Содержание к диссертации
Введение
1. Алгебраические структуры в линейных пространствах 17
1. Многолистные пространства 17
2. Реализация многолистных пространств над алгебрами 23
3. Группы движений на многолистных пространствах 39
2. Расслоения с дискретными слоями 73
4. Многолистные многообразия как расслоения с дискретными слоями 73
5. Касательные расслоения над многолистными многообразиями 79
6. Калибровочные группы движений на многолистных многообразиях и инвариантные операторы 84
3. Кривизна 95
7. Поля кривизны на многолистных многообразиях 95
8. Геометрия трехлистной поверхности 101
Литература 106
- Реализация многолистных пространств над алгебрами
- Касательные расслоения над многолистными многообразиями
- Поля кривизны на многолистных многообразиях
- Геометрия трехлистной поверхности
Введение к работе
Множества физических объектов, будучи совершенно различными по своей природе, зачастую описывается одними и теми же математическими структурами. Так, например, напряженность магнитного Н и электрического Е полей, имея одинаковую векторную структуру и образуя единое электромагнитное поле, все же принадлежат различным векторным пространствам. Еще одним примером таких объектов могут служить пространство скоростей и пространство ускорений, зачастую (как в случае классической механики в трехмерном евклидовом пространстве) неразличимые между собой.
Проблему математического различения объектов, имеющих с одной стороны одинаковую векторную или тензорную природу, а с другой стороны существенно различных так, что о линейных операциях над ними можно говорить только в формальном смысле, можно разрешить, вводя дополнительную алгебраическую структуру. Введение алгебраической структуры в линейное пространство приводит к понятию пространства над алгебрами. Пространства над алгебрами являются предметом интенсивного изучения многими математическими школами, как отечественными так и зарубежными. В частности, существенные успехи в этом направлении были достигнуты Казанской геометрической школой (А.П. Норден, В.В. Вишневский, А.П. Широков, В.В. Шурыгин и др.) При этом «-мерное линейное пространство над /w-мерной алгеброй в работах Казанской и многих других школ реализуется в п т -мерном линейном пространстве с т инвариантными операторами. При таком подходе объекты, отнесенные к различным базисным элементам w-мерной алгебры, лежат, вообще говоря, в различных подпространствах п-т -мерного линейного пространства. Это
з обстоятельство является основным препятствием при использовании линейных алгебр для различения объектов, имеющих однородную природу. Это препятствие можно снять, введя понятие многолистного пространства, листы которого идентичны между собой.
Многолистные пространства, как геометрический объект, сами по себе, безусловно, не требуют привлечения каких-либо алгебраических структур для своего определения. Интуитивно многолистную плоскость можно мыслить как стопку бумаги. Более строго многолистное пространство размерности п можно определить как прямую сумму т линейных я-мерных пространств с указанием правила соответствия точек (или векторов), лежащих на различных листах. Причем геометрии листов согласованы настолько, что появляется возможность изображения объектов с различных листов объектами одного я-мерного пространства, различая их лишь метками принадлежности к тому или иному слагаемому прямой суммы. При этом «расстояние» между различными листами не определено, так что можно считать его нулевым.
Если в качестве метки принадлежности выбирать различные цвета, то многолистное евклидово пространство можно представлять «обычным» евклидовым пространством, все объекты которого окрашены в т различных цветов. В этом случае можно говорить о /и-цветном я-мерном евклидовом пространстве как о наглядной модели построенного выше га-листного «-мерного евклидова пространства. Подобная модель аналогична той, которая используется в теории неабелевых калибровочных полей, где многоцветные поля отвечают за кварк-глюонные взаимодействия. В другом случае в качестве меток можно выбрать «индексы порядка» и говорить об «евклидовом» пространстве, элементами которого являются упорядоченные наборы элементов одного и того же я-мерного пространства. Разумеется, все эти модели структурно эквивалентны, и их общими структурными свойствами является линейная независимость линейных объектов, помеченных различными метками (номерами листов).
Наиболее простой способ «координации» многолистных пространств
связан с групповыми алгебрами. Ассоциируя каждый из элементов конечной
группы Z мощности т с соответствующим «-мерным линейным
пространством, мы наделяем геометрическую конструкцию многолистного
пространства структурой w-мерного модуля над соответствующей
групповой алгеброй R[]. Таким образом, многолистные пространства Q"m можно рассматривать как «-мерные линейные пространства над групповой алгеброй. При этом линейные преобразования с коэффициентами из
групповой алгебры определяют моноид Ln(L) преобразований этого
многолистного пространства. Такова общая схема координации многолистных пространств, безусловно, конечно, не зависят от данной процедуры координации, то есть от группы Е и групповой алгебры R[Z], и представляют собой самостоятельный геометрический объект. Вместе с этим, алгебра R[S] задает на Q"m дополнительные структуры и выделяет некоторые подгруппы группы Ln(I,), относительно которых эти структуры
инвариантны, порождая возможность исследования геометрии
многолистных пространств с дополнительной структурой.
Таким образом, представленные в настоящей работе конструкции многолистных пространств, в силу их геометрического и алгебраического строения, относятся, вообще говоря, к пространствам над алгебрами, представляя в определенном смысле альтернативу классического их толкования. С другой стороны, формальный аппарат теории многолистных пространств с алгебраической структурой в значительной степени аналогичен тому классическому аппарату, который был развит в работах А.П. Котельникова. В 1895 - 1988 гг., изучая геометрию и механику евклидова пространства и трехмерных неевклидовых пространств, А.П. Котельников раскрыл роль алгебр дуальных, комплексных и двойных чисел (а также кватернионов и бикватернионов) для теории винтов и линейчатой геометрии этих пространств [23], [24]. Значительный вклад в геометрию
пространств над алгебрами был внесен работами профессора П.А. Широкова. В 1925 году в работе [47] им был введен класс так называемых А-пространств, в дальнейшем переоткрытых на другом пути Э. Келером [50] и получивших название келеровых пространств. В работе [48] П.А. Широков исследовал симметрические пространства этого класса, уделив особое внимание тригонометрии геодезических треугольников. П.К. Рашевский в 1948 году ввел гиперболический аналог А-пространств [37].
Позднее исследования по геометрии пространств над алгебрами были продолжены А.П. Норденом [30], [31], [32]. Теории пространств над алгебрами посвящены работы Г.И. Кручковича [25], [26], С.Л. Певзнера [33], Б.А. Розенфельда [40]. Последним была развита теория образов симметрии, находящаяся в непосредственной связи с теорией симметрических пространств и приводящая к большому числу конкретных типов пространств над алгебрами.
Из зарубежных монографий, излагающих основы геометрии комплексных многообразий, отметим книги Кулиджа [51], Э. Картана [52] и Яно [53]. Глобальные проблемы келеровых многообразий изложены в монографии А. Вейля [9].
Из сказанного выше усматривается существенная роль выбора алгебраической структуры, адекватно отражающей геометрию, реализованную на листах многолистного пространства, и адекватной к конструкции соединения листов в одном пространстве. Такой выбор фактически представляет собой задачу алгебраической координации (выбора алгебраических координат) многолистного пространства, тем самым превращая его в некоторое пространство над алгеброй. При этом выбор алгебры должен преследовать еще одну существенную цель - при помощи умножения на элемент выбранной алгебры необходимо представлять движение исследуемого пространства, то есть представлять такие преобразования в многолистном пространстве, которые сохраняют инварианты, определяющие в нем некоторую геометрию.
Классическим примером выбора алгебр, адекватных к геометрической природе евклидовых и псевдоевклидовых пространств, являются алгебры Клиффорда. Эти алгебры доставляют удобный аппарат для представления движений (евклидовых и псевдоевклидовых поворотов) в многомерных пространствах.
Исторически первым нетривиальным примером алгебры Клиффорда являются алгебры кватернионов, рассмотренные еще У. Гамильтоном в 1843 г. [40]. Определения кватернионов или гиперкомплексных чисел Дж. У. Гиббсом и О. Хевисайдом были положены в основу построенного ими вектороного исчисления, интенсивно используемого в дальнейшем в математической физике. Алгебры Клиффорда малых размерностей -кватернионы, антикватернионы, бикватернионы, а также коммутативные алгебры двойных и дуальных чисел сыграли важную роль в изучении неевклидовой геометрии и теории непрерывных групп. Приложение этих алгебр в геометрии берет начало еще в работах Г. Грассмана и У. Клиффорда, а дальнейшее развитие алгебраических методов относится к работам Д.Н. Зейлингера, А.П. Широкова и др [10], [11]. В общем случае алгебры Клиффорда были использованы Р. Брауэром, Г. Вейлем и Э. Картаном для представлений групп движений. Обширный обзор различных приложений алгебр Клиффорда к изучению евклидовых и неевклидовых пространств дан в книге Б. А. Розенфельда [40].
Теория алгебр Клиффорда получила новое интенсивное развитие с конца 70-х - начала 80-х годов в связи с работами Ф.Бракса, Р.Деланжа, Ф.Соммена и ряда др. авторов, и в настоящее время наблюдается интенсивный рост числа работ, посвященных приложениям алгебр Клиффорда в анализе, геометрии, топологии и в квантовой теории поля.
Следует отметить, что классические клиффордовы структуры адаптированы к «двулистным» пространствам, что характерно для евклидовой структуры, определяемой фундаментальной квадратичной формой. В локальном варианте эта двулистность воспроизводится в
классических пространствах в точках римановых и псевдоримановых многообразий.
Для изучения многолистных (m-листных) пространств с фундаментальными формами (формами выше степени 2) требуется модификация классических алгебр Клиффорда [6] с тем, чтобы т-степень вектора давала однородную скалярную форму от его координат, степень которой равна т.
Цель диссертационной работы состоит в изучении дифференциальной геометрии многолистных пространств.
Основными задачами нашего исследования являлись следующие:
Построение конструкции многолистных многообразий как пространства над алгебрами специального класса.
Изучение калибровочных групп алгебраических преобразований в соответствующих касательных пространствах.
Исследование инвариантных продолжений дифференциальных операторов, ковариантных относительно калибровочной группы, а также исследование дифференциальных инвариантов этих операторов.
Основные результаты* полученные в диссертации, являются новыми, среди которых основными являются:
Описана конструкция многолистного многообразия как пространства расслоения с дискретными слоями.
Установлена связь между многолистной структурой касательных пространств над многолистными многообразиями и их алгебраической структурой, определенной посредством обобщенных алгебр Клиффорда.
Введено понятие алгебраических преобразований многолистных пространств и изучены калибровочные группы таких преобразований для многолистных касательных расслоений. Эти группы реализованы как подгруппы регулярной группы обратимых элементов соответствующей алгебры сечений расслоения.
Определен аналог ковариантного дифференцирования в
многолистных пространствах, являющийся инвариантным продолжением ковариантного дифференцирования в римановых пространствах и пространствах аффинной связности, а также установлена его инвариантность относительно действия алгебраических преобразований пространства.
5. Изучен дифференциальный инвариант оператора ковариантного дифференцирования, представляющий собой аналог кривизны риманова пространства.
Результаты работы получены систематическим использованием методов исследования пространств над алгебрами и методов тензорного анализа.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении дифференциальной геометрии многообразий с дополнительными алгебраическими структурами, при изучении калибровочных полей для неабелевых групп, в частности, в квантовой хромодинамике и теориях объединяющих гравитационных, слабых и сильных взаимодействий. Также при чтении специальных курсов в высших учебных заведениях.
Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании Научного семинара кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); на X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (2002г., Ростов-на-Дону); на I Международной конференции «Движения в обобщенных пространствах» (2002г., Пенза).
Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях [54] - [63].
Диссертация состоит из введения, трех глав, состоящих из 8 параграфов, и списка литературы, состоящего из 53 работ. Диссертация изложена на 110 страницах машинописного текста.
Краткое содержание основного текста диссертации.
Во введении настоящей работы обосновывается актуальность темы, освещается предыстория вопроса, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты, полученные в работе.
В первой главе введено понятие многолистного пространства, служащего моделью многих физических процессов и явлений, а также определена алгебраическая структура, которой наделяются изучаемые пространства.
В 1 описана конструкция многолистного пространства Q"m,
соответствующая ему метрическая структура G. Вместе с этим, посредством определения внешней алгебры, построено билинейное продолжение метрической функции, то есть определено скалярное произведение для поливекторов над многолистным пространством. Таким образом, введены следующие определения:
Определение. Прямую сумму Е"'т линейных пространств Е" с введенным на ней набором линейных изоморфизмов {Jn}, подчиненных условию транзитивности, назовем многолистным пространством
Определение. Многослойное пространство Q"m =("'"'; {Jw}; G) с
введенной на нем метрической структурой G назовем евклидовым многослойным пространством; метрику G — метрикой объемлющего пространства Q"m.
В 2 конструкция многолистного пространства дополняется некоторой специальной алгебраической структурой, определенной посредством обобщенных групповых алгебр. Рассмотрены несколько примеров обобщенных групповых алгебр, «вскрывающих» групповую структуру многих классических алгебр (алгебры комплексных и двойных чисел, алгебры кватернионов и антикватернионов, алгебры октав Кэли и др.). Вместе с этим приведены примеры многолистных пространств, наделенных
подобными алгебраическими структурами, позволившими описать разнообразные подстановки листов многолистного многообразия. Для этого введены следующие определения:
Определение. Вещественное линейное пространство Р[2] формальных линейных комбинаций элементов группы 2 назовем обобщенной групповой алгеброй, если для элементов Р[Е] введено (дистрибутивное) произведение, определенное правилом: <та -
Произведение Элементов (7,,<Т4ЄІ, ЛОІ) є Р (ДоА * 0).
Определение. Алгебраическим продолжением метрической формы G m-листного w-мерного евклидового пространства Q"m = (Е"'т; {J }; G)
назовем отображение GR[] :L"(P[L])xL"(P[Z])—> Р[], действующее по
закону: G(Jaet,Зье}) = GP(EJ(aael,ahes) = сга crhg{et,е^, распространяя
значение Gpm на любые элементы модуля L"(P[L]) по линейности.
Определение. Модуль 2Г(Р[1]) с метрикой СР|Ї] назовем
многолистным алгебраическим пространством со структурной алгеброй Р[]; группу S, над которой построена алгебра Р[2], будем называть групповой структурой (или структурной группой) многолистного алгебраического пространства.
В 3 введено понятие движения на многолистном пространстве и рассмотрены алгебры, служащие естественным аппаратом для описания движений. На примере алгебр Клиффорда представлено обобщение спинорных представлений групп движений многолистных пространства. С этой целью даны следующие определения:
Определение. Линейное пространство К(Еп) над произвольным
полем Р с введенной на нем ассоциативной операцией комбинаторного умножения назовем комбинаторной алгеброй; линейное пространство Еп -
подстилающим пространством комбинаторной алгебры К(Е' ).
11 Определение. Комбинаторную алгебру К(Еп), базисные элементы подстилающего пространства которой удовлетворяют определяющим тождествам: е, >е} =&iJej «е., і #j, где av еР, назовем внешней алгеброй
над полем Р.
Определение. Комбинаторную алгебру К(Еп) с коммутационными
соотношениями: et еу = е} е, либо et еу = -ej et, (для і* j) назовем
симметричной и, соответственно, антисимметричной однородной внешней алгеброй.
Определение. Комбинаторные алгебры, базисные элементы которых удовлетворяют следующим определяющим соотношениям:
е, е, = ссеj et, є є, = aet e}, j < i,
(где or — первообразный корень w-й степени из единицы), назовем элементальными алгебрами В" (Еп).
Определение. Линейные преобразования модуля "(P[Z]),
сохраняющие 1) алгебраическую структуру алгебраического многолистного пространства AQ"m, то есть соответствующую алгебру Р[] и
2) дополнительные структуры Gm, введенные на Л^, назовем движениями алгебраического многолистного пространства AQ"m. Группу, соответствующую таким преобразованиям, назовем группой движений AQ"n.
Определение. Форму т-й степени Gm(X) соответствующей
элементальной алгебры В"п назовем фундаментальной формой многолистного пространства AQ"m.
Определение. Группу Dn(B"), образованную элементами вида:
= Exp(tsk), назовем спинорной группой «-мерного га-листного
алгебраического пространства AQ", а представление движений
рассматриваемого пространства в виде: Х'='Х-_| - спинорным представлением движений пространства AQ"m.
Доказано:
Теорема. Для любого вектора х = х1е1+х2е2+... + хпеп є Ел сС
справедливо равенство:
X -= уХ.Є. Т" ХуЄу і Т X Є J — Л. Т ... Т Л ~~ X р+\ ~~ ..« — X р+д ф
Теорема. Для произвольного вектора хеЕп с. В" справедливо тождество: хт = х" + х' +... + х".
Теорема. Для произвольного элемента Х = \кек элементальной
алгебры В"п (х* є В"(єк,т)) форма m-й степени Gm(X) есть сумма детерминантов его циклических коэффициентов х*, то есть
Gm (X) = А(х') + А(х2) +... + Д(х").
Теорема. Преобразования базисных элементов {є,} (/=1,..., и) модуля
Е"(В") вида: е, = ^'et-^~\ где g = Exp(ts), "'= Exp(-ts) сохраняет структуру элементальной алгебры В"п и фундаментальную форму Gm(X).
Вторая глава посвящена определению и изучению многолистного многообразия и определенных для него калибровочных групп движений.
В 4 конструкция многолистного пространства локально перенесена на гладкие многообразия. Для определения такой структуры введено понятие многолистного многообразия как специализированного расслоения с дискретными слоями. С этой целью дано следующее определение:
(
т-\ т-\ \
UM"C); \JM"c)/J; Fm; рг\ с
c=0 c-0 )
m-\ /я-1
дискретным слоем Fmt тотальным пространством U^C> и базой \JM"C)/J
4=0 =0
назовем многолистным многообразием с т листами М"с), являющимися
локально гомеоморфными гладкими многообразиями с многолистной гладкой транзитивной структурой {J .} (а, Ь, с = 0,...,(т -1) ).
Рассмотрен ряд примеров, иллюстрирующих приведенную конструкцию многолистного многообразия.
В 5 введено понятие касательного многолистного расслоения, которое оснащено специальной алгебраической структурой, позволяющей изучать вопросы движения описываемых пространств. Для них даются следующие определения:
Определение. Прямую сумму ТрМ"т касательных пространств Т М"к) в точках ркєМ"к} слоя Fm(P(J)), с введенным на нем набором диффеоморфизмов {J'p,,} назовем многолистным касательным пространством ТрМ"т расслоения М"т в точке Р є М"т.
Определение. Многолистное касательное пространство ТгМ"т над расслоением Мпя в точке РєМпт с определенной на нем структурой «-мерного модуля ТрМ"т{ЩІІ\) со структурной алгеброй R[S] назовем алгебраическим многолистным касательным пространством ATltMnm расслоения М"т в точке Р є М"т.
Определение. Дифференцируемую структуру ЛТМ"т = \jATpM"m
/'ем:
назовем алгебраическим многолистным касательным расслоением гладкого многослойного многообразия М"т. При этом АТМ"т является пространством расслоения, многообразие М"т — базой, многолистное алгебраическое касательное пространство АТрМ"т в точке РєМпт - слоем касательного расслоения.
В заключение параграфа приведен пример многолистного касательного расслоения над трехлистной сферой.
6 посвящен определению алгебраических преобразований касательных пространств и соответствующих калибровочных групп движений. Инвариантные продолжения дифференциальных операторов
относительно этих калибровочных групп представляют собой аналог ковариантного дифференцирования в римановых пространствах.
В параграфе даны следующие определения:
Определение. Отображение f:Mnm —»R[E], для которого в любой локальной карте (Um,(pm) на М"т отображение /ор~1 : q>m(Цт) —> R[S] является гладким, назовем гладкой функцией на Мпт. Множество С(М"т) всех гладких функций на М"т назовем алгеброй гладких функций многослойного многообразия М"п.
Определение. Векторное поле дп такое что d,|f/ =д\ назовем
дифференцированием алгебры сечений АМпт алгебраического касательного расслоения АТМпт.
Определение. Дифференцирование V, ассоциированное с
дифференцированием dt алгебры AMпт, определенное формулой
VX = дХ + Ф, X - ХФ2, назовем алгебраическим ковариантным
дифференцированием алгебры АМпт.
Определение. Элементы Ф, є АрМпт, преобразующиеся под действием группы G по закону ФУ = Соп4{д)Фі = Ф, "' -d,-_I, назовем связностями, ассоциированными с группой G и дифференцированием д,.
Доказано:
Теорема. Множество преобразований Соп^(д) (^gG) образуют
группу Соп(д), причем отображение u):G-> Соп(д) такое, что для любого є G: й){) = Сопс(д) - является гомоморфизмом.
Теорема. Алгебраическое ковариантное дифференцирование V(d,), ассоциированное с дифференцированием dt алгебры АМ"т, определенное формулой: У(5/)Х = Э/Х + Ф.Х-ХФ/, инвариантно относительно действия калибровочной группы G.
Теорема. Алгебраические ковариантные дифференцирования УЛ(5,) и V,(d,), определенные равенствами: УЛ(5/)Х = Э(Х + Ф/Х и Уі(дІ)Х = діХ — ХФІ, инвариантны относительно действия калибровочной
группы G.
Введенные понятия связности и алгебраического ковариантного дифференцирования для многолистных касательных расслоений позволили в третьей главе определить количественную характеристику изменения алгеброзначных векторных полей при параллельном переносе, тем самым определить аналог кривизны многолистных пространств.
В 7 дано следующее определение:
Определение. Дифференциальный оператор К12, определенный
формулой: Кп - V,V2 -V2V, -V12, назовем оператором кривизны
ковариантного дифференцирования V, ассоциированного с
дифференцированиями дх и д2; элемент Кп є АМ"т, определенный
формулой К]2=д1Ф2-д2Ф]+ФіФ2-Ф2Ф]-сХ2Фк - кривизной алгебры сечений АМ"т, ассоциированной с дифференцированиями 5, и д2.
Также доказано:
Теорема. Действие оператора кривизны К]2 ковариантного дифференцирования V на произвольный вектор X є АМ"т определено равенством: КпХ = К]2Х - XKl2.
Теорема. Действия операторов кривизны KRX2 и К, |2 алгебраических ковариантных дифференцирований VR и V, соответственно на произвольный вектор X є АМ"т определены равенствами: А^|2Х = Кп X и
Вместе с этим в параграфе вычислены кривизны двулистного трехмерного многообразия Ml, алгебраическая структура которого
16 определена алгеброй Клиффорда С3, и многообразия М\ с элементальной структурной алгеброй В\.
8 посвящен изучению дифференциальной геометрии трехлистной сферы. Определена многолистная геометрическая и алгебраическая структура данного объекта. Изучены алгебраические преобразования многообразия, построена калибровочная группа движений. Также определено алгебраическое продолжение оператора дифференцирования, объекты связности и алгебраическое ковариантное дифференцирование. Вычислены кривизны трехлистной сферы и установлены их свойства.
Реализация многолистных пространств над алгебрами
Приведенная в 1 конструкция многолистного пространства может быть естественно объединена с некоторой специальной алгебраической структурой. I. Обобщенные групповые алгебры. Пусть L = {a0,al,...iam_i} - конечная группа порядка т, Р - некоторое поле (мы будем считать Р либо полем действительных чисел R, либо полем комплексных чисел С). Определим над /w-мерное линейное пространство Р[] формальных линейных комбинаций элементов группь:= А"аа = Аа0 +А а1 +...+ Ат хом_,, А" єР. Базисными элементами пространства Р[Х] являются элементы группы [46]. Определение 2.1. Вещественное линейное пространство Р[] формальных линейных комбинаций элементов группы назовем обобщенной групповой алгеброй, если для элементов P[Z] введено (дистрибутивное) произведение, определенное правилом: где сга уь групповое произведение элементов тв,сглє, Xah є Р (А 0) - набор некоторых числовых коэффициентов. Здесь необходимо отметить, что в отличии от традиционного определения алгебры [46], набор структурных констант которой состоит из w3 элементов, в случае обобщенной групповой алгебры Р[] количество числовых коэффициентов Aah составляет и2 (по одному для каждого произведения группы ), которые мы будем так же называть структурными константами. В случае Ла1)=1, Р[Е] является хорошо изученной групповой алгеброй. В отличии от групповой алгебры, которая всегда ассоциативна, вследствие ассоциативности группового умножения, обобщенная групповая алгебра может быть и не ассоциативной. Предложение 2.1. Для того чтобы обобщенная групповая алгебра Р[Е] над ассоциативной группой Е была ассоциативна, необходимо и достаточно, чтобы ее структурные константы удовлетворяли следующему «условию ассоциативности»: для любых cra, crh, ad є І, таких, что cra ah=ac и Доказательство.
Пусть ста аь = arc, a crt cru = rf, тогда Из ассоциативности группового умножения следует, что алгебра Р[] будет ассоциативной лишь в случае выполнения равенства (2.2). П Кроме того, если группа Е коммутативна, то соответствующая групповая алгебра также коммутативна, в то время как для обобщенной алгебры свойство коммутативности может не выполняться. Очевидна справедливость следующего предложения Предложение 2.2. Для того чтобы обобщенная групповая алгебра Р[] над коммутативной группой Е была коммутативна, необходимо и достаточно чтобы ее структурные константы удовлетворяли следующему «условию коммутативности» Обобщенные групповые алгебры полезны тем, что они «вскрывают» групповую структуру многих классических алгебр. Наличие такой структуры непосредственно следует из совпадения (с точностью до структурных констант) таблиц умножения рассматриваемых алгебр с таблицами умножения соответствующих группПриведем несколько примеров обобщенной групповой алгебры, которые мы используем в дальнейших построениях. Пример 1. Известно [39], что алгебра двойных чисел R[y] с базисом {1,у}, гдеу2=1 и поле комплексных чисел R[/] - {1,/}, где/2 =-1 имеют следующие таблицы умножения соответственно: Из приведенных таблиц непосредственно следует, что набор Лі =Лг = 21 =Л2 = 1 составляет набор структурных констант (в соответствии с введенным выше определением структурных констант обобщенной групповой алгебры) алгебры ЩЛ, а Яи = Хп = Я21 = 1, Я22 = -1 — алгебры R[/]. Легко видеть, что с точностью до констант Av, таблицы умножения приведенных алгебр совпадают с таблицей Кэли группы Z2: где {1, є) - элементы группы Z2. Таким образом, можно говорить о том, что алгебра двойных чисел является примером групповой алгебры R[Z2], а поле комплексных чисел — примером обобщенной групповой алгебр е8и нЪ, что рассматриваемые алгебры коммутативны и ассоциативны. Пример 2. Алгебры кватернионов и антикватернионов являются широко изученными примерами обобщенной групповой алгебры R[Z2xZ2] над группой Z2xZ2, элементами которой являются пары {(1,1), (1, ), (є,\), (є,є)}, где элементы {1, є} - элементы группы Z2.
Касательные расслоения над многолистными многообразиями
Изучение дифференциальной геометрии многолистных пространств, рассматриваемых в 4, требует оснащения их конструкцией касательного расслоения. Вместе с тем, согласно главе 1, многолистные касательные пространства могут быть объединены со специальной алгебраической структурой, позволяющей изучать вопросы движения описываемых пространств. Пусть Мпт — w-листное «-мерное многообразие, многолистная структура которого определена набором диффеоморфизмов {J,lh}, многообразия М"с) (с = 1,...,(/и-1)) являются листами пространства М"т\ Fm(P(J)) —дискретный слой расслоения Мпп над произвольной точкой P{J) базы, состоящий из точек рсєМ"с) (c = 0,...,(m-l). Рассмотрим прямую сумму касательных пространств Г М"с) к многообразиям М"с) в соответствующих точках рс слоя Определим теперь для любых a, b = 0,...,(m-\) набор диффеоморфизмов ,//ГдМ(",)- 7 М",), индуцированных набором диффеоморфизмов {Jah}, взаимно отображающих касательные пространства к листам в точках слоя Fm(P(J)) друг в друга, где J ah - дифференциал от диффеоморфизмов листов. При этом из условия транзитивности диффеоморфизмов JаЬ (4.1) непосредственно следует свойство транзитивности диффеоморфизмов J ah, то есть Тем самым пространство (TpM lJ }) с введенным на нем набором диффеоморфизмов становится многолистным пространством. Определение 5.1. Прямую сумму TvM"m касательных пространств ТрМ"с) в точках рсеМ"с) слоя Fm(P(J)), с введенным на нем набором диффеоморфизмов {J ah} назовем многолистным касательным пространством ТрМ"т расслоения М"т в точке Р = {р0, /?,,...,р„_,}єМ"т. В силу данного определения, базисом w-листного касательного пространства в точке Р є М"т является набор векторов {е,, J\elt...y J m_,е,}» где {Jje,} набор базисных элементов ТрМ"с), индуцированный базисом {е,} пространства ГроМ"0) ( = 1,...,л; c = l,...,(m —1)) (здесь, как и ранее, обозначение ./ является сокращением от J 0c). Произвольный вектор X є T,,M"m имеет вид: Замечание. Здесь, так же как и 1 главы 1 была применена процедура «разнесения» базиса одного из листов многолистного пространства по всем листам. Без ограничения общности в качестве такого «ведущего» листа выбрано касательное пространство ТраМ"0), и, соответственно, его базис {е,} (/ = 1,...,/). Такая процедура представляется весьма удобной для построения согласованного (в силу выполнения транзитивности координирующих диффеоморфизмов {./ }) базиса {«/ ,-} многолистного касательного пространства ТрМ"т, индуцированного базисом {е,}, где Введем в рассмотрение алгебраическую структуру многолистного касательного пространства ТрМпт расслоения М"п в точке Ре.М"т.
Для этого рассмотрим произвольную группу порядка /и, образованную злеменіами {cr0,al,...,crm_l} и обобщенную групповую алгебру R[S] с групповой структурой над полем действительных чисел R. Рассмотрим двусторонний модуль Т,,М2(Щ1.]) над обобщенной групповой алгеброй R[]. Пусть элементы {et} составляют базис модуля Т,,М2(Ц[Щ), а элементы { тр} (р = 0,...,(пг-1)) - базис структурной алгебры R[D]. Известно (глава 1, 2, п. II), что многолистное пространство ТрМпт и модуль TPMl(R[L]), рассматриваемый как вещественное пространство, изоморфны. Действие такого изоморфизма ju: ТрМ"т — TPM (R[L\) определено законом: Определение 5.2. Многолистное касательное пространство Т,,М"т над расслоением М"т в точке Р&М"т с определенной на нем структурой «-мерного модуля ТрМЦЩТ.]) со структурной алгеброй R[S], назовем алгебраическим многолистным касательным пространством АТГМ"Н расслоения Мпа в точке Р є M"m. Рассмотрим объединение LM /- « многолистных касательных пространств АТрМ"т в точке Р по всем точкам Р є М"т. Определим проекцию л:АТрМпт - М Я, сопоставляющую каждому касательному пространству АТрМ"т расслоения М"т его начальную точку Р, то есть: я(А ТМ"т ) = Р, для всех точек Р є М"т. Таким образом, если Q произвольная точка многолистного пространства М"ті то ATQM"m=7i \Q) является слоем многолистного касательного расслоения \ АТРМ"Я над точкой QeMm. рем: многолистным касательным расслоением гладкого многолистного многообразия М"т. При этом \ АТ,,Мпт является тотальным пространством рем: расслоения, многообразие М"т — базой, многолистное алгебраическое касательное пространство АТРМ"„ в точке Ре Ml - слоем касательного расслоения. Вместе с этим рассмотрим непрерывные отображения s : М"т — АТМ"т, для которых s{F) лежит в слое ж х (Р), то есть л»(/ ) = Р для всех Р є М"и. Элементы s традиционно называют сечениями расслоения ATM l, а образованную ими алгебру AMI алгеброй сечений многолистного расслоения АТМпт. Здесь необходимо отметить, что алгебра АМ"т является бесконечномерной алгеброй, тогда как ее ограничение АрМ"т в точке Р є М"т - конечномерная алгебра. Для иллюстрации приведенной конструкции алгебраического многолистного касательного расслоения рассмотрим нижеследующий пример. Пример. Пусть 5"з = (20) Sfu Ф Sf2) - прямая сумма трех двумерных концентрических сфер S{c) с: R3, являющихся двумерными поверхностями в трехмерном евклидовом пространстве. Соответствующими точками в «координирующем» диффеоморфизме {JaA} (a, 6 = 0,1,2) будем считать точки пересечения луча, выходящего из общего центра сфер с этими сферами. Как было показано выше, многообразие S% является пространством расслоения, слой S3 которого состоит из трех точек, например Пусть T Sf yT Sfl)tT Sf2) касательные плоскости к сферам S20), S l)t Sf2) в точках р0, /?,, р2 слоя S (/ (./)) соответственно.
Прямая сумма TBSl = Т S Ф Т S Ф Т S является многолистным касательным пространством в точке PeS . Для определения алгебраического касательного пространства ATrS;, для расслоения Г,, 2 введем структуру двухмерного модуля TrS2(B ) над циклической алгеброй В третьего порядка, базисными элементами которой является набор {1, є, є2}. Пусть {ех, е2} - базис модуля T,,S2(Bf). Тогда произвольный элемент XeA,,S ограничения алгебр сечений A,,Sl в точке PeS можно представить в виде: Х = х0 +х1є + х2є2, где \a=x]lel+x e2, :eR,(a = 0,U; / = 1,2). В предыдущей главе ( 3, п. II) были описаны обобщенные спинорные представления групп движений многолистного пространства AQ"m. Для этого была введена специальная группа 9Т[] с R[] обратимых элемен гов структурной группы R[S] модуля "(R[Z]), определяющего алгебраическую структуру пространства. Вместе с этим, там же были определены и группы DL, DR, DM, гомоморфные группе 9?[], реализующие регулярные и присоединенное представление подгруппы G группы 9?[Е] соответственно. Аналогичные группы могут быть определены и в случае многолистных расслоений, как группы действующие на многолистных касательных пространствах многолистных многообразий. Рассмотрение подобных объектов послужит нам основой для дальнейшего описания спи норных полей, связностей и различных дифференциальных операторов. Пусть М"т - многолистное многообразие; АТМ"т — алгебраическое касательное расслоение многообразия М"т\ АМ"т - алгебра сечений расслоения АТМ"т; АрМ"т - сужение алгебры сечений АМ"т на произвольную точку Р Е М"т. Выше было показано, что точка Р є М"т есть набор из т точек Р = {р,р\...,ртХ}, где раєМ"а). Рассмотрим окрестность Um(P) точки РєМ"т, являющуюся прямой суммой согласованных окрестностей ит(Р) = иі0)(р)и0)(р )Ф...Фи{т_1)(рт-і). Пусть {рш }, і = 1,..., и; а = 0,..., (/и -1) - локальные координаты в окрестности Um{P) точки РеМ"т. При фиксированном индексе а векторные поля образуют базис касательного пространства AT аМ"а). Тогда элементы др пространства АТрМ"т в точке Р є М"т. Определение 6.1. Отображение /: Мпт — R[Z], для которого в любой локальной карте (Um, pm) на М"т отображение / - Pm(Um) - R ] является гладким, назовем гладкой функцией на Мпт. Множество С( M"ni) всех гладких функций на М"т назовем алгеброй гладких функций многолистного многообразия М"т.
Поля кривизны на многолистных многообразиях
Введенное в 6 понятие алгебраического ковариантного дифференцирования алгебры сечений многолистного касательного расслоения позволяет рассмотреть количественные характеристики изменения алгеброзначных векторных полей на многолистных многообразиях при параллельном переносе. Пусть М"т - многолистное многообразие; АТМ"т — алгебраическое касательное расслоение многообразия М"т\ АМ"т — алгебра сечений расслоения АТМ"т; АрМ"т —сужение алгебры сечений АМ"т в произвольной точке РєМпт\ группа G с АМ"т — группа обратимых элементов алгебры сечений АМ"т. Рассмотрим теперь два дифференцирования дх и д2 алгебры АМпт, в частности, это могут быть два векторных поля на Мпт. При этом, если 5, и д2 принадлежат некоторой алгебре Ли L, то коммутатор дифференциальных операторов [5,,32], который в свою очередь снова является дифференциальным оператором, также принадлежит алгебре Ли L. Пусть Ф, и Ф2 — связности, ассоциированные с дифференцированиями д1 и д2 и группой GaAM , действие которой на алгебре АМ"т определено линейным представлением: Пусть [дІ,д2] = дід2-д2ді = скпдк, тогда алгебраическое коварианшос дифференцирование V]2, ассоциированное с дифференцированием [r?,,r\J, определяется формулой: ЧпХ = скпдкХ + скпФкХ-скпХФк. Тогда Введем следующие обозначения: Определение 7.1. Дифференциальный оператор АГ12, определенный iff формулой (7.2), назовем оператором кривизны ковариантного дифференцирования V, ассоциированного с дифференцированиями д} и г?,, а элемент Кп ЕАМ , определенный формулой (7.1) - кривизной алгебры сечений АМ"т, ассоциированной с дифференцированиями 5, и дг. Из приведенных выше рассуждений становится очевидным следующая Теорема 7.1. Действие оператора кривизны Кп ковариантного дифференцирования V на произвольный вектор ХеАМ определено равенством: Предложение 7.1. Пусть д, и д2 — дифференцирования алгебры сечений АМ"т и Ф, и Ф2 — связности, ассоциированные с дифференцированими д1 и 52, тогда элемент кривизны ЛГ2 є АМ"т «антисимметричен», то сен» обладает свойством: Доказательство этого утверждения непосредственно следует из формулы (7.1).
Рассуждая аналогично для случаев левого регулярного и правого регулярного действия группы соответственно, и подходящим образом определенного в 6 коварианпюго дифференцирования: можно сформулировать следующее утверждение. Теорема 7.2. Действия операторов кривизны Кни и К, 2 ковариантных дифференцирований VR и V; соответственно на произвольное алгеброзначное векторное поле X є АМ"т определены равенствами: Доказательство этого утверждения непосредственно следует из формулы (7.1) и определения ковариантных дифференцирований VH и V,. Для иллюстрации приведенной конструкции кривизны алгебраического ковариантного дифференцирования многолисшого пространства определим кривизну пространств, рассматриваемых нами в качестве примеров в 6, то есть многолистных пространств, алгебраическая структура которых определена алгебрами Клиффорда и элементам ьиыми алгебрами. Пример 1. Пусть М23 двулистное трехмерное многообразие, ATM] алгебраическое касательное расслоение М\ (см. пример 1, 6), структурной алгеброй которого является подалгебра R[S] алгебры Клиффорда С,(Л/( ()(). В качестве базиса АТМ\ определим элементы {е,егя} (/ = 1,2,3; а = 0, 1), где {е1,е2,е}} - базисные векторные поля в координатной окрестности ироаМъ(0) (Р = {р0, / ,} є М\), {(70 s 1, о", = е123} - базисные элементы структурной алгебры R[S] с: С3. Для связности имеем: Тогда, если [eltej = с еА, то кривизна алгебры сечений ЛЛ представляется следующей системой алгеброзначных полей: Введем следующие обозначения: тогда кривизну Ktj можно будет представить в виде: Основываясь на полученных формулах (7.7), оператор кривизны А ( представим в виде: Из формул (7.8) становится очевидным, что ниоткуда не следует совпадение «листовых операторов кривизны» К х0 и ATjx,. С геометрической точки зрения этот факт обнаруживает потенциальную возможность существования многолистного многообразия, слоями которого являются многообразия различной кривизны (хотя бы в некоторой точке). Так, например, если Кх0 = 0 либо KyXt = 0, то один из листов двулистного многообразия является «плоским».
Такое «разноискривленное» многообразие, к примеру, будет образовывать прямая сумма кругового цилиндра и сферы, центр которой лежит на оси цилиндра, а точки сферы, лежащие на этой оси, выколоты (при этом соответствующими точками будут точки пересечения лучей, выходящих из центра сферы с рассматриваемыми поверхностями). В заключении отметим, что приведенная конструкция может бычь легко обобщена на случай двулистного многообразия М"г произвольной размерности п. Пример 2. В этом примере мы рассмотрим кривизну многолистного многообразия с элементальной структурной алгеброй, конструкция которого была приведена в примере 2, 6. Пусть М\ — трехлистное трехмерное многообразие; Т,,М\ -касательное пространство в точке Р є М]. Алгебраическая структура пространства АТРМ\ определена алгеброй В] а В (М 0)) с базисом где элементы {Е е "} (/ = 1,2,3; а = 0,1,2) образуют базис AVM\ (по индексам а и і происходит суммирование). При этом объект связности Ф имеет вид: (здесь по индексу к происходит суммирование), и алгебраическая ковариантная производная произвольного векторного поля Х = лг" Ео/ вдоль базисного поля et имеет вид: При этом, если базисные векторные поля et выбраны таким образом, чго [еу,еу] = 0, тогда V12X = 0, и, соответственно, действие оператора кривизны Кп определено равенством.
Геометрия трехлистной поверхности
В заключение настоящей работы мы представим достаточно подробное описание геометрического и алгебраического строения некоторых частных случаев изучаемых многолистных многообразий. Этот параграф будет посвящен изучению геометрии трехлистного двумерного многообрашя. Примерами таких многообразий, помимо тривиальной трехлистной плоскости, могут служить трехлистная сфера, трехлистный цилиндр и многие другие прямые суммы трех локально гомеоморфных поверхносгей, с определенной для них многолистной структурой. Пусть М(20), А/(2П, М22) — три двумерные поверхности М с) с R в трехмерном евклидовом пространстве; М\ = М20) Л/,2,, М 2) прямая сумма этих поверхностей. Для определения конструкции многолистного многообразия необходимо задать некоторое соответствие между точками листов А/2с) посредством «координирующих» диффеоморфизмов Jab:Мг(а) — Мг(Ь} (а,!) = 0,1,2). Так, если под изучаемым многолистным многообразием мыслить трехлистную сферу, будем считать точки ри -» /;,., являющиеся точками пересечения луча с началом в общем центре сфер-листов, с этими листами {ра єМ(!в)) ph еМ2А)). Таким образом, конструкция (М32, J ) является трехлистным двумерным пространством. Вместе с этим, многообразие М\ можно представлять себе как пространство расслоения с дискретным слоем 53, состоящим из трех точек, например, F3(P(J)) = {pQi /?,, р2}, где рсєМ с). Тогда произвольная точка Р є М\ трехлистного многообразия Л/32 может быть записана в виде набора р = {Ро Рх Рг) Таким образом, расслоение М] =(\jM a), \jMfa)/J, f], pr) является трехлистным многообразием с Л/2., листами. Причем в силу геометрического строения его листов, а именно в силу того, что dim А/(;( = 2, изучаемое трехлистное многообразие мы будем называть трехлистным двумерным многообразием или трехлистной поверхностью. Определим теперь конструкцию касательного и алгебраического касательного пространства над трехлистной поверхностью.
Пусть F3(P(J)) = {p0, Pi, р2} {рс еЛ/(2с)) слой над произвольной точкой P(J) базы расслоения М\. В каждой точке рс слоя F3(P(J)) рассмотрим касательные пространства ТрМ2с) к многообразиям Л/(2С), являющимися листами. Прямая сумма ТРМ\ = Т М 0) Т М @TpiM2{2) касательных пространств в точке Ре.М\ с определенным для них набором диффеоморфизмов J ab .Tp М а)— ТріМ Ь) является трехлистным касательным пространством в точке РеМ (здесь необходимо отметить, что в 5 главы 2 было указано па то, что диффеоморфизмы J ah выбирается не произвольно, а индуцируется диффеоморфизмами Jal) листов расслоения М}2, являясь их дифференциалами). Пусть {ех,е2} — ортонормированный базис пространства Г, Л/;,. {ех, е2; J\ex, J e2; J\ex, J 2e2} — согласованный базис многолистної о касательного пространства ТРМ\ в точке РеМ (здесь применена процедура «разнесения» базиса «ведущего» листа ТроМ20), описанная в 1 и 5). Для определения алгебраической структуры касательного пространства ТРМ\ введем в рассмотрение элементальную алгебру В\ над пространством Т Mf0), базисные элементы которой удовлетворяют определяющим тождествам: el-eJ=aeJ-el; е7-е, =ае,-е,, i j. Таким образом, элементы {1, е,, е2, ех, ехе2, е2, ех е2, ехе2, ех е2} составляю! базис алгебры В\. Очевидно, что элемент є = ехе2 может рассматриваться как образующий циклической алгебры ВъхсВ\. Выделение такой циклической подалгебры элементальной алгебры В\ позволяет нам задать на ТРМ\ структуру двумерного модуля ТРМ2(В?) над алгеброй /?,\ Таким образом, мы приходим к конструкции алгебраического трехлистного касательного пространства АТРМ\ в произвольной точке Ре Л/ трехлистной сферы М2. Объединение ATM2 = {JATPM2 образует алгебраическое касательное расслоение трехлистной поверхности М\. При этом, если AM2 — алгебра сечений касательного расслоения ATM и АРМ\ — сужение АМ\ на точку РеМ2, то произвольный элемент X е АРМ2 можно представить в следующем виде: Х = дс0е, + х"еІє + хие1є2 +х20е2 +х2іе2є + х22е2є2 или Х = х е, + х2е2, где элементы {ех, ete, ess2:, e2t е2є, е2є2} образуют базис пространства АТРМ\, х ,х2є5,\ /eR. Введение специальных обозначений: Е е ", для базисных элементов пространства АТ,.М[ позволяет представить элемент ХеА,,М2 В виде: Х = х " Etii (/ = 1, 2; а = 0,1, 2). Пусть GCZAM] группа обратимых элементов циклической алгебры В , элементы которой имеют вид: Е, = Exp(ts) = а0(t) + ах{і)є + а2(t)e\ где аД/) = У , / = 0,1, 2; AdG -регулярная группа представлений группы G, действие которой на произвольном элементе X є AM] определено равенством: Для элементов алгебраического касательного пространства трехлистной поверхности определим форму G3(X) третьей степени: G3(X) = X\ Можно показать, что преобразования вида (8.1) сохраняют структуру касательного пространства и оставляют инвариантной форму G3(X).
Таким образом. преобразования вида (8.1) представляют собой движения алгебраическою касательного пространства AM2, а группа G, соответственно, являє і ся обобщенной спинорной группой движений АМ\. Определим алгебраическое ковариантное дифференцирование изучаемого многообразия М2, инвариантное относительно действия группы G. Для этого определим объект связности Ф , задав ею и следующем виде: Тогда ковариантная производная базисных векторных полей Еа вдоль векторных полей et имеет вид: Однако удобным оказывается введение следующих «традиционных» обозначений: где по индексам b и к происходит суммирование. Тогда, согласно (8.3), коэффициенты Г," принимают следующие значения: Алгебраическая ковариантная производная произвольного векторного поля X є AMI вдоль векторных полей et имеет вид: (по индексам a, b, j, к происходит суммирование). Используя соотношения (8.3) и (8.5) легко получить следующее равенство для определения оператора кривизны трехлистной поверхіїосіи (здесь мы используем ортонормированность базиса {ех, е2} ТрМг(й), а точнее следующее из этого свойства равенство: [е, ,е2] = 0 ): В заключение отметим, что рассматриваемые трехлистные поверхности представляют собой наиболее простой пример многолиепшх многообразий. В то же время, эти многообразия значительно отличаю гея о і хорошо изученных двулистных многообразий, представленных в современных геометрических работах как пространства над алгебрами, например, дуальных или комплексных чисел. На наш взгляд, становится очевидным, что построенная в данной работе конструкция многолистного многообразия содержит в себе богатые геометрии и может послужим» основой множества разнообразнейших математических исследований.
