Содержание к диссертации
Введение
1 Различные виды замкнутости и замкнутости в 5(п)-пространствах . 15
1.1 Слабо .^(п^-замкнутые и слабо 5(п)-замкнутые пространства 15
1.2 Некоторые примеры 18
1.3 Новые характеристики 5(тг)-замкнутых и 5'(гг)-0-замкнутых пространств . 27
2 О некоторых свойствах 5'(п)-пространств . 29
2.1 Классы пространств, в которых для 5'(п)-замкнутости пространства X достаточно, чтобы X было слабо-5(п)-замкнутым пространством 29
2.2 Новая характеристика 5(п)-неуплотияемых пространств 31
2.3 О мощности ^^-пространства 34
3 Решение некоторых известных проблем в теории 5'(гг)-пространств . 39
3.1 Проблемы Dikranjan и Giuli [13] 39
3.2 О проблеме Berri, Porter и Stephenson [12] 48
3.3 О компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество слабо Я-замкнуто 52
Литература 55
- Новые характеристики 5(тг)-замкнутых и 5'(гг)-0-замкнутых пространств
- Классы пространств, в которых для 5'(п)-замкнутости пространства X достаточно, чтобы X было слабо-5(п)-замкнутым пространством
- Новая характеристика 5(п)-неуплотияемых пространств
- О компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество слабо Я-замкнуто
Введение к работе
В 19G6 году Н.В.Величко [2] было определено понятие -замкнутости. Для любого подмножества М топологического пространства X в-замыкание clgM определяется как {х Є X : для которых любая замкнутая окрестность точки х пересекает М}. Это понятие активно применялось многими топологами для изучения хаусдорфовых нерегулярных пространств. Так, например, работы T.Hamlett [14], D.Jankovic [16], J.Porter и C.Votow [22], А.А.Грызлова [3] используют оператор -замыкания для изучения внутренних свойств if-замкнутых пространств и пространств "близких" к if-замкнутым (функционально компактные, бикомпактные и др.). В 1986 году D.Dikranjan и E.Giuli [13] вводят более общее понятие оператора "-замыкания, развив теорию 5(п)-пространств, 5(п)-замкнутых и 5(п)-#-замкнутых пространств. В 1997 году 9п-замыкание используется для изучения свойств 5(п)-неуплотняемых пространств в работе S.Jiang, I.Reilly и S.Wang [17].
Пусть V некоторый класс топологических пространств. V-пространство X называют Р-замкнутым (соответственно V-9-замкнутым), если X замкнуто (соответственно -замкнуто) в любом объемлющем Р-пространстве. Обзорная статья M.Berri, J.Porter, R.Stephenson, Jr [12] предоставляет широкий спектр различных Р-замкнутых пространств, где Р такие классы топологических пространств как хаусдорфовые, полурегулярные, урысоновые, регулярные, (])ункционалыю-хаусдорфовые (для любых двух различных точек существует непрерывная вещественная функция, различающая эти точки), пространства обладающие первой аксиомой счетпости, паракомпактные и совершенно нормальные. Изучение Р-замкнутых пространств, где Р это класс вполне-регулярных и регулярных хаусдорфовых пространств встречаем также у Г.Киртадзе [5].
В данной работе продолжается изучение внутренних свойств S(n)-замкиутых, 5(п)-#-замкнутых и 5(п)-неуилотняемых пространств с использованием оператора "-замыкания, а также вводятся более широкие классы пространств такие как слабо 5(п)-замкнутые и слабо S(n)-0-замкнутые пространства. Отметим, что в мемуаре П.С.Александрова и П.С.Урысона [1] было замечено, что любое Я-замкнутое пространство обладает свойством ( ) ( ) любое бесконечное множество регулярной мощности имеет точку в-накопления.
Там же был поставлен вопрос о достаточности этого свойства ( ) для того чтобы пространство было ІУ-замкнутьім. Напомню, что достаточным условием для компактности пространства является свойство:
любое бесконечное мнооїсество регулярной мощности имеет точку полного накопления.
Первый пример не .//-замкнутого пространства, обладающего свойством ( ), был построен Г.Киртадзе [5]. А.А.Грызлов [3] продолжил изучение Я-замкнутых пространств и пространств со свойством ( ), исследуя две задачи. Первая — нахождение классов пространств в которых для il-замкнутости пространства достаточно, чтобы оно обладало свойством ( ). Например, таким классом является класс финально-компактных пространств. Вторая — нахождение характеристики Я-замкнутого пространства через точки -накопления. Рассмотрение точек подобных точкам -накопления, но уже в различных S(n)-пространствах, привело к определению точки 0(п)-накопления (0°(п)-накопления).
Естественным, в классе 5,(п)-пространств, было ввести два типа пространств. Первый — обладающий свойством:
( ) любое бесконечное мнооїсество регулярной мощности имеет точку в{п)-накопления.
Пространство, обладающее таким свойством ( ), будем называть слабо-5(п)-замкнутым.
Второй — обладающий свойством:
( ) любое бесконечное мнооїсество регулярной мощности имеет точку 9G (п) -накопления.
Пространство, обладающее свойством ( ), будем называть слабо 5(п)-0-замкнутым.
Заметим, что основной внешней характеристикой /S(n)-3aMKiiyToro (б (п)- -замкнутого) пространства является замкнутость (9-замкнутость) в любом объемлющем 5(п)-пространстве. В связи с тем, что класс слабо 5 (гг)-замкнутых пространств шире класса S(n)-замкнутых пространств(Теорема 1.1.2) и, соответственно, класс слабо 5(п)-#-замкнутых пространств шире класса 5(п)-#-замкнутых пространств (Теорема 1.1.1), возникают следующие вопросы.
В каких классах пространств из того, что пространство X слабо S(n)-замкнуто, будет следовать, что X — S(п)-замкнуто? Соответственно для слабо 5(п)-#-замкнутых пространств.
Можно ли получить внутренную характеристику 5(п)-замкнутого пространства через точки #(п)-накопления? Соответственно, характеристику 5(п)-#-замкнутого пространства через точки #°(п)-накопления?
Напомним, что 5(п)-пространство X называется S(n)-неуплотняемым (минимально S(n)), если любое уплотнение в S(n)-пространство является гомеоморфизмом.
М.Катетовым был получен критерий неуплотняемых (т.е. 5(1)-неуплотняемых) пространств. Хаусдорфово пространство X неуилотняе-мое тогда и только тогда, когда X Я-замкнуто и топология на X полурегулярна. А.А.Грызлов [3] находит внутренную характеристику неуплотняемых пространств, используя понятие точки -накопления. В [17] было
доказано, что любое 5(п)-неуплотняемое пространство 5(п)-замкнуто и нолурегулярно. Там же было показано, что 5 (п)-замкнутости и полурегулярности не достаточно для 5 (п)-неуплотняемости пространства. Поэтому вопрос о достаточном условии 5(7г)-неуплотняемости при п 1 оставался открытым. Наконец, в статье S.Jiang, I.Reilly и S.Wang [17] определяются достаточные условия для 5(п)-неуилотняемости пространства, используя понятие n-скачковой точки. Возникает вопрос о существовании внутренней характеристики 5(гг)-неуилотняемого пространства, с использованием понятия точки 0(п)-накопления.
Интерес, к слабо 5 (п)-замкнутым и слабо 5,(п)- -замкнутым пространствам, в основном вызван тем, что некоторые открытые проблемы, поставленные для 5 (п)-замкнутых (5(п)- -замкнутых) пространств, в классе слабо 5(п)-замкнутых(слабо 5(п)-#-замкнутых) пространств, имеют решение. К таким проблемам можно отнести проблемы Dikranjan,Giuli[13] и проблему Berri, Porter и Stephenson [12] о компактности.
Будет ли произведение 5(2)-0-замкнутых пространств (feebly) /-компактно? ([13]).
Будет ли финально-компактное «9(2)-#-замкнутое пространство Н-замкнуто? ([13]).
Существует ли 5(2)-замкнутое не 5(2)-#-замкнутое пространство (X, г), такое, что (X, г )-компакт (где TQ топология, полученная из топологии т, объявлением замкнутыми множествами все -замкнутые множества в т)? ([13]).
Будет ли пространство компактно, если любое замкнутое подмножество 5 (2)-замкнуто? ( [12]).
Краткое содержание работы
В первом параграфе первой главы вводятся понятия точек #°(п) пакоплеиия и в{п)-накопления и с помощью их определяются новые классы 5(п)-пространств — слабо 5(п)-#-замкнутые и слабо 5(п)-замкнутые пространства. Доказывается, что класс слабо S(n)-9-замкнутых (слабо 5(п)-замкнутых) пространств шире класса S(n)-6-замкнутых (5(п)-замкнутых) пространств.
Теорема 1 (Теорема 1.1.4). Пусть X — S(n)-9-замкнутое S(n)-пространсгпво. Тогда X — слабо S(n) -в-замкнуто.
Теорема 2 (Теорема 1.1.5). Пусть X — S{n)-замкнутое S(n)-пространстоо. Тогда X — слабо S(n) -замкнуто.
Отметим, что в классе регулярных пространств классы S(n)-замкнутых, (п)-#-замкнутых, слабо-5(п)-замкнутых и слабо-5(п)-0-замкнутых пространств совпадают с классом компактных пространств. Поэтому для изучения этих классов пространств уместно рассматривать не регулярные « -пространства. Заметим, что из самих определений следует, что в 5(п)-иространстве любое 5(п)-#-замкнутое пространство является 5(п)-замкнутым пространством. И в [13] было доказано, что из S(n — 1)-замкнутости следует 5(п)-0-замкнутость. Второй параграф первой главы полностью посвящен примерам, позволяющим понять отличия между классами 5(п)-#-замкнутых, слабо-5(п)-замкнутых, слабо-5(п)-#-замкнутых и 5(п)-замкнутых пространств. Так, пример 1.2.3 является примером 5(п)-пространства, которое не 5(п)-замкнуто, но слабо 5(п)-замкнуто. Пример 1.2.4 является примером 5(п)-пространства, которое являясь слабо 5(п)-#-замкнутым (даже более того, является слабо S(n — 1)-замкнутым) пространством, не является 5(п)-#-замкнутым пространством. И пример 1.2.5 является примером 5(п)-пространства, которое является 5(п)-#-замкнутым, но не является слабо S(n — 1)-замкиутым пространством. Более того, пример 1.2.4 и пример 1.2.5 доказывают независимость двух классов пространств в 5(п)-аксиоме отде лимости. А именно, пример 1.2.4 доказывает, что класс слабо S(n — 1)- замкнутых пространств не содержится в классе 5(п)-#-замкнутых пространств. А пример 1.2.5 наоборот, что класс «5 (п)- -замкнутых пространств не содержится в классе слабо S(n — 1)-замкнутых пространств. В следующем параграфе 1.3 доказывается новая внутренняя характери- ы. етика 5(п)-замкнутых и 5 (п)- -замкнутых пространств через понятие слабо S(n)-сходимость и 5(гг)-#-сходимость. Заметим, что при п=1 это было сделано Грызловым [3].
Теорема 3 (Теорема 1.3.2). Пространство X — S(n)-замкнуто тогда и только тогда, когда любое бесконечное подмножество слабо S(n)-сходится к своим точкам в {п)-накопления.
Теорема 4 (Теорема 1.3.4). Пространство X — S(n)-в-замкнуто тогда и только тогда, когда любое бесконечное подмнооїсество S(n)- (ф в-сходится к своим точкам в0(п) -накопления.
В следующей главе 2 параграф 2.1 посвящен определению таких классов пространств, в которых понятия слабо-5(п)-замкнутость и S(n)-замкнутость совпадают (аналогично понятия слабо-б п -замкнутость и 5(п)-#-замкнутость совпадают).
Теорема 5 (Теорема 2.1.1).Пусть X — финально-компактное слабо-S(n)-замкнутое S(n) -пространство, тогда X — S(n)-замкнуто.
Теорема 6 (Теорема 2.1.2).Пусть X — линейно-липделефовое слабо-S(n)-9-замкнутое S(n)-пространство, тогда X — слабо-Sin — 1)-замкнуто.
Теорема 7 (Теорема 2.1.4). Пусть X — финально-компактное слабо-S(п)-в-замк?іутое S(n)-пространство, тогда X — 3(п)-в-замкпуто.
Параграф 2.2 посвящен нахождению новой характеристики S(n)-неуплотняемых пространств. Используя технику, построенную Грызло вым [3] для п=1, получаем критерий (п неуплотняемости пространства через 5(п)-сходимость.
Теорема 8 (Теорема 2.2.4).Пусть X-S{n)-пространство, тогда следующие утвероісдеиия эквивалентны:
X — 3(п)-иеуплотняемое пространство;
Любое бесконечное множество А С X S(n)-сходится к множеству своих точек в(п) -накопления В, и если существует точка х Є В такая, что А не 8(п)-сходится к В \ {х}, rno х есть точка полного накопления А.
В следующем параграфе 2.3 получена оценка мощности S(n)-иространства и, как следствие, оценка мощности 5(п)-0-замкнутого пространства.
Теорема 9 (Теорема 2.3.5).Пусть X — S{n-\-l)-пространство, тогда \Х\ 2sL (")WK«(")W.
Следствие 10 (Следствие 2.3.11).Пусть X — S{n + 1)-6-замкнутое S(n + 1)-пространство, тогда \Х\ 2Кв х\
Последняя третья глава полностью посвящена решению некоторых проблем в теории «5 (п)-пространств.В первом параграфе третьей главы строится пример 3.1.3, который отвечает положительно на вопрос Dikranjan и Giuli [13](Question 2.6.) о существовании С/-замкнутого не /-#-замкнутого пространства (X, г), такого, что (X, г )-бикомпакт. Пример 3.1.4 решает отрицательно вопрос (Problem 2, Dikranjan и Giuli [13]) о слабо S(п)- -замкнутости пространства при слабо 5(п)- -замкнутости т5, для любого п 2. Теорема 3.1.6 доказывает, что в классе финально компактных пространств свойство /- -замкнутость является мультипликативным (в силу мультипликативности свойства / -замкнутости).
Теорема 11 (Теорема 3.1.6). Пусть X — финально компактное U-9-замкнутое пространство. Тогда X — Н-замкнуто.
Далее, строятся два урысоновских {/- -замкнутых пространства, таких, что их произведение не /-компактно (пример 3.1.7), и, таким образом, общий вопрос (Problem 5, Dikranjan и Giuli [13]) о /-компактности произведения двух /-0-замкнутых пространств решается отрицательно.
Параграф 3.2 посвящен изучению аналога критерия Александрова-Урысона, а именно, нахождению достаточных условий компактности пространства, в котором ( а ) каждое замкнутое подмножество слабо-/-замкнуто, или ( б ) каждое замкнутое подмножество слабо-Н-замкнуто.
Основными в этом параграфе являются теорема 3.2.1 и теорема 3.2.5.
Теорема 12 (Теорема 3.2.5). Пусть выполняются следующие условия для урысоповского топологического пространства X: (1)Х{Х)=ш;
( 2 ) любое замкнутое подмиооїсество U-замкнуто. Тогда пространство X компактно.
Теорема 3.2.5 дает положительный ответ, в классе пространств с первой аксиомой счетности, на вопрос Berri,Porter и Stephenson [12] о компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество U-замкнуто.
Теорема 13 (Теорема 3.2.1).Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X: (1)фн(Х)=ш;
( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкнуто. Тогда пространство X компактно.
Наконец, последний параграф третьей главы посвящен доказательству компактности пространства мощности ш\ в котором любое замкнутое подмножество слабо Н-замкнуто.
Теорема 14 (МА + -іСН) (Теорема 3.3.1). Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X: (1)\Х\=ші;
( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкпуто. Тогда пространство X компактно. Фактически в теореме 14 было доказано более общее утверждение.
Теорема 15 (MA + - СН)(Теорема 3.3.2).Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X: ( 1 ) 1(Х) UJ\ ( где 1{Х) — число Линделефа); ( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкпуто. Тогда пространство X компактно.
Основные результаты опубликованы в [6]-[8] и [18]-[20].
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н.В.Величко и доктору физ.-мат. наук Е.Г.Пыткееву за постановку ряда задач, постоянное внимание и плодотворное обсуждение результатов, а также своим родителям и брату Георгию за понимание и поддержку.
Отдельное спасибо участникам топологического семинара в ИММ УрО РАН Альперину М.И., Апуфриенко С.А., Казаковой И., Нохрину С.Э., Охезину Д.С., Патракееву М. и Филатовой М.А. за ценные замечания и активное обсуждение результатов.
Основные определения
Под пространством всюду в этой работе будет пониматься топологическое пространство, и если не оговорено особо, хаусдорфовое топологическое пространство. Понятия, которые можно найти в известных книгах, здесь не определяются. К таковым относятся: понятие окрестности, внутренности, границы и замыкания множества, канонически открытого и замкнутого множества, отношения топологий, основных аксиом отделимости, точки полного накопления, бикомпактности, расширения (Эн-гелькинг [9]).
Условимся относительно обозначений. Через clA (или А) будем обозначать замыкание, через IntA — внутренность множества А. Через 0 обозначается пустое множество. Через \А\ будем обозначать мощность множества А. Пространство X будем обозначать в некоторых случаях через (X, г), где X — носитель топологии т. Отметим, что иод окрестностью множества А С X мы будем понимать открытую окрестность А. Через N будем обозначать множество всех целых неотрицательных чисел. Под открытым (замкнутым) фильтром понимается фильтр в семействе всех открытых (замкнутых) подмножеств X.
Определение. Пространство X называется урысоновским (вполне отделимым), если любые две его различные точки имеют окрестности, замыкания которых не пересекаются.
Определение([1]). Хаусдорфово пространство X называется Незамкнутым (абсолютно замкнутым), если во всяком пространстве XU , полученном присоединением к пространству X одной точки , эта точка оказывается изолированной.
Теорема ([1])Хаусдорфово пространство X Н-замкнуто тогда и только тогда, когда всякая центрированная система открытых мно-оісеств этого пространства имеет непустое пересечение замыканий.
Теорема ([1]).Регулярное Н-замкнутое пространство компактно.
Определение. Хаусдорфово пространство X называется пеуплотня-емим, если любое его уплотнение на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
Определения ([13]). Пусть X топологическое пространство, М С X, х Є X. Для каждого п Є N оператор 9п-замыкания определяется следующим образом: х clgnM, если существует набор открытых окрестностей U\ С ІІ2 С ... С Un точки х такой, что сШ{ С С/г+і для і = 1, 2,..., п — 1 и clUn П М=0. При п = 0 полагается clgoM = СІМ.
Заметим, что при п = 1 получаем оператор -замыкания.
Множество М называем "-замкнутым, если M=clgnM. вп-внутренность IntffnM множества М определяется формулой IntenM = X \ с1вп(Х \ М). Очевидно, что с1вп(с1в°М) С с1дп+зМ для М С X и любых n, s из N. Для любого п Є N и фильтра Т на X через adgnj7 будем обозначать множество точек "-прикосновения J7, т.е. ай пТ = П{ clgnF : F Є Т}. В частности, ad T ad Т — множество точек прикосновения фильтра J7. Для любого п Є N, точка х Є X 5 (п)-отделена от подмножества М, если х $. clgnM. Например, х S(0)-отделено от М, если х $ М. Для п 0 отношение 5(го)-отделимости между точками симметрично. С другой стороны, 5(0)-отделимость может быть не симметричным в некоторых не Ті-пространствах. Поэтому говорим, что точки х и у 5(0)-отделены, если х {у} и у 0 {х}.
Определение ([13]). Пусть п Є N, X - топологическое пространство.
(1). X называется S(n)-пространством (или X удовлетворяет S(n)-аксиоме отделимости), если любые две различные точки из X S(n)-отдслеиы.
(2). Фильтр Т на X называется Б(п)-филътром, если каждая точка, не являющаяся точкой прикосновения фильтра J7, 5(п)-отдслена от пекоторого элемента фильтра J- .
(3). Открытое покрытие {Ua} пространства X есть S(n)-покрытие, если каждая точка из X лежит в "-внутренности некоторого Ua.
Очевидно, что 5(0)-пространства — То-пространства, S(l)-иространства — хаусдорфовые пространства и 5(2)-пространства — урысоновские пространства. Ясно, что каждый фильтр есть 5(0)-фильтр, каждое открытое покрытие есть 5 (0)-покрытие и каждый открытый фильтр есть 5(1)-фильтр. Открытые 5(2)-фильтры называются урысоновскими фильтрами ( [15], [23]). Для п 1 открытые 5 (п)-фильтры были определены в [22]. 5(1)-покрытия называют урысоновскими [12]. В регулярном пространстве каждый фильтр (каждое покрытие) есть 5(п)-фильтр (5(п)-покрытие) для любого п Є N. Рассматривая в качестве топологического класса V пространства, удовлетворяющие S(n) аксиоме отделимости, тогда S(n)-замкнутые и S(n)-9-замкнутые пространства - это 5(п)-пространства, замкнутые (соответственно -замкнутые) в любом объемлющем 5(п)-пространстве.
Грызлов [3] доказал, что класс 5(1)-#-замкнутых пространств есть в точности класс компактных пространств. Porter и Votaw [22] охарактеризовали 5(п)-замкнутые пространства через открытые 5(п)-фильтры и 5(п)-покрытия (для п = 2 это было сделано Herrlich [15]).
Теорема ([11],[8]).Пусть п 0 и X S(n)-пространство. Тогда сле-дующие условия эквивалентны:
для любого открытого фильтра F наХ adgnj7 ф 0;
для любого фильтра Т на X adgnj ф 0;
для каждого открытого 3(п)-фильтра Т на X adT ф 0;
для каждого 5(п — 1)-покрытия {Ua} пространства X существу k ют Uai,..., Uak такие, что X = \J Uai;
г=1
(5) X — S(n)-3aMKnymo.
Dikranjan и Giuli [13] привели характеристику 5(п)-#-замкнутых пространств через S(n — 1)-фильтры и S(n — 1)-покрытия.
Теорема ([6]). Пусть п 0 и X S(n)-пространство. Тогда следую-ище условия эквивалентны:
для любого замкнутого S(n — 1)-фильтра Т на X adT ф 0;
любое S(n — 1)-покрытие X имеет конечное подпокрытие;
для каоїсдого замкнутого фильтра Т на X adQ(n-\)T ф 0;
X—5(п)-в-замкнуто.
Заметим, что при п = 1 5(1)-замкнутость и 5(1)-#-замкнутость есть Н-замкиутость и компактность соответственно. А при п = 2 5 (2)-замкнутость и (2)-0-замкнутость — это {/-замкнутость и U- 9-замкнутость. Из самих определений следует, что в классе S(n)-пространств любое 5(п)-#-замкнутое пространство является S(n)-замкпутым пространством.
Новые характеристики 5(тг)-замкнутых и 5'(гг)-0-замкнутых пространств
В данной работе продолжается изучение внутренних свойств S(n)-замкиутых, 5(п)-#-замкнутых и 5(п)-неуилотняемых пространств с использованием оператора "-замыкания, а также вводятся более широкие классы пространств такие как слабо 5(п)-замкнутые и слабо S(n)-0-замкнутые пространства. Отметим, что в мемуаре П.С.Александрова и П.С.Урысона [1] было замечено, что любое Я-замкнутое пространство обладает свойством ( ) ( ) любое бесконечное множество регулярной мощности имеет точку в-накопления. Там же был поставлен вопрос о достаточности этого свойства ( ) для того чтобы пространство было ІУ-замкнутьім. Напомню, что достаточным условием для компактности пространства является свойство: любое бесконечное мнооїсество регулярной мощности имеет точку полного накопления. Первый пример не .//-замкнутого пространства, обладающего свойством ( ), был построен Г.Киртадзе [5]. А.А.Грызлов [3] продолжил изучение Я-замкнутых пространств и пространств со свойством ( ), исследуя две задачи. Первая — нахождение классов пространств в которых для il-замкнутости пространства достаточно, чтобы оно обладало свойством ( ). Например, таким классом является класс финально-компактных пространств. Вторая — нахождение характеристики Я-замкнутого пространства через точки -накопления. Рассмотрение точек подобных точкам -накопления, но уже в различных S(n)-пространствах, привело к определению точки 0(п)-накопления (0(п)-накопления). Естественным, в классе 5,(п)-пространств, было ввести два типа пространств. Первый — обладающий свойством: ( ) любое бесконечное мнооїсество регулярной мощности имеет точку в{п)-накопления. Пространство, обладающее таким свойством ( ), будем называть слабо-5(п)-замкнутым. Второй — обладающий свойством: ( ) любое бесконечное мнооїсество регулярной мощности имеет точку 9G (п) -накопления.
Пространство, обладающее свойством ( ), будем называть слабо 5(п)-0-замкнутым. Заметим, что основной внешней характеристикой /S(n)-3aMKiiyToro (б (п)- -замкнутого) пространства является замкнутость (9-замкнутость) в любом объемлющем 5(п)-пространстве. В связи с тем, что класс слабо 5 (гг)-замкнутых пространств шире класса S(n)-замкнутых пространств(Теорема 1.1.2) и, соответственно, класс слабо 5(п)-#-замкнутых пространств шире класса 5(п)-#-замкнутых пространств (Теорема 1.1.1), возникают следующие вопросы. В каких классах пространств из того, что пространство X слабо S(n)-замкнуто, будет следовать, что X — S(п)-замкнуто? Соответственно для слабо 5(п)-#-замкнутых пространств. Можно ли получить внутренную характеристику 5(п)-замкнутого пространства через точки #(п)-накопления? Соответственно, характеристику 5(п)-#-замкнутого пространства через точки #(п)-накопления? Напомним, что 5(п)-пространство X называется S(n)-неуплотняемым (минимально S(n)), если любое уплотнение в S(n)-пространство является гомеоморфизмом. М.Катетовым был получен критерий неуплотняемых (т.е. 5(1)-неуплотняемых) пространств. Хаусдорфово пространство X неуилотняе-мое тогда и только тогда, когда X Я-замкнуто и топология на X полурегулярна. А.А.Грызлов [3] находит внутренную характеристику неуплотняемых пространств, используя понятие точки -накопления. В [17] было доказано, что любое 5(п)-неуплотняемое пространство 5(п)-замкнуто и нолурегулярно. Там же было показано, что 5 (п)-замкнутости и полурегулярности не достаточно для 5 (п)-неуплотняемости пространства. Поэтому вопрос о достаточном условии 5(7г)-неуплотняемости при п 1 оставался открытым. Наконец, в статье S.Jiang, I.Reilly и S.Wang [17] определяются достаточные условия для 5(п)-неуилотняемости пространства, используя понятие n-скачковой точки. Возникает вопрос о существовании внутренней характеристики 5(гг)-неуилотняемого пространства, с использованием понятия точки 0(п)-накопления. Интерес, к слабо 5 (п)-замкнутым и слабо 5,(п)- -замкнутым пространствам, в основном вызван тем, что некоторые открытые проблемы, поставленные для 5 (п)-замкнутых (5(п)- -замкнутых) пространств, в классе слабо 5(п)-замкнутых(слабо 5(п)-#-замкнутых) пространств, имеют решение. К таким проблемам можно отнести проблемы Dikranjan,Giuli[13] и проблему Berri, Porter и Stephenson [12] о компактности. Будет ли произведение 5(2)-0-замкнутых пространств (feebly) /-компактно? ([13]). Будет ли финально-компактное «9(2)-#-замкнутое пространство Н-замкнуто? ([13]). Существует ли 5(2)-замкнутое не 5(2)-#-замкнутое пространство (X, г), такое, что (X, г )-компакт (где TQ топология, полученная из топологии т, объявлением замкнутыми множествами все -замкнутые множества в т)? ([13]). Будет ли пространство компактно, если любое замкнутое подмножество 5 (2)-замкнуто? ( [12]). В первом параграфе первой главы вводятся понятия точек #(п) пакоплеиия и в{п)-накопления и с помощью их определяются новые классы 5(п)-пространств — слабо 5(п)-#-замкнутые и слабо 5(п)-замкнутые пространства. Доказывается, что класс слабо S(n)-9-замкнутых (слабо 5(п)-замкнутых) пространств шире класса S(n)-6-замкнутых (5(п)-замкнутых) пространств. Теорема 1 (Теорема 1.1.4). Пусть X — S(n)-9-замкнутое S(n)-пространсгпво. Тогда X — слабо S(n) -в-замкнуто. Теорема 2 (Теорема 1.1.5). Пусть X — S{n)-замкнутое S(n)-пространстоо. Тогда X — слабо S(n) -замкнуто. Отметим, что в классе регулярных пространств классы S(n)-замкнутых, (п)-#-замкнутых, слабо-5(п)-замкнутых и слабо-5(п)-0-замкнутых пространств совпадают с классом компактных пространств. Поэтому для изучения этих классов пространств уместно рассматривать не регулярные « -пространства. Заметим, что из самих определений следует, что в 5(п)-иространстве любое 5(п)-#-замкнутое пространство является 5(п)-замкнутым пространством. И в [13] было доказано, что из S(n — 1)-замкнутости следует 5(п)-0-замкнутость. Второй параграф первой главы полностью посвящен примерам, позволяющим понять отличия между классами 5(п)-#-замкнутых, слабо-5(п)-замкнутых, слабо-5(п)-#-замкнутых и 5(п)-замкнутых пространств. Так, пример 1.2.3 является примером 5(п)-пространства, которое не 5(п)-замкнуто, но слабо 5(п)-замкнуто.
Классы пространств, в которых для 5'(п)-замкнутости пространства X достаточно, чтобы X было слабо-5(п)-замкнутым пространством
Пример 1.2.4 является примером 5(п)-пространства, которое являясь слабо 5(п)-#-замкнутым (даже более того, является слабо S(n — 1)-замкнутым) пространством, не является 5(п)-#-замкнутым пространством. И пример 1.2.5 является примером 5(п)-пространства, которое является 5(п)-#-замкнутым, но не является слабо S(n — 1)-замкиутым пространством. Более того, пример 1.2.4 и пример 1.2.5 доказывают независимость двух классов пространств в 5(п)-аксиоме отде лимости. А именно, пример 1.2.4 доказывает, что класс слабо S(n — 1) замкнутых пространств не содержится в классе 5(п)-#-замкнутых про странств. А пример 1.2.5 наоборот, что класс «5 (п)- -замкнутых про странств не содержится в классе слабо S(n — 1)-замкнутых пространств. В следующем параграфе 1.3 доказывается новая внутренняя характери ы. етика 5(п)-замкнутых и 5 (п)- -замкнутых пространств через понятие слабо S(n)-сходимость и 5(гг)-#-сходимость. Заметим, что при п=1 это было сделано Грызловым [3]. Теорема 3 (Теорема 1.3.2). Пространство X — S(n)-замкнуто тогда и только тогда, когда любое бесконечное подмножество слабо S(n)-сходится к своим точкам в {п)-накопления. Теорема 4 (Теорема 1.3.4). Пространство X — S(n)-в-замкнуто тогда и только тогда, когда любое бесконечное подмнооїсество S(n) (ф в-сходится к своим точкам в0(п) -накопления. В следующей главе 2 параграф 2.1 посвящен определению таких классов пространств, в которых понятия слабо-5(п)-замкнутость и S(n)-замкнутость совпадают (аналогично понятия слабо-б п -замкнутость и 5(п)-#-замкнутость совпадают). Теорема 5 (Теорема 2.1.1).Пусть X — финально-компактное слабо-S(n)-замкнутое S(n) -пространство, тогда X — S(n)-замкнуто. Теорема 6 (Теорема 2.1.2).Пусть X — линейно-липделефовое слабо-S(n)-9-замкнутое S(n)-пространство, тогда X — слабо-Sin — 1)-замкнуто. Теорема 7 (Теорема 2.1.4). Пусть X — финально-компактное слабо-S(п)-в-замк?іутое S(n)-пространство, тогда X — 3(п)-в-замкпуто. Параграф 2.2 посвящен нахождению новой характеристики S(n)-неуплотняемых пространств. Используя технику, построенную Грызло вым [3] для п=1, получаем критерий (п неуплотняемости пространства через 5(п)-сходимость. Теорема 8 (Теорема 2.2.4).Пусть X-S{n)-пространство, тогда следующие утвероісдеиия эквивалентны: 1. X — 3(п)-иеуплотняемое пространство; 2. Любое бесконечное множество А С X S(n)-сходится к множеству своих точек в(п) -накопления В, и если существует точка х Є В такая, что А не 8(п)-сходится к В \ {х}, rno х есть точка полного накопления А. В следующем параграфе 2.3 получена оценка мощности S(n)-иространства и, как следствие, оценка мощности 5(п)-0-замкнутого пространства. Теорема 9 (Теорема 2.3.5).Пусть X — S{n-\-l)-пространство, тогда \Х\ 2sL (")WK«(")W. Следствие 10 (Следствие 2.3.11).Пусть X — S{n + 1)-6-замкнутое S(n + 1)-пространство, тогда \Х\ 2Кв х\ Последняя третья глава полностью посвящена решению некоторых проблем в теории «5 (п)-пространств.В первом параграфе третьей главы строится пример 3.1.3, который отвечает положительно на вопрос Dikranjan и Giuli [13](Question 2.6.) о существовании С/-замкнутого не /-#-замкнутого пространства (X, г), такого, что (X, г )-бикомпакт. Пример 3.1.4 решает отрицательно вопрос (Problem 2, Dikranjan и Giuli [13]) о слабо S(п)- -замкнутости пространства при слабо 5(п)- -замкнутости т5, для любого п 2. Теорема 3.1.6 доказывает, что в классе финально компактных пространств свойство /- -замкнутость является мультипликативным (в силу мультипликативности свойства / -замкнутости). Теорема 11 (Теорема 3.1.6). Пусть X — финально компактное U-9-замкнутое пространство. Тогда X — Н-замкнуто. Далее, строятся два урысоновских {/- -замкнутых пространства, таких, что их произведение не /-компактно (пример 3.1.7), и, таким образом, общий вопрос (Problem 5, Dikranjan и Giuli [13]) о /-компактности произведения двух /-0-замкнутых пространств решается отрицательно. Параграф 3.2 посвящен изучению аналога критерия Александрова-Урысона, а именно, нахождению достаточных условий компактности пространства, в котором ( а ) каждое замкнутое подмножество слабо-/-замкнуто, или ( б ) каждое замкнутое подмножество слабо-Н-замкнуто. Основными в этом параграфе являются теорема 3.2.1 и теорема 3.2.5. Теорема 12 (Теорема 3.2.5). Пусть выполняются следующие условия для урысоповского топологического пространства X: (1)Х{Х)=ш; ( 2 ) любое замкнутое подмиооїсество U-замкнуто. Тогда пространство X компактно. Теорема 3.2.5 дает положительный ответ, в классе пространств с первой аксиомой счетности, на вопрос Berri,Porter и Stephenson [12] о компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество U-замкнуто. Теорема 13 (Теорема 3.2.1).Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X: (1)фн(Х)=ш; ( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкнуто. Тогда пространство X компактно. Наконец, последний параграф третьей главы посвящен доказательству компактности пространства мощности ш\ в котором любое замкнутое подмножество слабо Н-замкнуто. Теорема 14 (МА + -іСН) (Теорема 3.3.1). Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X: (1)\Х\=ші; ( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкпуто. Тогда пространство X компактно. Фактически в теореме 14 было доказано более общее утверждение. Теорема 15 (MA + - СН)(Теорема 3.3.2).Пусть выполняются следующие условия для хаусдорфова топологического пространства X: ( 1 ) 1(Х) UJ\ ( где 1{Х) — число Линделефа); ( 2 ) любое замкнутое подмножество слабо Н-замкпуто. Тогда пространство X компактно.
Основные результаты опубликованы в [6]-[8] и [18]-[20]. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н.В.Величко и доктору физ.-мат. наук Е.Г.Пыткееву за постановку ряда задач, постоянное внимание и плодотворное обсуждение результатов, а также своим родителям и брату Георгию за понимание и поддержку. Отдельное спасибо участникам топологического семинара в ИММ УрО РАН Альперину М.И., Апуфриенко С.А., Казаковой И., Нохрину С.Э., Охезину Д.С., Патракееву М. и Филатовой М.А. за ценные замечания и активное обсуждение результатов. Под пространством всюду в этой работе будет пониматься топологическое пространство, и если не оговорено особо, хаусдорфовое топологическое пространство. Понятия, которые можно найти в известных книгах, здесь не определяются. К таковым относятся: понятие окрестности, внутренности, границы и замыкания множества, канонически открытого и замкнутого множества, отношения топологий, основных аксиом отделимости, точки полного накопления, бикомпактности, расширения (Эн-гелькинг [9]). Условимся относительно обозначений. Через clA (или А) будем обозначать замыкание, через IntA — внутренность множества А. Через 0 обозначается пустое множество. Через \А\ будем обозначать мощность множества А. Пространство X будем обозначать в некоторых случаях через (X, г), где X — носитель топологии т. Отметим, что иод окрестностью множества А С X мы будем понимать открытую окрестность А. Через N будем обозначать множество всех целых неотрицательных чисел. Под открытым (замкнутым) фильтром понимается фильтр в семействе всех открытых (замкнутых) подмножеств X. Определение. Пространство X называется урысоновским (вполне отделимым), если любые две его различные точки имеют окрестности, замыкания которых не пересекаются. Определение([1]). Хаусдорфово пространство X называется Незамкнутым (абсолютно замкнутым), если во всяком пространстве XU , полученном присоединением к пространству X одной точки , эта точка оказывается изолированной. Теорема ([1])Хаусдорфово пространство X Н-замкнуто тогда и только тогда, когда всякая центрированная система открытых мно-оісеств этого пространства имеет непустое пересечение замыканий.
Новая характеристика 5(п)-неуплотияемых пространств
Определение. Хаусдорфово пространство X называется пеуплотня-емим, если любое его уплотнение на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом. Определения ([13]). Пусть X топологическое пространство, М С X, х Є X. Для каждого п Є N оператор 9п-замыкания определяется следующим образом: х clgnM, если существует набор открытых окрестностей U\ С ІІ2 С ... С Un точки х такой, что сШ{ С С/г+і для і = 1, 2,..., п — 1 и clUn П М=0. При п = 0 полагается clgoM = СІМ. Заметим, что при п = 1 получаем оператор -замыкания. Множество М называем "-замкнутым, если M=clgnM. вп-внутренность IntffnM множества М определяется формулой IntenM = X \ с1вп(Х \ М). Очевидно, что с1вп(с1вМ) С с1дп+зМ для М С X и любых n, s из N. Для любого п Є N и фильтра Т на X через adgnj7 будем обозначать множество точек "-прикосновения J7, т.е. ай пТ = П{ clgnF : F Є Т}. В частности, ad T ad Т — множество точек прикосновения фильтра J7. Для любого п Є N, точка х Є X 5 (п)-отделена от подмножества М, если х $. clgnM. Например, х S(0)-отделено от М, если х $ М. Для п 0 отношение 5(го)-отделимости между точками симметрично. С другой стороны, 5(0)-отделимость может быть не симметричным в некоторых не Ті-пространствах. Поэтому говорим, что точки х и у 5(0)-отделены, если х {у} и у 0 {х}. Определение ([13]). Пусть п Є N, X - топологическое пространство. (1). X называется S(n)-пространством (или X удовлетворяет S(n)-аксиоме отделимости), если любые две различные точки из X S(n)-отдслеиы. (2). Фильтр Т на X называется Б(п)-филътром, если каждая точка, не являющаяся точкой прикосновения фильтра J7, 5(п)-отдслена от пекоторого элемента фильтра J- . (3). Открытое покрытие {Ua} пространства X есть S(n)-покрытие, если каждая точка из X лежит в "-внутренности некоторого Ua. Очевидно, что 5(0)-пространства — То-пространства, S(l)-иространства — хаусдорфовые пространства и 5(2)-пространства — урысоновские пространства. Ясно, что каждый фильтр есть 5(0)-фильтр, каждое открытое покрытие есть 5 (0)-покрытие и каждый открытый фильтр есть 5(1)-фильтр. Открытые 5(2)-фильтры называются урысоновскими фильтрами ( [15], [23]). Для п 1 открытые 5 (п)-фильтры были определены в [22]. 5(1)-покрытия называют урысоновскими [12].
В регулярном пространстве каждый фильтр (каждое покрытие) есть 5(п)-фильтр (5(п)-покрытие) для любого п Є N. Рассматривая в качестве топологического класса V пространства, удовлетворяющие S(n) аксиоме отделимости, тогда S(n)-замкнутые и S(n)-9-замкнутые пространства - это 5(п)-пространства, замкнутые (соответственно -замкнутые) в любом объемлющем 5(п)-пространстве. Грызлов [3] доказал, что класс 5(1)-#-замкнутых пространств есть в точности класс компактных пространств. Porter и Votaw [22] охарактеризовали 5(п)-замкнутые пространства через открытые 5(п)-фильтры и 5(п)-покрытия (для п = 2 это было сделано Herrlich [15]). Теорема ([11],[8]).Пусть п 0 и X S(n)-пространство. Тогда сле-дующие условия эквивалентны: (1) для любого открытого фильтра F наХ adgnj7 ф 0; (2) для любого фильтра Т на X adgnj ф 0; (3) для каждого открытого 3(п)-фильтра Т на X adT ф 0; (4) для каждого 5(п — 1)-покрытия {Ua} пространства X существу k ют Uai,..., Uak такие, что X = \J Uai; г=1 (5) X — S(n)-3aMKnymo. Dikranjan и Giuli [13] привели характеристику 5(п)-#-замкнутых пространств через S(n — 1)-фильтры и S(n — 1)-покрытия. Теорема ([6]). Пусть п 0 и X S(n)-пространство. Тогда следую-ище условия эквивалентны: (1) для любого замкнутого S(n — 1)-фильтра Т на X adT ф 0; (2) любое S(n — 1)-покрытие X имеет конечное подпокрытие; (3) для каоїсдого замкнутого фильтра Т на X adQ(n-\)T ф 0; (4) X—5(п)-в-замкнуто. Заметим, что при п = 1 5(1)-замкнутость и 5(1)-#-замкнутость есть Н-замкиутость и компактность соответственно. А при п = 2 5 (2)-замкнутость и (2)-0-замкнутость — это {/-замкнутость и U- 9-замкнутость. Из самих определений следует, что в классе S(n)-пространств любое 5(п)-#-замкнутое пространство является S(n)-замкпутым пространством. В мемуаре о компактных пространствах Александрова и Урысона [1] было введено такое понятие как точка -накопления. Точка х называется точкой -накопления для множества F, если \F П U\ = \F\ для любой окрестности U точки х. Было замечено, что любое iJ-замкнутое пространство обладает свойством ( ) ( ) любое бесконечное множество регулярной мощности имеет точку в-накопления.
О компактности пространства в котором любое замкнутое подмножество слабо Я-замкнуто
Однако, обращение этого утверждения не верно. Киртадзе [5] построил первый пример пространства, обладающего свойством ( ), но не Н-замкнутого. Определение 1.1.1. Открытое множество U называется п-оболочкой множества А, если существует набор открытых множеств Ui, U2,..., Un U такой, что А С U\ и clUi С Ui+i для і = 1,..., п — 1. Под замкнутой n-оболочкой множества А понимаем замыкание любой n-оболочки множества А. Определение 1.1.2. Точка х из X называется точкой в(п)-пакоплепил (в(п)-накопления) для бесконечного множества F, если \FC\ U\ — 1- 1(1- П С/ = F) для любой n-оболочки U точки х. Заметим, что при п = 1 точка #(1)-накопления — это точка полного накопления, а #(1)-накопления — это точка -накопления. Определение 1.1.3. Топологическое пространство X называется слабо S(n)-в-замкнутым (слабо S(n)-замкнутым), если любое, регулярной мощности, бесконечное подмножество пространства X имеет точку в(п)-иакоиления (#(п)-накопления). Заметим, что любая точка 0(п)-накопления является точкой в{п)-накоиления, значит, любое слабо 5(п)-0-замкнутое пространство является слабо 5 (п)-замкнутым. И так как точка 0(п)-накопления является точкой в(п + 1)-накопления, то слабо 5(п)-замкнутое пространство будет слабо S(n + 1)-#-замкнутым. При п — 1 слабо 5 (1)- -замкнутые и слабо 5 (1)-замкнутые пространства есть компакты и пространства, обладающие свойством ( ), соответственно. Теорема І.ІЛ.Пусть X — S(n)-0-замкнутое S(n)-пространство. Однако, обращение этого утверждения не верно. Киртадзе [5] построил первый пример пространства, обладающего свойством ( ), но не Н-замкнутого. Определение 1.1.1. Открытое множество U называется п-оболочкой множества А, если существует набор открытых множеств Ui, U2,..., Un U такой, что А С U\ и clUi С Ui+i для і = 1,..., п — 1. Под замкнутой n-оболочкой множества А понимаем замыкание любой n-оболочки множества А. Определение 1.1.2. Точка х из X называется точкой в(п)-пакоплепил (в(п)-накопления) для бесконечного множества F, если \FC\ U\ — 1- 1(1- П С/ = F) для любой n-оболочки U точки х. Заметим, что при п = 1 точка #(1)-накопления — это точка полного накопления, а #(1)-накопления — это точка -накопления. Определение 1.1.3. Топологическое пространство X называется слабо S(n)-в-замкнутым (слабо S(n)-замкнутым), если любое, регулярной мощности, бесконечное подмножество пространства X имеет точку в(п)-иакоиления (#(п)-накопления). Заметим, что любая точка 0(п)-накопления является точкой в{п)-накоиления, значит, любое слабо 5(п)-0-замкнутое пространство является слабо 5 (п)-замкнутым.
И так как точка 0(п)-накопления является точкой в(п + 1)-накопления, то слабо 5(п)-замкнутое пространство будет слабо S(n + 1)-#-замкнутым. При п — 1 слабо 5 (1)- -замкнутые и слабо 5 (1)-замкнутые пространства есть компакты и пространства, обладающие свойством ( ), соответственно. Теорема І.ІЛ.Пусть X — S(n)-0-замкнутое S(n)-пространство. Тогда X — слабо S{n)-0-замкнуто. Доказательство. Предположим противное. Пусть X S(n)-0-замкнуто, но не слабо 5 (п)-0-замкнуто. Значит, существует бесконечное, регулярной мощности, множество F пространства X, которое не имеет точки #(п)-накопления. Для любой точки х Є X существует п-оболочка U точки х такая, что IF П U\ \F\. Взяв для каждой точки х Є X такую п-оболочку, получим S{n — 1)-покрытие пространства X. По теореме [13] существует конечное семейство n-оболочек, покрывающих X, таких, что \F П U\ \F\. Получим противоречие с тем, что F бесконечно, но представляется в виде конечного объединения подмножеств меньшей мощности. Теорема 1.1.5.Пусть X — S{n)-замкнутое S{n)-пространство. Тогда X — слабо S{n)-замкнуто. Доказательство теоремы 1.1.5 проводится аналогично доказательству теоремы 1.1.4. Теорема 1.1.6.ПустьX —регулярное слабо-3(п)-замкнутое (слабо-S{n)-9-замкнутое) пространство. Тогда X-компактно. Доказательство. Ясно, что в регулярном пространстве X всякая точка #(п)-накопления {9 (п)-накопления) является точкой полного накопления, так что в X каждое бесконечное множество регулярной мощности имеет точку полного накопления, что эквивалентно компактности ( [1]). Теорема доказана. Теорема 1.1.6 показывает, что в классе регулярных пространств свойства 5(п)-замкнутости, 5 (п)- -замкнутости, слабо-5 (п)-замкнутости и слабо-5(п)-#-замкнутости совпадают со свойством компактности. Поэтому для изучения этих свойств уместно рассматривать не регулярные iS,(n)-npocTpancTBa. В [13] было доказано, что из S(n — 1)-замкнутости следует S(n)-6-замкнутость. Итак, в классе 5(п)-иространств рассматриваемые свойства находятся в отношениях, которые отражаются в следующей диаграмме:
Тогда X — слабо S{n)-0-замкнуто. Доказательство. Предположим противное. Пусть X S(n)-0-замкнуто, но не слабо 5 (п)-0-замкнуто. Значит, существует бесконечное, регулярной мощности, множество F пространства X, которое не имеет точки #(п)-накопления. Для любой точки х Є X существует п-оболочка U точки х такая, что IF П U\ \F\. Взяв для каждой точки х Є X такую п-оболочку, получим S{n — 1)-покрытие пространства X. По теореме [13] существует конечное семейство n-оболочек, покрывающих X, таких, что \F П U\ \F\. Получим противоречие с тем, что F бесконечно, но представляется в виде конечного объединения подмножеств меньшей мощности. Теорема 1.1.5.Пусть X — S{n)-замкнутое S{n)-пространство. Тогда X — слабо S{n)-замкнуто. Доказательство теоремы 1.1.5 проводится аналогично доказательству теоремы 1.1.4. Теорема 1.1.6.ПустьX —регулярное слабо-3(п)-замкнутое (слабо-S{n)-9-замкнутое) пространство. Тогда X-компактно. Доказательство. Ясно, что в регулярном пространстве X всякая точка #(п)-накопления {9 (п)-накопления) является точкой полного накопления, так что в X каждое бесконечное множество регулярной мощности имеет точку полного накопления, что эквивалентно компактности ( [1]). Теорема доказана. Теорема 1.1.6 показывает, что в классе регулярных пространств свойства 5(п)-замкнутости, 5 (п)- -замкнутости, слабо-5 (п)-замкнутости и слабо-5(п)-#-замкнутости совпадают со свойством компактности. Поэтому для изучения этих свойств уместно рассматривать не регулярные iS,(n)-npocTpancTBa. В [13] было доказано, что из S(n — 1)-замкнутости следует S(n)-6-замкнутость. Итак, в классе 5(п)-иространств рассматриваемые свойства находятся в отношениях, которые отражаются в следующей диаграмме:
