Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Простые и квазипростые алгебры и группы Ли. Картанов и квазикартанов алгоритмы 10
1. Простые и квазипростые алгебры 10
2. Простые и квазипростые группы Ли 13
3. Комплексная, двойная и дуальная структуры в многообразиях прямых 20
Глава II. Аффинные и проективные пространства над алгебрами и их интерпретации 26
1. Аффинные геометрии 26
2. Проективные геометрии 33
Глава III. Эрмитовы метрики в пространствах над алгебрами и их вещественные интерпретации 41
1. Эллиптические метрики в пространствах над телами и тензорными произведениями тел 41
2. Эллиптические метрики в пространствах над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те жекомплексные формы, что и тензорные произведения тел 47
3. Эллиптические метрики в пространствах над квазипростыми алгебрами 55
4. Гиперболические метрики в пространствах над телами и тензорными произведениями тел 65
5. Гиперболические метрики в пространствах над квазипростыми алгебрами 69
6. Евклидовы метрики в пространствах над алгебрами 72
Глава ІV. Геометрические конструкции отображений расширенных алгебр на многообразия прямых и плоскостей вещественных пространств 78
1. Отображение расширенных алгебр с эллиптическими метриками на многообразия прямых 3-пространств 78
2. Отображение расширенных алгебр с гиперболическими метриками на многообразия прямых 3-пространств 82
3. Отображение алгебр с евклидовыми метриками на многообразия прямых 3-пространств 84
4. Отображение алгебр на многообразия прямых 5-пространств 86
5. Отображение алгебры на многообразия 3-плоскостей 7-пространств 90
Глава V. Дифференциальная геометрия в эрмитовых пространствах над алгебрами 93
1. Деривационные формулы эрмитовых пространств 93
2. Углы и орты наклонов вещественных 2-шіощадок в эрмитовых пространствах над тензорными произведениями тел 96
3. Вещественные кривые в пространствах над алгебрами и моносистемы т -плоскостей 100
4. Линейные элементы в многообразиях прямых и плоскостей . 107
5. Структура окрестности прямой и плоскости в многообразиях прямых и плоскостей 111
6. Вещественные поверхности в пространствах над алгебрами и конгруэнции прямых 114
Литература 119
- Комплексная, двойная и дуальная структуры в многообразиях прямых
- Эллиптические метрики в пространствах над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те жекомплексные формы, что и тензорные произведения тел
- Отображение расширенных алгебр с гиперболическими метриками на многообразия прямых 3-пространств
- Вещественные кривые в пространствах над алгебрами и моносистемы т -плоскостей
Введение к работе
Цель работы. Важную роль в многочисленных исследованиях, относящихся к проективным и неевклидовым пространствам над алгебрами, играют вещественные интерпретации этих пространств. Целью настоящей работы является выявление общих закономерностей в вещественных интерпретациях одномерных проективных, аффинных, эрмитовых евклидовых и неевклидовых пространств над алгебрами широкого класса, включающими в себя тела, тензорные произведения тел и алгебры, имеющие те же комплексные формы, что тела и их тензорные произведения, а также алгебры, получаемые из перечисленных выше алгебр, определенными алгоритмами, называемыми в работе картановым и квазикартановым алгоритмами. Все эти геометрии являются геометриями простых, полупростых и квазипростых групп Ли. Рассматриваемые в работе пространства над алгебрами интерпретируются в виде многообразий прямых и плоскостей вещественных пространств с проективными метриками. В работе решаются также задачи дифференциальной геометрии пространств над алгебрами и семейств прямых и плоскостей вещественных пространств.
Актуальность темы определяется тем, что в настоящее время интенсивно развиваются такие разделы геометрии как геометрия пространств над алгебрами и геометрия семейств прямых и плоскостей в пространствах с фундаментальными группами. Исследования в этих областях ведут многие советские и зарубежные геометры: В.В.Вишневский, Р.М.Гейдельман, В.Ф.Кириченко, Г.И.Кручкович, А.П.Норден, Б.А.Розенфельд, А.П.Широков и их ученики, а также В.Бенц, Ш.Кобаяси, Ж.Титс, Г.Фрейденталь и многие другие. Актуальность темы исследования определяется также важностью геомет-
рий пространств над алгебрами и геометрии групп Ли для современной физики.
Предмет исследования. Предметом настоящего исследования являются проективные, аффинные, эрмитовы евклидовы, эллиптические и гиперболические прямые над телами Hdp (р=2,4,8) комплексных чисел, кватернионов и октав, над простыми и полупростыми алгебрами/L двойных чисел, антикватернионов и антиоктав, над квазипростыми алгебрами Др и М1р дуальных чисел, полукватернионов и полуантикватернионов, полуоктав и полуантиоктав и
Над ИХ ТеНЗОрНЫМИ ПрОИЗВеДеНИЯМЙ fltpUtc.jlfcpln,} їїір&р,№рНр
и т.д., а также вещественные интерпретации этих прямых в виде многообразии прямых и плоскостей вещественных пространств с проективными метриками и решение некоторых задач дифференциальной геометрии в этих пространствах.
Научная новизна. В работе впервые найдены общие закономерности вещественных интерпретаций эрмитовых эллиптических, гиперболических и евклидовых прямых ,' в пространствах над тензорными произведениями тел и над алгебрами, полученными из этих тензорных произведений алгоритмом Картана и квазикартановым алгоритмом. Определены углы и орты наклонов вещественных 2-площадок в эрмитовых пространствах над тензорными произведениями тел и найдена их связь с секционными римановыми кривизнами вещественных симметрических пространств, изометричных этим эрмитовым пространствам. Найдена система инвариантов, определяющая моносистемы т.-плоскостей вещественных эллиптических пространств, являющихся моделями эрмитовых пространств над тензорными произведениями тел с точностью до движений этих пространств и тем самым найдена система инвариантов, определяющих вещественные
кривые эрмитовых пространств с точностью до движений эрмитовых пространств. Решены также некоторые задачи теории конгруэнции прямых в вещественных эллиптических пространствах, равносильных задачам теории вещественных поверхностей эрмитовых пространств.
Практическое и теоретическое значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Опираясь на результаты исследований этой работы, можно построить аналогичные интерпретации многомерных пространств над рассматриваемыми алгебрами, а также интерпретации пространств над более сложными алгебрами. Опираясь на задачи дифференциальной геометрии, решенные в работе, можно решить более сложные задачи дифференциальной геометрии пространств над алгебрами и семейств прямых и плоскостей вещественных пространств. Результаты диссертации можно использовать для чтения спецкурса в Казанском государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина, МГПИ имени В.И.Ленина, Комсомольском-на-Амуре государственном педагогическом институте и других высших учебных заведениях.
Методика исследования. Методы построения вещественных интерпретаций пространств над алгебрами, применяемые в диссертации, состоят в систематическом использовании всех известных ранее интерпретаций рассматриваемых пространств и в применении к этим интерпретациям комплексных расширений, унитарных ограничений, алгоритма Картана и квазикартанова алгоритма. При решении задач дифференциальной геометрии используется метод внешних форм и подвижного репера.
Апробация работы. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на Всесоюзной научной конференции по неевклидовой геометрии "150 лет геометрии Лобачевского" в Казани (1976 г.), на геометрических семинарах Казанского
государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина (1979 г., 1983 г.), Московского государственного педагогического института имени В.И.Ленина (1982, 1983 гг.), на научно-практических конференциях в Комсомольском-на-Амуре государственном педагогическом институте (1977-1984 гг.).
Публикации.По теме диссертации опубликовано 10 статей, из которых 5 в соавторстве с указанием, какая часть работы написана каждым автором. Результаты, полученные соавторами, в работе не использовались.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения и 5 глав. Во введении обоснована актуальность избранной темы, сформулированы задачи исследования, перечислены методы исследования. Первая глава носит в основном реферативный характер. Это объясняется тем, что необходимый для исследования материал рассредоточен в различных книгах и научных статьях. Приводятся необходимые сведения из теории простых и квазипростых алгебр и групп Ли и указываются известные ранее геометрические интерпретации этих групп. Здесь же доказывается, что в многообразиях эллиптических, гиперболических и параболических прямых пространств
S„ » S> » Sr* t K Г можно определить комплексные, двойные и дуальные структуры. Во второй главе определяются и изучаются геометрии аффинных и проективных пространств над телами И-р (р=1,2,4,8), над простыми и полупростыми алгебрами р , получаемыми алгоритмом Картана из тел, а также над квазипростыми ал-гебрамиАри %, получаемыми квазикартановым алгоритмом из тел Dip и алгебр Lp. Строятся интерпретации этих алгебр с геометрией аффинных прямых в виде евклидовых, псевдоевклидовых, квазиевклидовых пространств с группами подобий, а расширенных алгебр с геометрией проективных прямых - в виде конформных,
псевдоконформных и квазиконформных пространств.
В третьей главе определяются и изучаются эрмитовы эллиптические, гиперболические и евклидовы пространства над телами и тензорными произведениями тел, над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те же комплексные формы, что и тензорные произведения тел, а также над квазипростыми алгебрами, полученными из тензорных произведений тел квазикартановыми алгоритмами. Строятся интерпретаций эрмитовых эллиптических, гиперболических и евклидовых прямых в пространствах над алгебрами /Кр <* ftL , Е^ІЦ , /Ff»/I^. Кр*МЦ, llf , ІрЛ^ , lP*W9 - в виде многообразий взаимно полярных (р-1)- и (с^-1) -плоскостей в вещественных эллиптических, гиперболических, квазиэллиптических или квазигиперболических (p+fy-l )-пространствах.
В четвертой главе строятся конструкции отображений многообразий прямых вещественных 3- и 5-пространств и 3-плоскостей 7-пространств на соответственные алгебры.
В пятой главе приведены деривационные уравнения подвижно
го репера в эрмитовых пространствах над рассматриваемыми ал
гебрами. По аналогии с введенным П.А.Широковым понятием угла
наклона вещественной 2-площадки в пространстве SnU&%) опреде
ляются углы и орты наклонов вещественных 2-шющадок в простран
ен Ос
ствах n№p&№q) и ЙП^»Д^) и находится их связь с секционными
римановыми кривизнами вещественных римановых пространств, яв-ляющихся моделями пространств Sn[CpfcK»). Строится теория моносистем т -плоскостей эллиптических А^-пространств Sy и находится система инвариантов, определяющих моносистему с точностью до движений этих пространств. Эта система инвариантов, в силу изложенных выше интерпретаций, совпадает с системой инвариан-тов, определяющих вещественную кривую в пространствах п№р*#у.
Б эрмитовых пространствах над алгебрами определяются инвариантные вещественные, комплексные, двойные и дуальные метрики, которые тем самым определяются в многообразиях прямых и плоскостей, образующих интерпретации рассматриваемых пространств над алгебрами. Эти интерпретаций применяются для изучения структуры окрестности прямой в многообразиях прямых вещественных 3- и 5-пространств и в окрестности 3-плоскости в многообразий 3-плоскостей вещественных 7-пространств. В качестве примера изучения вещественных поверхностей в эрмитовых пространствах над алгебрами решен ряд задач теории прямолинейных конгруэнции вещественных 3-пространств, равносильных задачам теории вещественных 2-поверх-ностей прямых S^OK^Kj .
Результаты исследования опубликованы в работах [12, 13, 14, 15] , [16, I] , [ТІ , [49, 2] , [50, I,2J , [бі, 2,з] , [52, 2,3].
Комплексная, двойная и дуальная структуры в многообразиях прямых
Практическое и теоретическое значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Опираясь на результаты исследований этой работы, можно построить аналогичные интерпретации многомерных пространств над рассматриваемыми алгебрами, а также интерпретации пространств над более сложными алгебрами. Опираясь на задачи дифференциальной геометрии, решенные в работе, можно решить более сложные задачи дифференциальной геометрии пространств над алгебрами и семейств прямых и плоскостей вещественных пространств. Результаты диссертации можно использовать для чтения спецкурса в Казанском государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина, МГПИ имени В.И.Ленина, Комсомольском-на-Амуре государственном педагогическом институте и других высших учебных заведениях.
Методика исследования. Методы построения вещественных интерпретаций пространств над алгебрами, применяемые в диссертации, состоят в систематическом использовании всех известных ранее интерпретаций рассматриваемых пространств и в применении к этим интерпретациям комплексных расширений, унитарных ограничений, алгоритма Картана и квазикартанова алгоритма. При решении задач дифференциальной геометрии используется метод внешних форм и подвижного репера.
Апробация работы. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на Всесоюзной научной конференции по неевклидовой геометрии "150 лет геометрии Лобачевского" в Казани (1976 г.), на геометрических семинарах Казанского государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина (1979 г., 1983 г.), Московского государственного педагогического института имени В.И.Ленина (1982, 1983 гг.), на научно-практических конференциях в Комсомольском-на-Амуре государственном педагогическом институте (1977-1984 гг.).
Публикации.По теме диссертации опубликовано 10 статей, из которых 5 в соавторстве с указанием, какая часть работы написана каждым автором. Результаты, полученные соавторами, в работе не использовались.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения и 5 глав. Во введении обоснована актуальность избранной темы, сформулированы задачи исследования, перечислены методы исследования. Первая глава носит в основном реферативный характер. Это объясняется тем, что необходимый для исследования материал рассредоточен в различных книгах и научных статьях. Приводятся необходимые сведения из теории простых и квазипростых алгебр и групп Ли и указываются известные ранее геометрические интерпретации этих групп. Здесь же доказывается, что в многообразиях эллиптических, гиперболических и параболических прямых пространств можно определить комплексные, двойные и дуальные структуры. Во второй главе определяются и изучаются геометрии аффинных и проективных пространств над телами И-р (р=1,2,4,8), над простыми и полупростыми алгебрами р , получаемыми алгоритмом Картана из тел, а также над квазипростыми ал-гебрамиАри %, получаемыми квазикартановым алгоритмом из тел Dip и алгебр Lp. Строятся интерпретации этих алгебр с геометрией аффинных прямых в виде евклидовых, псевдоевклидовых, квазиевклидовых пространств с группами подобий, а расширенных алгебр с геометрией проективных прямых - в виде конформных, псевдоконформных и квазиконформных пространств.
В третьей главе определяются и изучаются эрмитовы эллиптические, гиперболические и евклидовы пространства над телами и тензорными произведениями тел, над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те же комплексные формы, что и тензорные произведения тел, а также над квазипростыми алгебрами, полученными из тензорных произведений тел квазикартановыми алгоритмами. Строятся интерпретаций эрмитовых эллиптических, гиперболических и евклидовых прямых в пространствах над алгебрами /Кр ftL , Е ІЦ , /Ff»/I . Кр МЦ, llf , ІрЛ , lP W9 - в виде многообразий взаимно полярных (р-1)- и (с -1) -плоскостей в вещественных эллиптических, гиперболических, квазиэллиптических или квазигиперболических (p+fy-l )-пространствах.
В четвертой главе строятся конструкции отображений многообразий прямых вещественных 3- и 5-пространств и 3-плоскостей 7-пространств на соответственные алгебры. В пятой главе приведены деривационные уравнения подвижно го репера в эрмитовых пространствах над рассматриваемыми ал гебрами. По аналогии с введенным П.А.Широковым понятием угла наклона вещественной 2-площадки в пространстве SnU&%) опреде ляются углы и орты наклонов вещественных 2-шющадок в простран ствах n№p&№q) и ЙП »Д ) и находится их связь с секционными римановыми кривизнами вещественных римановых пространств, яв-ляющихся моделями пространств Sn[CpfcK»). Строится теория моносистем т -плоскостей эллиптических А -пространств Sy и находится система инвариантов, определяющих моносистему с точностью до движений этих пространств. Эта система инвариантов, в силу изложенных выше интерпретаций, совпадает с системой инвариан-тов, определяющих вещественную кривую в пространствах п№р #у. Б эрмитовых пространствах над алгебрами определяются инвариантные вещественные, комплексные, двойные и дуальные метрики, которые тем самым определяются в многообразиях прямых и плоскостей, образующих интерпретации рассматриваемых пространств над алгебрами. Эти интерпретаций применяются для изучения структуры окрестности прямой в многообразиях прямых вещественных 3- и 5-пространств и в окрестности 3-плоскости в многообразий 3-плоскостей вещественных 7-пространств. В качестве примера изучения вещественных поверхностей в эрмитовых пространствах над алгебрами решен ряд задач теории прямолинейных конгруэнции вещественных 3-пространств, равносильных задачам теории вещественных 2-поверх-ностей прямых S OK Kj .
Эллиптические метрики в пространствах над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те жекомплексные формы, что и тензорные произведения тел
Проективное пространство Рп(А) над алгеброй / можно определить как расширение пространства п(А) , при котором каждая прямая дополняется бесконечно удаленной и идеальными точками таким образом, что пространство Рп(&) находится во взаимно однозначном и взаимно непрерывном соответствии со связкой прямых в пространстве En4i(&) . Если записать точки прямых пространства пн№) . проходящие через его точку (0, 0, ..., 0) в виде (р typ , ..., YP )f а точки пространства Еп(А) , погруженного в (А) в виде гиперплоскости ={ , записать в виде ( , е , ...» \п ),то бесконечно удаленными и идеальными точками пространства Еп С&) при его расширении до пространства РпС&) являются, соответственно, точки гиперплоскости = О и точки, для которых - делитель нуля. Элементы У, р, ..., пр алгебры Я являются проективными координатами точки пространства РпСА) в том случае, когда порождаемый ими идеал алгебры Д совпадает со всей алгеброй /fl 18,65], поэтому в этом случае р не является нулем или делителем нуля. В качестве группы преобразований рассматривается группа проективных преобразований, состоящая из коллинеаций переводящих точки -U V пространства / № в его гиперплоскости оС , определяемые уравнениями 2 оСсЦс =0. При п={ получаем проективную прямую Р,А) , которую можно рас 34
сматривать как расширение алгебры /В . Коллинеации (2.22) и корреляции (2.23) в этом случае имеют, соответственно, вид Будем называть т. - плоскостью пространства Ph CAj , при Wei прямой, m. -пространство &,А) , погруженное в пространство Р„СД) в виде подпространства Коллинеации пространства Рп СА) можно определить как взаимно однозначные и взаимно непрерывные преобразования пространства РПС&) , переводящие прямую в прямую, а корреляции -взаимно однозначные и взаимно непрерывные отображения точек на гиперплоскости, при которых пряьше переходят в пучки гиперплоскостей [40, с.667]. На прямой проективного пространства Pnt&) можно определить двойное отношение w четырех точек ХСу") , УСчЧ , гС?0 , UC crO : если С"= Г trL - )р1У І f[1 , то двойное отношение четырех точек прямой определяется по формуле Поэтому в пространстве Рп№ можно определить также двойное отношение двух точек ХСЦ1 ) , У Li1) и двух гиперплос костей СНЫ;) fiCjbi) W q vr U il Cl 0, (2.27) равное двойному отношению точек X , V и точек 2 t U пересечения прямой XV с гиперплоскостями оС ж J . Двойное отношение (2.27) при коллинеациях (2.22) преобразуется по закону Vi/- fiw) , а при корреляциях (2.23) - W - fCw) . При п={ формулы (2.26) и (2.27) могут быть записаны в виде Среди проективных преобразований прямой Р С&) над квазипростыми алгебрами /0 можно выделить такие коллинеации и корреляции, что непрерьвные автоморфизмы и антиавтоморфизмы алгебры Д\ , входящие в их состав, являются метрическими. Будем называть коллинеации и корреляции прямых Р4(/ЪР и RCHJp) сохраняющие естественные метрики алгебр Л\р и М1Р , соответственно, проективными движениями и кодвижениями этих прямых. Проективные движения и кодвижения прямых PtC/Ьр) и РіШЦ,) образуют группы, являющиеся подгруппами групп проективных преобразований этих прямых. Группа проективных движений и ко-движений прямой R Crtlp) является квазипростой группой Ли, полученной квазикартановым алгоритмом из простой группы проективных преобразований прямой Р СЛ). Дополнению алгебр JXp , П_р , АЬр , ГИр , которые можно рассматривать как аффинные прямые F1 ( Р)_, ,(&р)} E C/LpJ, EnU4Ip) до проективных прямых РД(ИР) , P,C#p), Р,(ЖР); Р-гС йр) соответствует дополнение пространств Rp , t R » RP i44 S і соответственно, до конформного пространст-ва Ср , псевдоконформного пространства ъ Ср [40, с. 391] и полу конформных пространств Ср и С [41, с. 365]. Теорема 2. Проективные прямые R,CtKp), R,(XP); R, С/ .р) и Рл ОЇЇр) (р=2,4,8) геометрически идтерпр_етирушея, соответ-ственно, пространствами Ср , - 2р » Р ЇЇ ЧVC S причем про-ективные ш)вобзюания этих прямых изображаются конформными преобразов шиями р -пространств, а двойные отношения четверок точек проективных.прямых эквивалентны инвариантам четверок точек этих пространств. Эти проективные прямые геометрически интерпретируются также, соответственно, абсолютами пространств 2 , s и абсолютными конувами пространстве и "" , причем проективные преобразования этих прямых изображаются движениями ( р + і )-пространств, а двойные отношения четверок точек прямых РДД) эквивалентны инвариантам пар прямых ( р+1 )-пространств, высекающих из абсолютов или абсолютных конусов изображения этих точек. Так как единственным непрерывным автоморфизмом поля Д , является тождественное преобразование У » преобразование (2.24) в этом случае имеет вид
Отображение расширенных алгебр с гиперболическими метриками на многообразия прямых 3-пространств
Эрмитовы эллиптические пространства ЗД можно определить также над алгебрами 1р , №р1 , Ир&И В случае алгебр Р абсолютный поляритет (3.1) имеет вид d L -Ц - , а в слу чае алгебр Кр I- и tLp& I- - dc = Цс . В этих случаях аб солют (3.2) вещественен. Будем обозначать пространства $nf/uj над алгеброй Дгр - пС.р) , а над алгебрами р/Ц, и /р0 . 2П({ИР1Ц) ; S Clp ) Геометрия пространств SnClLp) изложена в [40, с. 620-654], пространства \Ш й.ч) \Lhh) рассматривались Л.В.Румянцевой [57]. В случае алгебр Я.р двойное отношение w можно записать в виде (3.4), а его левую часть - в виде coi1 , где положительное число г - радиус кривизны пространства, а число 8 , которое в этом случае вещественно или чисто мнимо, - расстояние между точками X и Ч В случае алгебр Qfp&lcy и р»!Ц, двойное отношение W можно записать в виде (3.5) и при р= -& это двойное отноше-ние удовлетворяет условию W W , т.е. W имеет вид й &$9) где (00) равно -I и +1, вследствие чего его можно рассматривать, соответственно, как комплексное число aeC или двойное число Q+ІЄ. .В случае остальных рассматриваемых алгебр двойное отношение w удовлетворяет условию (3.6) и в случав алгебр и.ч&1ь и 1ч1г можно выбрать такой элемент р алгебры, что f J принимает вид d+ h& , (t9@f=±0y т.е. является комплексным или двойным числом. Поэтому vi/ при p=fy 2, и fw/J ! при р &, = можно записать в виде 2, » где положительное число і - радиус кривизны пространства, а двойное или комплексное число о - расстояние между точками X и V . В случае алгебр КЧ1Н и 1Ч»Ц в силу (З.б) матрица vi/, представляющая двойное отношение преобразованием W- J WJ -4 может быть приведена к диагональному виду и, следовательно, можно выбрать элемент о алгебры, что ip]A//"f имеет вид Q + &LV+ ejJ:4- dkF или a+St + e&E + dfF , где произведения LL, /F и k-F можно рассматривать как базисные элементы алгебры 2.& г » а произведения il} eF, f-F - базисные элементы алгебры ft г & 1г - (И1 . В этом случае 9 ft yWp- также можно записать в виде с# - , где положительное число z - радиус кривизны пространства, ad1- элемент алгебр (Кг. К , и Иг0І - расстояние между точками X и У Прямые S, ULp) , S,C#P/L) и З рФІЦ) можно рассматривать как метризованные расширенные алгебры /LP , btPL и Группы движений пространств Sn(P) бр-2.,4), n p h І СИрЄ-О-еу) (р=с 2,,4) могут быть записаны в виде (2.22), где матрицы U=-UJj3 с элементами из соответственной алгебры удовлетворяют условиям унитарности, имеющим вид, соответственно, (3.7) и (3.8). В дальнейшем будем рассматривать пространства SnC(LP) как частные случаи пространств \СКР Псу) Lp i). Теорема 4. Пары полярных точек эрмитовых эллиптических пря_-мых \№рЪ!су) изображаются парами полярных эллиптических {$- ) 49 плоскостей и гиперболических (р-f )-плоскостей вещественных пространств 2. s „_ , причем группы движений этих прямых локально изоморфны группам движений соответственных вещественных гиперболических (р+« - L )-пространств. Изометричность прямых S СЯ-р) сферам в пространствах г рн доказана в [40, с. 630] для р=2,4; доказательство для р=8 аналогично доказательству для прямой S, c g) , тем самым утверждение теоремы доказано для ty і . Полярные точки прямых 2 , CLP) изображаются диаметрально противоположными точками этих сфер, поэтому пары полярных точек прямых \(1Р) ИЗОбра-жаются точками гиперболических пространствzSp и полярными им ( р-\ )-плоскостями, т.е. пары полярных точек прямых \СИр) изображаются гиперболическими прямыми пространств г Ьр и их полюсами Интерпретация прямой 5, (Лг) по существу совпадает с интерпретацией многообразия прямых плоскости \ на плоскости двойного переменного [63, с. II9-I29] . Эти интерпретации прямых S CQ-p) можно получить также применяя алгоритм Кардана к компактным группам движений прямых \ ЖР) и пространств $ р . Некомпактные простые группы движений прямых %Wq,&ILJ (а-2Д8 ) могут быть получены из компактных простых или полупростых групп движений прямых S,(fl #J алгоритмами Картана, соответствующими инволютивным автоморфизмам этих групп, опре-деляемым отражениями прямых V #y от нормальных цепей, являющихся прямыми СйЩ . Так как при изображении пар поляр-ных точек прямых (0 ) прямыми пространств % + ,/ эти нормальные цепи изображаются связками прямых пространств %-м , т.е. точками этих пространств, отражения от этих нормальных цепей соответствуют отражениям от точек пространств м и от полярных им су -плоскостей. Группы движений пространств % н при алгоритмах Картана, соответствующих ин-волютивным автоморфизмам этих групп, определяемым отражениями от точек этих пространств, переходят в группы движений пространств 41 » причем стационарные подгруппы прямых пространств 2 при этих алгоритмах переходят в стационарные подгруппы гиперболических прямых пространств 4S и полярных им ( fc-f )-плоскостей. Поэтому пары полярных точек пря-мых S CD y изображаются гиперболическими прямыми пространств м и, следовательно, полярными ( с -ч )-плоскостями этих точек.
Вещественные кривые в пространствах над алгебрами и моносистемы т -плоскостей
Теорема б. Пары полярных точек эрмитовых эллиптических прямых S (А р ОСсу) изображаются парами полярных эллиптических ( -4 )-пл_о_скостей и квазиэллиптических (p t )-плоскос-тей пространствн а- і дричем группы движений этих прямых и квазиэллиптических пространств ,, локально изомр ны. Прямые S CA p) с отождествленными полярными точками изо-метричны при р=2 коевклидовой плоскости ., (или многообразию прямых плоскости R-2. , за расстояние между которыми принимается их угол или расстояние между параллельными прямыми) [бЗ1, с, 83-90І, и при р=4,8 квазиэллиптическим пространствам &1 [25, Зб]и, следовательно, пары полярных точек прямых С/ р) изображаются точками плоскости $ и пространств S и их полярами. Квазипростые группы движений прямых $,( 0/ dp=,4,8J могут быть получены из компактных простых групп дви-жений прямых S CS IHe) квазикарта новыми алгоритмами, соответствующими инволютивным автоморфизмам этих групп, определяемым отражениями прямых \С С ) от нормальных цепей, являющихся прямыми CKq,) . Так как при изображении пар полярных точек прямых $,С0 Ке.) прямыми пространств \+ эти нормалыше цепи изображаются точками пространств S«+1 , отражения от рассматриваемых нормальных цепей соответствуют отражениям от точек пространств 2 л и от полярных им р -плоскостей. Группы движений пространств L+1 при квазикартановых алгоритмах, соответствующих инволютивным автоморфизмам, определяемым отражениями от точек этих пространств, переходят в группы движений пространств Идщ , причем стационарные подгруппы прямых пространств 5 , при этих алгоритмах переходят в стационарные подгруппы евклидовых прямых пространств и полярных им эллиптических (ty-f )-плоскостей. Поэтому пары полярных то-чек прямых CK e/Os,) изображаются евклидовыми прямыми пространств doii и полярными им эллиптическими ( ty-Y )-плоскостями. Интерпретацию прямой СйіеЛї.), в силу того, что эта прямая совпадает с прямой CKLO/V) , можно получить дуализацией прямой 5tCKL и плоскости 2 и применением интерпретации Ко-тельникова [40, с. 618] многообразия прямых пространства й.3 в виде плоскости SaCA\t) . Интерпретация прямой Св в/ О в пространстве б.г была предложена Н.Д.Пецко [38].
Квазипростые группы движений прямых \(&9К) (р 4,8) могут быть получены из компактных простых групп движений пря-мых і№рвКг) (р = /,8) квазикартановыми алгоритмами, соответствующими инволютивным автоморфизмам этих групп, определяемым от-ражениями прямых S fl oB .) от нормальных цепей, являющихся пря-мыми S, (ft» Кг.) . Так как при изображении пар полярных точек прямых S, (Кр кг) Ср ,8) прямыми пространств S эти нормальные цепи изображаются прямыми пространств Зр4 f отражения от этих нормальных цепей изображаются отражениями от (I. +1 )-плоскостей пространств S p+1 и полярных им (I-О-плоскостей. Группы движений пространств 2р+ при квази-картановых алгоритмах, соответствующих инволютивным автоморфизмам, определяемым отражениями от (--Ч )-плоскостей, пере-ходят в группы движений пространств S " , причем стационарные подгруппы прямых пространств $ж при этих алгоритмах переходят в стационарные подгруппы эллиптических прямых простії -/ ранств Sp и полярных им ( р-і )-плоскостей. Поэтому пары полярных точек прямых 2Д#рЛг) Cp=M,8J изображаются прямыми и бесконечно удаленными ( р-і )-плоскостями пространств (2 р+ , а пары полярных точек прямых S4 (/bPKt) Ср= ,) изображаются эллиптическими прямыми пространства $ и полярными им квазиэллиптическими ( р-і )-плоскостями.
Исключение составляет прямая S , (Л40К ) , стационарная подгруппа пары полярных точек которой изоморфна прямому произведению групп движений пространств р_, и q-i . Из интерпретаций пространства $ПСК,Л ) прямыми пространства Sp [Ay [4] вытекает, что пары полярных точек прямой I, С( ч &v) изображаются прямыми пространства Spa СЯЦ) . Стационарная под-группа пары полярных точек прямой fl&ffc/flj и прямой пространства SpsC/Q /) изоморфна прямому произведению двух групп симп-лектических преобразований прямой Sp,, С ) , каждая из которых изоморфна прямому произведению групп движений эллиптической плоскости S и евклидовой плоскости Иг ; поэтому эта стационарная подгруппа изоморфна прямому произведению групп движений двух плоскостей S t и двух плоскостей ft. , т.е. прямому произведению групп движений эллиптического пространства Ss и квазиэллиптического пространства г .
Пащ. полярных, точек эрмитовых эллиптических прямых S, (Л1р «) изображаются парами полярных гиперболических {о,-і )-плоскостей и квазиэллиптич.еских (р { )-плос-костей пространств г S2 » причем группы движений этих прямых и пространств локально изоморфны.
Квазипростые группы движений прямых (Ді 10) могут быть получены из некомпактных простых групп движений прямых 5, СК оДІ ) квазикартановыми алгоритмами, соответствующими инволютивным автоморфизмам этих групп, определяемым отражения-ми прямых С& /Ц) от нормальных цепей, являющихся прямыми % СП-а,) Так как при изображении пар полярных точек прямых ДЖг ) эллиптическими прямыми пространств S 4(. эти нормальные цепи изображаются связками эллиптических прямых пространств
