Введение к работе
Актуальность темы исследования. Дифференциальная геометрия
оамейств подпространств евклидовых и неевклидовых пространств яв
ляется одним из вахших разделов современной дифференциальной гео
метрии. Теория тагах семейств имеет актуальное значение как резерв
фактов и методов для теорий пространств физических объектов, без
привлечения которых не обходится ни один раздел современной физи
ки. ' /
Теория семейств подпространств развивается с начала XIX века, она включает в себя проективную и метрическую теорию семейств пряша трехмерного пространства, их обобщения на случай многомерного пространства и связана о именами Монда, Малюса, Плюккера, Клейна, Фубиня, С.П.Финикова, П.К.Ршевского, М.А.Акивиса, А.М.Ва-сильева, В.И.Коровака, Р.іиЩербакова, КЛІ.Гринцевнчюса, Н.И.Крван-цова, В.И.Машанова и др.
В прошлом столетии била предложена идея интерпретации трехмерной яянейчатой геометрии как геометрии на гиперповерхности в пятиыорном пространстве. Эта идея, названная перенесением 'Плюккера, уопошо применялась при Изучения двупараметрических (конгру-9ИШ1Й) и трехпараметрическдх (комплексов) семейств прямих трехмерных пространств,
Основы общей теории а - параметричесісюс семейств т. - мерных длоскоотей в различных И - мерніос пространствах били зало-цени В.В .Вагнером, П.К.Рашвским, Ь.А.Розен^ельдом в 40-х годах.
Р.М.Геидельмаи методом подвижного репера изучил ди$еренци -альнуы геометрию т. - параметрических семейотв (tn-l) - мерных плоскостей в гыпориодаческом пространстве 1Srtr< і а так;сё т-параметрачеокнх оемейств. (п.*гп) - мерных оер з конформной пространстве Си.
Основная задача теории О. - параметрических семейств т-морних плоскостей п - нершпс однородных пространств состоит в отсекшей полной системи инвариантов этих семейств, раскрытии геометрического смысли Э'п:х инвариантов, изучении свойств семейотв rtl-плоокоотей н кдасон^'глц;!:: таких семейств.
Несмотря на больное количество работ, посвященных-исследования никм в облает д'у.,^ореніу!альной геометрии, подпространств в про -епавиом, Є:і!пнд:.'Лом .; неевклидов!-х пространствах, многие вахнеР-
шиє вопросч общей и специальной теории семейств подпространств' (отыскание инвариантов, выяснение их геометрического смысла, исследование специальных классов семейств, доказательство их существования) остались либо полностью, либо частично неразрешенными.
Развитое нові ос методов да.К-еренциалъной геометрии дозволяє* продолжить исследования в многомерном пространстве»
Б предлагаемой диссертации изучается геометрия семейотв flt-мерних плоскостей евглздова /t - мерного пространства Rn. и как ее частини случай - геометрия семейств прямих пространства Rn.
Цель работ;; заключается в стисканий системы инвариантов семейств ftl - плоскостей, определяющих их с точностью до двн-аений пробтранства Rn . , изучении свойств семейств, вселення чаотинх случаев семейств га - плоскостей.
Методи исследования. Работа основана иа применении метода подводного репэра и внешних дн^еренциальных ^орм Э.Картана, В работе применяется такхе принцип перенесения Грассмана, заключающийся в интерпретации многообразия га - плоскостей евклидова И - пространства в виде алгебраической поверхности размврноо-тн (п+і)(п-т) в проективном пространстве Ры, /V s («') "* А . Исследование носит локальній! характер, все встречающиеся функции считаются достаточное число раз дифференцируемыми.
Научная новизна. Методі? исследования основані! на рассмотрении квазириманова симметрического пространства в многообразии всех <н - плоскостей евклидова /г - пространства и представлении этого проотраиотва в воде поверхности в квазиэллиптическом пространстве н применяются впервые для изучения геометрии семейотв т-плоскостей. В решении задач теории семейств Ш - плоскостей существенную роль играют геодезические динна в многообразиях т-плоскостей : для семейств т - плоскостей размерности I этими линиями являются касательные геодезические т - геликоиды, а для семейств т - плоскостей коразмерности I - нормальные геодезические 'и - геликоиды. Построенный,канонические реперы семейотв позволили изучить свойства семейртв ж. - плоскостей, найти их инварианты, выделить частные случаи семейств, "найти про-: извол их существования. Полученные в работе результаты с помощью указанных вше методов не противоречат проведенным ранее исследованиям.
Теоретическая и практическая значимость._ Результаты, полученные в диссертации, шз:от тоорот;:чес;:ое значение п-могут быть при-
ивненн к исследованиям в области дифференциальной геометрии се— ыейотв подпространств і/логомершіх пространств.-Материалы, содор-яащиеся в диссертации, могут бить использован» для чтения спе -циалышх курсов по даіфереиіпіальной геометрии в пединститутах а университетах.
Апробация работ». Осмовниа результати диссертации неоднократно докладывались к обсулдашсь на заседаниях геометрического семинара при ІДУ ( IS20 г., 1090 г.) , на научных конференциях преподавателей в Запородскоы государственном ун:*зврсктете ( 1337 г., 1990 г.) , на заседании научного сешнара при .'.ШУ (1991 г.).
