Введение к работе
Актуальность темы. Исследование корректной разрешимости задач для эволюционных уравнений и исследование поведения их решений по времени является одной из наиболее актуальных проблем. Уже в случае ограниченных операторов А, когда вопросы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных решения задачи Коши
^p-^Au(l), „<0) = U„ (1)
всегда решаются положительно, основное внимание уделяется поведению решения при / -> да. В случае неограниченных операторов А эти вопросы также являются центральными.
Этим вопросам посвящены многочисленные исследования, связанные с теорией устойчивости решений (см. работы А.М. Ляпунова, М.Г. Крейна, Ю.Л. Далецкого, Б.М. Левитана, В.В. Жикова, Е.А Барбашина, X Массера, X Шеффера и др). Исследования С. Агмона и Л. Ниренберга посвящены
изучению поведения решений уравнения і— + Ли = 0 при / -»«о. ( Здесь I = л/^1 ,
А - вообще говоря, неограниченный оператор в банаховом пространстве).
В русле этих исследований также лежит теория стабилизации решения
задачи Коши для параболических и гиперболических однородных уравнений,
развитая в работах В.Д. Репникова, где результаты формулируются в терминах
равномерного предельного среднего начальных данных Коши.
В диссертации для случая, когда A = A = J\—^r - в R" или -(-д>:,
исследуется корректная разрешимость задачи (1) и оценивается поведение решения при г -> оо, когда начальные данные «„ принадлежат функциональным пространствам Степанова spJ в R", которые определяются как множество функций, для которых конечна норма
-Lj)/(*+J)|'&
* і*
,(/>;> U >0), (2)
где к, с R" - п - мерный куб: 0 < х, /,((' = 1,2,...л) .
Отметим, что в случае п = 1 эти пространства использовались различными авторами (В.В. Степанов, М.Г. Крейн, Ю.Л. Далецкий, Б.М. Левитан, В.В. Жиков, Е.А Барбашин, X. Массера, X Шеффер и др.) при исследовании решений дифференциальных уравнений, рассматриваемых на rx , и, в частности в случае почти-периодических решений.
Цель работы. Исследование корректной разрешимости задачи Коши для эволюционных уравнений в наиболее широких пространствах начальных данных. Оценка поведения этих решений по времени.
Методика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных и интегральных уравнений
Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты являются новыми
1 Введены новые классы функциональных пространств в R1, S (R >
I (R ), содержащие пространства Ln(R ) Получены теоремы об эквивалентных нормировках в этих пространствах
2 Доказана равномерно корректная разрешимость в этих пространствах
задачи Коши для некоторых уравнений параболического типа Получены
ОЦеНКИ ПОВеДеНИЯ СООТВеТСТВуЮЩИХ решений При / -> or
3 В пространствах SP,(R ), V(R ) изучены интегралы дробного порядка
Бесселя и Пуассона, а также связанные с ними полугруппы операторов
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит
теоретический характер Результаты диссертации содержат некоторую новую методику определения пространств начальных данных, при которых начально-краевые задачи для эволюционных уравнений являются корректно-разрешимыми Они могут быть использованы при исследовании нелинейных уравнений, а также при изучении почти-периодических функций
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж — 2004), на 7-й Крымской Международной математической школе (МЛА — 2004), а также на семинарах кафедры математического моделирования ВГУ, на семинаре проф Репникова В Д на семинаре проф Гольдмана М Л , в Российском университете дружбы народов
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] [3] Из совместных работ [1], [3] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения трех пав и списка литературы, включающего 29 источников Общий объем диссертации 73 страницы
