Введение к работе
Актуальность темы. Изучение ограниченных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (или более частных классов - почти периодических пли просто периодических) является одной из важнейших задач теории нелинейных колебаний. Хотя в этой области уже достаточно много сделано (отметим успешно работающие топологический метод Т. Важевского и предложенный А. И. Перовым и М. А. Красносельским метод направляющих функций), тем не менее есть задачи, которые нуждаются ещё в дальнейшей разработке и детализации, например, такие как оценки указанных решений или признаки устойчивости по Ляпунову.
Целью работы является исследование вопросов существования и единственности (или только существования) периодических, почти периодических п ограниченных решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также нх устойчивости.
Методика исследований. Используемые в диссертации методы являются вполне традиционными. Основной метод - метод интегральных уравнений в соединении с различными принципами неподвижной точки. Систематически используется обобщённый принцип сжимающих отображений являющийся обобщением классического принципа сжимающих отображений Банаха-Каччиополли. При доказательстве существования ограниченных решений нашёл применение принцип неподвижной точки Тихонова в линейных локально выпуклых топологических пространствах. В развитии частотных методов основополагающее место занимает один результат А. Г. Баскакова. При изучении вопросов устойчивости важную роль играет "принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости"М. А. Красносельского и А. В. Покровского.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, чётко сформулированными и математически строго доказанными. При использовании работ других авторов даны соответствующие ссылки. Наиболее существенные научные результаты:
-
Введены и изучены свойства интегральных и частотных постоянных для регулярных линейных векторно-матричиых дифференциальных операторов п-го порядка с постоянными коэффициентами.
-
Для доказательства существования и единственности ограниченного решения нелинейного векторно-матрпчного дифференциального уравнения п-го порядка применён обобщенный принцип сжимающих отображений А. И. Перова.
-
Для доказательства существования ограниченного решения нелинейного векторно-матричиого дифференциального уравнения n-го порядка использован принцип неподвижной точки А. Н. Тихонова.
-
Получены частотные признаки существования (и единственности) ограниченных решений на основе теоремы А. Г. Баскакова для дифференциальных операторов первого порядка.
-
Указаны новые условия устойчивости (конвергентності!, диссипатив-ности) на основе "принципа отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости"М. А. Красносельского и А. В. Покровского.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты представляют несомненный интерес для развития аналитических методов исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений, возникающих в теории нелинейных колебаний.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2011), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 110-й годовщине со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2011), на научных сессиях ВГУ (Воронеж, 2010,2011), на научном семинаре под рук. проф. Перова А. И.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Из совместных работ [4], [5], [6] в диссертацию вошли только принадлежащие Коструб И. Д. результаты. Работы [4], [5], [6] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объём диссертации 139 страниц. Библиография содержит 107 наименований. Нумерация в автореферате совпадает с нумерацией в диссертации.
