Содержание к диссертации
Введение
1 Аппроксимация поверхностных мер на поверхностях конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве 19
1.1 Терминология и обозначения главы 19
1.2 Теоремы о поверхностном слое 28
1.3 Применение полученных результатов к гауссовским мерам 40
1.4 Построение поверхностной меры 42
2 Применение теоремы о поверхностном слое к доказательству формулы Стокса 46
2.1 Операции в классе дифференциальных форм Соболевского типа относительно гладкой меры на ЛВП 46
2.2 Формула Стокса 53
3 Поверхностные меры на поверхностях бесконечной коразмерности — Броуновский лист со значениями в компактном римановом многообразии 59
3.1 Первый шаг построения процесса W 60
3.2 Теорема Чернова для эволюционных семейств 64
3.3 Асимптотика по t для интеграла вида 74
3.4 Применение теоремы Чернова для эволюционных семейств к построению неоднородных процессов на многообразии 81
3.5 Второй шаг построения процесса Wfr 88
- Применение полученных результатов к гауссовским мерам
- Операции в классе дифференциальных форм Соболевского типа относительно гладкой меры на ЛВП
- Теорема Чернова для эволюционных семейств
- Применение теоремы Чернова для эволюционных семейств к построению неоднородных процессов на многообразии
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются два класса поверхностных мер в локально выпуклых пространствах. Первый из этих классов образован поверхностными мерами на обладающих конечной коразмерностью (бесконечномерных) подмногообразиях локально выпуклых пространств. При этом предполагается, что поверхностные меры порождаются гладкими мерами на этих пространствах. Второй класс образован поверхностными мерами на подмногообразиях, обладающих бесконечной коразмерностью. При этом в качестве объемлющего пространства рассматривается пространство непрерывных функций, определенных на квадрате и принимающих значения в евклидовом пространстве, и предполагается, что в этом пространстве задана мера, порождаемая так называемым броуновским листом; в качестве подмногообразия рассматривается множество непрерывных функций, определенных на (том же) квадрате и принимающих значения в компактном римановом многообразии этого евклидова пространства. В диссертации также доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.
Исследование свойств поверхностных мер первого класса составляет одно из традиционных направлений бесконечномерного анализа. Оно тесно связано с исследованием бесконечномерных дифференциальных операторов и общей проблемой дезинтегрирования мер. Изучение таких поверхностных мер начато в работах А. В. Скорохода [10}, и А. В. Угланова [19] около 30 лет назад в рамках теории гладких мер на бесконечномерных пространствах, созданной в работах С. В. Фомина, О. Г. Смолянова и их учеников. Теория таких поверхностных мер существенно используется в так называемом исчислении Малливена [33], [23}. В настоящее время эта область бесконечномерного анализа может рассматриваться как классическая.
Техника, развитая при исследовании поверхностных мер на подмногообразиях конечной коразмерности, оказалась недостаточной для исследования поверхностных мер на подмногообразиях, обладающих одновременно бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью. Возникающие здесь трудности были преодолены в серии работ О. Г. Смолянова, X. ф. Вайцзек-кера и их соавторов [11}, [36}, [15}, [14}, [35}. В этих работах была развита техника построения поверхностных мер на подмногообразиях векторного пространства функций вещественного аргумента, принимающих значения в Rn, в предположении, что подмногообразия образованы функциями, принимающими значения в римановом подмногообразии Rn. Полученные результаты связаны с исследованием эволюционных дифференциальных
уравнений на многообразиях. Следующим естественным шагом является распространение этой техники на случай векторного пространства и его подмногообразия, состоящих из функций нескольких вещественных переменных [16] (см. также [25], [26], [33], [23], [39]). Такого рода многообразия возникают в квантовой теории поля и в iV-теории. Таким образом, тема диссертации представляется вполне актуальной.
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:
Описан метод аппроксимации поверхностных мер Угланова с помощью мер некоторых окрестностей для подмногообразий коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве и доказана теорема о поверхностном слое.
Развито исчисление дифференциальных форм конечной костепени в локально выпуклом пространстве и доказана формула Стокса для поверхностей коразмерности 1 в локально выпуклом пространстве.
Доказан аналог теоремы Чернова для эволюционных семейств операторов.
Описан метод построения броуновского листа со значениями в компактном римановом многообразии, вложенном в конечномерное евклидово пространство. Этот результат существенно усиливает аналогичный результат Малливена для групп Ли.
Методы исследования
В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при решении задач стохастического анализа на многообразиях, в частности при исследовании случайных полей со значениями в компактном римановом многообразии.
Апробация диссертации
Результаты диссертации докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ "Бесконечномерный анализ и математическая физика" под руководствам профессора О. Г. Смолянова и профессора Е. Т. Шавгулидзе, на семинаре отдела математической физики института математики РАН под руководством академика В. С. Владимирова и член.-корр. РАН И. В. Воловича и на XXV конференциях молодых ученых МГУ (2003).
Публикации
Основное содержание диссертации опубликовано в 3-х работах автора, работ по теме диссертации написанных в соавторстве нет.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 99 страниц. Список литературы включает 40 наименований.
Краткое содержание диссертации
Ведение
Во введении формулируются основные результаты диссертации, приводится обзор работ по теме диссертации.
Применение полученных результатов к гауссовским мерам
Множество G представляет собой график непрерывной функции де : Ы{е) — R, определенной на некотором открытом в Ть множестве U(є), имеющей первую производную (д) : Ы{е) —» Н = Н и вторую производную (д)" : Ы{е) — (Н, (Н,Н)) вдоль подпространства Н, причем существует константа Кд 0, такая что 7е (я) Кд для всех х Є U{e).
Доказательство. Пусть функция Ф определена, как и ранее, по формуле (20). Применим теорему о неявной функции к функции Ф — е. Ранее было доказано, что отображение ф непрерывно, а значит непрерывно и отображение Ф . По доказанному, производная Ф (ы) отлична от нуля в каждой точке ш Є Gb. Далее, в силу леммы 10, псЧ(ш) = nG(x), где х = РьРа(ш). Поэтому, в силу замечания 5, {пс ь(ш),Ъ) 0 для всех из Є Gb. В силу теоремы о неявной функции, существует непрерывная функция дє, определенная на некотором открытом множестве К (є) С Ть, имеющая первую и вторую производные вдоль подпространства Н, такая что G представляет собой график этой функции (тот факт, что функция Ф имеет также и вторую производную вдоль подпространства Н, следует из формулы (21)).
Покажем, далее, выполнение условия 4 теоремы 8, откуда будет следовать, что \\д"(х) ограничена na,U(e) некоторой константой Кд. В силу замечания 5 и леммы 10 для всех и Є GSb
Далее, в силу (21) и леммы 8, ЦФ о;)!! Кф для всех ш Є GSh. Покажем, наконец, что существует константа А 0, такая что то достаточно показать, что Ф (а )6 А. Имеем и утверждение леммы следует теперь из леммы 11. причем существует константа С 0, такая что для всех є Є (О, єь) \ав(х)\ С.
Доказательство. Фиксируем произвольную точку XQ Uf)U(e). Положим яі = Рь(д/(хо) +єпа(хо)) и рассмотрим сужение функции д на прямую, проходящую через точки XQ и Х\, положив при этом g(t) = д{х\ + t\\xQZxl\\) (для тех t Є R, для которых такая функция определена). Ясно, что функция д определена и дважды дифференцируема в некоторых окрестностях точек t = 0 lit = to = \\хо — rciJI, причем ее вторая производная ограничена константой Кд в силу леммы 12.
Далее, существует функция, совпадающая с д в некоторых окрестностях точек = 0 и t = to, определенная на всем отрезке [0, to], дважды дифференцируемая в области определения (т.е. в некоторой окрестности отрезка [0,о]) и такая, что ее вторая производная ограничена константой Кд. Будем обозначать эту функцию также через д. Применяя к функции де формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получимОтсюда, а также из (68) и (69), следует утверждение леммы.
Пусть В С G — борелевское множество, содержащееся в G вместе со своим замыканием. Тогда для любого х Є Тъ, для любого є єь множество (х + Яь) f] В (В — замыкание В) содержится в отрезке прямой х-\- Яь длины, меньшей Ке, где К — константа. Доказательство. Ясно, что утверждение леммы достаточно доказать для замкнутого множества В. Положим G B = (РьВ є). Прямая х + Щ имеет непустое пересечение с5гв том и только в том случае, если х Є PbGtB U РьВ. Если х Є PbGjB П РьВ, то утверждение леммы следует из леммы 13.
Пусть х Є PbB\PbG B (если множество PbB\PbGtB пусто то рассуждения, касающиеся этого случая опустим). Подмножество (х + Rb) П В числовой прямой х + Rb замкнуто и ограничено, и, следовательно, содержит свою точную верхнюю грань Q. Ясно, что
Пересечением множества В с прямой х-\- Rb является отрезок [ р(х, 0),й ]. Его длина равна сц{х) — f(x). Утверждение леммы опять следует из леммы 13, примененной к функции gi.
Пусть теперь х Є PbG,B\PbB, и ш = inf{(я -f #ь) f] В} (если множество PbGje\PbB пусто, то лемма доказана). Пересечением множества В с прямой x + Rb является отрезок [0,х + де(х)Ь]. Оценим его длину. Пусть у = Рь(Ра(й ) + єпс(РъРа(й)))). Положим е = iZZy\\ и определим функцию 9e{t) = 9є(у + te) (t Є R). Функция ye может оказаться определенной не для всех значений tE[0,tx], где tx = \\х — у\\. В этом случае, как и в доказательстве леммы 13, под функцией ge(t) будем понимать функцию, совпадающую с функцией д(у + te) в некоторых окрестностях точек t = О и t = tx и продолженную на отрезок [0, tx] без увеличения супремума второй производной.
Операции в классе дифференциальных форм Соболевского типа относительно гладкой меры на ЛВП
Пусть, как и ранее, X — локально выпуклое пространство, Н — его векторное подпространство, наделенное структурой гильбертова пространства относительно скалярного произведения (, ), {еп} ==1 — ортонормированный базис в Н. Будем предполагать, что Н плотно в X и тождественное вложение Н в X непрерывно. Обозначим через Зп (п Є N) векторное пространство всех дифференцируемых по подпространству Н дифференциальных форм степени п, таких что их дифференциалы непрерывны, а множества значений самой дифференциальной формы и ее дифференциала ограничены. Через Sn обозначим пространство всех дифференцируемых по подпространству Н дифференциальных форм костепени п, являющихся мерами Радона и таких, что сами дифференциальные формы из Sn и их дифференциалы представляют собой меры ограниченной вариации. Обозначим через Sn и Нп (п Є N) псевдо-топологические векторные пространства линейных функционалов на Еп и Sn соответственно. Будем предполагать что Sn и Нп содержат Sn и Нп в качестве плотных подмножеств. Пусть V — область пространства X, граница 0V которой может быть покрыта объединением конечного числа поверхностей Ui коразмерности 1, где под поверхностью коразмерности 1 понимается объект, определенный в предыдущей главе. Будем также предполагать, что сами подмножества Ui, покрывающие dV, а также их всевозможные пересечения обладают свойством ( ) (сформулированном в [1}, теорема 2). Будем использовать ряд обозначений (i/, nav, uav, Нх, єь, Pav, Вє для борелевского подмножества В С dV), введенных в [1], при этом вместо символа G обозначающего в [1] поверхность будем использовать символ dV. Заметим, что в силу теоремы 2 из [1] lim_o i {dV) — vav(dV). Далее, предположим, что индикатор Я множества V является элементом So. Предположим кроме того, что отображение d : Но — Hi обладает продолжением до непрерывного отображения Но в Ei, а отображение d : Sn —+ Sn-i — до непрерывного отображения Sn —» Sn-\. Пусть еще, для каждой меры v Є 5о, отображение Ні —» Si, / i- /zv допускает продолжение до непрерывного отображения Ні в 5і, для любых тип отображение Hm х допускает продолжение до непрерывного отображения Нт х Нп —» Нт+П, а отображение Hm _х S — 5п-т» (/, ) - / Л w - до непрерывного отображения Ет х Sn - n_m (n m). Продолженные отображения будем обозначать также. Действие функционала / Є S\ на элемент # Є Hi будем обозначать через (/,51). Предположим еще, что каждая последовательность элементов Но, поточечно сходящаяся к некоторому элементу пространства Но, сходится к этому элементу и В Но ТЕОРЕМА 13. Пусть и Є SQ. Тогда (dly) г/(Є Si) представляет собой сосредоточенную на dV меру Радона на X, принимающую значения в Н, причем имеет место равенство (как элементов Si) где to t. Определим функцию д : (дУ)Єь. Н сдедуюшим образом: для х Є дУ, \t\ єь g{x + tnav(x)) = g{x). Тогда с учетом последней цепочки неравенств, формул (70) и (71) и определения функций Ы для всех х Є (дУ) при є — 0.
Далее, фиксируем произвольное а 0 и пусть сг7 = 2(M+i%v(dv))- ак как vav является мерой Радона (см. [18]), то существует такой компакт Ка С дУ, что vav(дУ\Ка) & . У каждой точки XQ Є Ка выберем окрестность UXo, целиком лежащую в одном из КІ, обладающую свойством ( ) (сформулированном в [1]) и такую, что для функции (р(х) = (ndV(x),g(x)) справедливо \tp(x) — P{XQ)\ о для всех х UXQ. Выберем далее конечное число из окрестностей Ux, х Є Ка, (пусть это окрестности UІ точек Хі) и обозначим их объединение через Оа. Ясно, что иду(дУ\Оа) а1 и в силу построения Оа Существует Предел Иш о V5{Qа) = Уау{Оа)і поэтому существует и предел \ітє о і/є(дУ\Оа) = udV(dV\0(T). Пусть далее В\ = UiWJjI Uj и (pa : Оа — Ж такая, что ра = SvfoO B,- Ясно, что на Оа
В работе [1] мера v предполагается неотрицательной, однако теорема 2, которой мы пользуемся при доказательстве настоящей теоремы, справедлива и без предположения о неотрицательности меры (без каких-либо изменений в доказательстве). Пусть Vi,..., Vn — области в X, обладающие теми же свойствами, что и область V, причем для любого г поверхности dVOdVid.. .f\dVi и dV\C\.. ,f\dVi могут быть покрыты конечным числом поверхностей коразмерностей і + 1 и і соответсвенно (под поверхностью коразмерности п понимается объект, определенный в [1]). Пусть G = V П dVi П ... П dVni dG = dV П dVx П ... П dVn, т.е. G — область в dV\ П ... П dVn, ограниченная dG. Построим систему нормалей к dG в точке х Є dG. Выберем вектор navndVl (х) так, что он принадлежит касательному (в Н) пространству к дУ в точке х и ортогонален в Я касательному пространству к dVDdVi в точке х. Вектор navndVin (х) (1 і п) выберем так, что он принадлежит касательному пространству к поверхности 8V П dV\ П ...П 9К-і в точке х и ортогонален касательному пространству к поверхности dV П dV\ П ... П dVi в точке х. Очевидно, мы можем выбрать каждый такой вектор, т.к. касательное пространство к dV П dV\ П ... П dVi в точке х как подпространство касательного пространства к dV П dV\ П . ..Г\ dVi-i в точке х имеет коразмерность 1. При этом, вектор ndvndVin nav« выбираем так, что будучи перенесенным в точку х, он направлен вне области Vi.
Теорема Чернова для эволюционных семейств
Докажем сначала лемму для тех функций р, для которых е зАмр представляется сходящимся экспоненциальным рядом для всех t 0. Согласно книге [28], множество таких векторов плотно в С(М, R). Если лемма доказана для таких векторов, то в силу теоремы Банаха-Штейнгауза, утверждение леммы справедливо для всех р 6 C(M,R).
Рассмотрим сначала нижнюю строку I(VuV2,p) для щ, ..., ип, удовлетворяющих условию \щ — Uj_i ([T JA )", ct 0. Будем применять асимптотику (100) из Предложения 3. Число N выберем так, что ("Р2І)аЛГ Д Р2Іа- Покажем, например, как это будет выглядеть для самого правого интеграла.
Далее мы будем интегрировать только первые три слагаемых в этом выражении, т.к. согласно Предложению 3 \R2(AskAtn, ІТ І, г п-і, ип — Un-i)\ K(P2Atn)a, где К — константа. При каждом множителе вида (AskYAt ... АЦ) определим коэффициент, зависящий от щ,..., ип, получающийся после применения асимптотики (100) из Предложения 3 к каждому интегралу последней строки в I(Vi, 2,р)- Для удобства написания этих коэффициентов, введем следующие обозначения. Пусть у Є М.
Теперь определи слагаемые получающиеся в результате наличия в применяемой асимптотике множителей вида 1Z(vn-i,un — ип-\). Заметим, что все члены, содержащие слагаемые такого вида, или произведения, в которых участвуют выражения такого вида, после применения интегралов первой строки содержат выражение вида (щ+г — г«г-)" , которое равно нулю, и, следовательно, такие члены равны нулю. Далее, представим R(vn-\, un—un-i) в виде
Применение оператора Дд/ к 1Zs(vn-i, ип — ип-{) всегда содержит выражение (ип — un_i) n_1, которое имеет порядок \V2\a- Кроме того, оператор Дд/ появляется с множителем AskAtn-i. Такое слагаемое войдет в остаточный член, который оценивается сверху выражением KAskAtn-\\P2\a, где К — константа. Применение асимптотики ко второму с конца интегралу породит член TZs(vn-2,un-i — ип-2). Последующее применение к нему оператора Ам даст слагаемое, которое аналогично оценивается сверху выражением КAskAtn-2\P2\Q!, и так далее. Докажем, что где первый слева оператор Ам применен к функции переменной г/п_і, К — некоторая константа. Сначала рассмотрим случай vn-\ ф ип-\. Найдем сначала Ам(ип — wn_i) _1, дифференцируя по vn-\. Из точки г?п_і выпустим геодезические 7г( )і такие что 7І(0) образуют ортонормированный базис в пространстве, касательном к М в точке vn-\. Для того, чтобы показать, что где k(t) — скалярная функция, не превосходящая 1, имеющая ограниченную производную, пм(х) — единичный вектор, лежащий в нормальном к М пространстве в точке х. Отсюда видно, что производная в нуле пропорциональна. Рассмотрим касательные пространства Tu„_i и TUn в точках ип-\ и ип соответственно. В каждом из них построим подпространство, параллельное подпространству пересечения пространств TUn_x и TUn. Эти подпространства имеют коразмерность 1 в TUn_x и TUn соответственно. Обозначим эти подпространства через T Un_x и T Un соответственно. В точках ип-\ и ип выберем геодезические 7f-1 и 7") такие что векторы их производных в нуле образуют ортонормированные базисы в пространствах TUn_x и TUn соответственно, причем так, что первые d — 1 векторов этих базисов лежат в пространствах JT„ И T Un соответственно (касательные подпространства имеют размерность d). Как и ранее, нам необходимо показать (120). Рассматривая двумерную кривую — пересечение многообразия М с плоскостью, натянутой на векторы (7,/(0) и ип - ип_ь — мы убеждаемся, что ft(un - un_i)J \t=Q= 0 для г = 1,... ,d — 1. Вектор ed = (7-1У(0) ортогонален T( . Пусть Р — точка пересечения прямой un_i + ted с TUn_x П TUn. Соединим точку Р с «п. В получившемся треугольнике синусы острых углов пропорциональны ип — wn_i. Из геометрического рассмотрения следует, что \{ип — Un_i)] Kt\un — wn_i, К — константа, что доказывает (120).
Таким образом, в предположении иг-+1 — щ\ (Д Т І)" мы выписали общий член ряда, получающийся после применения последней строки интеграла I(p, "Pi, 7) (коэффициент (119), умноженный на (AskYAt ... Atu, i\ " ц) и доказали, что оставшийся остаточный член не превосходит где К — константа.
Начиная с интегралов первой строки в интеграле /( ,7 1,7 ), будем заменять интегрирование по всему многообразию интегрированием по достаточно малым окрестностям на многообразии. Потом будем переходить к повторному пределу: сначала к пределу при \Р\\ — 0, а затем к пределу при ІТ І — 0. Опишем выбор упомянутых выше окрестностей. Выберем 0 а а , Да = а — а. В интеграле вида iL4 д _х _ 2 —1, стоящему на г-ом месте в первой строке, заменим интегрирование по всему многообразию интегрированием по окрестности Ux%_l[\V2\a{Ati)a) точки Xi-i радиуса \P2\a{Att)a. Здесь h означает общий вид функции, к которой применен указанный выше интегральный оператор (в данном случае эта функция представляет собой последовательность интегралов, примененных к функции.
Применение теоремы Чернова для эволюционных семейств к построению неоднородных процессов на многообразии
Продолжая выбор окрестностей указанным образом, г-ый интеграл последней строки мы будем рассматривать для точек щ и иг-\ вида \щ — Щ-\\ (к — 1)Аа7:,2Іа(Д г)а 2Іа(Д )а ГДе последнее неравенство справедливо для достаточно малой мелкости разбиения [Рі\, для которой (k\V2\ U)Aa 1 Далее, начиная с последнего интеграла в последней строке, мы применяем асимптотику (100) из Предложения 3, как мы описали выше.
Рассмотрим теперь вторую снизу строку интегральных операторов. Как и ранее, при достаточно малой мелкости разбиения V\ мы можем считать, что гг- — z,-_i (Д І І)") для всех г. Будем действовать последовательностью интегральных операторов на каждое слагаемое, получившееся при разложении последней строки за исключением слагаемого, обозначенного как остаток. При этом будем применять асимптотическое разложение из Предложения 3. Применение к остатку оставшихся к — 1 строк даст новый остаток, который также будет оцениваться величиной (121). Поэтому, мы сразу исключим из рассмотрения это слагаемое. Далее будем действовать третьей снизу строкой интегральных операторов на все слагаемые, получившееся из двух последних строк, и т.д. В самом конце мы будем действовать интегральными операторами самой первой строки. Таким образом, мы получаем некоторое асимптотическое разложение для интеграла I(Vi, "Р2)Р)« Выпишем общий член этого разложения (с точностью до знака):
Здесь, ks, индекс (у?) вверху означает, что оператор Арм применен к функции переменной у?, уг = х означает, что Pj = х для всех j. Для произвольной функции (р, определенной на М, ср 2 означает (р (щ)и(у) = Ч (У + (WI)M + (W )M + ) где w достаточно малы, так что у? (wjM определена корректно. Вычисление (122) в локальных координатах, выбранных в окрестности точки х дает Сравним это разложение с разложением для если мы последовательно применим асимптотику к каждой такой экспоненте начиная с крайней правой. С точностью до членов, стремящихся к нулю при , разложения будут совпадать. В силу симметрии интеграла I(Vi,V2,p) мы можем брать сначала предел по п при фиксированном к, а затем предел по к. Оба повторных предела совпадают и равны е-2"Лм. А значит существует двойной предел при \Vi\ —» О, Если функция / такова, что f(cj) = р(ш(ї, s)), где t t, s s, то воспользуемся доказательством Теоремы 17, из которого следует, что sn и п — точки разбиений Pi и 7} такие что І Є (n,n+i), 5 Є (sn,sn+i). причем если а — произвольное достаточно малое число, то для достаточно малых мелкостей разбиений V\ и 7 выполнено \5(х, {t — tn,s — sn))\ а. Для функции /, зависящей ото; в нескольких точках, скажем в точках & Є [0, s] и ту Є [0, ], вид интеграла I(Vi,V2,p) будет таким же и сходимость доказывается аналогично. Интеграл будет сходиться к произведению операторов вида е 2 каждый из которых действует на соответствующую переменную функции р, определенную как f{ui) = p(wnKi,Ti),... ,0 ( ,77)), где ujij определена на [0,& - 6-і] х [0,т, - r,-_i] по формуле O;JJ(S, ) = о;(г_і + s, Tj_i +1). Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ 6. Пусть М — компактная группа Ли. Тогда WJf, рассматриваемый как процесс со значениями в С([0,1],М), совпадает с броуновским движением, построенным в [33]. Доказательство. Доказательство следует из теоремы 18 и теоремы 2.15 из статьи [26]. Действительно, теорема 2.15 из статьи [26] и теорема 18 влекут совпадение конечномерных распределений рассматриваемых процессов. Действительно, согласно теореме 2.15 из статьи [26] для процесса, построенного в [33] справедливо: при каждом фиксированном s процесс представляет собой броуновское движение на М с параметром s. Совпадение конечномерных распределений следует теперь из формулы в книге [30] на стр. 204. Таким образом, распределения процессов совпадают на алгебре цилиндрических множеств пространства С([0,1], (С([0,1], М)), где в С([0,1],М) также выбрана алгебра цилиндрических множеств. Это влечет счетную аддитивность меры W%f, так как распределение броуновского движения, построенного в [33], является счетно аддитивной мерой. Таким образом, W определена на сг-алгебре борелевских множеств пространства С([0,1],С([0,1],М)), счетно аддитивна и совпадает с распределением бро уновского движения из статьи [33].
