Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 5
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 5
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ 9
Постановка вопроса и актуальность темы 9
Цель работы 10
Методы исследования 11
Научная новизна 11
Теоретическая и практическая значимость 13
Апробация 13
Публикации 14
Вклад автора в разработку избранных проблем 14
Структура и объём работы 14
10. Некоторые замечания 14
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ 15
ГЛАВА 1. Двойственная геометрия нормализованного пространст
ва проективно-метрической связности 25
1. Пространство проективно-метрической связности 25
Теорема Картана-Лаптева 25
Пространство проективно-метрической связности 26
Метрика пространства проективно-метрической связности 30
2. Двойственные пространства проективно-метрической связности
без кручения 34
Поля геометрических объектов нормализованного пространства проективно-метрической связности 34
Индуцированные пространства проективной связности 37
Инволютивные преобразования форм связности и двойственные пространства 44
Двойственные пространства проективно-метрической связности
без кручения 47
5. Тангенциальное пространство проективно-метрической связнос
ти, индуцируемое полярной нормализацией пространства Кпп.... 55
6. А- и В- пространства проективно-метрической связности 56
3. Геометрии двойственных пространств аффинной связности 59
Двойственные аффинные связности 59
Геометрии двойственных пространств аффинной связности 61
Геометрия средней аффинной связности 64
Пространство аффинной связности, индуцируемое полярной нормализацией пространства К 65
4. Приложение геометрии проективно-метрического пространства
Кп к изучению теории плоских сетей YnaKn 68
1. Дифференциальные уравнения сети Z„ с/„ и инвариантные
образы, порождаемые ею 68
2. Сопряжённая относительно поля конусов направлений
aKLu)oa)o ~ 0 я-сопряжённая система „ <= Кп 69
3. Сопряжённые чебышевские и геодезические и-сопряжённые
системы Z„ сЛГл первого и второго родов 72
ГЛАВА 2. Двойственная геометрия регулярного распределения
гиперплоскостных элементов в пространстве проектив
но-метрической связности 77
1. Тангенциальное пространство проективно-метрической связнос
ти без кручения, индуцируемое регулярным распределением гипер
плоскостных элементов 77
1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов
на регулярном распределении 91 в Кпп 77
2. Двойственный образ регулярного распределения гиперплоскост
ных элементов 91 в К и тангенциальное пространство
проективно-метрической связности Кпп без кручения 80
2. Двойственные поля соприкасающихся гиперквадрик 86
1. Поле соприкасающихся гиперквадрик Q2n_x на распределении
91 в Кп п и поле двойственных геометрических образов 86
2. Поле соприкасающихся гиперквадрик Ql_x на распределении
91 в Кп п и поле двойственных геометрических образов 90
3. Полярное распределение гиперплоскостных элементов 93
ГЛАВА 3. Внутренняя геометрия нормализованного регулярного
распределения гиперплоскостных элементов в прост
ранстве проективно-метрической связности 98
1. Внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордена
распределения % в Кпп 98
2. Двойственные аффинные связности на нормализованном распре
делении гиперплоскостных элементов 103
Двойственные пространства аффинной связности АппЛ и Апп_{, индуцируемые нормализацией распределения Ш в Кпп 103
Оснащения в смысле Э. Картана распределений 5Н в Кпп,
ЧЯ в Рпп и нормализации пространств Кпп, Рпп 108
3. Двойственные пространства аффинной связности Ап>п и Апп 111
3. Нормализации взаимно-полярных распределений гиперплоскостных
элементов в проективпо-метрическом пространстве Кп 115
Взаимно-полярные нормализации распределений 91 и 91 в Кп 115
Взаимно-полярные аффинные связности, индуцируемые нормализацией распределения 9Ї с Кп 117
ЛИТЕРАТУРА 119
Введение к работе
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связно-стей в различных расслоенных пространствах, а также её применение при исследовании оснащённых подмногообразий, погружённых в однородные и обобщённые пространства.
История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [103] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея сразу же нашла применение в общей теории относительности и была обобщена в различных направлениях. В 1918 году Г. Вейль [109] для построения единой теории поля ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [102], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [45] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И. А. Схоутен [106], [107] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.
Развитие теории связностей в рамках этих двух концепций продолжалось в течение всей первой половины XX века.
В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17], [19] и Ш. Эресман [101] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение В. В. Вагнера является локальным и выполнено классическими методами.
Многие исследователи применяли связности в касательных расслоениях при изучении геометрии подмногообразий, вложенных в риманово пространство, в частности, в пространство постоянной кривизны.
Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э. Картан [99] в 1937 году.
В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [59], в которой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [59], нормализация «-мерного проективного пространства Рп состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 - гиперплоскость 0», где А0^^0. При этом, принимая гиперплоскость 0 за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Рп, двойственное исходному пространству Рп. Нормализации А0 -» 0 отвечает внутренняя проективно-евклидова геометрия (первого рода). При-
менение принципа двойственности к нормализованному пространству Рп позволило принять гиперплоскость 0 за нормализуемый элемент проективного пространства Рп, а связку гиперплоскостей с центром в точке А0 -за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Рп и Рп индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П. Норденом также названы двойственными.
Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Рп, А. П. Норден [59], В. В. Вагнер [18], А. И. Чахтаури [88], [89], А. П. Широков [93], Г. В. Бушманова [13], Г. Н. Тевзадзе [80], А. В. Чакма-зян [85], Ю. И. Попов [68] - [70], М. А. Василян [20] - [22] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Vn_x с Рп, гиперполосы НтаРп, нормализованного пространства Рп, а также по изучению двойственной геометрии сетей Е2 с:Р2 и I2cF2cP3.B указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.
В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [47] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности.
Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [54].
В 1926 г. Э. Картан [98] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой G ».
К понятию неголономного многообразия привели учёных некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтегрируемои системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы (см. работы В. В. Вагнера [15], А. В. Гохмана [41], П. К. Рашевского [72], С. А. Чаплыгина [86]).
Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле т -мерных пучков направлений не задаёт семейства т -мерных подпространств (см. работы
В. В. Вагнера [14], [16], Д. М. Синцова [74], Схоутена [108], монографию Михэйлеску [105]).
В инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [50], [51], [63], [65]) получила дальнейшее развитие теория распределений т -мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Рп и пространстве проективной связности Рпп.
В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [10], [11]. Ю. Г. Лумисте [55] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Алшибая [2] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [60], [61] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.
В 70-х годах XX века В. Т. Базылевым получена (см. [3] - [6]) обширная теория плоских многомерных сетей Ya„, погружённых в и-мерное проективное пространство Рп. В этом направлении некоторые вопросы сетей в п -мерных проективном и аффинном пространствах рассматриваются также в работах А. И. Чахтаури [89], М. Calapso [97], R. Migliorato [104]. Ряд классов сетей на различных многообразиях (в частности, в пространствах аффинной связности) изучается В. Т. Базылевым [7] - [9], А. Е. Либером [52]. В работах В. Т. Базылева [5], [7], Я. С. Дубнова [42], А. Е. Либера [53] в различных пространствах рассматриваются многомерные аналоги чебышевских сетей. Некоторые вопросы глобальной теории сетей на двумерных многообразиях отмечены в работах Wissler'a Ch. [ПО], Э. Г. Поздняка [67]. А. И. Чахтаури [87] применяет метод нормализации к изучению двойственной геометрии плоских сетей Ег с= ^2
Двойственная геометрия плоских сетей Z„ сР„, т-тканей на гиперполосном распределении Н с Р и на регулярной гиперповерхности Vn_x с Рп
изучается А. В. Столяровым [76].
Метод Г. Ф. Лаптева был использован А. В. Столяровым [76] для построения основ двойственной теории оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективной связности Р . При этом определение
двойственных пространств с линейной связностью А. В. Столяровым дано [76] с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей. Такое определение позволило автору при изучении двойственной геометрии подмногообразий расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности, привлечь к изучению геометрии подмногообразия его двойственный образ, рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации [59] подмногообразия, но и при различных других его оснащениях, впервые проводить изучение двойственной геомет-
рий неголономных многообразий (распределений). В частности, А. В. Столяровым разработаны [76] основы инвариантных двойственных теорий нормализованного пространства проективной связности Рпп, регулярного гиперполосного распределения Я с Рпп и регулярного распределения гиперплоскостных элементов 9?, погружённого в пространство Р , а также найдены некоторые пути приложения этих теорий к изучению двойственной геометрии плоских многомерных сетей (тканей).
Согласно А. П. Нордену [59], пространством п измерений с проективной метрикой или пространством Кп называется такое пространство,
образом точки которого является точка проективного пространства Рп, а
фундаментальной группой - подгруппа проективных преобразований, сохраняющих некоторый поляритет (абсолют). Этот поляритет называется абсолютным поляритетом пространства Кп. В монографии А. П. Нордена [59] изучаются некоторые вопросы геометрии пространства Кп с невырожденным абсолютом Qn_v В случае, когда абсолют QnA овального типа,
поляритет называется [59] гиперболическим.
Гиперболическое пространство Кп имеет особое значение в геометрии, ибо оно представляет собой проективную интерпретацию геометрии Лобачевского. С помощью этой интерпретации Ф. Клейн дал первое строгое доказательство её непротиворечивости.
В работе Г. Ф. Лаптева [47] вводится понятие пространства проективно-метрическои связности Кпп, обобщающее понятие пространства Кп:
пространство К есть пространство проективной связности Р , обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик Qn_x (локальных абсолютов). А. В. Столяровым [79] найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого пространство Рпп становится пространством проективно-метрическои связности Кпп.
А. В. Столяров [77] изучает внутреннюю геометрию оснащённого в смысле А. П. Нордена [59] проективно-метрического пространства Кп; в
работе [79] им исследуются некоторые вопросы дифференциальной геометрии полярной нормализации пространства проективно-метрическои связности Кпп. Д. А. Абруковым [1] получены результаты по изучению
геометрии поверхностей и распределений, погружённых в проективно-метрическое пространство Кп.
Кривые и поверхности в евклидовом и проективном пространствах с вырожденным (невырожденным) абсолютом рассматриваются в работах А. Э. Хатипова [82] - [84], Р. Г. Бухараева [12], А. П. Нордена [57], И. Н. Мигалевой [56].
Обзор работ в квазиэллиптическом, квазигиперболическом, галилее-вом Г3, псевдогалилеевом 1Г3, проективном Р3 пространствах с соответствующими абсолютами приведён в монографии [1]. В частности, в работах А. П. Широкова [90], [91] изучается биаксиальное пространство (проективное пространство Р3 с абсолютом в виде двух непересекающихся прямых), а также обобщённо биаксильное пространство.
2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
1. Постановка вопроса и актуальность темы. Теория различных дифференцируемых многообразий однородных и обобщённых пространств составляет одно из основных направлений исследований современной дифференциальной геометрии. Актуальным разделом этой теории является геометрия оснащённых многообразий, погружённых как в различные однородные пространства, так и в пространства с фундаментально-групповой связностью.
Дифференцируемое многообразие, погружённое в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащённым [47], если на нём определено поле некоторого геометрического объекта gA (поле оснащающего объекта многообразия):
где coSl - главные (первичные) формы, coSl - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погружённого многообразия характеризуется строением основных функций у/А (g), определяющих оснащающий
объект g . В зависимости от их строения получаются различные оснащения многообразия. Задание оснащения многообразия определяет на нём соответствующую дифференциально-геометрическую структуру (см. [66], [92]).
Отметим, что задачи, возникающие при изучении оснащённых многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погружённого многообразия, оказываются весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащённых многообразий неисчерпаемой.
В рамках этой геометрии большой научный интерес представляет создание двойственной теории оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективно-метрической связности Кпп [47] с п-мерной базой и п -мерными слоями.
Объектом исследования настоящей работы являются оснащённые многообразия, погружённые в пространство проективно-метрической
связности Кпп. В качестве погружённых подмногообразий пространства Кпп рассматриваются:
пространство проективно-метрической связности Кпп (глава I);
регулярное распределение гиперплоскостных элементов ЧЯ в Кпп
(главы II и III).
Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо:
изучение геометрии нормализованного пространства проективно-метрической связности Кпп до настоящего времени находилось в начальной стадии (см. работу [79]);
геометрия неголономной гиперповерхности (то есть распределения гиперплоскостных элементов), погружённой в пространство проективно-метрической связности Кпп, отличное от плоского, до настоящего времени
в математической литературе вообще не изучалась;
3) представляет научный интерес приложение геометрии проективно-
метрического пространства Кп к изучению плоских сетей ИпаКп.
2. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение двойственной геометрии некоторых оснащённых многообразий, погружённых в пространство проективно-метрической связности Кп , на основе широкого привлечения их двойственных образов. Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих ключевых задач:
1) внутренним инвариантным образом построить и изучить двойст
венную геометрию линейных связностей (проективных, проективно-
метрических и аффинных), индуцируемых нормализацией пространства
проективно-метрической связности Кп п, а также найти пути приложения
геометрии проективно-метрического пространства Кп и полученных связностей к изучению плоских сетей пс:Кп;
построить основы инвариантной двойственной геометрии регулярной неголономной гиперповерхности 5Н, погружённой в пространство проективно-метрической связности Кп п;
исследовать дифференциально-геометрические структуры, внутренним инвариантным образом определяемые нормализацией распределения гиперплоскостных элементов Щ в Кпп;
для распределения $П построить полярное (относительно локальных абсолютов QnA пространства К ) распределение гиперплоскостных
элементов 9Ї и изучить геометрию распределений 91, 5R и их нормализации во взаимосвязи.
3. Методы исследования. В диссертационной работе используются ин
вариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а
именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [47], метод внешних
дифференциальных форм Э. Картана [81] и метод нормализации А. П. Нор-
дена [59]. Использование указанных методов позволило:
1) исследование геометрии оснащённых подмногообразий пространства
Кпп провести инвариантным образом путём построения и изучения полей
геометрических объектов, охваченных полями фундаментальных и оснащающих объектов;
2) изучить касающиеся исследуемых подмногообразий дифференци
ально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестно
стями до третьего порядка включительно.
Все исследования проведены в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме.
Результаты по геометрии линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [43], [47], [49], [64].
4. Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном
исследовании в ходе решения поставленных задач (см. цель работы), являют
ся новыми. Научная новизна обусловлена тем, что до настоящего времени в
математической литературе геометрия оснащённых многообразий, погру
жённых в пространство проективно-метрической связности Кпп, остава
лась практически не изученной.
В работе изучение дифференциальной геометрии подмногообразий проводится инвариантными аналитическими методами посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями фундаментальных и оснащающих объектов на подмногообразиях. Это позволило достаточно глубоко разработать тему исследования. Основные полученные в работе результаты заключаются в следующем:
1. Получены три попарно двойственных [76] как между собой, так и по отношению к исходному пространству Кп п, пространства проективной
связности Р , Р , Р и два двойственных пространства аффинной
связности Апп и Апп, индуцируемые невырожденной [76] нормализацией [59] пространства проективно-метрической связности Кпп. Показано, что, если в случае исходного пространства К без кручения пространство
Рпп или Р пп также имеет нулевое кручение, то вопрос о нахождении критерия быть пространством проективно-метрической связности можно ста-
вить лишь по отношению к пространству Рпп. В случае пространств Кп
и Рпп без кручения найдено необходимое и достаточное инвариантное аналитическое условие, при котором пространство проективной связности
Рпп есть пространство проективно-метрической связности Кпп. Изучаются свойства полученных пространств в общем случае, при полярной [79] нормализации, на. А- и Б - пространствах проективно-метрической связности, а также в случае, когда исходное пространство Кпп без
кручения или плоское. Найдены пути приложения геометрии проективно-метрического пространства Кп и полученных аффинных связностей к изучению плоских многомерных сетей Z„ в Кп.
2. Показано, что регулярное распределение гиперплоскостных эле
ментов 91 в Кп (неголономная гиперповерхность) внутренним инвари
антным образом индуцирует пространство проективной связности Р ,
двойственное пространству К , и подмногообразие 91 в Р , двойствен
ное исходному распределению 91. В случае пространств Кпп и Рпп без
кручения найдено инвариантное аналитическое условие, при выполнении которого Рпп является пространством проективно-метрической связности.
Приведены примеры приложения двойственной геометрии распределения 91 в К к построению двойственных полей соприкасающихся гиперквадрик.
3. Доказано, что нормализация одного из регулярных распределений
гиперплоскостных элементов 91 в Кпп и 91 в Рпп равносильна нормализа
ции другого. В разных дифференциальных окрестностях внутренним инва
риантным образом получен ряд двойственных [76] нормализации [59] не-
голономной гиперповерхности 91 пространства проективно-метрической
связности К ; получены двойственные аффинные связности V и V, индуцируемые этими нормализациями. Найдены приложения двойственной геометрии нормализованного подмногообразия 91 к построению оснащений в смысле Э. Картана [99] распределений 91 в Кпп и 91 в Рпп, нормализации [59] пространств Кпп, Рпп, а также изучаются двойственные про-
странства аффинной связности Ап и А , индуцируемые при этом.
4. Построено распределение гиперплоскостных элементов 5R, поляр
ное подмногообразию 9? относительно локальных абсолютов Qn_x про
странства Кпп. В случае Кпп = Кп найдены дифференциальные уравнения
подмногообразия 9? и изучены свойства распределений 9І и УІ во взаимосвязи. Доказано, что нормализация [59] одного из распределений гиперплоскостных элементов 9Ї и 9І в проективно-метрическом пространстве Кп равносильна нормализации другого; при этом на распределениях 9Ї и
ЧЯ в Кп индуцируются соответственно пространства аффинной связности
о ~ „
АппА и Ап„_, без кручения, являющиеся полярными относительно абсолюта Qn_x пространства Кп.
В диссертации приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.
5. Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная рабо
та имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты дополняют
исследования по изучению оснащённых подмногообразий, погружённых в
пространство проективно-метрической связности Кпп, и могут быть исполь
зованы при дальнейшем изучении различных подмногообразий (как голо-
номных, так и неголономных) пространства Кпп. Основными направле
ниями таких исследований являются:
изучение внутренней геометрии гиперполос, гиперполосного распределения и распределения т -мерных линейных элементов, вложенных в пространство Кп ;
исследование линейных связностей, индуцируемых внутренними инвариантными оснащениями этих подмногообразий.
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве материала специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов по геометрии оснащённых подмногообразий в обобщённых пространствах, а также при написании ими курсовых, дипломных и научных работ.
6. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и об
суждались на следующих конференциях и семинарах по современным про
блемам геометрии:
на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (Чебоксары, 2004 - 2006 гг.);
на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (Чебоксары, 2004 - 2006 гг.);
на IX нижегородской сессии молодых учёных «Математические науки» (Саров, 2004 г.);
на Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004 г.);
на Четвёртой молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2005» (Казань, 2005 г.);
на заседаниях Казанского городского научно-исследовательского геометрического семинара (Казань, КГУ, 2006 г.).
Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертационную работу, опубликованы в 17 печатных работах автора (см. [23] -[39]).
Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования, кроме одной (см. [23]), выполнены без соавторов.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), трёх глав и списка литературы, включающего ПО наименований. Полный объём диссертации составляет 127 страниц машинописного текста.
10. Некоторые замечания. Все изложенные в настоящей работе иссле
дования проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся
функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми, то
есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие, а при доказательстве
теорем существования - аналитическими.
Для теорем и формул в диссертации принята двойная нумерация: первая (римская) цифра указывает на номер главы, а второе число (после точки) - на порядковый номер теоремы или формулы в этой главе.
Во всей работе индексы принимают следующие значения:
I,J,K,L,S = 0ji, I,J,K,L,S,T,P,Q = \^n; i,j,k,sj = 0,п -1, i,j,k,l,s,t,z = \,п -1. Значения других индексов поясняются в ходе изложения.
Операция внешнего дифференцирования обозначена буквой D, а внешнего умножения - символом «л».
Во всей диссертации по индексам, заключённым в круглые скобки, производится операция циклирования по формуле:
%k) = aijk +ajki + akij> по индексам, заключённым в квадратные скобки, производится операция альтернирования:
2а[у] = aij - ал' 2a\i\j\k] = aijk - ат
Операция обычного дифференцирования обозначается буквой d, а при фиксированных главных параметрах - буквой д; при этом формы colj
обозначаются через яj.
Оператор V действует по закону:
jln - dTJln + тЛп s + TJlna>-s + TjInco0 - TsIna)j - TjSn (o-L - Tjlno)n; при фиксированных главных параметрах этот оператор обозначается через
Ссылки на литературу даются в квадратных скобках.
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Диссертационная работа состоит из трёх глав.
В первой главе изучается двойственная геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности Кпп и плоских
многомерных сетей Е„ с:Кп; результаты этой главы отражены в публикациях [23] - [29], [31] - [33], [36], [39].
В начале главы ( 1, пп. 1, 2) приводится материал, носящий реферативный характер и необходимый для дальнейшего изложения. Здесь отражены пути подхода геометров к определению понятия связности в присоединённом расслоенном многообразии, приведены 1) формулировка теоремы Кар-тана-Лаптева [43], [45]; 2) определение понятия пространства проективно-метрической связности [47], 3) критерий того, что пространство проективной связности Рпп является пространством проективно-метрической связности
Кп,п [79].
В п. 3 1 по аналогии с работой [51] определены понятия развёртки пространства проективно-метрической связности К на проективно-
метрическое пространство Кп вдоль некоторой кривой на базе и развёртки
этой кривой; найдена квадратичная форма ds2 =-—аибо[(о1, опреде-
ляющая метрику пространства проективно-метрической связности Кпп.
Пространство проективно-метрической связности по аналогии с определением, введённым А. П. Норденом [59] для проективного пространства Рп, называется нормализованным (оснащённым по А. П. Нордену), если в
нём задано поле ковектора Vj, v0 Ф 0. Методом продолжений и охватов Г.
Ф. Лаптева [47] в первых трёх дифференциальных окрестностях нормализованного пространства проективно-метрической связности построены ( 2, п. 1) поля тензоров сп Ьи, А7, Аш, Вик; при этом тензор Ъи предполагается невырожденным, то есть рассматривается невырожденная [76] нормализация пространства Кп . По аналогии с нормализованным проек-
тивным пространством Рп [59] нормализация пространства проективно-метрической связности К с полем симметричного тензора Ьи называется гармонической.
С использованием теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [47], [49], получен ( 2, пп. 2, 3) один из центральных результатов (теоремы 1.2,1.3) первой главы:
в третьей дифференциальной окрестности невырожденная нормализация пространства проектиено-метрической связности Кп п индуцирует
три проективные связности, соответствующие им пространства проек-
тивной связности Рпп, Рпп, Рпп также нормализованы невырожденным образом и их базой служит база исходного пространства Кп п; при этом
гармоничность нормализации одного из пространств Кпп, Рпп, Р , Р влечёт гармоничность нормализации всех других; индуцированные про-
странства проективной связности Р , Рпп, Рпп являются двойственными [76] относительно соответствующих инволютивных преобразований I (р = 1,2,3) форм проективной связности как между собой, так и по
отношению к исходному пространству Кп п.
Доказано, что: 1) исходное пространство проективно-метрической
связности Кпп и пространство проективной связности Рпп могут быть плоскими лишь одновременно; 2) не при всякой нормализации проектив-
но-метрического пространства Кп пространства Рпп, Рпп будут проек-
тивными, а именно: пространство Рпп (или Рпп), индуцированное при невырожденной нормализации проективно-метрического пространства Кп, является проективным тогда и только тогда, когда данная нормализация
гармоническая; при этом Рпп = Рп , Рпп =Кп; 1г=1х, 1Ъ = I0, где /0 - тождественное преобразование форм проективной связности (теорема 1.4). Пункт 4 2 первой главы посвящен нахождению критерия того, что
каждое из пространств проективной связности Рпп, Рпп , Рпп (по отдельности) является пространством проективно-метрической связности.
Доказано (теорема 1.6), что если исходное нормализованное пространство проективно-метрической связности Кпп имеет нулевое кручение, то
г 3 / 4 ч
требование симметричности тензора аи {аи) пространства проективной
связности без кручения Рпп (Рпп) приводит к одновременному совпаде-
тюРпп=Рпп,Рпп = Кпп.
Из последней теоремы следует, если пространство Рпп или Рпп, индуцируемое при невырожденной нормализации пространства проективно-
метрической связности Кпп без кручения, также имеет нулевое кручение, то вопрос о нахождении критерия быть пространством проекти вно-
метрической связности можно ставить лишь по отношению к Рпп.
В случае пространств Кпп и Рпп без кручения найдено (теорема 1.7) необходимое и достаточное инвариантное аналитическое условие, при ко-
тором пространство проективной связности Рпп есть пространство проек-
тивно-метрической связности Кпп\ этим условием является обращение в ноль тензора третьего порядка Сик, имеющего строение (1.115). Рассмотрены три возможных частных случая, при которых равен нулю тензор Сик, а именно, доказаны следующие утверждения (теоремы 1.8 -1.10):
- невырожденная нормализация проективно-метрического простран
ства Кп индуцирует двойственное нормализованное (невырожденным об-
разом) проективно-метрическое пространство Кп;
- при невырожденной полярной [79] нормализации пространства про-
о ективно-метрической связности Кп п без кручения индуцируется двойст-
венное пространство проективно-метрической связности Кп п без кручения, изоморфное исходному;
- если при невырожденной нормализации пространства проективно-
о метрической связности без кручения Кпп индуцируемое двойственное
пространство проективной связности Рпп также имеет нулевое круче-
ние и обращается в ноль тензор с{+ Л7, то пространство Рпп
п + 1 представляет собой полярно нормализованное пространство проективно-
метрической связности Кпп без кручения.
В пункте 5 2 исследуется случай, когда нормализация исходного пространства проективно-метрическои связности К является полярной
[79] относительно его абсолютов. Показано (теорема 1.11), что в этом случае индуцированные двойственные пространства проективной связности
Рпп, Рпп , Рпп совпадают и представляют собой пространство проективно-
метрической связности Кпп, изоморфное исходному пространству Кп ;
при этом в каждом слое локальный абсолют пространства Кпп есть семейство касательных гиперплоскостей к соответствующему локальному абсолюту слоя пространства Кп п.
Определение. Невырожденным образом нормализованное пространство проективно-метрическои связности Кп с полем нулевого тензора
Аик назовём А - пространством проективно-метрическои связности, а с полем нулевого тензора Вик - В - пространством проективно-метрическои связности.
Доказано (теорема 1.12), что на Л - пространстве Кпп индуцируемые
двойственные пространства проективной связности Рпп , Рпп, Рпп совпа-
дают, причём Рпп представляет собой гармонически нормализованное
тангенциальное А - пространство проективно-метрическои связности Кпп
с теми же формами связности и тензором кривизны-кручения, что и исходное пространство.
3 первой главы посвящен изучению аффинных связностей, индуцируемых невырожденной нормализацией пространства проективно-метрическои связности К .
Доказано ( 3, п. 1), что невырожденная нормализация пространства
Кпп индуцирует два пространства аффинной связности Апп и Апп с
кривизной и кручением, двойственные относительно инволютивного преобразования /,. Этот результат остаётся в силе и в случае Кпп = Кп, при
этом связности V и V пространств Ап^п и Апп имеют нулевые кручения.
Найден критерий (теорема 1.15) совпадения связностей V и V ; им является обращение в ноль тензора А]Ж, то есть Кпп есть А - пространство.
Получен ( 3, п. 2) ряд результатов по изучению внутренней геометрии двойственных пространств Апп и Апп:
1) показано (теоремы 1.16,1.16*), что пространство аффинной связно-
сти без кручения Апп является эквиаффинным тогда и только тогда, когда
о нормализация пространства Кпп гармоническая; критерием эквиаффинно-
сти пространства Апп без кручения является обращение в ноль чебышев-ского вектора Ак;
2) выяснен характер геометрий аффинных связностей V и V в случае,
когда исходное пространство Кпп является А- и В-пространством про-
ективно-метрической связности: доказано (теоремы 1.17, 1.18), что на
о _
А - пространстве Кпп без кручения аффинная связность V = V римановас
полем метрического тензора bu; на В - пространстве Кп п геометрия аффинной связности V (V) является метрической с полем метрического тен-
def 1 / ч
зора Мы =—\bu +ЬЛ) и при её нулевом кручении в предположении
\Ми\ ф 0 она будет вейлевой с полем метрического тензора Ми;
3) найдено (теорема 1.19) условие симметричности [73] любого из
двойственных пространств Апп и Апп, индуцируемых при нормализации проективно-метрического пространства Кп; это условие равносильно совпадению аффинных связностей V и V .
Выяснен ( 3, п. 3) характер геометрии средней по отношению к связ-
_ о
ностям V и V аффинной связности V. Доказано следующее предложение
(теорема 1.20): если в случае гармонической нормализации пространства
о проективно-метрической связности Кп п средняя связность V имеет нулевое кручение (что выполняется, например, при Кпп=Кп), то соответствующая ей геометрия является римановой с полем основного метрического тензора Ьц.
Пункт 4 3 первой главы посвящен изучению внутренней геометрии аффинных связностей V и V в случае, когда нормализация пространства проективно-метрической связности Кпп является полярной [79] относительно его локальных абсолютов. Показано (теорема 1.21), что внутренняя геометрия пространства аффинной связности Апп=Апп, индуцируемого
полярной нормализацией пространства проективно-метрической связности Кп п, является метрической (вообще говоря, с кручением) с полем метрического тензора аи\ если при этом пространство К без кручения, то
о связность пространства Апп является эквиаффинной. В случае полярной
о нормализации пространства проективно-метрической связности Кпп без
кручения с невырожденной метрикой (|%|^о) пространство аффинной
о связности без кручения Апп является римановым с полем основного мет-
, о
рического тензора аи; при этом, если тензор RSTl пространства Кп п ну-
левой, то пространство Апп является эйнштейновым [46] (теорема 1.22). В 4 первой главы указаны пути приложения теории проективно-
метрического пространства Кп и аффинных связностей пространств Ап п и Апп к изучению дифференциальной геометрии некоторых классов плоских сетей Z„ с:Кп [3].
Материал п. 1 4 носит реферативный характер; здесь записаны дифференциальные уравнения сети Ц„ с Кп и приведены некоторые геометрические образы (псевдофокусы F/ [3], гармонические полюсы F{ [100]),
инвариантно порождаемые ею.
Доказаны (пп. 2,3 4) следующие предложения:
1) Сопряжённая относительно поля конусов направлений
aKLu?Q (Oq = 0 сеть LnaKn при п > 2 голономна тогда и только тогда, когда она является л-сопряжённой системой в смысле Р. В. Смирнова [75] (теорема 1.24).
2) Сопряжённая чебышевская п -сопряжённая система л с Кп пер
вого рода является системой с совпавшими фокусами, причём поле норма
лизующих гиперплоскостей совпадает с полем её гармонических гиперп
лоскостей [3] (теорема 1.26).
Пространство аффинной связности Ап п, индуцируемое полем гармонических гиперплоскостей сопряжённой относительно поля конусов направлений aKLa)Q cQq = 0 чебышевской «-сопряжённой системы 'ZnczKn (и>2) первого рода, является эквиаффинным; при этом нормализация пространства Кп гармонична [40] сети „ (теорема 1.27).
В случае нормализации пространства Кп (п > 2) полем гармонических гиперплоскостей сопряжённой чебышевской п -сопряжённой системы первого рода сопряжённая чебышевская п -сопряжённая система второго рода „ с Кп является геодезической первого рода (теорема 1.28).
Доказаны теоремы существования основных классов рассматриваемых плоских сетей 2ZnaKn.
В главе II диссертации изучается двойственная геометрия регулярного распределения первого рода гиперплоскостных элементов 91 [51], [65], погружённого в пространство проективно-метрической связности Кпп; результаты этой главы отражены в публикациях [30], [34], [35].
В 1, п. 1 записаны дифференциальные уравнения подмногообразия 91, приведены поля его фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов.
Центральным результатом п. 2 1 является теорема II. 1: регулярное распределение гиперплоскостных элементов 91, погружённое в пространство проективно-метрической связности Кп п, индуцирует:
во второй дифференциальной окрестности пространство проективной связности Рп п, двойственное пространству Кп п;
в первой дифференциальной окрестности многообразие 9\ в Р ,
двойственное исходному распределению 91.
В случае пространств К и Р без кручения найден критерий того,
что пространство проективной связности Рп есть пространство проек-
тивно-метрической связности К ; им является обращение в ноль тензора
второго порядка F'sT, имеющего строение (11.51).
Доказано ( 2, пп. 1, 2), что регулярное распределение гиперплоскостных элементов 91 в Кпп внутренним образом порождает два поля инвари-
антных соприкасающихся гиперквадрик [47], [51], [76] QnA (см. (11.62)) и
Ql-\ (см. (И.72)), определённых во второй и третьей дифференциальных окрестностях текущего элемента распределения соответственно. Поле со-прикасающихся гиперквадрик QnA имеет место как на распределении гиперплоскостных элементов 91 в К , так и на гиперповерхности
VnA <^Кпп, а поле Ql_x -лишь на подмногообразии 91. Построены образы
Qn-v Qn-\> двойственные соприкасающимся гиперквадрикам Q2nA, Ql_x и определённые на подмногообразии 91 в Рпп. В случае распределения 91 с
полем симметричного тензора Л"у найдены условия касания третьего порядка [76] гиперквадрик полей Q2nA и Q2n_x (Q2_x и Q2_{) с подмногообразием 9\ в К„ (91 в ?„„).
В 3 второй главы для распределения гиперплоскостных элементов 91 в Кпп построено (теорема II.6) полярное (относительно локальных абсолютов Qn_x пространства К ) распределение гиперплоскостных эле-
ментов 91. В случае Кпп = Кп найдены дифференциальные уравнения
подмногообразия ЧЯ, изучаются (теоремы II.7, II.8) свойства распределе-ний 9? и ЧЯ во взаимосвязи: доказано, что регулярность одного из подмногообразий ЧЯ, ЧЯ в проективно-метрическом пространстве Кп влечёт регулярность другого; распределения гиперплоскостных элементов ЧЯ, ЧЯ в Кп могут быть голономными [51] лишь одновременно.
