Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению неограниченных решений задачи Копій для скалярного квазилинейного уравнения первого порядка
щ + сИуж (р{и) = О, (1)
u = u(t,x), (t,x) Є Пт = (0,Т) хГ, О <Т < +оо,
с начальным условием
и(0,х) = щ(х). (2)
Многие математические модели, возникающие в естествознании ( например, в газовой динамике, в гидродинамике, в теории транспортных потоков и т.д. ) приводят к квазилинейным уравнениям первого порядка (1), так называемым законам сохранения. Хорошо известно, что в случае <р(и) Є С1(Мга), щ(х) Є С1(Мга) задача Коши (1), (2) имеет в некоторой окрестности гиперплоскости t = 0 единственное гладкое решение. Однако даже при бесконечно дифференцируемых <р(и), щ(х) у решения задачи (1), (2) с ростом t могут появляться разрывы. Так как продолжительность реальных процессов, моделируемых квазилинейными уравнениями вида (1), как правило, значительно превосходит время существования гладкого решения, то необходимо отказаться от классического понимания решения и ввести в рассмотрение обобщенные решения ( коротко - о.р. ). Известно, что о.р. задачи (1), (2), связанные с пониманием равенства (1) в смысле теории распределения ( то есть, в смысле соответствующего интегрального тождества ) обычно оказываются неединственными. В связи с этим, необходимы дополнительные условия на о.р., которые выделяют класс существования и единственности для задачи Копій при различных предположениях о входных данных задачи. Построение нелокальной теории о.р. задачи (1), (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах прошлого века в работах Э. Хопфа, П. Лакса, О.А. Олейник, А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, И.М. Гельфанда, О.А. Ладыженской, А.С. Калашникова, С.К. Годунова, Б.Л. Рождественского и других. В этих работах рассматривался, в основном, одномерный случай п = 1. Вопросы разрешимости задачи (1), (2) для многомерного случая в классах функций ограниченной вариации исследовались позднее А.И. Вольпертом [1]. Общая теория этой задачи для уравнения
щ + сііуж ip(t, х, и) + if)(t, х, и) = 0
в классе измеримых ограниченных функций была построена в конце 60-х годов в работах С.Н. Кружкова [3, 4], где введено понятие обобщенного энтропийного решения (коротко - о.э.р.), доказаны теоремы существования и единственности. Начало построения теории о.э.р. при лишь непрерывной вектор-функции (р(и) было положено работами С.Н. Кружкова с Ф. Хильдебрандом [5] и с П.А. Андреяновым [6]. Здесь существование о.э.р. верно без каких-либо предположений о характере непрерывности функций потока и доказывается с помощью аппроксимации непрерывных функций (/ гладкими. Проблема единственности значительно сложнее, что связано с эффектом бесконечной скорости распространения возмущений, который может приводить при п > 1 к неединственности ограниченного о.э.р. задачи (1), (2) ( соответствующие примеры можно найти в работах С.Н. Кружкова и Е.Ю. Панова [7, 15] ). Поэтому, необходимы дополнительные ограничения на характер непрерывности функций потока. Такие ограничения были указаны в работах [5, 6], позднее эти ограничения были значительно ослаблены в [7, 15, 11, 8]. В частности, в случае лишь одной пространственной переменной единственность о.э.р. оказывается верной без всяких дополнительных условий. Для неограниченных о.э.р. свойство конечности скорости распространения возмущений может нарушаться и для гладкого вектора потока, не удовлетворяющего глобальному условию Липшица, и это может приводить к потере корректности задачи Копій. Именно, ни один из положительных результатов, известных для ограниченных о.э.р. (таких как существование, принципы максимума/минимума, единственность), не сохраняется для локально ограниченных о.э.р. Впервые это было замечено в работах [14, 2], где были построены примеры неединственности и несуществования локально ограниченных о.э.р. задачи Копій для уравнения щ + (и3)х = 0. Оказалось, в частности, что кроме единственного в классе ограниченных о.э.р. нулевого решения имеется бесконечно много ненулевых локально ограниченных о.э.р. задачи Копій для этого уравнения с нулевыми начальными данными.
Таким образом, актуальной является задача выделения классов корректности среди неограниченных решений задачи (1), (2).
Приведем краткий обзор известных результатов в этом направлении. В [2] для одномерного уравнения (п = 1) была доказана единственность локально ограниченного о.э.р. при дополнительном предположении его суммируемости по пространственной переменной. В работе [8] была рассмотрена задача (1), (2) с лишь непрерывным вектором потока, ір(и) Є С(К,Кга), удовлетворяющим линейному ограничению на рост:
|c/?(w)| < const(l + |w|). Оказалось, что при этом ограничении задача Копій корректна даже в классе локально суммируемых о.э.р. В [8] установлено, что для любой начальной функции «о Є Lj^K"-) существует о.э.р. u(t,x) Є Lj^II), П = Поо. При этом, если щ Є Lp(Rn), 1 < р < оо, то и u(t, ) Є Lp(Rn), причем ||и(і,-)||р < ||мо||Р- Заметим, что из этого результата сразу следует единственность нулевого (более обще - постоянного) решения. Для единственности о.э.р. при произвольных начальных данных необходимы дополнительные ограничения на характер непрерывности вектора потока. Единственность доказана в [8] при условии, что функции fi(u) равномерно непрерывны и их модули непрерывности Ші{г) удовлетворяют условию lim г1_гаП=1(г + 0Ji{r)) < +оо. Как
7^0 +
показывают примеры, это условие существенно для единственности о.э.р.
В работе [9] исследовался случай, когда <р(и) Є С1(М,Мга) и выполнено степенное ограничение на рост производной: |<^'(и)| < const(1 + |м|р_1), р > 1. Показано, что класс существования и единственности о.э.р. задачи (1), (2) задается также степенным ограничением на рост о.э.р. Именно, определим пространства
Ва = { и = и{х) Є Ьс(Жп) \ЗМ = Ми \и(х)\ < М(1 + \х\а) п.в. на Rn }, Б = { и = и(х) Є Ва | ess\ira\u(x)\\x\~a = 0 },
\х\—>оо
Ва = { и = u(t,x) Є L^c(nT) І ЗМ = M(t) Є LZ([0,T)) \u(t,x)\ < M(t)(l + \x\a) п.в. на Пт }.
Тогда при а = (р — I)-1 существует единственное о.э.р. u(t,x) Є Ва задачи (1), (2) при любой начальной функции щ Є >, определенное в некотором слое Пу. При этом, если щ Є -В, то можно положить Т = +оо. Примерами показано, что при увеличении показателя а теряется как существование так и единственность о.э.р. Так, в [9] для одномерного уравнения
щ + (f(u)x = О,
при tp(u) = \и\р~1и, р > 1 построено бесконечно много о.э.р. задачи Копій с нулевой начальной функцией. При построении этих о.э.р. существенно использовался тот факт, что функция потока имеет точку перегиба и = 0. Как было позднее установлено в [10], в случае выпуклой ( вогнутой ) функции потока единственность нулевого о.э.р. верна ( более обще, любое о.э.р. и = u(t,x) Є Ь^с(Пт) задачи (1), (2) с ограниченной начальной функцией ограничено и единственно ). Актуальна задача нахождения классов корректности
локально ограниченных о.э.р. для уравнения (1) общего вида. Решению этой задачи посвящена первая глава диссертации.
В случае, когда условия корректности нарушены и начальная функция не ограничена, естественные требования и Є LJoc(TIt),
Цель работы. Целью работы является изучение классов корректности неограниченных обобщенных энтропийных и ренормализованных решений задачи (1), (2), исследование точности условий корректности.
Объект исследования. Объектом исследования является задача Копій (1), (2), классы корректности неограниченных обобщенных энтропийных и ренормализованных решений этой задачи.
Основные методы исследования. В диссертации использованы методы удвоения переменных, специфические методы выбора пробных функций, разработанные для случая бесконечной скорости распространения возмущений, методы теории обобщенных энтропийных суб- и супер-решений, принципы сравнения.
Научная новизна. Все результаты являются новыми и состоят в следующем:
указаны новые классы неограниченных обобщенных энтропийных и ренормализо-ванных решений задачи Копій для квазилинейных законов сохранения;
даны обобщения понятия ренормализованного решения задачи Копій для квазилинейных законов сохранения на случай произвольных измеримых начальных данных;
исследована связь ренормализованных решений с обобщенными энтропийными решениями;
введено новое понятие периодического по пространственным переменным ренормализованного энтропийного решения задачи Копій;
во введенных классах доказаны теоремы существования и единственности, принципы сравнения, приведены примеры, подтверждающие точность налагаемых условий.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании неограниченных решений квазилинейных законов сохранения. Эти результаты могут примененяться в многочисленных математических моделях, описываемых законами сохранения первого порядка, например, в газовой динамике, гидродинамике, в теории транспортных потоков и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (XXII совместное заседание Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского), Москва, 2007 г.; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам ( Суздаль, 2006,
2010 гг. ); 5-ой и 6-ой международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" AMADE-2009, AMADE-2011 ( Минск, Беларусь,
2011 гг. ); международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел" ( Белгород, 2011 г. ). Также результаты докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа под руководством Е.Ю. Панова в Новгородском государственном университете ( Великий Новгород, 2010, 2011 гг. ).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 5 статей в журналах рекомендуемых ВАК, из них в соавторстве 3. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет - 78 страниц; библиография включает 44 наименования.
