Содержание к диссертации
Введение
1 Локальное существование решений с ударной волной для абстрактных законов сохранения 29
1.1 Симметрический вид квазилинейных гиперболических систем 29
1.2 Постановка смешанной задачи с граничными условиями на поверхности сильного разрыва 33
1.3 Постановка линеаризованной задачи 38
1.4 Нахождение областей неустойчивости 41
1.5 Равномерная и нейтральная устойчивость 46
1.6 Строго диссипативный р-симметризатор и априорная оценка для задачи с постоянными коэффициентами 58
1.7 Локальная теорема существования и единственности для не линейной задачи 67
2 Структурная устойчивость быстрых МГД ударных волн при слабом магнитном поле 78
2.1 Уравнения МГД для идеальной сжимаемой среды 79
2.2 Соотношения на сильном разрыве и МГД ударные волны 81
2.3 Линеаризованная задача для быстрых МГД ударных волн 91
2.4 Вывод априорной оценки для случая слабого магнитного поля 98
2.5 О выводе оценки для трехмерного случая ПО
3 Равномерное условие Лопатинского для ударных волн индекса 1 и его приложение к МГД ударным волнам 120
3.1 Условие равномерной устойчивости быстрой параллельной МГД ударной волны 122
3.1.1 Линеаризованная задача для быстрой параллельной ударной волны 122
3.1.2 Эквивалентные формулировки условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для гиперболических задач со свойством І-shock 125
3.1.3 Условие Лопатинского для задачи 3.1.1 129
3.1.4 Равномерное условие Лопатинского для задачи 3.1.1 131
3.2' Полный анализ двумерной устойчивости быстрых ударных волн в политропном газе 136
3.2.1 Численная проверка условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского 136
3.2.2 Численное исследование устойчивости быстрых ударных волн 141
3.3 Уравнения релятивистской МГД 149
3.4 Линеаризованная задача для параллельных ударных волн в релятивистской МГД 153
3.5 Полный анализ устойчивости быстрых параллельных релятивистских МГД ударных волн 159
4 Характеристические сильные разрывы: тангенциальный и вращательный разрывы в МГД 168
4.1 "Вторичная" симметризация уравнений МГД 170
4.2 Линеаризованная задача для МГД тангенциального разрыва 175
4.3 Априорная оценка для задачи (4.17)-(4.19) 183
4.4 Анализ линеаризованной задачи с переменными коэффициентами для МГД тангенциального разрыва 193
4.5 Линеаризованная задача для вращательного разрыва . 209
4.6 Эквивалентные постановки задачи 4.5.1 213
4.7 Неустойчивость вращательного разрыва при сильном магнитном поле 220
5 Существование гладких решений и решений с ударной волной уравнений радиационной гидродинамики 225
5.1 Уравнения радиационной гидродинамики для неподвижной среды 228
5.2 Существование глобального решения задачи Коши для системы уравнений (5.1), (5.2) 231
5.3 Линеаризованная задача для радиационных ударных волн . 235
5.4 Вывод априорной оценки для задачи 5.3.2 241
5.5 Уравнения релятивистской радиационной гидродинамики . 247
5.6 Линеаризованная задача для релятивистских радиационных ударных волн 253
5.7 Вывод априорной оценки для "быстрых" ударных волн . 262
5.8 Неустойчивость "медленных" ударных воли 269
Приложение А Сильные разрывы в МГД с анизотропным давлением 275
А.1 Система МГД с анизотропным давлением 276
А.2 Соотношения на сильном разрыве и эволюционные ударные волны в МГД ЧГЛ 281
А.З Линеаризованная задача для быстрых ударных волн в МГД ЧГЛ 299
А.4 Устойчивость быстрых параллельных и перпендикулярных ударных волн в МГД ЧГЛ 303
А.5 Неустойчивость медленных параллельных ударных волн в бесстолкновительной холодной плазме 308
А.б Линеаризованная задача для вращательного разрыва в МГД ЧГЛ 316
А.7 Неустойчивость вращательного разрыва в бесстолкновительной холодной плазме 322
Приложение В Тангенциальный разрыв в МГД несжимаемой жидкости 328
8.1 Решения уравнений МГД несжимаемой жидкости с поверхностью тангенциального разрыва 329
8.2 Линеаризованная задача для тангенциального разрыва 334
8.3 Априорные оценки для задачи с постоянными коэффициентами 338
8.4 Анализ линеаризованной задачи с переменными коэффициентами 342
8.5 Теорема единственности для нелинейной задачи 352
Литература 355
- Симметрический вид квазилинейных гиперболических систем
- Уравнения МГД для идеальной сжимаемой среды
- Условие равномерной устойчивости быстрой параллельной МГД ударной волны
- "Вторичная" симметризация уравнений МГД
- Уравнения радиационной гидродинамики для неподвижной среды
Введение к работе
Актуальность темы. При движении сплошных сред часто образуются тонкие переходные зоны больших градиентов, в которых параметры среды испытывают резкие изменения. Математическими моделями идеальных сплошных сред, т.е. таких, что процессами диссипации в них можно пренебречь, являются обычно гиперболические законы сохранения, а упомянутые тонкие переходные зоны моделируются движущимися поверхностями сильного разрыва, на которых функции, описывающие движение сплошной среды, меняются скачком. В то же время сами квазилинейные гиперболические системы уравнений обладают свойством образования сингулярностей (типа градиентной катастрофы) даже из гладких начальных данных за конечное время. То есть сильные разрывы (например, ударные волны) в решениях гиперболических систем являются их неотъемлемым свойством. Поэтому, как известно, для задачи Коши для квазилинейной симметрической гиперболической системы может быть доказана только локальная по времени теорема существования регулярного решения [1-3].
С другой стороны, формально рассматриваемое решение с поверхностью сильного разрыва, т.е. такое слабое решение квазилинейной гиперболической системы, которое является гладким с обеих сторон от разрыва, на поверхности которого выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио, может реально не существовать даже локально по времени. Нахождение условий на кусочно-гладкие начальные данные, при которых имеет место локальная теорема существования и единственности решения с конкретным видом сильного разрыва является первым и необходимым этапом на пути построения общей теории глобального по времени существования слабых решений гиперболических систем законов сохранения. Если для случая одной пространственной переменной, а также для случая скалярного закона сохранения такая теория является в настоящий момент, в некотором смысле, законченной (см., например, работы Glimm'a, Кружкова, DiPerna, Bressan, Панова и др.), то для многомерного случая общей теории пока нет. С другой стороны, актуальность вопроса существования решений с поверхностью сильного разрыва несомненна и с точки зрения приложений в различных областях естествознания. Например, для уравнений магнитной гидродинамики (МГД) идеальной сжимаемой жидкости исследование ударных волн и других типов сильных разрывов имеет большое значение для приложений в астрофизике и геофизике.
Локальная теорема существования и единственности решения с ударной волной была впервые доказана Блохиным [4, 5] для уравнений газовой динамики. При этом основным условием на начальные данные (помимо условий Лакса [6], согласования и т.д.) в этой теореме является требование выполнения равномерного условия Лопатинского в каждой точке поверхности ударной волны. Теорема была доказана Блохиным с помощью энергетического метода. Позднее Majda [7, 8], используя технику симметризатора Крайса [9] и исчисление псевдодифференциальных операторов, доказал аналогичную теорему для абстрактной симметрической гиперболической системы, удовлетворяющей так называемым условиям блочной структуры [10, 11].
Условие Лопатинского вводится для соответствующей линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами для плоского разрыва. Если оно выполнено, то сильный разрыв по традиции, идущей от физиков, называют устойчивым, а в противном случае — неустойчивым. Если же условие Лопатинского выполняется в слабом смысле, т.е. нарушается так называемое равномерное условие Лопатинского [9], то разрыв называют нейтрально (слабо) устойчивым. Первые результаты по исследованию многомерной устойчивости сильных разрывов (в указанном смысле) были получены физиками в 50-х - 60-х годах XX века [12-15] и относятся к ударным волнам в газовой динамике. Границы параметрических областей неустойчивости, нейтральной устойчивости (спонтанного излучения звука разрывом) и равномерной устойчивости для газодинамических ударных волн были впервые найдены Дьяковым [12] (в дальнейшем некоторые уточнения сделаны Конторовичем [13] и Иорданским [14]).
В отличие от газовой динамики, в МГД проблема устойчивости ударных волн (кроме ударных волн в МГД имеются контактные, тангенциальные и вращательные разрывы) еще полностью не решена. После выхода классической работы Gardner'a и Kruskal'a [16] можно отметить лишь некоторые исследования по устойчивости МГД ударных волн. Известно, что в МГД в рамках гиперболической ("невязкой") теории существуют два типа допустимых (лаксовских [6]) ударных волн. Это быстрые и медленные ударные волны, которые были введены в работе [17].
В [16] найдено условие слабой устойчивости быстрых ударных волн для общего уравнения состояния газа, но в частном случае параллельных и перпендикулярных волн, т.е. когда магнитное поле параллельно или перпендикулярно нормали к фронту разрыва. Позднее для этого
частного случая при дополнительном предположении слабости магнитного поля Блохиным и Друлсининым [18] была доказана равномерная устойчивость быстрых ударных волн в политропном газе (с помощью техники интегралов энергии). Отметим также работы [19, 20], в которых численно найдены некоторые области неустойчивости для быстрых и медленных МГД ударных волн в политропном газе с -у — 5/3.
Условия блочной структуры [10, 11] выполняются для уравнений газовой динамики, но существует немало примеров гиперболических систем, для которых они нарушаются. В частности, это так для системы МГД. На такие системы упомянутый выше результат Majda [7, 8] не распространяется. Для преодоления этой трудности в диссертации использован метод интегралов энергии, с помощью которого получена априорная оценка решения линеаризованной задачи для плоской быстрой ударной волны при слабом магнитном поле. В свою очередь, формализация энергетического метода с помощью введения понятия строго диссипативного р-симметризатора позволила автору доказать локальную теорему существования и единственности решения с лак-совской ударной волной для абстрактной гиперболической системы законов сохранения при наличии упомянутого строго диссипативного р-симметризатора. Обобщение техники получения априорной оценки, использованной Блохиным для газодинамической ударной волны, на случай быстрых МГД ударных волн может быть формализовано как построение строго диссипативного 2-симметризатора. Со ссылкой на доказанную теорему автором получен первый нелинейный результат для МГД ударных волн в виде локальной теоремы существования для быстрых ударных волн в политропном газе при слабом магнитном поле.
Заметим, что основная трудность при нахождении параметрических областей равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости МГД ударных волн связана с тем, что уже на первом этапе не удается аналитически найти корни характеристического уравнения гиперболической системы (дисперсионного соотношения) через переменные Лапласа и Фурье. Поэтому не может быть выписан в явном виде и определитель Лопатинского, возникающий из условия ограниченности решений краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся после применения преобразования Лапласа по времени и преобразования Фурье по тангенциальным пространственным переменным к линеаризованной задаче с граничными условиями на плоской ударной волне. Однако для гиперболических систем с нехарактеристической границей, для которых все характери-
стики кроме одной уходящие, в [16] был предложен способ обойти эту трудность. Воспользовавшись идеей этой работы, автор сформулировал эквивалентные определения условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для линейных задач для лаксовских ударных волн индекса 1. Это, с одной стороны, позволило автору существенно уточнить результат Gardner'a и Kruskal'a [16] и найти точное условие равномерной устойчивости быстрой параллельной МГД ударной волны, а с другой стороны, с помощью предложенного алгоритма численной проверки условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для ударных волн индекса 1 полностью решить вопрос об устойчивости быстрых ударных волн в политропном газе с у — 5/3. То есть найдены области равномерной устойчивости (выполнено равномерное условие Лопатинского), нейтральной устойчивости (выполнено слабое условие Лопатинского) и неустойчивости (задача некорректна) для быстрых МГД ударных волн.
С учетом недавней работы [21], в которой техника симметризато-ра Крайса [9] и работы [7] распространяется на случай гиперболических систем с переменными кратностями, удовлетворяющих некоторым условиям, выполненным, в частности, для МГД, можно делать вывод о наличии нелинейной локальной теоремы существования для равномерно устойчивых МГД ударных волн. Более того, ввиду работы [22], в которой локальная теорема существования Majda [8] была значительно улучшена и сформулирована в форме теоремы Блохина [4, 5] для газовой динамики, нелинейная теорема для равномерно устойчивых быстрых МГД ударных волн, найденных автором, формулируется в классе решений n^_0CJ([0,T], W%~3), где s > 3 как для задачи Коши.
В МГД помимо ударных волн большой интерес представляет так называемый тангенциальный разрыв. Он относится к характеристическим разрывам. Через его поверхность газ не протекает, магнитное поле параллельно фронту разрыва, а полное давление q — р+ |Н|2/2 непрерывно. Особый интерес к этому разрыву возник с момента открытия в 1958 г. солнечного ветра американским астрофизиком Рагкег'ом (экспериментально это явление было подтверждено советскими учеными в 1960 г. с помощью аппаратуры, установленной на космических аппаратах "Луна-2" и "Луна-3")- Так, например, закрытая (ночная) магни-топауза (граница магнитосферы Земли) моделируется астрофизиками с помощью тангенциального МГД разрыва. Более того, в 1970 г. Барановым, Краснобаевым и Куликовским [23] предложена теперь общепринятая модель границы солнечной системы, возникающей в резуль-
тате столкновения солнечного ветра с локальной межзвездной средой. Эта граница называется астрофизиками гелиопаузой и моделируется тангенциальным МГД разрывом, находящимся между ударной волной торможения и головной ударной волной. Заметим, что в декабре 2004 г. американский космический аппарат "Вояджер-1" пересек ударную волну торможения, что повышает актуальность модели гелиопаузы.
Однако прогресс астрофизиков (см., например, [24-26]) в направлении нахождения условий макроскопической устойчивости гелиопаузы, т.е. условий устойчивости плоского тангенциального МГД разрыва (корректности соответствующей линейной задачи), был минимальным. Это связано с тем, что уравнение, получающееся из приравнивания нулю определителя Лопатинского, сводится к алгебраическому уравнению десятой степени для переменной Лапласа, которое зависит от семи безразмерных параметров. Поэтому условие устойчивости, т.е. условие Лопатинского, не может быть найдено аналитически (с помощью спектрального анализа). В то же время и численное исследование не может дать полной картины, поскольку число безразмерных параметров очень велико.
Предложенный автором альтернативный энергетический метод позволил впервые найти аналитически достаточные условия устойчивости плоского тангенциального МГД разрыва. Этот результат получается благодаря найденному новому симметрическому виду уравнений МГД, который позволяет построить диссипативный (но не строго дис-сипативный) О-симметризатор для линейной задачи. При этом априорная оценка решений переносится на случай переменных коэффициентов и неплоского разрыва. Эта оценка выводится в весовых анизотропных пространствах Соболева. Ранее эти пространства использовались для симметрических гиперболических систем в областях с (фиксированной) характеристической границей постоянной кратности (см., например, [27, 28]). Автором впервые рассмотрен пример нелинейной гиперболической задачи с граничными условиями на свободной характеристической поверхности разрыва. Из полученной априорной оценки для линейной задачи для случая переменных коэффициентов следует теорема единственности решения исходной нелинейной задачи.
Помимо классической модели МГД идеальной сжимаемой жидкости существуют также и другие гиперболические модели МГД. Это, например, уравнения МГД с анизотропным давлением [29], описывающие движение бесстолкновительной замагниченной плазмы, а также уравнения релятивистской МГД. Первые результаты по устойчивости
сильных разрывов в этих моделях получены в диссертации.
В последнее время в связи с разнообразными приложениями в астрофизике, космологии и физике плазмы возник интерес к моделям радиационной гидродинамики, которые описывают движение сплошной среды при наличии радиационных процессов. Известны различные модели радиационной гидродинамики, от достаточно простых, область применимости которых сильно ограничена, до довольно сложных моделей, в которых делаются попытки учесть влияние как можно ббльшего числа физических факторов. Автором исследуется модель идеальной радиационной гидродинамики, предложенной относительно недавно Anile, Pennisi и Sammartino [30]. В отличии от других моделей радиационной гидродинамики (в том числе одномерных), эта модель для случая трех пространственных является достаточно сложной и учитывает влияние многих физических факторов, в частности, релятивистские эффекты. С математической точки зрения модель представляет собой гиперболическую систему балансовых законов, т.е. в системе имеются правые недифференциальные части (функции источника).
Для нерелятивистских уравнений радиационной гидродинамики удалось доказать глобальную теорему существования и единственности решения задачи Коши для начальных данных, близких к постоянным, т.е. вблизи положения "постоянного" термодинамического равновесия. В диссертации получены первые результаты для радиационных ударных волн. Строятся строго диссипативные 2-симметризаторы для линейных задач как для нерелятивистских, так и для релятивистских радиационных ударных волн. Соответствующие нелинейные результаты следуют из доказанной автором локальной теоремы существования для абстрактных лаксовских ударных волн.
Цель работы. Цель работы заключается в математическом исследовании проблемы существования решений с поверхностью сильного разрыва (в частности, ударной волны) для систем гиперболических законов сохранения. Если для задачи Коши основным условием локального существования регулярного решения квазилинейной симметрической системы является легко проверяемое условие гиперболичности, то для смешанной задачи с граничными условиями Ренкина-Гюгонио на поверхности сильного разрыва сам вопрос о нахождении аналогичного условия на кусочно-гладкие начальные данные является отдельной и сложной проблемой. Решение этой проблемы для ударных волн и характеристических разрывов для систем уравнений магнитной и радиационной гидродинамики является ключевым моментом диссертации.
Методы исследования. При решении поставленных задач используются идеи и методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, уравнений математической физики и функционального анализа. В качестве основного метода вывода априорных оценок решений используется метод диссипативных интегралов энергии. Его идея состоит в получении некоторой системы для производных решения порядка р с диссипативными или строго диссипативными граничными условиями. Для ударных волн идея этого метода была впервые реализована Блохиным для уравнений газовой динамики. В диссертации энергетический метод вывода априорных оценок формализуется с помощью введения понятий диссипативного и строго диссипативного р-симметризатора. Такой симметризатор является чем-то вроде "вторичного" симметризатора Фридрихса для симметрической системы для вектора, составленного из производных порядка р. В диссертации используются также ссылки на технику симметризатора Крайса, первым этапом которой является нахождение условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского. В то лее время построение диссипативного и, соответственно, строго диссипативного р-симметризатора может быть рассмотрено как косвенная проверка слабого и, соответственно, равномерного условия Лопатинского.
Научная новизна. Основные результаты диссертации. Автором диссертации выносятся на защиту следующие основные результаты:
-
Введено понятие строго диссипативного р-симметризатора смешанной задачи для линейной гиперболической системы уравнений. Доказана локальная по времени теорема существования и единственности решения с лаксовской ударной волной для системы абстрактных гиперболических законов сохранения при условии, что такой симметризатор построен для соответствующей линеаризованной задачи.
-
Построен строго диссипативный 2-симметризатор для быстрых МГД ударных волн при слабом магнитном поле, нерелятивистских радиационных ударных волн и "быстрых" релятивистских радиационных ударных волн.
-
Предложено эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского для ударных волн индекса 1. С его помощью найдено необходимое и достаточное условие равномерной устойчивости быстрой параллельной ударной волны в классической и релятивистской МГД. Используя предложенное эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского, разработан алгоритм численной его проверки для ударных волн индекса 1, с помощью которого впервые проведен
полный анализ двумерной устойчивости быстрых МГД ударных волн в политропном газе, т.е. найдены области их равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости.
-
Впервые найдено достаточное условие нейтральной устойчивости МГД тангенциального разрыва. Построена априорная оценка решений линеаризованной задачи в весовых анизотропных пространствах Соболева при выполнении этого условия для переменных коэффициентов задачи. С помощью этой оценки доказана теорема единственности решения исходной нелинейной задачи с граничными условиями на поверхности тангенциального разрыва.
-
Доказана глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для нерелятивистских уравнений радиационной гидродинамики для начальных данных близких к постоянным.
Теоретическая и практическая значимость работы. Путем введения понятия строго диссипативного р-симметризатора метод дис-сипативных интегралов энергии обобщен и сформулирован для абстрактной гиперболической системы законов сохранения, для которой доказана локальная теорема существования и единственности решения с лаксовской ударной волной при наличии упомянутого симметризатора. Этот результат применяется для ударных волн в магнитной и радиационной гидродинамике. Для ударных волн индекса 1 предложено эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского, с помощью которого впервые удалось полностью проанализировать двумерную устойчивость быстрой МГД ударной волны. Таким образом, найдены условия на кусочно-гладкие начальные данные, при которых решение с указанной ударной волной существует локально по времени. Предложенное эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского позволяет успешно применять метод симметризатора Крайса для широкого класса гиперболических задач, возникающих в различных приложениях. Впервые аналитически найдено достаточное условие устойчивости МГД тангенциального разрыва, которое в астрофизических приложениях трактуется как условие макроскопической устойчивости гелиопаузы — границы солнечной системы. Отдельные научные выводы диссертации могут быть в дальнейшем использованы в астрофизике и геофизике. Особенно это касается результата для МГД тангенциального разрыва и найденных численно условий устойчивости быстрых МГД ударных волн. Некоторые результаты диссертации получили свое отражение в настольной книге по математической динамике жидкости [52].
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (рук. акад. РАН В.Н. Монахов); Институт динамики систем и теории управления СО РАН (рук. проф. Ю.Е. Боярин-цев, проф. В.Ф. Чистяков); Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (ИМ СО РАН) (рук. акад. С.К. Годунов), ИМ СО РАН (рук. проф. Г.В. Демиденко); ИМ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН И.А. Тайм-анов); МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. проф. В.А. Кондратьев, проф. Е.В. Радкевич) и других.
Отдельные результаты диссертации докладывались на Семинаре им. И.Г. Петровского (Москва, 1995), Международной школе-конференции "International School on Theory and Numerics for Conservation Laws" (Фрайбург, ФРГ, 1997), Международной конференции "9th International Conference on Waves and Stability in Continuous Media" (Бари, Италия, 1997), Международной конференции "7th International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications" (Цюрих, Швейцария, 1998), Между народной конференции "8th International Conference on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications" (Магдебург, ФРГ, 2000), Международной конференции "UK MHD" (Кембридж, Великобритания, 2003), Международной конференции "Nonlinear Hyperbolic Waves in Phase Dynamics and Astrophysics" (Кембридж, Великобритания, 2003), Международной конференции "Mathematical Methods in Hydrodynamics" (Лилль, Франция, 2005).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [35-57]. Результаты работ [35-40,42,43,45-48] получены автором совместно с A.M. Влохиным и являются неделимыми. Это же относится и к работам [41, 44, 49], участие в которых итальянских ученых A.M. Anile и V. Romano состояло в предложении моделей радиационной гидродинамики и физической интерпретации полученных математических результатов. Большинство результатов диссертации получили свое отражение в монографиях [53, 55], а отдельные из них послужили основой для подготовки главы для "Handbook of Mathematical Fluid Dynamics" [52].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений и списка литературы. Общий объем работы 371 страница, библиография включает 189 наименований.
Автор искренне благодарен своему научному консультанту профессору A.M. Блохину за плодотворное сотрудничество.
Симметрический вид квазилинейных гиперболических систем
Как уже отмечено, ударные волны являются эволюционными тогда и только тогда, когда выполнены условия Лакса (1.14)/(1.15). Что касается характеристических разрывов, то для них в общем случае нет условий типа (1.14), гарантирующих эволюционность, т.е. (1.16) нужно проверять в каждом конкретном случае отдельно (что, конечно, очень просто сделать). Некоторые общие рассуждения по этому поводу, касающиеся характеристических разрывов, можно найти в [127].
В случае нарушения условия эволюционное линеаризованная задача является по числу граничных условий недоопределенной либо переопределенной. При этом соответствующий сильный разрыв называется недо-сжатым или пересжатым [177, 140, 114]. Что касается недосжатых разрывов, то нетрудно доказать почти очевидное, но важное утверждение о некорректности недоопределенных линейных задач с помощью построения примера некорректности типа примера Адамара (см. ниже).
Ясно, что переопределенная линейная задача также является некорректной (см. [134]). Однако эти очевидные утверждения верны в рамках гиперболической ("невязкой") теории. С другой стороны, в рамках рассмотрения ударных волн как структур (вязких профилей), как недосжатые, так и пересжатые ударные волны могут по-видимому существовать. Хотя дискуссии по этому поводу до сих пор продолжаются. Не вдаваясь в подробности, просто дадим ссылки на соответствующие работы [47, 78, 79, 114, 115, 117, 184, 187, 188]. Отметим, что в диссертации рассматриваются ТОЛЬКО эволюционные {классические) сильные разрывы.
Уравнения МГД для идеальной сжимаемой среды
В этой главе с помощью техники диссипативных интегралов энергии мы выводим априорную оценку без потери производных для линеаризованной задачи для быстрых МГД ударных волн в политрошюм газе при слабом магнитном поле. Получение этой оценки может быть формализовано с помощью введенного в главе 1 понятия -симметризатора. Фактически для линеаризованной задачи мы строим строго диссипативный 2-симметризатор.
С учетом доказанной в главе 1 Теоремы 1.7.1 из факта наличия такого симметризатора следует структурная устойчивость рассматриваемых ударных волн в смысле справедливости Теоремы 1.7.1 для соответствующей нелинейной задачи. При этом, в данном случае область D, фигурирующая в Теореме 1.7.1 (см. Определение 1.6.1), определяется условием слабости магнитного поля в начальный момент времени.
Прежде чем приступить к основному содержанию главы мы выпишем систему уравнений МГД и соотношения на сильном разрыве (напоминая по ходу классификацию МГД разрывов [124, 52, 48]), а также обсудим вопросы, связанные с нахождением области существования физически допусти мых решений соотношений на разрыве для плоских эволюционных МГД ударных волн.
Условие равномерной устойчивости быстрой параллельной МГД ударной волны
В этой главе предлагается эквивалентное определение условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для линеаризованной задачи для случая лаксовских ударных волн индекса 1 (на самом деле, для всех смешанных задач для линейных гиперболических систем, обладающих свойством І-shock; см. параграф 3.1). Это определение позволяет аналитически проверять условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для ряда случаев, неподдающихся анализу с помощью стандартного определения (см. определения 1.5.1, 1.5.2), а также может быть положено в основу численного анализа равномерной устойчивости (численной проверки равномерного условия Лопатинского) для ударных волн индекса 1 для различных гиперболических систем законов сохранения.
С помощью этого эквивалентного определения условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского аналитически находится необходимое и достаточное условие равномерной устойчивости быстрых параллельных МГД ударных волн в политропном газе. Таким образом, принципиально уточняется результат работы Gardner a и Kruskal a [120], в которой исследовалась только слабая устойчивость.
В главе предлагается алгоритм численной проверки равномерного условия Лопатинского для линеаризованных задач для лаксовских ударных волн индекса 1, с помощью которого впервые проводится полный анализ устойчивости быстрых МГД ударных волн в политропном газе для случая двумерных возмущений в общем случае (без ограничений на угол наклона магнитного поля к фронту волны), т.е. численно находятся границы областей равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости. Основные результаты приводятся для показателя адиабаты 7 = 5/3 (одноатомный газ), что наиболее естественно для модели МГД.
С учетом недавнего результата работы Metivier и Zumbrun a [151] (см. обсуждение во Введении и параграфе 1.7), на самом деле, равномерно устойчивые быстрые МГД ударные волны структурно устойчивы, т.е. для них справедлив вывод Теоремы 1.7.1 для соответствующей нелинейной задачи. При этом, наличие р-симметризатора не требуется, а границы области D, фигурирующей в Теореме 1.7.1, определяются найденными численно границами выполнения равномерного условия Лопатинского.
Наконец, в настоящей главе с помощью предложенного эквивалентного определения условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского приводятся первые результаты по устойчивости ударных волн в релятивистской МГД. А именно, проводится полное исследование линеаризованной устойчивости быстрых ударных воли для общего уравнения состояния релятивистского газа, но в предположении, что ударные волны являются параллельными.
В Приложении А приводятся также первые результаты по устойчивости ударных волн для уравнений МГД Чу, Гольдбергера и Лоу (ЧГЛ) [102], описывающих движение бесстолкновительной замагниченной плазмы.
"Вторичная" симметризация уравнений МГД
В этой главе изучаем характеристические разрывы в МГД (см. Определение 1.2.1), т.е. сильные разрывы, поверхность которых является характеристической для системы МГД. В МГД к таким разрывам относятся тангенциальные, контактные и вращательные разрывы (см. параграф 2.2).
Тангенциальный разрыв в МГД имеет важное значение для приложений в астрофизике, в частности, для моделей магнитопаузы и вспышечной плазмы (см. [157, 5, 77, 109]). Для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами для МГД тангенциальных разрывов можно показать, что равномерное условие Лопатинского никогда не выполняется, т.е. тангенциальные разрывы могут быть только нейтрально устойчивыми или неустойчивыми. В 1960-80-х годах в ряде работ (см. [110, 174, 157, 57]), инициированных астрофизическими приложениями, линейная устойчивость плоских тангенциальных разрывов в МГД сжимаемой жидкости изучалась стандартным методом, основанным на анализе экспоненциальных решений ("нормальных мод"; см. Введение). Однако до появления результата, который будет описан в этой главе, для общего случая невозмущенного течения не были найдены ни условия устойчивости, ни условия неустойчивости.
Основная трудность в методе "нормальных мод" для тангенциального разрыва связана с тем, что дисперсионное соотношение (определитель Ло-патинского) в общем случае сводится к алгебраическому уравнению десятой степени, коэффициенты которого зависят от семи безразмерных параметров. Поэтому невозможно не только аналитическое исследование, но и численный анализ этого уравнения связан с нереальностью на практике исследовать до конца все множество постоянных параметров (размерности 7) линейной задачи.
В этой связи, представляется удивительным, что можно найти широкие достаточные условия трехмерной нейтральной устойчивости, совсем не анализируя определитель Лопатинского. Это удается сделать с помощью особого симметрического вида системы МГД ("вторичной" симметризации; см. параграф 4.1). Этот вид позволяет получить априорную оценку решений линеаризованной задачи не только для случая постоянных, но и для переменных коэффициентов. На самом деле, мы строим, по существу, диссипативный (но не строго диссипативный) О-симметризатор. Заметим, что для нейтрально устойчивых разрывов переход от постоянных ("замороженных") к переменным коэффициентам не так очевиден, как для случая равномерной устойчивости (или при наличии строго диссипативного сим-метризатора; см. главу 1).
Основные трудности в анализе линеаризованной задачи с переменными коэффициентами для МГД тангенциального разрыва связаны с младшими членами, поскольку граничные условия для "симметризованной" задачи просто диссипативны и, поэтому, преимущества строгой диссипативно-сти (см. параграф 1.6.) неприменимы. Более того, в силу того, что разрыв является характеристическим, имеется так называемая потеря производных у решения по нормальному (к поверхности разрыва) направлению. В силу этого естественные функциональные пространства для решений — весовые анизотропные пространства Соболева W a (:= Щп; см. [156, 175, 172, 173]). Из априорной оценки для задачи с переменными коэффициентами следует теорема единственности решений исходной нелинейной задачи в таких пространствах. Аналогичный результат для МГД тангенциального разрыва в иесоїсимаемой жидкости описывается в Приложении В.
В данной главе исследуется также устойчивость вращательного разрыва. Напомним, что на поверхности вращательного разрыва непрерывны плотность, давление и энтропия (см. (2.20)). При этом вектор магнитного поля поворачивается на разрыве, оставаясь однако неизменным по длине (см. (2.20)). Заметим также, что, как и для ударных волн, поток массы через разрыв не равен нулю, но в то же время вращательный разрыв является характеристическим (см. главу 1). Линейная устойчивость вращательного разрыва для несоюимаемой жидкости была еще 1953 г. доказана Сыро-ватским (см. [52]).
В этой главе описывается единственный пока результат, касающийся устойчивости вращательного разрыва в сжимаемой жидкости. А именно, доказывается его неустойчивость при сильном магнитном поле. В Приложении А мы описываем аналогичный результат для вращательного разрыва в МГД ЧГЛ (для случая холодной плазмы).
Уравнения радиационной гидродинамики для неподвижной среды
В последнее время в связи с разнообразными приложениями в астрофизике, космологии и физике плазмы возник интерес к моделям радиационной гидродинамики, которые описывают движение сплошной среды при наличии радиационных процессов (см., например, [153]). Известны различные модели радиационной гидродинамики, от достаточно простых, область применимости которых сильно ограничена, до довольно сложных моделей, в которых делаются попытки учесть влияние как можно большего числа физических факторов.
В настоящей главе мы рассматриваем модель идеальной радиационной гидродинамики, предложенной относительно недавно итальянскими учеными Anile, Pennisi и Sammartino [74, 75,158]. Мы не будем здесь обсуждать границы применимости этой модели. Отметим лишь, что, в отличии от других моделей радиационной гидродинамики (в том числе одномерных), эта модель для случая трех пространственных является достаточно сложной и учитывает влияние многих физических факторов, в частности, релятивистские эффекты. Математическая модель радиационной гидродинамики из [74, 75, 158] представляет собой гиперболическую систему балансовых законов (ср. (1.1)) описывающих взаимодействие между сплошной средой и радиацией. В отличие от гиперболических законов сохранения (1.1), в этой системе имеется правая часть S(,x,U) {функции источника).
Уравнения, описывающие распространение радиации в сплошной среде, получаются в [74, 75] из уравнений переноса путем стандартных физических рассуждений. Однако, как известно, в этом случае возникает так называемая проблема замыкания, которая в радиационной гидродинамике [74, 75] решается с помощью введения так называемого мноэюителя Эд-дингтона (термодинамический подход к введению такого множителя описан в [74, 158, 131]). Уравнения же движения самой сплошной среды представляют собой систему релятивистской газовой динамики, связанной с радиационными уравнениями правыми частями (функциями источника).
В этой главе мы вначале рассматриваем также более простой случай модели радиационной гидродинамики [74, 75], когда сплошная среда неподвижна (точнее сказать, конечно, относительно неподвижна). Для этого (нерелятивистского) случая система радиационной гидродинамики состоит только из радиационных уравнений.
Для нерелятивистских уравнений радиационной гидродинамики удается доказать глобальную теорему существования и единственности решения задачи Коши для начальных данных близких к постоянным, т.е. вблизи положения "постоянного" термодинамического равновесия. Доказательство этой теоремы опирается на известную локальную теорему существования [31,133,129] и априорную оценку с убыванием, получаемую благодаря специальному виду правых частей.
Как для нерелятивистских, так и для релятивистских уравнений радиационной гидродинамики мы изучаем решения с ударными волнами. В нерелятивистской радиационной гидродинамике, как и в газовой динамике, ударные волны — индекса 1. Для соответствующей линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами мы строим строго диссипативный 2-симметризатор. Заметим, что наличие правых частей не играет, по существу, никакой роли для доказательства локальной теоремы существования и единственности вида Теоремы 1.7.1. Хотя, кусочно-постоянная вектор-функция в общем случае, в силу наличия правых частей, и не будет точным (кусочно-постоянным) решением нелинейной задачи, но линейная задача с постоянными коэффициентами получается простым "замораживанием" коэффициентов линеаризованной задачи и применимы все рассуждения параграфов 1.6, 1.7 (см. Теоремы 1.6.1, 1.7.1, 1.7.2). Таким образом, из наличия строго диссипативного 2-симметризатора для радиационных ударных волн следует их структурная нелинейная устойчивость (в смысле Теоремы 1.7.1).
Вместе с тем, с физической точки зрения, представляет также интерес линейная устойчивость точных кусочно-постоянных решений ("кусочно-постоянных" равновесий) балансовых законов, соответствующих плоской ударной волне. Поэтому в настоящей главе мы проводим линеаризацию уравнений радиационной гидродинамики и соотношений Ренкина-Гюгонио относительно таких точных решений. Это, правда, накладывает определенные физические ограничения на соответствующие однородные течения с плоской ударной волной. В частности, для релятивистских уравнений радиационной гидродинамики такое течение реализуется только для случая холодной радиации. В то же время, как мы уже отметили, распространение такого результата (в свете Теоремы 1.7.1) на общий случай (без требования существования кусочно-постоянного решения) является чисто техническим моментом.
Для релятивистских уравнений радиационной гидродинамики существуют ударные волны индексов 1 и 3. По аналогии с МГД мы называем их "быстрыми" и "медленными" ударными волнами. Для "быстрых" ударных волн мы также строим строго диссипативный 2-симметризатор, при определенных условиях на уравнение состояния среды (на самом деле, они совпадают с соответствующим равномерным условием Лопатинского). Что касается "медленных" ударных волн, то мы доказываем их неустойчивость.
