Введение к работе
Актуальность темы. Системы уравнений гидродинамического типа
и) = |>}(ы)и>, і,j = 1,...,п. ' (1)
используются в теоретической физике для описания движения различных ти
пов идеальных сплошных сред без учёта диссипации энергии. Такие системы
возникают в газовой динамике, гидродинамике, химической кинетике, мето
де усреднения по Уизему уравнения Кортевега-де Фриза, при усреднении
других вполне интегрируемых уравнений. v
Актуальность темы связана с тем большим интересом, который в последнее время вызывали нелинейные системы такого вида. В первую очередь следует отметить обзоры [1,2] , где была построена теория интегрируемости гамильтоновых систем гидродинамического типа в инвариантах Римана. При этом одними из наиболее простых и хорошо изученных моделей нелинейных волновых процессов являются системы законов сохранения
и|'= /'(«)., і'=1,...,п. ' (2)
Для гиперболических систем такого типа удается развить теорию слабых решений - см., например [3, 4, 5]. При рассмотрении разрывных решений таких систем приходится решать задачу Римана о распаде- произвольного разрыва. Сценарий такого распада полностью определяется геометрией кривых разрежения и ударных адиабат в пространстве полевых
-
Дубровин Б.А., Новиков СП. Гидродинамика слабо деформированных со-литонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамилътонова теория //Успехи математических наук, m 44> вып 6> 1389, 29-98.
-
Царев СП. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа.. Обобщенный метод годографа // Изв. АН СССР, серия математическая. 1990. Т.54- N5. С1048-1068.
-
Рождественский В.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М:, Наука, 1968.
-
Lax Р. О. Hyperbolic systems of conservation laws II. // Comm. in Purr, and Appl. Math. 1957. V.l'O. P.'537-566.
-
Temple D. Systems-of conservation laws with invariant submanijolds // Transactions of the American Mathematical Society. 1983. V.280. N2. P.781-795.
переменных и (в зарубежной литературе кривые разрежения носят название "rarefaction curve", в русскоязычной литератур для слетел в инвариантах Римана используется еще термин "волна разрежения" (см. [3]) или 'волна Римана"). Лаксом |4] было показано, что для строго гиперболических систем адиабата в окрестности своей вершины локально распадается на п ветвей, и кривые разрежения имеют С2 касание с ветвями адиабаты. Как отмечалось в раде работ, возможно тождественное Совпадение ветвей ударной адиабаты с соответствующими кривыми разрежения. Такие системы возникают при моделировании нефтяных резервуаров, при изучении нелинейных волновых движений упругих струн, в многокомпонентной хроматографии [G, 7. 8, 9. 10] и подробно изучались Темплсм в [5].
Они обладают многими интересными свойствами. Задача Римана для таких уравнений может быть решена глобально. Волновое взаимодействие имеет упрошенную структуру. Такие системы выделяются при анализе разрешимости задачи Коши для произвольных начальных данных с ограниченной вариацией. В дальнейшем системы законов сохранения, характеризующиеся совпадением кривых разрежения и ударной адиабаты, будут называться темплевскими, или системами класса Темпля. На настоящий момент подробно исследованы системы класса Темпля, приводимые к инвариантам Римана и системы с гиперболическим вырождением (5, 11], однако полностью отсутствуют результаты о недиагонализуемых системах класса Темпля. 'Это делает актуальной задачу классификации недиапшализуемых систем рассматриваемого класса.
-
Aris R., Amundson N. Mathematical methods m chemical vngium-mi/. N.J. Vol 2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs.
-
Helfferich F., Klein G. Multicomponent chromatogiaphy. New Jorh, Maud Dekker,1970.
-
Keyfitz В., Kranzer #., A system of поп strictly hyperboltc con.ti nation laws arising m elasticity theory// Arch. Rational Mech. Anal. 72, N.% 1980. 219 2Ц.
-
Rhee-H., Aris R., Amundson N. On the theory of multuотроги nt chrvmatography.// Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser A, 261, 1910. 419 455.
-
Temple B. Global solution of the Cauchy problem for a class of 2 x 2 mm strictly hyperbolic conservation laws// Adv. Appl. Math. 1982. V..4, .4.45 .415.
-
Heibig A., Sahel A. Une methode des charactcnxtiquc.i pour cirtatns systemes de lots de conservation // C.R. Acad. Sci. Paris, 1996. t..422.. m r I, 37-42.
D последние годы отмечается особый интерес специалпстоз по математической физике к различным разделам классической дифференциальной геометрии: теории поверхностей, теории n-ортогональных и п-сопряженных систем координат, теории тканей, преобразовании типа Беклунда и т.п. Обсуждаемая в диссертации связь систем законов сохранения с проективной теорией конгруэнции отвечает общей тенденции геометризации современной математической физики.
. Мощным инструментом исследования нелинейных дифференциальных уравнений является групповой анализ. Группы симметрии дифференциальных уравнений используются длг получения поьых решений из уже известных, для построения инвариантно-групповых решений сложных нелинейных систем, для отыскания законов сохранения.
При неточечных преобразованиях (таких, например, как преобразования по решению или преобразования Беклунда типа дифференциальной подстановки) система может утратить привычные точечные симметрии. В связи с чтим интересно исследовать связь симметрии систем уравнений, связанных поточечной заменой.
Состояние вопроса. Как известно (см., например [3]), гладкие решения систем гидродинамического типа с вырожденным годографом лежат на кривых'разрежения. В [5] показано, что условие существования слабых решений с вырожденным годографом как раз эквивалентно совпадению кривых разрежения с соответствующими ветвями ударной адиабаты. Там же было показано, что это совпадение имеет место тогда и только тогда, когда для всякой кривой разрежения либо соответствующая характеристическая скорость постоянна вдоль нее (в теории квазилинейных уравнений это условие известно как слабая нелинейность), либо кривая разрежения прямолинейна в переменных и консервативной записи, и работе [5) Дано описание таких' систем для случая 2 х 2.
В [10] строились глобальные решения задач Коши для темплевских систем с гиперболическим вырождением. Темплевсхие" системы, допускающие инварианты Рішана, рассматривались в [6, 7, 11], с гиперболическим вырождением .в [8].
Еше Рнманом было отмечено, что система (1) представляет собой дифференциально .геометрический объект. При заменах зависимых переменных і: матрица ''()/) ведет себя как тензор типа (1,1), который полностью определяется сетью своих собственных направлений и собственных чисел, называемых п теории квашлпненных уравнений характеристическими скоростями. Многие спойсша систем (1) имеют ясную геометрическую интерпретацию. Гак. условие того, ч го система (2) есть система класса Темпля. является іео-
метрическим. Существование инвариантов Римана геометрически означает . голономность сети собственных направлений. Системы в инвариантах Римана представляют на сегодняшний день наиболее изученный класс систем (1) 1?ак с точки зрения их интегрируемости, так и с геометрической. В обзорах [1, 2] построена теория интегрируемости гамильтоновых диагонализуемых систем гидродинамического типа. Однако и среди недиагонализуемых систем гидродинамического типа есть интегрируемые, см., например [12, 13]. Гамильтоновы интегрируемые недиагонализуемые системы имеют глубокие связи с классической дифференциальной геометрией [14}.
Недиагонализуемые темплевские системы тесно связаны с уравнениями ассоциативности, возникающими в двумерной топологической теории поля [17].
В работе [18] было предложено рассматривать уравнения ассоциативности как системы уравнений гидродинамического типа. Гамильтоновость
-
Ferapontov E.V., On integrability о/З х 3 semi-Harniltonian hydrodynamic systems txj = Uy(u)u which do not possess Riemann invariants // Physica D 63, (1993),50-70.
-
Ferapontov E. V., On the matrix Hopf equation and integrable HamUtonian systems of hydrodynamic type which do not possess Riemann invariants // Physics Letters A 179, 391-397, (1993).
-
Ferapontov E. V.'Dupin hypersurfaces and integrable hamUtonian systems of hydrodynamic type, which do not possess Riemann invariants // DtfJ. Geometry andits'Appl. 1995. V.5. P. 121-152.
-
Мохов О.И., Ферапонтов E.B. Уравнения ассоциативности двумерной топологическо'й теории поля как интегрируемые гамильтоновы системы гидродинамического типа // Функциональный анализ и его приложения. 1996. V.30. N3.
-
Ferapontov E.V., Mokhov O.I. The equations of associativity as hydrodynamic type systems: HamUtonian representation and the integrability.// In Proc. of the Workshop "Nonlinear Physics. Theory and Experiment" 1995, Lecce, Italy, World Scientific, Singapore. P. 104115
-
Dubrovih B.A. Qeometry of 2D topological field theories. Preprint SISSA-89/94/FM, SISSA, Trieste. 1994. hep-th/9407018.
-
Mokhov O.I. Symplectic and Poisson geometry on loop spaces of manifolds and nonlinear equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1995. ter.2. V.170. P. 121-
этих уравнений исследовалась в работах [15,16], где было показано, что эти системы эквивалентны системе трех волн и было предложено преобразование по решению, сводящее их к постоянным характеристическим скоростям.
При исследовании систем гидродинамического типа широко используят-ся преобразования по решению, которые можно рассматривать как простейшие преобразования Беклунда. Преобразования такого типа тесно связаны с групповыми свойствами систем. В [19] они рассматриваются в связи с симметриями гидродинамических поверхностей систем уравненй гидродинамического типа. В работах [20, 21] изучаются нелокальные симметрии систем уравнений, связанные с такими преобразованиями.
Цель работы. Целями настоящей работы являются:
-
геометрическое описание систем класса Темпля;
-
установление произвола существования" недиагонализуемых темпплев-ских 3x3 систем, получение критериев интегрируемости, полугамильтоно-вости и гамильтоновости таких систем;
-
описание подкласса темплевских недиагонализуемых 3x3 систем — так называемых сводимых систем, их классификация, получение критерия сводимости для слабо нелинейных систем;
-
построение нелокальных симметрии для систем уравнений, связанных неточечной заменой переменных.
Научная новизна и практическая ценность. Выносимые на защиту результаты диссертации являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и группового анализа.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинаре 5-го и 10-го отделов ИММ РАН, на семинаре по математической физике
-
Ферапонтов Е.В. Автопреобразования по решению и гидродинамические симметрии // Дифференциальные уравнения. 1991.' Т. 27. N7. С.1250-1262.
-
Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) т. 34, М., 19S9. 3-83.
-
Дарьин Н.А. Общая алгебра операторов симметрии уравнений газовой динамики в эйлеровых и лагранжевых переменных // Журнал Вычислительной Математики -и Математической Физики, т 34, N5, 1994,. 739 747.
в ИПМ им. М.В. Келдыша, на международной конференции "Симметриї в нелинейной математической физике" (г. Киев, Украина, 1995 г.), на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Уфа, 1996 г.)
Публикации. По результатам, представленным в диссертации, опубликовано 3 работы, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четы
рех глав, и списка литературы из 48 наименований. Диссертация изложена.
на 98 страницах. #
