Векторные накрывающие отображения и краевые задачи для дифференциальных уравнений неявного вида Плужникова, Елена Александровна

Введение к работе

Диссертация посвящена исследованию задачи Коши, краевых задач и задач управления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений неявного вида. Используются методы, основанные на полученных в работе утверждениях о липшицевых возмущениях векторных накрывающих отображений метрических пространств и признаках накрывания оператора Немыцкого в пространствах суммируемых функций.

Математический аппарат классической теории нелинейных дифференциальных уравнений явного вида, позволяющий исследовать многочисленные нелинейные модели явлений, процессов различной природы, давно создан, широко и эффективно применяется. Гораздо большие сложности представляет ситуация, когда при математическом описании необходимо учитывать зависимость параметров модели от скорости изменения состояния объектов. В этом случае модель представляет собой нелинейные дифференциальные уравнения неявного вида (не разрешенные относительно производной). Примерами таких задач являются неголономные механические системы [26], модели электрического колебательного контура [3, с. 145, 148].

Основным методом исследования дифференциальных уравнений неявного вида является использование теорем о неявных функциях. Однако, эти теоремы не применимы в случае, если по соответствующему аргументу порождающая дифференциальное уравнение функция не является гладкой, или ее производная вырождена. Разрешая такое уравнение относительно производной, можно свести его к дифференциальному включению, однако получаемое многозначное отображение часто не обладает свойства-

ми, позволяющими применять классические утверждения о дифференциальных включениях. В литературе практически отсутствуют методы исследования ряда важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений неявного вида, в том числе рассмотренных в диссертации краевых задач, систем управления. Новые возможности изучения дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, мы связываем с интенсивно развивающейся в последнее время теорией накрывающих отображений.

Первые работы, посвященные накрывающим (метрически регулярным) отображениям, датируются 60-70 годами 20 века. Исследовались накрывающие отображения, действующие в банаховых пространствах. Эти результаты нашли приложения в теории оптимизации (теорема Милютина о накры-вании использовалась в доказательстве принципа Лагранжа для гладких задач с ограничениями в виде равенств и неравенств [11, с. 220-231]). Теория накрывающих отображений получила развитие в работах Е.Р. Авакова, А.В. Арутюнова, Б.Д. Гельмана, А.В. Дмитрука, А.Д. Иоффе, А.А. Милютина, Б.Ш. Мордуховича, В.В. Обуховского, Н.П. Осмоловского, Т.Н. Фоменко и других [1, 4, 5, 12, 36, 38, 42, 43]. Последние несколько лет отмечается новый всплеск интереса исследователей к накрывающим отображениям и их приложениям, которому во многом способствовали работы А.В. Арутюнова [4, 5], предложившего распространение понятия накры-вания на отображения метрических пространств и исследовавшего точки совпадения накрывающего и липшицева отображений (не только однозначных, но и многозначных).

Новые приложения теории накрывающих отображений к исследованию дифференциальных, интегральных, функциональных уравнений и включе-

ний открыла работа Е.Р. Авакова, А.В. Арутюнова, Е.С. Жуковского [1]. Авторами было предложено понятие условного накрывания, доказаны теоремы о липшицевых возмущениях условно накрывающих отображений метрических пространств, получен признак накрывания оператора Немыцкого в пространстве существенно ограниченных функций и, на основании этих результатов, исследованы вопросы существования и продолжаемости решений задачи Коши для дифференциального уравнения неявного вида. А.В. Арутюновым, Е.С. Жуковским, СЕ. Жуковским [6, 39] предложены уточнения понятия условного накрывания, получены распространения теорем о возмущениях, доказаны утверждения о корректности уравнений с накрывающими отображениями и перечисленные результаты применены к исследованию разрешимости и корректной разрешимости задачи Коши для дифференциальных уравнений неявного вида; интегральных уравнений Вольтерра, не разрешенных относительно искомой функции. Методами, использующими накрывающие отображения, в [15] рассмотрено дифференциальное уравнение с запаздыванием, в [7, 40] рассмотрены задачи управления.

Многие приложения понятия накрывания основаны на утверждениях о точках совпадения и утверждениях о липшицевых возмущениях условно и «безусловно» накрывающих отображений метрических пространств [1, 4, 6, 38, 39, 44]. Эти утверждения обобщают принцип Банаха о сжимающем отображении следующим образом: тождественное отображение заменяется «-накрывающим, а сжатие — отображением, удовлетворяющим условию Липшица с константой, меньшей а, причем, областями определения и значений отображений могут быть различные метрические пространства.

Так как краевые задачи и задачи управления сводятся к системам урав-

нений и включений (содержащим кроме дифференциальных уравнений еще начальные и краевые условия, ограничения на управления и прочее), то разрабатываемые схемы и методы их исследования потребовали распространения теорем о липшицевых возмущениях на векторные накрывающие отображения. Полученные в диссертации утверждения о возмущениях векторных условно накрывающих отображений позволяют исследовать вопросы разрешимости и корректности краевых задач и задач управления для систем дифференциальных уравнений неявного вида, получить оценки их решений. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14], [16]-[24], [31]-[35], [45].

Приведем краткое описание содержания диссертации. Диссертация состоит из двух глав, содержащих по три параграфа.

В главе 1 приведены определения понятий накрывания и условного накрывания отображений метрических пространств, доказаны утверждения о липшицевых возмущениях векторных накрывающих отображений, получены условия накрывания оператора Немыцкого. Эти результаты — основа исследования дифференциальных уравнений неявного вида, предпринятого в главе 2 диссертации.

Основной объект исследования в главе 1 — это система уравнений

Fi(x₁,x₂,...,x_n)=y_i, i = l,n, (1)

где при всех і отображение Fi, действующее из произведения Yi Xj мет-

3=1

рических пространств Xj в метрическое пространство Yi, является накрывающим по диагональной г-й переменной Хі и липшицевым по остальным переменным. Идея исследования наиболее наглядна для системы (1) в простейшем случае, когда Yi = Хі — линейные полные метрические простран-

ства, отображение Fi(x\, х_2} , х_п) = Х{ — Gi(x\, х_2} , х_п), отображение Gi по каждой j -й переменной удовлетворяет условию Липшица с константой (3ij, i,j = 1,п. В этом случае система (1) принимает вид

x_l = G_l{xi,x₂,...,x_n) + y_l, i = l,n. (2)

Положим В = ((3ij)_nxn ^и определим метрическое пространство X = Yi Xj с расстоянием между элементами х = (xj)j₌y~ и и = (uj)j₌y~, равным р_х(х,и) = \(р_Хі{х_ииі),рх₂{х₂,и₂),...,рх_п{х_п,и„))\, где монотонную норму | | в Ж^п можем выбирать [27, с. 15-16] так, чтобы значение \В\ было достаточно близким к спектральному радиусу q(B) . Таким образом, если д(В) < 1, то отображение G = (G\, G₂, , G_n) : X —> X будет сжимающим и, следовательно, существует единственное решение системы (2), к которому будут сходиться последовательные приближения (подробнее о распространении принципа Банаха на векторные отображения см. работу А.И. Перова [29]).

Приведем основные определения и результаты 1.1. Пусть (Х,рх), (У, py) — метрические пространства. Обозначим через Вх(х,г) замкнутый шар с центром в точке х радиуса г > 0 в пространстве X. Пусть заданы число а > 0 и отображение Ф : X —> Y.

Определение 1 [4]. Отображение Ф называется а-накрывающим (накрывающим), если для любых г > 0 и и Є X имеет место включение

Ф(Б_х(м,г)) 2 B_Y{V{u),ar).

Отображение Ф является а-накрывающим тогда и только тогда, когда для любых и Є X и у Є Y существует х Є X, удовлетворяющий

уравнению Ф(ж) = у и оценке

рх{х,и) ^a~^lp_Y{y^{u)). (3)

Определение 2 [1]. Если для любых г > 0 и и Є X имеет место включение Ф(Дх(гі,г)) ^ >у(Ф(и),ат) П Ф(Х), то отображение Ф называют условно а-накрывающим (условно накрывающим).

Отображение Ф является условно а-накрывающим тогда и только тогда, когда для любых и Є X и у Є Ф(Х) существует ж Є X, удовлетворяющий уравнению Ф(ж) = у и оценке (3).

В пространстве М^п вещественных п -мерных векторов будем считать заданной норму | |, обладающую свойством монотонности. Пусть заданы метрические пространства (Xj,px-), (lj,py.), точки yj Є У,-, j = l,n,

и определены отображения Ф^ : Х{ х П Xj —> 1^, г = 1,п. Рассмотрим систему уравнений

Фг(Жі,Жі,Ж₂,---,Ж_п) =?/г, г = 1,П, (4)

относительно неизвестного Ж = (Жі, Ж2, ..., х_п) Є П ^0

Определим метрическое пространство X = Y\ Xj с расстоянием меж-ду элементами ж = (xj)j₌y~ Є X и и = {uj)j₌y~ Є X, равным

рх{х,и) =\(p_Xl(xi,ui), px₂(x₂,U2),..., рх_п(^хп,и_п))\- (5)

Аналогично определим метрику в Y = Y[Yj-

3=1

Пусть заданы числа ( > 0, / ^ 0, i, j = 1,п. Определим матрицу

^ ⁼⁼ ( Pijjnxn

и обозначим через >(С) ее спектральный радиус.

Теорема 1. Пусть метрические пространства X,-, j = 1,п, являются полными и выполнены следующие условия:

для всех х Є X отображение Фі(-,х) : Х{ —> 1^, і = 1,п, условно а.{ -накрывающее и имеет место включение у і Є ФДХ^ж);

при любых i,j = 1,п, Мі Є Xj, жі Є Хі, ..., ж^_і Є Xj_i, ж^₊і Є Xj_|_i, ..., х_п Є Х_п отображение Фі(щ, #і, ..., я^-і, , Ж7+1,..., х_п) : Xj —> 1^ является (3{j -липшицевым;

для любой сходящейся последовательности {и^к} С X, w^fc —> м, такой

что Фі(щ,и) -^- у і Vi = 1,п, имеет место равенство Ф^ущ^и) = уі

У і = 1,п.

Тогда если q{C) < 1, mo система уравнений (4) разрешима и, кроме того, для любого є > 0 можно так определить норму \ \ в пространстве М^п, что при задании метрики в X равенством (5) для произвольного и⁰ = (гі]*,гі2,... , г^) Є X существует решение х = ^ Є X системы (4), удовлетворяющее оценке

_"^к_'^ик_(ї4(сН

_{>,fe, *.,(«?,«"))}

^aJ /j=l,»

(6)

Далее в 1.1 рассмотрены частные случаи теоремы 1 при n = 1,2 и приведен пример, из которого следует, что в оценке (6) нельзя принять

= 0.

В 1.2 исследован вопрос о корректности системы (4) в следующей постановке. Пусть задана последовательность {у_т = (уі_т)і=т^} С У и

определены отображения Ф^_то : Х^хХ —> У^, і = l,n, m = 1,2,. Рассмотрим при каждом m = 1, 2,... систему операторных уравнений

относительно неизвестного х = (жі, Х2-, , х_п) Є X. Предположим, что для некоторого элемента и⁰ = (1^,1^,...,1^) Є X при т —> оо имеет место сходимость

/(Ф_гт(и,и?,^,...,w), у_гт) ->> 0, г = 1,п. (8)

Нас интересуют условия, обеспечивающие разрешимость при любом т системы (7) и сходимость к м последовательности решений.

Сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 2. Пусть пространства X,-, j = 1,п, являются полными, для каждых i,j = 1, п существуют такие числа а.{ > 0, / ^ 0, что для спектрального радиуса матрицы С = (a~^l(3ij)_nxn имеет место оценка q(C) < 1 и выполнены следующие условия:

для всех х Є X отображение Ф^_то(-,ж) : Х{ —> 1^, г = l,n, т = 1,2,..., условно а.{ -накрывающее и у;_т Є Ф^_ТО(Х^, ж);

при любых г,j = 1,п, т = 1,2,..., и произвольных щ Є Xj, Жі Є Хі, ... , ж^_і Є Xj_i, Xj₊\ Є Xj₊i, ..., ж_п Є X_n отображение Ф_гт(и_г,хі,..., Xj-i, , ^-+1,..., х_п) : Xj -> У_г / -липшицево;

для любой сходящейся последовательности {u^k} С X, w^fc —> it, такой что при k —> 00 имеет место сходимость /)уДф^_то(м^,it), i/j_m) —> 0 Vi = 1,п, т = 1,2,..., выполнено равенство Фі_т(иі_} и) = у i_m Vi = l,n, т = 1,2,....

Тогда если имеет место соотношение (8), то при каждом т существует такое решение ^^т Є X системы (7), что <^^т —> it⁰.

Далее 1.2 рассмотрены частные случаи теоремы 2 — утверждения о корректности скалярного уравнения и системы двух уравнений.

Для применения теорем 1, 2 к исследованию систем обыкновенных диф-

ференциальных уравнений неявного вида требуются условия накрывания оператора Немыцкого в функциональных пространствах. В 1.3 сформулировано и доказано утверждение о накрывании оператора Немыцкого в пространствах суммируемых с любой степенью функций.

Обозначим через cl(l^) совокупность всех непустых замкнутых подмножеств пространства МЇ. Пусть задано р Є [1,оо] и определено измеримое многозначное отображение Q : [а, Ъ] —> cl(l^), для которого функция t Є [а, Ъ] ь->- p^i(0,Q(t)) Є К. суммируема в р-й степени при р < оо и существенно ограничена при р = оо. Определим следующие полные метрические пространства: L_p([a,b],Q) — пространство

функций t Є [a, b] ь-> y(t) Є Q(t), суммируемых в р-й степени, если

/ ъ \¹/р

1 < р < ос, с метрикой p_Lp(yi_}y₂) = і J \yi(s) - y₂(s)\^pds j , и, в случае

р = оо, пространство существенно ограниченных функций, р_Ьоо(у\_}у2) = vraisup_sGцц \yi(s) — 2/2(5)! , AC_p([a,b],Q) — пространство таких абсолютно непрерывных функций х : [а, Ь] —> МЇ, что ж Є L_p([a,b],Q), с метрикой р_АС (жі,Ж2) = \(p_L (^1,^2), Жі(а) — ^2(0.)) |. В перечисленных обозначениях функциональных пространств будем опускать область определения и множество значений функций — элементов пространств, если это не приводит к разночтениям.

Пусть заданы числа 1 ^ р\ ^ р₂ ^ оо и определены измеримые многозначные отображения Q : [а, Ь] —> сЦ!^¹), О : [а, 6] —> с1(М^/2) такие, что Pr«i (0,^(-)) Є L_Pl([a,b],K), ^2(0,6(-)) Є L_P2([a,6],M). Пусть, далее, задана функция (t Є [а, &], ж Є Q(t)) <-> g(t,x) Є 6(), удовлетворяющая условиям Каратеодори. В случае р\ ф оо относительно функции g будем предполагать, что существуют г\ Є L_P2([a, 6],К) и А Є М, для

которых при почти всех t Є [a, b] и всех у Є Q(t) выполнено неравенство \g{t,y)\ ^ \\y\^Pl/^p2 +r)(t). Если pi = оо, то при любом г > 0 пусть существует такая функция г]_г Є L_P2([a, &],К), что |ПР^И почти всех Є [а, 6] и любых у Є Г2() таких, что \у\ ^ г. При выполнении этих условий оператор Немыцкого N_g : L_Pl([a,b],Q) —> L_P2([a,b],0), (N_gy)(t) = g{t,y(t)), в случае p\ ^ оо является непрерывным и ограниченным, а при р\ = оо — замкнутым и ограниченным.

Теорема 3. Пусть существует такое а_д > 0, что при почти всех t Є [а, 6] отображение g(t,-) : Q(t) —> 0() условно а_д-накрывающее. Тогда оператор Немыцкого N_g : L_P1 —> L_P2 будет условно а^ -накрывающим, где ам = (& — а)^-^^2-^/^²^, в частности, при р\ = р^ константы накрывания равны: а^ = а_д} в случае р\ < р<і = оо выполнено равенство а^ = (6-0.)^-1^¹. Аналогично, если при почти всех t Є [а, b] отображение g(t, ) : Q(t) —> Q(t) а_д -накрывающее, то оператор Немыцкого N_g : L_P1 —> L_P2 будет а^ -накрывающим.

Глава 2 посвящена изучению задачи Коши, краевой задачи и задачи управления для дифференциальных уравнений неявного вида. Метод исследования основан на представлении дифференциальных уравнений, начальных и краевых условий, ограничений на управление и динамическую переменную в виде системы операторных уравнений относительно пары векторов (ж,ж(а)) или, в случае задач управления, тройки векторов (ж, ж (а), и), компонентами первого являются производные искомых функций, второго — их начальные значения, а третьего — функции управления. При этом результаты 1.3 позволяют найти условия накрывания отображений по соответствующим переменным, а утверждения из 1.1, 1.2 — исследовать полученные системы операторных уравнений.

В 2.1 рассмотрена задача Коши.

Пусть для всех і = 1,п заданы измеримые многозначные отображения f2j,0j : [а, Ь] —> cl(K), определены удовлетворяющие условиям Каратеодо-ри функции (t Є [а, &], х Є М^п, и;; Є Qi(t)) ь-» fi(t,x,Wi) Є 6j(), a также функции Є [a,b] ь-» ^(^) Є @«(t) и числа 7« Є ^ і = 1?^п- Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

f_l{t,xi{t),x₂{t),...,x_n{t),x_l{t)) = y_{(t), i = l,n, (9)

с начальными условиями

х_г(а) = ^_г, i = l,n. (10)

Пусть заданы числа 1 ^ рц ^ ръ, ^ оо, і = 1,п. Будем предполагать при всех і = 1,п, что p_R (0, Щ-)) Є L_Pl.([a,&],K), рм (0,6,(-)) Є L_P2.([a,6],K), 2/і є Ь_Р2.([а,Ь},ві).

Пусть, далее, для всех тех і = 1,п, при которых рц ф оо, функция fi удовлетворяет условию

Тр) при любом г > 0 существуют такие ?7* ^ А^ДК Ч> «) и А₈ G М, что при почти всех Є [а, &], любых ж Є М^п, таких, что |ж| ^ г, и всех Wi Є Г^() справедливо неравенство \fi(t,x,Wi)\ ^ А^и;^¹^²* +r/i(t).

Для всех значений і, при которых рц = оо, будем предполагать выполненным условие

.Foo) при любом г > 0 существует такая функция 77* ^ А^ДК Ч> *)> что при почти всех Є [а, &], любых х Є М^п и Wi Є Г^(/:), таких, что

\щ\ + |ж| ^ Г, Имеем |/;(, Ж, If;) | ^ ??«().

Решение задачи Коши (9), (10) будем искать в классе абсолютно непрерывных функций х = (жі, Х2-, , х_п) : [а, а + г] —> М^п, компоненты кото-рых Жі Є AC_Pli([a,a + г], Г^), i = l,n, г Є (0,6 —а].

Пусть заданы непрерывная функция х : [а, Ь] —> Ж^а и а > 0. Положим D(t) = B-Rn (х (t), а).

Теорема 4. Предположим, что если рц₀ = 1 при некотором io, mo Pii 7^ ⁿP^{w всех} остальных номерах г. Пусть справедливо неравенство \х(а) — 7І < ст. Пусть при каждом г = 1,п d/ш почти всех t Є [а, 6] и уш-б'ш; ifj Є r^j(t), х Є -D(^) отображение fi(t,x,-) : Qi(t) —> 0j() условно накрывающее; отображение fi(t,-,Wi) : D(t) —> 0j() липшицево; имеет место включение yi{t) Є fi(t,x,Qi(t)). Тогда существует г Є (0,6 —а] и существует определенное на [а^а + т] решение х Є П ЛС_Р1.([а, а + т], Г2^) задачи (9), (10).

Также в 2.1 исследована проблема непрерывной зависимости от параметров решений задачи Коши (9), (10).

Пусть заданы последовательность удовлетворяющих условиям Кара-теодори функций (t Є [a, b], х Є Mⁿ, w_% Є Qi{t)) ^ fi_m{t,x,Wi) Є 0_г(), функции t Є [а, 6] ь-> yim(t) Є 0j() и числа 7im Є К, і = 1,п, m = 1, 2,... . Рассмотрим последовательность задач Коши

fim(t,xi{t),X2{t),...,x_n{t),Xi{t)) = y_im{t), х_г(а) = ^_гт, i = l,n. (11)

По-прежнему, считаем заданными числа 1 ^ рц ^ р2% ^ оо, г = 1,п. Предполагаем, что при любом натуральном m у;_т Є L_P2.([a,&],0j); далее, что при значениях рц ф оо, функция /j_m удовлетворяет условию Jp), а в случае рц = оо — условию .7-^)-

Пусть для некоторой функции х = (х, х, , x^Q_v) : [а, 6] —> М^п, компоненты которой я^ Є ЛС_Ри([а, &],Г2і), для всех г = 1,п при m —> оо имеют место соотношения

рь_та (/^(-,^(-),^(0), Ы-))^0, ₇іт^ж?(а). (12)

Пусть задано число а > 0. Положим D(t) = B-Rn (х(t), а).

Теорема 5. Предположим, что если рц₀ = 1 при некотором io, то ри = оо при всех остальных номерах і. Пусть существуют такие а.{ > 0, /3ij ^ 0, i,j = 1,п, 'что при каждых г = 1,п, т = 1,2,... отображение (t Є [а, &], ж Є D(t),Wi Є Г2_г-()) <-> f_im(t,x,Wi) Є 0_г-() удовлетворяет следующим условиям: при почти всех t и любых х отображение fi_m(t,x,-) условно а.{ -накрывающее и выполнено включение yi_m(t) Є fi_m(t,x,Qi(t)); при почти всех t, любых Wi, произвольного номера j = 1,п и всех (х\,... ,Xj-i,Xj₊i,. .. ,х_п) отображение fi_m(t, Жі,..., Xj-i, , Xj₊i,..., x_n, wi) fiij -липшицево. Тогда если имеет место соотношение (12), то, начиная с некоторого номера, при каждом натуральном т существует определенное на всем [а, Ь] решение

<^^т Є П AC_Plj([a,b],Qj) задачи (11) такое, что ^^т —> х.

3=1

В 2.2 исследуется двухточечная краевая задача.

Пусть для всех г = 1,п заданы измеримые многозначные отображения f2j,0j : [а, Ь] —> cl(K), удовлетворяющие условиям Каратеодори функции (t Є [а, &], ж Є Ш^п, Wi Є r^j(t)) ь-» fi(t,x,Wi) Є 0«(t), a также функции Є [a, b] і—^ г/;() Є 0«() и числа Р_г-, Qi, А«, г = 1,п. Рассмотрим при Є [а, 6] систему дифференциальных уравнений вида

/і(,жі (), ж₂(), -,„(),»()) = Vi{t), г = 1,п, (13)

с краевыми условиями

Р_гЖ_г(а) +(5гЖ_г(6) = А_г, І=1,П. (14)

Пусть заданы числа 1 ^ рц ^ р2і ^ оо и выполнены включения г/_г- Є L_P2i([a, &], 0j), і = 1,п. Пусть, далее, для тех і, при которых рі_г- ^ оо,

функция fi удовлетворяет условию J-p). Для значений г, при которых Ри = оо, будем предполагать выполненным условие J-",)-

Решение краевой задачи (13), (14) будем искать в классе абсолютно непрерывных функций х = (жі, #2,..., х_п) : [а, Ь] —> М^п, компоненты Хі которых принадлежат пространству AC_Pli([a,b],Qi).

Теорема 6. Пусть при каждом і = 1,п выполнены следующие условия: Р_г + Qi 7^ 0; существует такое а.{ > 0, что при почти всех t Є [а, 6] и любых х Є W¹ отображение fi(t,x,-) : Qi(t) —> 0j() условно (іі -накрывающее и имеет место включение yi(t) Є fi(t,x,Qi(t)); для

каждого j = 1,п существует fiij ^ 0, сідл которого при почти всех t Є [а, 6] и любых Wi Є r^j(t), (жі,... _}Xj-\_}Xj₊\_}... ,х_п) Є М^п_1 отображение fi(t, Х\_}... ,Xj-i, , Xj₊i,..., x_n,Wi) : К. —> 0j() fiij -липшицево. Тогда если 2п х 2п-матрица С = (Cy)jj=i_;2, гс^е

_ / (6-а)(рі*у-^+ру)/(рі*у)/Зу \ _/(5-а)¹/»ДД

V((Py№-№+Py)M^)^1/№aJnxn ¹² V «г Лхп

С₂₁ = diag<^ У , С₂₂ = (0)_пхп,

I 1-М + Ч?г| J _nxn

(15) имеет спектральный радиус q{C) < 1, то существует решение х Є

Y[ АС_Ри([а_} &], f2j) краевой задачи (13),(14) и, кроме того, для любого

г=1

є > 0 можно так определить норму \ \ в пространстве М^2п, что при

задании метрики в X = Y\ AC_Pli([a, &], Г^) равенством

г=1

рх(и, ж) = |(/9_іріі(±і,йі),..., pL_Pln(xn, У, |жі(а) - мі(а)|,..., |ж_п(а) - м_п(а)|)| d/ш произвольного х Є X существует решение х = ^ Є X краевой

задачи (13),(14), удовлетворяющее оценке

Prt,»)<(y^(c)+

1)

'№_P21(2/b2/?)(6-a)^(B'^"^)/(!,llB

_к Oil

Рь_Р2п (у_п, У_п)(Ь - ajbn-PmJ/Cpi^n) і _Ді _ до і I A_n - A

\Pi + Qi\ \P_n + Q_n\ у

где y?(t) = Д(*,_Ж⁰(*),ж(*)), Д = Р_іЖ(а) + Q_ia;⁰(6), г = TJi.

Далее исследован вопрос непрерывной зависимости от параметров решений краевых задач.

Пусть при каждом т = 1,2,... заданы удовлетворяющие условиям Каратеодори функции (t Є [a, b], х Є Wⁿ, w_% Є

&i(t), і = l,n. Пусть, далее, заданы функции Є [а, 6] ь-» уЛ^) Є &i(t)

и числа Pj_m, Qi_m, Aj, г = l,n, m = 1,2,... . Рассмотрим при Є [а, 6] последовательность краевых задач

/гт(,Жі(г),...,Ж_п(г),Жг()) =yi{t), PimXi{d) + Q_imXi{b) = А_г, І = 1,П.

(16)

Пусть заданы числа 1 ^ р^ ^ / ^ оо, і = 1,п, и j/₈ є L_P2.([a, &], 0j). Далее предполагается, что если р^ ф оо, то функция /j_m удовлетворяет условию Jp), а в случае рц = оо — условию .7-^)-

Пусть для некоторой функции х = (^,^2,...,^) : [а,Ь] —> М^п с

компонентами ж" Є ЛС_Рн([а, &], Г^) для всех г = 1,п при т —> оо имеют место соотношения

Рі_Иі(/іт(-,ж(-),ж?(-)), 2/,(-))^0, Р_гт^(а) + д_гт^(6)^А_г. (17)

Теорема 7. Пусть при каждом і = 1,п выполнены следующие условия: существуют такие числа Р_п Qi, что

IP. ₊П. |>|Р. + П.|>0 ^^ < ^ 777-12

| -Пт ~Г 4Jim | | -*г ~Г Ч/г |

найдется такое ( > 0, что для каждого т = 1,2,... при почти всех t Є [a, b] и любых х ЄШ¹ отображение fi_m(t,x, ) : Qi(t) —> Qi(t) условно (іі -накрывающее и имеет место включение yi(t) Є fi_m(t,x,Qi(t)); для каждого j = 1,п существует такое fyj ^ О, что при всех т = 1, 2,... , почти всех t Є [а, 6] и любых W{ Є f2j(), (жі,... ,^-1,^+1,... ,ж_п) Є М^п_1 отображение

Jim\J") -З-'15---5 %j — l 1 ' 1 Xj+11 1 %i w{) . ІК. 7 КУ{\Ъ)

fiij -липшицево; для спектрального радиуса матрицы (15) выполнено неравенство q{C) < 1. Тогда если имеют место соотношения (17), то при

каждом т = 1,2,... существует такое решение х = ^^т Є Y\ AC_Pl. задачи (16), что t;^m —>- ж⁰.

В 2.3 рассмотрены задачи управления дифференциальными уравнениями неявного вида. Соответствующая управляемая система содержит не разрешенные относительно производной дифференциальные уравнения, начальные условия, смешанные ограничения на управление и дополнительные ограничения на производную решения. Такими системами описывается управление объектами, параметры которых зависят не только от состояния объекта, но и от скорости его изменения. Подобные задачи возникают, например, при управлении космическими объектами [30].

Пусть заданы 7 Є ^^п? измеримые многозначные отображения Q : [а, Ь] ->> cl(Mⁿ), U : [а, Ь] ->> comp(M^fc), V : [а, Ь] ->> cl(M^/2) такие, что функции Є [а, Ъ] ь-» />Rn(0, Г2()), />Rfc (О, U(t)), / (О, V^()) Є Ш существенно ограничены. Пусть определены удовлетворяющие условиям Каратеодори функции / : [а, Ъ] х I^й х Г х 1^ R^l\ g : [а, Ъ] х Ж^п х R^k ->> R^h, относительно которых, кроме того, предполагаем, что для любого г > 0

существует такое R > О, что при почти всех t Є [a, b] для всех х Є М^п, Є Q(t), и Є /(), удовлетворяющих условию \х\ + |z| + \и\ ^ г, имеют место неравенства \f(t,x,z,u)\ ^ Л, |д(,ж,и)| ^ R. Рассмотрим управляемую систему

f(t,x(t),x(t),u(t)) = 0, ж(а) = 7,
«И Є С/И, р(*,жй,«й) eV(t), (18)

ж() Є ОД, t Є [а, 6].

Управление it(-) будем предполагать существенно ограниченным, а х(-) будем искать в классе абсолютно непрерывных функций, имеющих существенно ограниченную производную. Соответственно, локальным решением управляемой системы называем пару (х,и) Є АСоо([а, а + т],Г2) х Lqo([а, о. + т], U), удовлетворяющую уравнениям и включениям (18) при почти всех t Є [а,<2 + г], г Є (0,6 — а]. Управляемую систему называют локально разрешимой, если она имеет локальное решение.

Пусть заданы непрерывная функция х : [а, Ь] —> Ж^а и <т > 0. Положим D(t) = B-Rn (х (t), а).

Теорема 8. Пусть справедливо неравенство І7 — х(а)\ < а и при почти всех t Є [a, b] и любых х Є D(t), z Є Q(t), и Є U(t) выполнены следующие условия: отображения f(t,x,-,u) : Q(t) —> МЇ¹, g(t,x,-) : U{t) —> M^² условно накрывающие; отображения f(t,-,z,u) : D(t) —> К*¹, f(t,x,z,-) : [/"() —> К*¹, g(t,-,u) : -0(/:) —> М'² липшицевы; имеет место включение О Є f(t,x,Q(t),uj. Тогда если при почти всех t Є [а, b] множество ( Р| #(,ж, [/"()) j Р|У() непусто, то управляемая система

^ xD(t) '

(18) локально разрешима.

В диссертации также получена оценка решения управляемой системы

(18), следующая из неравенства (6). Эта оценка применяется для исследования корректности системы (18). Отметим, что в литературе подробно исследованы условия корректной управляемости объектами, описываемыми нормальными (разрешенными относительно производной) дифференциальными уравнениями. Эти условия непосредственно следуют из классических теорем о непрерывной зависимости от параметров решений нормальных дифференциальных уравнений (см., например, [37, Глава V]). Однако, для систем управления дифференциальными уравнениями неявного вида подобных результатов в литературе нет.

Пусть заданы числа 7т ^^п, тп = 1, 2,..., измеримые многозначные отображения П : [а,Ь] ->> cl(Mⁿ), U : [а, Ь] ->> comp(M^fc), V_m : [а, b] ->> с!(Ш^І2) такие, что t Є [a, b] н-> р_Кп(0,$ВД), pRk (О, U{t)), p_Ri₂ (0, V_m{t)) Є R — существенно ограниченные функции при m = 1,2,... . Пусть, далее, при любом m = 1,2,... определены удовлетворяющие условиям Каратеодо-ри функции f_m : [а, &] xlⁿxtⁿxi^fc4 R^l\ g_m : [а, &] х Г х R^fc4 R^h, относительно которых, кроме того, предполагаем, что для любого г > 0 существует такое R_m > 0, что при почти всех t Є [a, b] для всех ж Є М^п, Є Г2(), и Є U(t), удовлетворяющих условию \х\ + \z\ + |it| ^ г, имеют место неравенства |/_то(, ж, z,it)| ^ R_m, \g_m(t,x,u)\ ^ R_m-

Рассмотрим последовательность управляемых систем

f_m(t,x{t),x{t),u{t)) = 0, ж(а)=7т,
и(*)єС/(*), „»(*, ж(*),«М) єКг(0, т = 1,2,..., (19)

ж() Є ОД, Є [a,b].

Пусть для некоторой пары (ж⁰, гі) Є ЛСоо([а, b],Q) х Ь_ж([а, b], U) име-

ют место соотношения

vTaisup\f_m(t,x(t),x⁰(t),u(t))\ ->-0, 7ш^ж(а),

t [а, Ъ]

H_m(t)=( П 9m{t,X,U(t)))r\Vm(t)^0, (20)

^V xD(t) ^J

vrai sup q^i₂ (g_m(t, x (t), u (t)), H_m(t)j -> 0.

Сформулируем условия, обеспечивающие существование при любом натуральном т такого решения (х_т,и_т) Є AC_O0([a,b],Q)xL_O0([a,b],U) управляемой системы (19), что последовательность (х_т,и_т) сходится к (ж⁰,it⁰) в пространстве ACоо ([a, b], Q) х Ь_ж([а, b], U).

Теорема 9. Пусть существуют такие положительные числа а\, a /Зц, /Зі2, /З21, что при почти всех t Є [a, b] и любых х Є D(t)_} и Є U(t), z Є Q(t), m = 1,2,... выполнены условия: отображения f_m(t,x,-,u) : Q(t) —> К*¹, g_m(t,x,-) : [/"() —> M^² лв-ляются условно накрывающими с константами а\, «2, соответственно; отображения f_m(t,-,z,u) : D(t) —> К*¹, f_m(t,x,z,-) : [/"() —> К*¹, g_m(t,-,u) : D(t) —> К'² являются, соответственно, (Зц, (Зи, 021-лип-шицевыми; имеет место включение 0 Є f_m(t, х, Q(t), и). Тогда если справедливы соотношения (20), то d/ш всеа: достаточно больших значений т управляемая система (19) разрешима на всем [а, &], и существует такое ее решение (х_т,и_т) Є ACoo([a,&],f2) х ^([а, &], [У), 'что в пространстве АСоо([а, &], Г2) х ^([а, &], ГУ) имеет место сходимость

\X_m)U_m) г ^Ж , It J.

(Х,рх) — метрическое пространство X с метрикой рх]

Вх{и,г) — замкнутый шар с центром в точке и радиуса г > 0 в метрическом пространстве X;

Ш^п — пространство вещественных п -мерных векторов с нормой | |;

с1(М^п) — совокупность всех непустых замкнутых подмножеств пространства W¹;

p-R.n(W) — расстояние от О Є Ш.^п до множества W Є cl(Mⁿ), задаваемое равенством pm.n(W) = inf \w\;

comp(IRⁿ) — совокупность всех непустых компактных подмножеств пространства М.^п.

Для измеримого многозначного отображения Q : [а, Ь] —> с1(М^п) такого, что измеримая функция t Є [а, Ь] ь-» рм«(Г2()) Є К. существенно ограничена, определим следующие полные метрические пространства:

L([a,b],Q) — пространство существенно ограниченных функций t Є [а, Ъ] ^y(t) Є Q(t) с метрикой p_Loo(y_hy₂) = vraisup \yi(s) - y₂(s)\;

sG [a, b]

L_p([a,b],Q), 1 ^ p < oo — пространство суммируемыхвр-й степени функ-

/ ъ \¹/р

ций t Є [а, 6] ^y(t) Є Q(t), p_Lp(y_uy₂)= lj\yi(s)-y₂(s)\^pdsj ;

AC_p([a,b],Q), 1 ^ p ^ oo — пространство абсолютно непрерывных

функций х : [a, b] —> Ш.^п таких, что х Є L_p([a, b], Q), с метрикой p_ACp(x_hx₂) = \(p_Lp(x_hx₂), х_л{а) -x₂{a))\.

Похожие диссертации на Векторные накрывающие отображения и краевые задачи для дифференциальных уравнений неявного вида

Аналитический вид обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения в случае нелокальных граничных условий и разрывных коэффициентовКулешов, Александр Андреевич

О разрешимости в слабом смысле задачи Дирихле для полностью нелинейных эллиптических уравнений общего видаЯкунина, Галина Владимировна

Дискретные уравнения вида dun/dt = F(un-1, un, un+1) (n C Z) с бесконечным набором локальных законов сохранения Ямилов Равиль Исламович

Алгоритмы приведения неявных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к нормальному видуЩеглова, Алла Аркадьевна

Аналитическая характеристика решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка специального видаБелясова, Вера Герасимовна

Существование вязкостных решений параболических полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка общего видаПрокофьева, Светлана Ивановна

Исследование локальных бифуркаций дифференциальных уравнений задач небесной механикиБеликова, Оксана Николаевна

Аналитические исследования нелинейных задач уравнения теплопроводностиХакимова Олима Хафизовна

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравненийШевелева, Виктория Николаевна