никодима dW/dC(y).
Наконец, в части 3.3 доказываются основные теоремы 1 и 2. В главе 4 два частных случая рассматриваются более подробно. В первом, которому посвящена часть 4.1, в качестве многообразия рассматриваются замкнутые кривые без самопересечений в W1, а поверхностные меры определяются для произвольного интервала времени [О, Г]. Затем подробно изучаются случайные процессы, соответствующие этим мерам, и исследуется их сходимость при Т —+ со. В части 4.2 рассматриваются многообразия, нормальное расслоение вложения которых в R" плоско. В этом случае большинство понятий и построений, используемых в доказательстве теоремы 1, получает геометрическую интерпретацию. Заметим также, что именно разложение оператора Лапласа, найденное в предложении 6 и верное только для случая плоского нормального расслоения, подсказало идею доказательства теоремы 1. Разумеется, было бы интересно обобщить результаты, полученные в главах 3 и 4, на случай поверхностных мер, порождаемых произвольными диффузионными процессами, а также на случай негладких многообразий. В заключительной главе 5 делаются первые шаги в этих двух направлениях. В части 5.1 изучается пример простейшего диффузионного процесса в М2, не являющегося броуновским движением, а именно, рассматривается случайный процесс, компоненты которого являются независимыми реска-лированными одномерными броуновскими движениями с различными дисперсиями.
Даже в этом простейшем случае результаты предыдущих глав удается обобщить только на многообразия, являющиеся прямыми, проходящими через начало координат. В предложениях 5.2 и 5.3 доказывается, что поверхностные меры первого и второго типа, порожденные таким диффузионным процессом, являются законами распределения рескалированных броуновских движений на прямой с (вообще говоря, различными для поверхностный мер первого и второго типа) дисперсиями, и эти дисперсии вычисляются в терминах дисперсий исходного диффузионного процесса и угла наклона прямой. В части 5.2 рассматривается пример многообразия с одной особой точкой. Затем это многообразие аппроксимируется некоторым образом гладкими многообразиями, и исследуется вопрос сходимости поверхностных мер первого типа, соответствующих аппроксимирующим многообразиям. Оказывается (см. предложение 9), что если предельная мера существует, то она не может быть абсолютно непрерывной относительно меры Винера на исходном (сингулярном) многообразии. Это связано с тем, что случайный процесс, соответствующий предельной мере, с вероятностью 1 приходит в особую точку до времени 1. В работе мы будем использовать следующие понятия и обозначения. Напомним, что символом М обозначается гладкое m-мерное риманово многообразие М сШп без края, и оо Є М. Далее, символом М обозначается трубчатая е-окрестность многообразия М в объемлющем пространстве R". Пусть коразмерность МБК" равна к = п — т. Пусть X с Е" - борелевское подмножество, содержащее точку UQ. Обозначим символом С(Х) пространство непрерывных функций / : [0,1] — X, таких, что ДО) = ао- Для каждого а є М обозначим символом ТаМ (соответственно, NaM) касательное (соответственно, нормальное) пространство к многообразию М в точке а. Поскольку М вложено в К", они могут (и будут) рассматриваться как линейные подпространства в К. Зафиксируем какой-нибудь ортонормированный базис (ЄІ) В Rn, такой, что его первые m векторов порождают касательное пространство ТааМ (и, следовательно, последние к - нормальное пространство NaaM). В силу компактности и гладкости многообразия М существует такое о 0, что ортогональная проекция 7Г : МЄо — М, заданная неявным соотношением корректно определена и является гладкой функцией. Обозначим символом gl(n) линейное пространство матриц размера пхп с действительными элементами, а символом о(п) С gl{n) - его подмножество, состоящее из ортогональных матриц. Для каждого а Є М пусть Ра - оператор ортогонального проектирования из Ж1 на касательное пространство ТаМ, &Qa = Id — Ра- оператор ортогонального проектирования из Шп на нормальное пространство NaM. В этом случае Р и Q являются гладкими функциями на М со значениями в пространстве линейных отображений из R" в Rn. Так как мы зафиксировали ортонормированный базис () в R", Р и Q можно также интерпретировать как гладкие функции из М в gl(n). В дальнейшем мы всегда будем отождествлять таким образом линейные операторы в!"с соответствующими им матрицами из gl(n). Далее, пусть prj : R — Rm (соответственно, рг2 : Rn — Rfc) - линейный оператор, отображающий каждый вектор и є Rn в вектор, состоящий из его первых m (соответственно, последних к) координат. Обозначим символом prf1 : Rm — Rn (соответственно, pr 1 : Rfc —» Rn) правый обратный к оператору рга (соответственно, к рг2), обладающий тем свойством, что рГ рГ! = Рй0 (cOOTBeTCTBeHHO, prJXpr2 — Qau)- Наконец, мы используем следующее соглашение: если какой-либо индекс встречается в формуле дважды, то по нему производится суммирование от единицы до размерности соответствующего пространства.
