Введение к работе
Актуальность зW'.. Анализ многих математических моделей, шсываюших pa&mKJbi ^ьгмдчєские процессі; і: элзктронике, био-13ИКЭ, химическое куИ5т-гсз, теории оптимального управления и д., часто приводит к необходимости исследования и численного явения начальной іадачи двд систем обыкновенных дифференциальных іавнениа <ОДУ) вида
ACtJx'C L2+B< tJxC L2=fCiJ , I g. T =10., ^1 <1>^
ACt}x"Ct)*B
xv'(>=a. у'С0У=Ь. С4Ї
вырожденной для любого <ег <-.-.*п.--"?--!7рйцей при старшей юиззодной. Здесь /со - заданны?:, а хс t.> - искомый я-мерные кторн, заданные матркгы всо у. act у могут біль неполного ранга.
В настоящее время достаточно хорошо изучены системы ОДУ, зрешенные относительно старших производных, з также системы, в торых матрица лсо вырождается на дискретном множестве точек резка т. Системы тит.1 аэ. сээ, называемые в литературе алгебро-фференвдальными (АДС), сингулярными, неразрешенными относительно арших производных, вырожденными или неявными, привлекли внимание ециалистов относительно недавно - в начале 1970-х годов.
В отличив от систем, разрешенных относительно старших произ-дных, решение АДС сопряжено со значительными дополнительными удяостями, которые возникают в связи с тем, что такие системы леко не всегда рааломимы на невырожденную и алгебраическую ста, Кроме того, реовние вырожденной задачи может быть
~\~
неединствеяяо или может вообщэ не существовать для заданн начальных данных. Поэтому приобретает большое значение прсбле согласования начальных данных с правой частью /со.
"Мерой некорректности" системы служит целочисленная величин называемая индексом веразрешоянссти.
Поскольку при решении вырожденных задач индекса больше едири классическая теория разностных схем не работает, возникает про лема поиска других подходов к их решению, объединяемых в д основных направления: I) переход к более простым с точки зрен численного решения задачам, в частности, к разрешенным относ: тельно старших производных; 2) построение численных методо, непосредственно применимых для решения вырожденных задач.
Целью работы является:" I) исследование возможностей испол зования замен переменных (правых разрешающих операторов - ПРО* д решения АДС; 2) построение алгоритмов решения для линейных В! рожденных систем второго порядка высокого индекса; 3) ОбОСЕї вание новых конкурентоспособных численных методов; 4) решен проблемы согласования начальных данных.
В качестве основного метода исследования был выбран алгебра: ческпй аппарат обобщенных обратных матриц. Кроме того, в рабе исгользозались средства вычислительной математики и отделып результаты из теории матриц и теории дифференциальных уравнения.
Работа выполнена в Иркутском вычислительном центре СО РАН ] темам лаборатории вычислительной математики "Построешіе осж теории и численных методов решения дифференциально-алгебраическ] систем и их интегральных аналогов" (n ГР 0I9I000838I) и ''Ра: иаботка численных методов решения сингулярных систем ОДУ вьісші
ндэксов и их лрогракннзя реализация" (n it CI860055866).
Научная новизна. В настоящее время довольно хорошо изучены опросы существования и свойстаэ левых разрешающих операторов ЛРО) - некоторых линеанък дифференциальных операторов, действие оторых на вырожденную систему приводит ее к нормальному виду, эзчожноста применения правых разреааюаих ошраторов для решения 1С ранее не исследовались. В работе установлены условия дестваванин ПРО, указан я исслэдован с точки зрения численной зтсйчивости алгоритм его построения; обоснована опирающаяся на зкоа подход возможность понижения щдекса расскатрквамой задачи.
Впервые изучен вопрос о сохранявшем размерность преобразовании кггемы <з>, описываемой тройкой матриц, к виду yct>y"ct>+ :ctjyc«=/ctу, позволяющему применять для исследования исходной дачи известные результаты о кронекеровой структуре пучков пары ітриц.
Кроме того, обоснованы алгоритмы построения ЛРО, адаптирован-е к ранее не рассматривавшемуся классу систем второго порядка да <з>, что позволяет избежать увеличения размерности решаемой дачи.
В отличие от других работ, за редким исключением ориентирован-х на системы индекса I и 2 и в большинстве случаев постулир^пощих зрешимость рассматриваемых задач для заданных начальных данных, диссертации предлагаются алгоритмы применимые для задач эизвольно высокого индекса, не требующие жестких ограничений на эуктуру матричного пучка» и содержащие процедуру согласования іальньїх данных, последнее позволяет сохранить неизменным про-занство решений.
Впервые исследованы возможности применения метода матричной прогонки для решения вырожденной задачи, а также обосновано некоторое обобщение метода коллокапий и ФДН.
Теоретическая л практическая ценность результатов рабогы состоит в обосновании новых «конкурентоспособных методов решения началыюи задачи для линейных АДС первого и второго порядка высокого индексз. Вычислительные алгоритмы, предложенные в диссертации, были использованы для составления программ, вогоезап в пакет приладних программ "Синус", предназначенный для решения и исследования неявных систем ОДУ.
Апробация работы. Основные результаты, включенные в дис- сертавдонную работу, докладывались на xxv Всесоюзной студенческой конференции (Новосибирск, 1987), v конференции молодых ученых вузов Иркутской области (Иркутск, 1987), Региональной школе молодых ученых по вычислительной математике (Новосибирск, 1988), v всесоюзной школе-семинаре "Современные проблемы механики жидкости и лаза" (Иркутск, 1990), Международном симпозиуме по моделированию, обратным задачам и численным методам (Таллин:, 1991), xxiii Региональной молодежной конференции (Екатеринбург, 1992), семинаре кафедры математического анализа Уральского госуниверситета (1992), семинаре отдела дифференциальных уравнений Института математики и механии УрО РАН (1992), семинаре кафедры математического моделирования Харьковского госуниверситетэ (1991)ь на ежегодных конкурсах молодых ученых'Ир ВЦ СО РАН и неоднократно на семинарах лаборатории вычислительной математики Ир ВЦ СО РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и обЪем диссертации. Диссертация изложена на 136 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 102 наименования.
