Геометрия многообразия направлений физического пространства Иванов Денис Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1. Модель многообразия направлений физического пространства во внешней алгебре 16

1.1. Топологическая структура 16

1.1.1. Многообразие направлений физического пространства 16

1.1.2. Модель Кэли-Клейна пространства Лобачевского (в шаре) 19

1.1.3. Функции пространственной и временной ориентации тетрад Минковского 20

1.1.4. Преобразования Лоренца. Тетрады Минковского. 22

1.1.5..Топологическая структура многообразия направлений физического пространства 25

1.2. Некоторые сведения из внешней алгебры. 27

1.2.1. Евклидова структура на внешней алгебре над четырехмерным пространством Минковского 27

1.2.2. Псевдоевклидово скалярное произведение на внешней алгебре 28

1.2.3. Оператор Ходжа в пространстве бивекторов 30

1.2.4. Специальное представление бивектора 32

1.2.5. Комплексная структура в пространстве бивекторов 34

1.3. Геометрия вложения многообразия G в пространство бивекторов 37

1.3.1. Модель многообразия G в пространстве бивекторов 37

1.3.2. Специальное представление пары (W,X)GTG 38

1.3.3. Геодезические кривые в & 39

1.3.4. Комплексная структура на G' 41

2. Внутреняя и внешняя геометрия многообразия G1. 44

2.1. Преобразование кривизны и вторая основная форма. 44

2.1.1. Вторая основная форма вложения многообразия Gl

2.1.2. Секционная кривизна многообразия G 45

2.1.3. Преобразование кривизны 46

2.1.4. Кривизна Риччи многообразия G 48

2.2. Симметрическая структура 49

2.2.1. G как симметрическое пространство 49

2.2.2. Примеры трансвекций и их связь с преобразованием Лоренца 50

2.3.. Поля Якоби в G1 51

2.3.1. Явное представление полей Якоби 51

2.3.2. Сопряженные и фокальные точки многообразия G\ 56

3. Вполне геодезические подмногообразия многообразия G1 60

3.1. Двумерные вполне геодезические подмногообразия. 60

3.1.1. Необходимое условие вполне геодезично.сти 60

3.1.2. Сечение многообразия G линейными подпространствами 61

3.1.3. Классификация простых площадок 63

3.1.4. Вполне геодезические сфера, плоскость, однополостный и двуполостный гиперболоиды 65

3.1.5. Плоский вполне геодезический цилиндр.69

3.1.6. Кривизна вполне геодезических подмногообразий. 72

3.1.7. Классификационная теорема 72

3.1.8. Вполне геодезические подмногообразия в модели Кэли 74

3.2. Трехмерные вполне геодезические подмногообразия. 77

3.2.1. Ортогональное дополнение гиперплоскости 77

3.2.2. Теорема об отсутствии трехмерных вполне 'геодезических подмногообразий. 78

3.3.O полноте многообразия & . 79

3.3.1. Факт из геометрии Лобачевского. 79

3.3.2. O полноте многообразия G 80

Литература 85

• Некоторые сведения из внешней алгебры.
• Комплексная структура на G'
• Сопряженные и фокальные точки многообразия G\
• Теорема об отсутствии трехмерных вполне 'геодезических подмногообразий.

Введение к работе

Математической моделью пространства-времени в специальной теории относительности служит. четырехмерное псевдоевклидово пространство Минковского М с сигнатурой (+ -,-,-)• Каждая точка хєМ физически интерпретируется как -...-событие -• нечто произошедшее "здесь и сейчас". Временипо-добная кривая х : x(t) , (JC (0)2 = const 0 моделирует движение частицы в трехмерном "физическом пространстве"(см.,_ например, [11])• Если изучать релятивистскую кинематику на фиксированной прямой этого пространства, то множество соответствующих событий в пространстве Минковского помещается в двумерной плоскости, содержащей некоторое времени подобное направление е, е2 0. Ясно, что параллельным прямым физического пространства соответствуют параллельные плоскости пространства М . Поэтому система одинаково направленных прямых физического пространства (направлений) может быть задана двумерной ориентированной времени-подобной плоскостью, проходящей через начало четырехмерного пространства Минковского (см.[13]).

В фундаментальной работе Р.И. Пименова [19], 1968 г., посвященной аксиоматике наиболее общих пространственно-временных структур, приведен словарь, дающий различным понятиям релятивистской кинематики их математическую модель в рамках пространства М . Следуя Г. Минковскому [16], направление физического пространства моделируется как двумерная ориентированная времениподобная плоскость пространства М, в [19] рассмотрен ряд вопросов, связанных с этим объектом.

Таким образом, совокупность G1 направлений физического пространства можно рассматривать как подмножество грассманиана G 4, состоящее из плоскостей, задевающих временной конус Кт = {хєМ\х2 0} . Каждому единичному вре-мениподобному вектору f0, /0 =1 сопоставляется геодезическая модель Кэли-Клейна пространства Лобачевского в шаре

Скалярное произведение - в псевдоевклидовом пространстве М стандартным образом распространяется на всю внешнюю алгебру А(М) . При этом подпространство бивекторов Л2(М)а А(М) приобретает структуру шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (+,+,+,—,-,—) • "В каждой плоскости TGG1 выберем положительно ориентированный ор-тонормированный базис {е0,е }: е0 — —ех =1, е0,е1 = 0 и сопоставим ему простой бивектор e0r\ex — e0l = we А2(М0) , который не зависит от способа выбора базиса {е0,е}}. Этим описано каноническое плюккерово вложение P:Gl- Az(M). Отождествим многообразие G1 с P(G )c AZ(M) - Это подмногообразие является однородным пространством группы Лоренца L(M) , естественно действующей изометриями на всей внешней алгебре Л(М). Псевдориманова метрика на G , индуцированная плюк-керовым вложением, имеет сигнатуру (+,+,-,-) (подробнее см. [13]). В этой работе, в частности, полностью описаны геодезические многообразия G1 . В [36] построено "гауссово" отображение произволь-, ной времениподобнои кривой пространства Минковского в многообразие G . Для мировых линий, описывающих периодическое движение частицы по замкнутому контуру, сформулировано и доказано неравенство, которое можно рассматривать в качестве аналога неравенства Фенхеля для поворота по замкнутой кривой в Л3.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему изуче нию геометрии многообразия G1 . Основным результатом работы автор считает предложенную классификацию двумерных вполне геодезических подмногообразий многообразий G1 Кроме того, в работе доказано отсутствие в & трехмерных вполне геодезических подмногообразий, что вместе с работой [13] завершает классификацию всех вполне . геодезических подмногообразий многообразия направлений физическо-. го пространства G1 .

Элементы пространства бивекторов Л2(М) могут быть "интерпретированы как постоянные электромагнитные поля (см. [7], [29-32], [39]) . Это пространство наделено естественной структурой трехмерного комплексного пространства, в котором задано некоторое комплексно значимое "скалярное произведение". В этих терминах подмногообразие G1 сА2(М) можно рассматривать как единичную сферу в пространстве бивекторов. В силу сказанного автор полагает, что изучение . геометрии многообразия G1 представляет определенный интерес для релятивистской физики.

Далее опишем вкратце содержание трех глав диссертации. В первой главе приведен ряд основных определений и фактов из теории псевдоевклидова пространства Л2(М) . Описаны комплексные структуры в пространстве бивекторов Л2(М) и на многообразии GiaA2(M).

Определение: Базис {е0,ег,ег,е3} пространства Минков-ского М = R 3, для которого el = —е\ = —е\ = -е\ = 1 ef,ej = О для i jf называется тетрадой Минковского.

Тетрада Минковского называется допустимой, если она имеет положительную пространственную и временную ориентации

Каждой тетраде Минковского е0,е ,е2,е3 соответствует ортонормированный базис пространства бивекторов Л2(М0). Из утверждения 1.2.1 следует, что вектора ву попарно ортогональны и -2 2 2 _ -2 __-2 __-2.-__ Определение: Билинейное отображение L :Л,(Л/0)хЛд(Л/0)-»Л. (Л/0), / () называется операцией внутреннего умножения, если для любых weAp(M0), геЛ?(0), q Ap_q(M0) справедливо w Lr r p = wf ТЛ(р . Зафиксируем временную ориентацию четырехмерного пространства Минковского. В одномерном пространстве Л4(Л о) выберем один из двух возможных единичных 4-векторов Е, Е = —1. При фиксированной временной ориентации этот выбор эквивалентен выбору пространственной ориентации. Рассмотрим какую-нибудь тетраду Минковского = (е0 еі е2»ез), для которой ,(6)= (6,,) = Чг(е) = 1. Тогда Е = eQ л в, л е2 л е3 . Определение: Линейный оператор •:Л2(А/0)- Л2(Л/0), :W- -LW называется оператором Ходжа. . . . 8 : Определение: Конусом простых бивекторов назовем множество Kzt={w zA2(MQ):w = eAf} . Для любых W W€A2(M0) выполняются равенства: • ( w, w) = -{w,w)f ( w,w)= (w, w) f • w = -w r • we K2 = ( w,w) = (w, w) = 0 Теорема. 1.3.1: Подмногообразие G пространства г(МоУ можно задать системой из двух уравнений w,w =-l, w, w =0. Изучение геометрии многообразия G во многом опирается на специальное представление элемента .касательного расслоения (W,X)GTG • $ Теорема. 1.3.2: 1. Если для пары (W,X)GTG выполнено условие & К0 г\К2 ( К0 := {X є Лг : X,X = 0} - конус световых бивекторов), то найдутся такая допустимая тетрада Мйнков- ского е и числа ao a\ R, что w=e0lr X = a0e01 + a,e3i ; 2. Если для пары (yv,X)&TG выполнено усло- вие є о А, то найдутся такая допустимая тетрада Мин- ковского е и число AGR, A Qf что w = eo\, Х = 1( е0±е,)/\е3 . Теорема. 1.3.3: Пусть w = e0l , Х = а0-е02 + ах • е31 є T G1 , тогда справедлива формула w(t)-expwtX = eQ(t)Ael(t), где "( 0(0. «і (0, (0. (0) является допустимой тетрадой Минковского, определенной равенствами: e0(0 = «oc (a0+ 3 (aiOf 6,(0 = 6,008( ,,/) + 2 801( ,,0, е2(?) = -ех sin(or00 + е2 cos(or00 f е3(О = е0.уА(а,0+егск(ахї) . Тасуема 1,3.4: Пусть w = e0i/ X = Л(е0 ±ех)л е3 f ЯеЛ, Л 0, тогда •и (0 = ехрн,(ЙГ)= +ЙГ = е0(Оле,(0, где (е0(0 і(0»е2(0,е,(0) является допустимой тетрадой Минковского, определенной равенствами: у.ч « л f ч . /1 Г — л x.-v Л і ,..• At. . е0(0 = (1+—К -- + 3, в,(о=+—е0+(і—— , +я/в3, «2(0= «a, 63(0 = + 0- ,+63. В пространстве бивекторов Л.2(М0) рассмотрим операцию умножения на комплексное число zX=RezX + Jmz( X). Пространство Л2(М0) с операцией комплексного умножения является трехмерным комплексным векторным пространством. Обозначим его С3(М0). Всякое преобразование Лоренца пространства Минковского индуцирует изоморфизм комплексного векторного пространства С3(М0) . Утверждение 1.2.6: Для билинейной квадратичной формы A(X,Y)= X,Y +i X, Y справедливо: 1. A(X,Y) = A(Y,X) 2. A(X,Y + Z) = A(X,Y) + A(X,Z) 3. A(X,zY)=zA(XJ) A(X,Y) - Лоренц-Инвариантна. Комплексно линейные преобразования пространства С (М0), сохраняющие форму А(Х,Т), называют, по аналогии с вещественным случаем, комплексно ортогональными, а образуемая ими группа обозначается через 0(3,С) (ее не следует смешивать с С/(3) ) . Итак, введение комплексной структуры в пространстве А2(М0) определяет гомоморфизм группы Лоренца Л в 0(3,С).

Определение: комплексным скалярным квадратом бивектора назовем комплексное число

р(Х) = А{Х,Х).

Утверждение 1.2.7: Справедливы эквивалентности: 1. ХєК2 (простой) = Im//(X) = 0 ;

2. X є К0 (изотропный) = Re//(w) = 0;

3. ХєК0глКг р(.) = 0.

Пусть {е0,ех,е2,е3} - допустимая " тетрада Минковского, тогда бивекторы em,eoz,e03 образуют базис комплексного пространства С (М0) . Из- свойств квадратичной формы A(X,Y) следует

Утверждение 1.2.8: Комплексный квадрат бивектора Х- zxe0l+zze0Z + z3e03 равен

M(X) = -(z2 + z22+z23)eC .

Аналогично тому, как скалярный квадрат вектора определяет класс векторов, которые можно перевести друг в друга при помощи пространственного движения (изометрии), комплексный скалярный квадрат бивектора определяет класс бивекторов, совместимых друг с другом при помощи преобразования Лоренца. Более точно этот факт сформулирован в теореме 1.2.. 9. . Теорема 1.2.9: Пусть для бивекторов X,Y є А2(М0) fi{X) = //(7) О, тогда найдется такое изохронное преобразование Лоренца L, что L(X) = Y .

Благодоря свойству Лоренц-инвариантности, в релятивистской физике Re//(X) и Ьп/ДХ) получили название "инварианты электромагнитных полей"(см. [7,31]).

Согласно теореме 1.3.1, многообразие G может быть задано системой уравнений

w,w =-l, w, w =Of или, что тоже самое, в комплексной форме

fi{w) = -\ .

В комплексном базисе {еоі еог еоз} уравнение примет вид

Zj + z2 + z2 = 1 r

где zi - координата при „бивекторе еы . А в силу аналитичности и невырожденности этого уравнения, множество

0 =2 + 72 + 23603 ( 0): + 22 + =1}

является комплексно аналитическим многообразием. Касательное к G пространство можно канонически отождествить с двумерным векторным комплексным подпространством пространства С (Мо) .

Используя комплексную структуру & , можно переформулировать теоремы 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4. Также в параграфе

1.3, выведена формула для разложения геодезической ехР (11 &

в ряд Тейлора, независимо от типа вектора X .

Вторая глава посвящена вопросам внешней и внутренней геометрии вложения G с Л2 . в ней найдены: явная формула для второй основной формы вложения, преобразование и тензор кривизны, секционная кривизна и кривизна Риччи.

Доказана симметрическая структура многообразия G , приведены примеры трансвекций и их связь с преобразованием Ло . ренца исходного пространства Минковского. Найдены явные представления для полей Якоби вдоль произвольной геодезической. А также, классифицированы фокальные и сопряженные точки вдоль любой геодезической.

Основным результатом работы по мнению автора является классификация двумерных вполне геодезических подмногообразий многообразия G . Это и является содержанием последней третьей главы. Найдено пять типов вполне геодезических подмногообразий, причем многообразия разных типов неизометричны, а одного типа - Лоренц-совместимы. Доказано, что любое двумерное геодезически полное связное вполне геодезическое подмногообразие многообразия G Лоренц-совместимо с многообразием одного из пяти типов. Для всех пяти типов подмногообразий найдено их наглядное представление в модели Кэли-Клейна. Напомним, что каждая точка многообразия G в шаре" D моделируется направленной хордой. В теореме 3.1.14 перечислены все пять типов вполне

геодезических поверхностей в G :

1. Множество направленных хорд шара D ,проходящих через его центр;

2. Множество направленных хорд шара D , параллельных фиксированной прямой;

3. Множество направленных хорд шара, один из концов которых совпадает с фиксированной точкой на границе

шара D .

4. Множество направленных хорд шара, лежащих в некоторой фиксированной плоскости;

5. Множество направленных хорд шара ортогонально пересекающих некоторый фиксированный диаметр.

Все пять типов поверхностей являются сечениями многообразия G линейными подпространствами из Л2(А/0) . В 3 и

4 случае с трехмерным линейным пространством Л2(е ) гєМ0. в 1, 2 и 3 случае с Аг(е ). А в пятом случае с четырехмерным пространством Lin(yv, w) , где weG .

Таким образом, многообразия 1-4 типа однозначно оп ределяются выбором прямой пространства Минковского, содержащей вектор е =- о, а многообразие пятого типа - выбором времениподобной плоскости.

В параграфе 3.2 доказывается отсутствие трехмерных вполне геодезических подмногообразий многообразия G .

Многообразие G является псевдоримановым многообразием, поэтому (в отличие от риманова случая) приходится различать различные виды полноты многообразия. Так, в геодезически полном многообразии G- есть точки, которые нельзя соединить геодезической. Подробнее этот факт описывает утверждение 3.3,.3, последнего параграфа данной работы.

Для облегчения работы с материалом автором использована тройная нумерация разделов. При этом первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -номер подраздела. Ссылки на литературу даны в квадратных скобках. Библиографический список литературы, а также предметный указатель приведены в конце работы. Логическое окончание каждого фрагмента (доказательства, примера и т.д.) обозначается знаком «И». В круглых скобках даны номера формул. Названия подразделов, утверждения, леммы, теоремы и т.д. выделяются жирным курсивом. В названиях глав и параграфов используются прописные и малые прописные буквы. Нумерация формул также тройная, где первые две цифры означают номер параграфа, а последняя - порядковый номер формулы в этом параграфе.

Автор считает своим приятным долгом выразить признательность своему научному руководителю, Козлову Сергею Емельяновичу, замечания и пожелания которого, несомненно, способствовали улучшению рукописи.

Некоторые сведения из внешней алгебры.

Известным способом (см., например, [22], XV) над четырехмерным пространством Минковского М0 строится 16-мерное вещественное векторное пространство Л(М0), которое одновременно является алгеброй по отношению к операции внешнего произведения является базисом С -мерного линейного пространства Лр(М0)сЛ(М0) . Всякий р -вектор weAp(M0) можно разложить по этому базису Определение: р-вектор we Лр(М0) называется простым (разложимым), если его можно представить в виде У л...л/р, /, є М0. 1.2.2. Псевдоевклидово скалярное произведение на внешней алгебре. Покажем, что скалярное произведение из пространства М0 Минковского канонически распространяется на внешнюю алгебру Л(М0) . Фиксируем тетраду Минковского {ей,ех,е2,ег} . Для базисных р -векторов ех = е, л...ле, , определим Если дополнительно предположить, что в прямой сумме (1.2.1) слагаемые ортогональны, то скалярное произведение поливекторов w= vxex и w= 2Іі Хех будет равно Симметричность и билинейность псевдоевклидова скалярного произведения легко проверяются. Более того, так введенное скалярное произведение не зависит от выбора тетрады {е0,ере2,е3} Это непосредственно следует из утверждений 1.2.1 и 1.2.2, доказанных ниже. Утверждение 1.2.1: Скалярное произведение простых р -векторов и = и1л...Лйр и v = v1A...Avp равно Доказательство: см. [2 2],XV,3. Утверждение 1.2.2: Скалярное произведение на К(М0) Лоренц-инвариантно. Доказательство: Утверждение достаточно доказать только для базисных р -векторов. Пусть L:M0 — MQ - произвольное преобразование Лоренца пространства Минковского. Базисный поливектор ех = е л...ле, преобразованием Лоренца L переводится в поливектор L(ex):= Ь(е )л...л L{ei ). Тогда Цех ),L(ex ) = det( Це - ), L{ek Опишем более формальный способ введения скалярного произведения во внешней алгебре А(М0) . При помощи скалярного произведения в М0 строится изоморфизм g :М0— (М0) по правилу Тогда для любых х,уєМ0 Этот изоморфизм однозначно распространяется до изоморфизма внешних алгебр Л(М0) - А((М0) ) (см. [1,17]), который будет обозначаться той же буквой g . Пространства (Л(Л/0)) и Л((М0) ) отождествляются при помощи канонического изоморфизма (см. [15] , 2.7) . Тогда для любых элементов а,ЬєА(М0) их скалярное произведение можно вычислить по формуле Легко показать, что два описанных выше способа введения скалярного произведения во внешней алгебре А(М0) эквива лентны.

Каждой тетраде Минковского е0,е,,е2,е3 соответствует ортонормированный базис пространства бивекторов А2(М0). Из (1.2.3) следует, что Таким образом, пространство бивекторов А2(М0) является псевдоевклидовым пространством с сигнатурой Определение: Билинейное отображение называется операцией внутреннего умножения, если для лю бых weAp(M0), гєЛ9(М0),рєЛ (М0) справедливо Разлагая поливектор по базису, определенному в (1.2.6), приходим к формуле Из (1.2.9) легко следует существование и единственность операции (1.2.7). Зафиксируем временную ориентацию четырехмерного пространства Минковского. В одномерном пространстве АІМО) выберем один из двух возможных единичных 4- векторов Е, Е - _1. При фиксированной временной ориента ции этот выбор эквивалентен выбору пространственной ориентации. Рассмотрим какую-нибудь тетраду Минковского Ранговым пространством бивектора (2-вектора) сеЛ2(Г), называется подпространство . Ранговое пространство простого бивектора ус=ел/ совпадает с множеством Vw - {Lin(e, f) , Определение: Линейный оператор называется оператором Ходжа. Из формул (1.2.9-) и (1.2.10) следует, что для бивекторов базиса (1.2.6) верны равенства Из (1.2.11) следует, что для любых w,weA2(A/,) выполняются равенства (см. [13]) : Определение; Конусом простых бивекторов назовем множество K2-{weAz(MQ):w = eAf} Утверждение 1.2.3: Справедлива эквивалентность Доказательство: Разложив бивекторы w и w по базису (1.2.6), получим Бивектор w прост тогда и только тогда,, когда WAW=0 (см. [10],7.2 или [21]) л что вместе с (1.2.16) влечет (1.2.15) . 1.2.4. Специальное представление бивектора. Определенно: Конусом изотропных бивекторов назовем множество Теорема. 1.2.4: Для бивектора ЄЛ2(М0), XеК0глК2г найдется такая допустимая тетрада Минковского, что Доказательство: Рассмотрим бивектор Т - ЯХ + /j( X} , Найдем, при каких значениях Л,/л бивектор -простой, т.е. Если Х, Х = 0 f то бивектор X -простой (не изотропный) и разложение (1.2.17) очевидно. Пусть Х, Х 0. Обозначим / —, тогда уравнение примет вид: Решениям уравнения и 2 соответствуют простые бивекторы Причем Y]= (tlX + X) = tl( X + X). по теореме Виета, произведение корней уравнения ЧЧ 1/ а значит, i = ( 2 + ) - 2 Так как определитель системы (1.2.19) бивектор -Д" представим в виде где бивектор 1 - простой. Покажем, что бивектор . Y\ не изотропный. Пусть это не так, тогда Y1,ri =tl2 X,X +2t1 X X X,X =0. (1.2.21) Из (1.2.18) и (1.2.21) следует, что Х, Х =0 . для того, чтобы получить (1.2.17), осталось только нормировать бивектор i. Теорема. 1.2.5: Для бивектора Хе А2(М0) г ХЄК0ГЇК2Г найдется такая допустимая тетрада Минковского, что Доказательство: / 01 1+ 02 2 + 03 3. Найдется такая допустимая тетрада Минковского е ={ео еие2 ез} , что з=/, ео = ео . Тогда бивектор В силу простоты бивектора Х, Х -Я-а21 = 0 щ Если Я = 0 , то Х,Х = а21 +а31 +агз , что противоречит изотропности бивектора X . Поэтому Найдется такая допустимая тетрада Минковского е = {e0,eve2,e3}f что е0= о, / 1= 21 2+ 31 1, 3=. В силу изотропности бивектора X, Я= fi . А значит, в новом базисе бивектор X равен 1.2.5. Комплексная структура в пространстве бивекторов . В пространстве бивекторов А2(М0) рассмотрим операцию умножения на комплексное число Здесь -оператор Ходжа.

Так введенная операция (см.[7]) удовлетворяет законам Очевидно, пространство Л2(М0) с операцией (1.2.23) является трехмерным комплексным векторным пространством, обозначим его С (Л-/0) . Комплексная структура на А2(М0) вводится канонически, в том смысле, что не зависит от выбора базиса пространства Л2(Л/0) . Причем преобразование Лоренца пространства Минковского индуцирует изоморфизм комплексного векторного пространства С3(М0). Утверждение 1.2.6: Для билинейной квадратичной формы справедливо: 1. Следует из симметричности скалярного произведения и самосопряженности оператора Ходжа. 2. Непосредственно следует из линейности вещественного скалярного произведения и оператора Ходжа. 3. Заметим, что для любого вещественного числа CIGR И Пусть z=a-+ibf тогда 4. Для произвольного преобразования Лоренца L простран ства Минковского (необязательно изохронного) Комплексно линейные преобразования пространства С (М0), сохраняющие форму A(X,Y), называют, по аналогии с вещественным случаем, комплексно ортогональными, а образуемая ими группа обозначается через 0(3,С) ( ее не следует смешивать с /(3)) . Итак, введение комплексной структуры в пространстве А2(М0) определяет гомоморфизм группы Лоренца Л в 0(3,С). Определение: комплексным скалярным квадратом бивектора назовем комплексное число Утверждение 1.2.7: Справедливы эквивалентности: Пусть {е0,еиег,ег} - допустимая тетрада Минковского, тогда бивекторы е01,е02,еог образуют базис комплексного пространства С3(М0) . Из свойств (1.2.25)-(1.2.28) квадратичной формы A X,Y , следует Утверждение 1.2.8: Комплексный квадрат бивектора X = z e0X+zzeQZ + z3e03 равен Аналогично тому, как скалярный квадрат вектора определяет класс векторов, которые можно перевести друг в друга при помощи пространственного движения (изометрии), комплексный скалярный квадрат бивектора определяет класс бивекторов, совместимых друг с другом при помощи преобразования Лоренца. Более точно этот факт сформулирован в теореме 1.2.9. Теорема. 1.2.9: Пусть для бивекторов X,Y є Л2(М0) fi{X) = //(7) 0 , тогда найдется такое изохронное преобразование Лоренца L, что L(X) = Y.

Комплексная структура на G'

Согласно теореме 1.3.1, многообразие G может быть задано системой уравнений (1.3.4) или, что тоже самое, в комплексной форме В базисе- {е0),е02,е03} (1.3.1) примет вид где zi - координата при бивекторе %. В силу аналитичности и невырожденности (1.3.12), множество аналитическим многообразием. Как и в евклидовом случае, касательное к G пространство можно канонически отождествить с двумереным векторным комплексным подпространством пространства С (MQ). Утверждение 1.3.5: 1. Если /І(Х) ОГ то лоренцевым преобразованием мож но привести вектор X к виду 2. Если //(Х) = 0, то лоренцевым преобразованием мож но привести вектор X к виду Утверждение 1.3.6: 1.. Если для пары (W,X)GTG выполнено условие M(X) Of то лоренцевым преобразованием ее можно привести к виду 2. Если для пары (w,X)eTG выполнено условие М(.Х) = 0 г то лоренцевым преобразованием ее можно привести к виду Утверждение 1.3.7: 1. Если. X = ze02 г геС , то геодезическая в направле нии вектора X имеет вид 2. Если M(X)=Ot то геодезическая, в направлении вектора X имеет вид Доказательство: 1. Пусть z = aQ + iax t а0,агєЯ f тогда согласно теореме 1.3.3 геодезическая ехР .01 Х примет вид e0(t) л e,(r) = (eQchaxt + ezshaxi)f\ (е, cosa0 + ег sin непосредственно следует из представления і 1.3-. 9). Утверждение 1.3.8; Для пары (w,X)eTG геодезическая кривая в направлении вектора X представима рядом (Тейлора) : (1.3.20) Доказательство: Если M(X) 0f то согласно утверждению 1.3.6,- лоренцевым преобразованием можно привести вектор X к виду 2ет , геС , Тогда геодезическая примет вид (0 = ехреоі СС = еп coszt + е02 sin zt и производные Откуда непосредственно следует, что w(0) = w , w (0) = X , w\Q)=:fj(X)w, w"(0)=:M(X)X , и т.д. Если ju(X) = 0, то утверждение теоремы следует из явной формулы для геодезической (1.1.19).И Данный параграф посвящен изучению второй основной формы вложения G с Л2 Теорема 2.1.1: Вторая основная форма многообразия & в Л2 и точке w выражается через скалярное произведение и оператор Ходжа До1саэа!гелг ссгво; Предположим, что - %К0П\К2 t тогда, согласно теореме 1.3.2, существует такая допустимая тетрада Минковского, что w - въ\ и - аіеоз + Лое2і Рассмотрим геодезическую w(0 = exPw . В нашем базисе она примет вид (1.3.8) и нормальная составляющая линейной связности будет равна ехрДЙГ)- прямая, поэтому равенство выполнено. В силу билинейности и симметричности второй основной формы 2B„(X,Y) = BW(X + Y,X + Y)-BUX,X)-BV(Y,Y). Согласно (2.1.3) откуда в силу произвольности векторов X и Y и следует (2.1.2).И Утверждение 2.1.2: Для второй основной формы вложения многообразия G а Л2 справедливо: Доказательство: Если отождествить касательное t пространство TWG с линейным подпространством Л-2(М0) г то где A(X,Y) - квадратичная форма из (1.2.24).

Поэтому, утверждение теоремы следует из свойств (1.2.25) и (1.2.27) квадратичной формы A(X,Y) .в По обобщенной теореме Гаусса риманова кривизна многообразия G выражается через вторую основную форму: Следовательно, справедлива Теорема 2.1.3: Риманова кривизна многообразия G1 равна Для пары бивекторов X,Y&TWG t удовлетворяющих по аналогии с римановым случаем, можно вычислить секционную кривизну в направлении двумерной площадки сг = Ып(Х,У) Из теоремы 2.1.2 следует, что Фиксируем допустимую тетраду Минковского іеоіе\- ег- е-з) Для бивекторов X(t) = chte01+shte и 7( ) = chse03 + Ase21 значение A(X(t),F(s)) := {-ch2t + shzt)(-chzs + sh2s) = 1, и секционная кривизна многообразия & в точке w eo\ в направлении двумерной площадки o,{t,s) = Lin(X{t ),Y{sy) равна Значит, при различных и s секционная кривизна принимает всевозможные вещественные значения (т.е. не ограничена) . Так как связность, индуцированная вложением - 2/ является связностью Леви-Чивита то для тензора кривизны верно (см.[3] ) Теорема. 2.1.4: Тензор и преобразование кривизны многообразия G соответственно равны Для доказательства теоремы нам понадобится лемма .2.1.5, доказанная в римановом случае в [3]. В псевдорима-новом случае доказательство переносится без изменений. Лемма. 2.1.5: В псевдоримановом многообразии со связностью Леви-Чивита, тензор кривизны R(u,v)w,z ал- . гебраически выражается через кривизну Римана. Это следует из тождества Дохазательотво теоремы 2.1.4: Согласно лемме 2.1.5, тензор кривизны алгебраически выражается через кривизну Римана, .-поэтому из явной формулы для римановои кривизны (2.1.5) непосредственным вычислением получаем (2.1.13). Так как псевдориманова метрика на TJJ невырожденна, то из (2.1.13) следует (2.1.14) . Утверждение 2.1.6: Для второй основной формы вложения многообразия G с Л2 и преобразования кривизны справедливо: Сравнивая правые части равенств, убеждаемся в (2.1.16). 2.1.4. Кривизна Риччи многообразия G . В пространстве TWG , как в четырехмерном линейном пространстве, фиксируем базис {fo f\ f2 fi} (необязательно ортонормированный).Тогда линейному отображению будет соответствовать 4х4-матрица Luv . . Определенно: Тензором РИЧЧИ называется билинейная форма здесь tr(Luv) - след матрицы A ,v Поскольку след матрицы Luv не зависит от выбора {/о /и/г /з} (см.[3]), то определение (2.1.18) является инвариантным относительно выбора базиса в TJJ . Утверждение 2.1.7: Тензор Риччи многообразия G тождественно равен нулю. Доказательство: Рассмотрим пару бивекторов u,veTvG . Бивектора и и и - линейно независимые. Их можно дополнить бивекторами и и и до. базиса всего пространства. Это следует, например, из теоремы 1.2.4. Тогда бивектор v представим в виде суммы Из (2.1.10) и утверждения 2.1.6 следует, что. Вычислим Я с и). доз (2.1.14) следует, что след матрицы Lu,v равен Откуда получаем также (см. (2.1.б)). Ric(u,u) = Ric(u, u) . В силу билинейности кривизны Риччи, для любых u,v&TJJ . Таким образом, многообразие G является многообразием постоянной нулевой кривизны Риччи. Согласно теореме 1.2.9, группа изохронньїх преобразований Лоренца транзитивно действует на многообразии G . Поэтому G является римановым однородным пространством. Более того, G наделено структурой симметрического пространства. Это следует из теоремы Теорема. 2.2.1: G1 симметрическое пространство. Доказательство: Многообразие G - Лоренц- инвариантно.

Причем группа изохронных преобразований Лоренца транзитивно действует на G . Поэтому достаточно доказать симметричность G. хотя бы в одной точке - w. Рассмотрим преобразование Лоренца (симметрию относительно 2-плоскости w ) L:M0- M0 f действующее по следующему правилу.- Для вектора " М0, и = соответственно) L(u)=uw-и . Если фиксировать допусти- мую тетраду Минковского е- (е0 епе2 ез), -еолех, то преобразование Лоренца L:M0- M0 примет вид 4-Преобразование L:M0 — Л/0 индуцирует изометрию (симметрию многообразия G относительно точки w). Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что Если выполнено условие X К0 г\Кг г то найдутся такая допустимая тетрада Минковского е и числа аыа\ & , что Если выполнено условие є Ко К2 / то найдутся такая допустимая тетрада Минковского е и число ЛеВ., что Утверждение 2.2.2: Преобразование Лоренца из (1.3.8) или (1.3.10) индуцирует изометрию пространства Эта изометрия - трансвекция вдоль геодезической Доказательство: Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что базисные векторные ПОЛЯ еог параллельны вдоль геодезической К0 Если преобразование Лоренца имеет вид (1.3.8), то Вычисленная . в (15) явная формула тензора кривизны позволяет найти в явном виде поля Якоби вдоль произвольной геодезической кривой. Прежде чем приступить к вычислениям, сформулируем лемму, иллюстрирующую связь полей Якоби и оператора Ходжа Ле«ма 2.3.1: y(t)eGl - геодезическая, X(t)(=TrmG - _ поле Якоби вдоль геодезической КО, тогда X(t)errCOG также является полем Якоби. Доказательство: Согласно утверждению 2.1.6, для любых векторов K»V,W выполняется равенство R( u,v)w = R(u,v)w f поэтому Фиксируем произвольную геодезическую Y{t) G . Тогда поля Якоби вдоль геодезической ТІ?) образуют 8-ми мерное линейное пространство Касательное к геодезической векторное поле X{t) y\t)&Tr f G f очевидно, является полем Якоби. Также по- лем Якоби является t X(t)f так как (tX)"= Х = О, R(tXyX)X - tR(X,X)X = 0 (в силу трилинейности тензора кривизны) . Более того, согласно лемме 2.3.1, векторные поля также являются полями Якоби. Пусть (0 - произвольное поле ЯкоОи здоль геодезической w(t) = expwtX . Если вектор X & К0П\К2/ тогда найдется такая допустимая тетрада Минковского (ео еі е2 ез), что пара (yv,X) примет вид: w=eoAei, - = 0 02+ 1 и w(0 = eo(0Aei(0, где е,(/ = 1..3) определены системой равентсв (1.3.8). Согласно утверждению 2.2.2, векторные поля параллельны вдоль геодезической w(0 и линейно нензависимы при каждом t. Поэтому векторное поле (. ) представимо в виде

Сопряженные и фокальные точки многообразия G\

Существование фокальных и сопряженных точек на вполне геодезической в G сфере из Ф(е0) из п. 1.3.4 (с антиевклидовой метрикой) влечет существование фокальных и сопряженных точек на самом G- . Из равенства преобразований кривизны на сфере и во всем G следует, что поля Якоби на сфере являются полями Якоби в G . Полученное в предыдущем параграфе явное представление полей Якоби позволяет ставить вопрос - о нахождение всех фокальных и полярных точек многообразия G . . Теорема. 2.3.1: Пусть w =G и XeTwG1r Ьп//(.ЛГ) = 0, Re//(Ar) 0, тогда 1. Точка (—w) является сопряженной с w. вдоль геодезической expwA7 и других сопряженных с w точек нет; Доказательство: 1. Для вполне геодезической в G сферы Ф(ео) точки w и w очевидно являются сопряженными, что влечет их сопряженность в самом G . Докажем, что других сопряженных точек нет. Пусть это не так, тогда найдется такое поле Якоби ДО вдоль некоторой геодезической w(0 = expwflT/ что Д0) = Д/0") = Если вектор ХЄК0Г\К2І тогда найдется такая допустимая тетрада Минковского (ео епег»ез), что пара (У ,Х) примет вид: где ei определены системой равенств (1.3.8) и поле ДО будет иметь вид: где ау(0 из (2.3.9) . Из условия Д о) = 0 следует, что нетривиальности поля ДО определитель = С0+С, 0, пдэтому из (2.3.16) следует, что или в комплексной форме следует,, что е -е / а значит а = 0 . Заметим, что при этом 6 0, иначе из (2.3.16) следовала бы тривиальность поля ДО. Поэтому комплексный скалярный квадрат м(Х) является вещественным отрицательным числом, что влечет за собой простоту и отрицательную длину для вектора X (Х = а0е02 и q = ia0) . Следовательно, поле Якоби ДО будет иметь вид: Значит, a0t0 = nk,keZ и w(f0)=-w. Если вектор XeK0r KZf тогда найдется такая допустимая тетрада Минковского (го»еие2 ез), что пара (W,X) примет вид: w = e0Aei, X = А(е0+ег)ле3 f w(t) = ет + tX и поле Якоби ДО представимо суммой где 0 (О, , (0, (0, ,(0 из (2.3.14). Из условия ДО = и представления (2.3.14) следует тривиальность поля ДО. 2. Пусть ДО поле Якоби вдоль некоторой геодезиче ской w(t) = QxpwtX такое, что ДО) = У ( о) = и w( о) — w ( о 0 ) . Тогда, если вектор X&K0r K2f то найдется такая допустимая тетрада Минковского ( о епе2 ез), что пара w(0 = ео(0Леі(0, где в, определены системой равентсв (1.3.8) и поле Из условия 7 ( о) = 0 следует, что В силу нетривиальности поля У (О определитель или в комплексной форме Если записать q = a + ibr то (2.3.20). равносильно є є — -є є . Из равенства по модулю комплексных чисел е є — в є следует, что є -є , а значит, а — \з. Поэтому, аналогично пункту 1 теоремы Х а0е02і Я = ао и поле Якоби (0 имеет вид: А значит, аоґ0 = тг/2 + лк,кєг и w(f0)= exp,,, = expw —ею . Если вектор е оп г/ тогда найдется такая допустимая тетрада Минковского представления (2.3.14) следует тривиальность поля (0 . В силу произвольности выбора w и X это доказывает утверждение 2 теоремы. В касательном пространстве T„G рассмотрим двумерную площадку ". Пусть для некоторой окрестности нуля огоссг поверхность Ф0 =ехРн.( то) вполне геодезическая.

Тогда в силу вполне геодезичности поверхности Фэ / вторая форма включения Фо-CG тождественно равна нулю. А значит, для касательных, векторов M»v wr„, 2 0 преобразование кривизны R(u,v)w на поверхности Ф и преобразование кривизны R(u,v)w на самом G совпадают. Так как поверхность двумерна, то (см. [20] ) преобразование кривизны на поверхности вычисляется по формуле где Ка-секционная кривизна многообразия G в направлении площадки & = Ту,Ф0 . Теорема. 3.1.1: Для двумерного вполне геодезического подмногообразия Фэ многообразия G выполнено одно из условий: - либо О" состоит только из простых бивекторов; - либо для любого бивектора veer верно V T ( + -оператор Ходжа). Доказательство: В площадке & рассмотрим пару не-коллинеарных векторов " vecr. Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет ненулевое решение Л), и формула преобразования кривизны, согласно (2.1.14), будет иметь вид R(u,v)w=(u,w)v-(v,w)u- veer. Первые два слагаемых принадлежат площадке ", следовательно vecr. Если определитель системы (3.1.2) тогда по формуле (2.1.8) секционная кривизна подмногообразия Ф» т--1, что вместе с (3.1.1). влечет обращение в ноль выражения для любого бивектора WGCT. в силу линейной независимости бивекторов и и v, при w = Mf из (3.1.3) следует {" ") = О, что означает простоту бивектора u. В силу произвольности выбора бивектора и теорема доказана.Ш Если площадка о"0 состоит только из простых бивекторов, то многообразие Ф =exPw(ab)c: содержится в некотором трехмерном линейном подпространстве пространства Л2 . Это нетрудно заметить из явной формулы для геодезических (1.3.7) и (1.3.9). Более того, верна Теорема 3.1.2: Пусть площадка " = Lin(X,Y) =TwG состоит только из простых векторов, тогда Доказательство: 1. Пусть вектор ХеК0/ тогда найдется такая допустимая тетрада Минковского = (e0,ej,e2,ej), что w=e0Ae] и вектор X = a0e02 +a,e3i . Так как вектор X - простой, то ог0-дг, =0. Если зг0 = (можно считать, что ai= )r тогда вектор Х = е3} для геодезической Qxp_w{tX)--chtyv + shtX ..- тогда Обратно, пусть " = Л-w + pX &Lin(yv,X)r\Gl , Если вектор X є K0 f тогда найдется такая допустимая тетрада Минковского е = (ео еі е2 ез), Следовательно, либо Замечание 3.1.3: Если выполнены условия теоремы 3.2.1 и для любого вектора Ze r верно Z Утверждение 3.1.4: Если площадка " простая, то найдутся такие попарно неколлинеарные вектора \ є , что любой бивектор Zecr можно представить в виде Доказательство: Рассмотрим какой-нибудь базис {X,Y\ в площадке G.

По условию утверждения Так как бивектор Z простой для любых Л М, то (см. [15]) ZAZ = 2A/j-flr\f2AglAg2 = 0f откуда следует линейная зависимость набора {/pA i } Поэтому бивекторы можно представить в виде Пусть площадка целиком состоит из простых световых (изотропных) направлений. Согласно (1.3.6), ранговое пространство Vz каждого бивектора % содержит одно из двух световых направлений плоскости V„ . Значит, найдется такая тетрада Минковского е = (ео еі е2 ез), в которой Пусть в площадке О" найдется несветовой вектор . Тогда по теореме 1.3.2 найдется тетрада Минковского, в которой w = eo\, Z = аоет +а\еъ\ Так как площадка простая, то в этом равенстве один из коэффициентов ао или \ обращается в ноль, поэтому возможны следующие варианты: Если Z = em.f то в утверждении 3.1.4 для площадки " из (3.1.13) следует, что Х!=х3 = 0Л бивекторы /\лЬ и л А коллинеарны, что противоречит условию утверждения. 3.1.4. Значит, M-V=0 и возникают дальнейшие разветвления. Если Z - еог і h eo, тогда в утверждении 3.1.4 в качестве вектора \ можно выбрать ei, a h% представить сум- представить в виде: Так как Z& rf то =0, а следовательно, найдется такая тетрада Минковского (возможно, отличная от е ) , в которой Аналогично рассматриваются и другие варианты. Сформулируем результаты. Заметим, что (3.1.16) и (3.1.17) отличаются только нумерацией векторов в тетраде Минковского. Таким образом, с точностью до преобразования Лоренца, имеются всего четыре типа простых площадок (3.1.12), (3.1.15), (3.1.16), (3.1.18) с сигнатурой (0,0), (-,-), (-/+) и (+,+) соответственно. Заметим, . что хотя определение (3.1.20) для W{e) инвариантно относительно выбора системы координат, оно не дает наглядного представления о строении W{e).

Теорема об отсутствии трехмерных вполне 'геодезических подмногообразий.

Теорема. 3.2.3: В многообразии G нет вполне геодезических трехмерных подмногообразий. Доказательство: Пусть Ф - трехмерное вполне геодезическое подмногообразие G . Касательное пространство Ty,G является псевдоевклидовым пространством с сигнатурой (+ + - -). Поэтому, согласно утверждению 3.2.1, касательное пространство TjPaTJJ (м єФ) однозначно определяется своим ортогональным дополнением Z . Если бивектор Z ё К0глК2 f то согласно 1.3.8, найдется такая допустимая тетрада Минковского (ео»еі 2 ез), что Z = flJoeo2 + ai ji , w = еох и =2 =1//7( 03: 1. 1 :+ 0 31). Так как ф -. вполне геодезическое подмногообразие G , то для любых X,Y,ZGTV P преобразование кривизны Л(X,Y)Z є Т Ф . Однако Если вектор Z eK0n,K2f TQ согласно 1.3.10, найдется допустимая тетрада Минковского преобразование кривизны также Для доказательства утверждений в этом параграфе мы воспользуемся моделью Кэли-Клейна пространства Лобачевского в шаре (см.[11]). Напомним, что в этой модели прямым пространства Лобачевского соответствуют хорды шара. Далее в этом параграфе мы будем отождествлять прямые пространства Лобачевского и их образы в модели Кэли-Клейна. Утверждение 3.3.1: Для непараллельных прямых 1,гєН найдется прямая &H.f пересекающая Л 2 и ортогональная им. Доказательство: Для доказательства утверждения воспользуемся моделью Кэли-Клейна пространства Лобачевского - в шаре (см.[11]). Не нарушая общности, можно считать, . что прямая Л проходит че- рез центр шара (тогда прямая, ортогональная к"Л в Н , ортогональна и в -евклидовом смысле). Из каждой точки прямой &г опустим перпендикуляр на прямуючі . Рассмотрим функцию cc(t): (0,1)— [0, л] f #(0)=0, a(X)-7tl равную углу между прямой . 2 и перпендикуляром к Л . По теореме Вейерштрасса непрерывная функция ог(0 принимает все промежуточные значения, в частности найдется о такое, что а((о) ЛІ2 . Замечание 3.3.2: Если прямые ,, 2е// параллельны, то такой прямой нет. Доказательство: В модели Кзли-Клейна параллельным прямым соответсвуют хорды шара D , имеющие общую точку на его границе 9D . Для удобства можно считать, что прямая 2 проходит через центр шара. Прямая, пересекающая прямые Л и 2, и ортогональная им, должна лежать в плоскости прямых \ и $г, проходить через точку А и быть ортогональной(в евклидовом смысле) к прямой 2 А значит, должна совпадать с перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой --2, пересечение которого. с шаром D пусто.В Известно, что в геодезически полном римановом многообразии любые две точки можно соединить кратчайшей (геодезической).

В псевдоримановом случае, вообще говоря, это неверно. Так, в многообразии G есть точки, которые нельзя соединить геодезической. Подробнее этот факт описывает следующее утверждение. Утверждение 3.3.3: expw(TwGl) = Gl\{0- (е0+ ) -( - )) (- ). (3.3.1) Доказательство: Пусть бивектор т принадлежит правой части равенства (3.3.1). Если прямые tw и т из модели Кэли-Клейна, соответствующие бивекторам w и х, не параллельны, то согласно утверждению 3.3.1, найдется прямая , пересекающая w и г и ортогональная им. Пусть прямой $ соответствует бивектор «, тогда гєФ 7(и) = ехр„ст/ где сг = Ып(и, и) . Если прямые w и г сонаправленны, то их можно соединить геодезической вида (1.3.10). Если прямые противоположно направлены, то, согласно утверждению 3.3.2, нет прямой, проходящей через І- и г и ортогональной им, а следовательно, их нельзя соединить геодезической вида (1.3.8). Прямые . и &t принадлежат разным компонентам связности многообразия (Ф(ео-еі)), а значит, их нельзя соединить геодезической вида (1.3.10). Среди вполне геодезических, связных, полных подмно- гообразий также есть подмногообразие, не все точки которого соединимы геодезическими. Это Ф (ез) . Согласно теореме 3.1.2, геодезическими на Ф (ез) являются плоские сечения вида (3.1.4). Причем, если вектор Хєа - простран-ственноподобный или световой, то плоское сечение Ф (ез) Математической моделью пространства-времени в специальной теории относительности служит. четырехмерное псевдоевклидово пространство Минковского М с сигнатурой (+ -,-,-) Каждая точка хєМ физически интерпретируется как -...-событие - нечто произошедшее "здесь и сейчас". Временипо-добная кривая х : x(t) , (JC (0)2 = const 0 моделирует движение частицы в трехмерном "физическом пространстве"(см.,_ например, [11]) Если изучать релятивистскую кинематику на фиксированной прямой этого пространства, то множество соответствующих событий в пространстве Минковского помещается в двумерной плоскости, содержащей некоторое времени- подобное направление е, е2 0. Ясно, что параллельным прямым физического пространства соответствуют параллельные плоскости пространства М . Поэтому система одинаково направленных прямых физического пространства (направлений) может быть задана двумерной ориентированной времени-подобной плоскостью, проходящей через начало четырехмерного пространства Минковского (см.[13]). В фундаментальной работе Р.И. Пименова [19], 1968 г., посвященной аксиоматике наиболее общих пространственно-временных структур, приведен словарь, дающий различным понятиям релятивистской кинематики их математическую модель в рамках пространства М . Следуя Г. Минковскому [16], направление физического пространства моделируется как двумерная ориентированная времениподобная плоскость пространства М, в [19] рассмотрен ряд вопросов, связанных с этим объектом.

Таким образом, совокупность G1 направлений физического пространства можно рассматривать как подмножество грассманиана G 4, состоящее из плоскостей, задевающих временной конус Кт = {хєМ\х2 0} . Каждому единичному вре-мениподобному вектору f0, /0 =1 сопоставляется геодезическая модель Кэли-Клейна пространства Лобачевского в шаре (см. [11]). Каждой плоскости TeG1 взаимно однозначно соответствует хорда Ї=ОГЛТГ направленная в соответствии с ориентацией Т (см. [13]) . Тем самым множество G1 приобретает структуру гладкого многообразия, диффеоморфного многообразию Скалярное произведение - в псевдоевклидовом пространстве М стандартным образом распространяется на всю внешнюю алгебру А(М) . При этом подпространство бивекторов Л2(М)а А(М) приобретает структуру шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (+,+,+,—,-,—) "В каждой плоскости TGG1 выберем положительно ориентированный ор-тонормированный базис {е0,е }: е0 — —ех =1, е0,е1 = 0 и сопоставим ему простой бивектор e0r\ex — e0l = we А2(М0) , который не зависит от способа выбора базиса {е0,е}}. Этим описано каноническое плюккерово вложение P:Gl- Az(M). Отождествим многообразие G1 с P(G )c AZ(M) - Это подмногообразие является однородным пространством группы Лоренца L(M) , естественно действующей изометриями на всей внешней алгебре Л(М). Псевдориманова метрика на G , индуцированная плюк-керовым вложением, имеет сигнатуру (+,+,-,-) (подробнее см. [13]). В этой работе, в частности, полностью описаны геодезические многообразия G1 . В [36] построено "гауссово" отображение произволь-, ной времениподобнои кривой пространства Минковского в многообразие G . Для мировых линий, описывающих периодическое движение частицы по замкнутому контуру, сформулировано и доказано неравенство, которое можно рассматривать в качестве аналога неравенства Фенхеля для поворота по замкнутой кривой в Л3. Настоящая диссертация посвящена дальнейшему изуче- нию геометрии многообразия G1 . Основным результатом работы автор считает предложенную классификацию двумерных вполне геодезических подмногообразий многообразий G1 - Кроме того, в работе доказано отсутствие в & трехмерных вполне геодезических подмногообразий, что вместе с работой [13] завершает классификацию всех вполне . геодезических подмногообразий многообразия направлений физическо-. го пространства G1 . Элементы пространства бивекторов Л2(М) могут быть "интерпретированы как постоянные электромагнитные поля (см. [7], [29-32], [39]) . Это пространство наделено естественной структурой трехмерного комплексного пространства, в котором задано некоторое комплексно значимое "скалярное произведение". В этих терминах подмногообразие G1 сА2(М) можно рассматривать как единичную сферу в пространстве бивекторов.