Содержание к диссертации
Введение стр. 2
Глава 1. Обозначения, определения, элементарные свойства 8
1 Локальные законы сохранения 8
2 Симметрии, решения типа солитонов 19
Глава 2. Основная теорема: классификация с точностью до локальных преобразований 29
3 Необходимые условия, формулировка основной теоремы 29
4 Четыре типа уравнений 32
5 Уравнения второго типа 34
6 Уравнения первого типа 38
7 Уравнения третьего типа 43
6 Уравнения четвертого типа 47
Глава 3. Нелокальные преобразования.
Преобразования Миуры 60
9 Построение бесконечных наборов законов сохранения. Классификация с точностью до нелокальных преобразований 60
0 Построение бесконечных наборов законов сохранения. Дискретные уравнения и цепочка Тоды Єд
1 Аналогии между дискретными уравнениями и уравнениями непрерывными. Предельный переход 78
2 Конечные системы. Преобразования Миуры и решение задачи Коши -128
Глава 4. О классификации дискретных уравнений общего вида по признаку наличия у них
локальных законов сохранения или симметрии. Различия между дискретными
уравнениями и уравнениями непрерывными 91
Глава 5. Решения типа солитонов 102
13 Разностный аналог уравнения Кортевега-де Фриза 102
14 Решения типа солитонов для уравнения (14) 107 Литература
Введение к работе
Одним из отличительных признаков уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, является наличие у них бесконечного набора законов сохранения (для (2) см. С2] ). Ведущая Тема настоящей диссертации - описание дискретных уравнений вида (1 ), обладающих бесконечным набором локальных законов сохранения. Перечислены все такие уравнения. Получен целый ряд новых примеров таких уравнений.
Деятельность по классификации уравнений с бесконечным числом законов сохранения или симметрии восходит к работам [5]Дб] Ибрагимова и Шабата, которые рассматривали дифференциальные уравнения в частных производных вида и использовали в качестве признака симметрии. Классифика ции уравнений вида (5) посвящено довольно много исследований. В частности, получен полный список уравнений вида и т.д., обладающих за конами сохранения сколь угодно большого порядка 1.1 ЗІ, [і 6І.
Текст диссертации состоит из пяти глав.
В первой главе введены и обсуждаются основные понятия, такие, как локальный закон сохранения, симметрия и другие. Доказано несколько простых, но необходимых для дальнейшего, утверждений. Среди них следует выделить важную лемму 1 .3 о построении локальных законов сохранения при помощи пре -4-образований вида переводящих решения ц ct) одного дискретного уравнения в решения ипШ другого.
Вторая глава посвящена описанию дискретных уравнений вида (1 ) с двумя локальными законами сохранения. Доказано предложение 2.1 о том, что для уравнения вида (1 ), имеющего два локальных закона сохранения с порядками /V: A1 2 , выполнены условия где производная вычисляется в силу уравнения (1 ). Кроме того эта глава содержит основную теорему настоящей диссертации - теорему 2.1.
3 первых двух параграфах главы 3 доказана теорема 3.1 : всякое уравнение основного и дополнительного списков обладает законами сохранения сколь угодно большого порядка. Тем самым доказано, что если уравнение вида U ) тлеет два закона сохранения с порядками, то оно имеет и бесконечно много законов сохранения. Законы сохранения для большинства уравнением для всех уравнений дополнительного списка, уравнений 13),(14),(16) с R=-1 ) построены при помощи леммы 1.3, позволяющей строить их по известным законам сохранения уравнения [2) (для уравнения (3) использовано известное (см., например, [28] ) преобразование сводящее его к уравнению (2) и представляющее собой дискретный аналог преобразования Миуры \з?} ). Показано, что преобразованием вида (11 ) всякое дискретное уравнение вида (1 ), кроме (16) с Цг: о , сводится к цепочке Тоды. Это позволило известные [ЗІ] , [з] законы сохранения цепочки Тоды: (4) перенести на уравнения (15),(16) с ц- 1 . Законы сохранения для уравнения (16) с и — Q построены автором совместно с В.З.Соколовым.
В третьем параграфе главы 3 обсуждаются аналогии между дискретными уравнениями вида (1) и дифференциальными уравнениями вида (6). Известно (см., например, 3 ), что дискретное уравнение (2 ) является разностным аналогом уравнения Кортевега-де риза. Установлено, что уравнение (14) в континуальном пределе переходит в уравнение (8), а уравнение (16) с м=.О - в уравнение (10).
Особое внимание уделено различиям между уравнениями такого вида и дифференциальными уравнениями вида (5), для которых аналогичная теория разработана [б] , [іЗІ , ft 7] . Показано, что прямой перенос результатов, имеющих место для уравнений вида (5), на дискретные уравнения невозможен. Выписан целый ряд необходимых условий наличия у дискретного уравнения вида (20) бесконечного набора законов сохранения или симметрии.
