Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 8
1.1 О модуле непрерывности гармонических функций в регулярных граничных точках 8
1.2 О гладкости решений эллиптических уравнений 2-го порядка в замкнутых областях. . 14
1.3 О гладкости решений дивергентных уравнений с разрывными коэффициентами 28
1.4 О поведении решений эллиптических уравнений, с произвольно.ограниченными коэффициентами 35
ГЛАВА II. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 44
2.1 Гладкость решений квазилинейных уравнений в регулярных граничных точках 44
2.2 Об устранимой особенности решений квазилинейных .эллиптических уравнений.2-го порядка 63
ЛИТЕРАТУРА 70
- О модуле непрерывности гармонических функций в регулярных граничных точках
- О гладкости решений эллиптических уравнений 2-го порядка в замкнутых областях.
- Гладкость решений квазилинейных уравнений в регулярных граничных точках
Введение к работе
Рассмотрим в ограниченной области 2) t лежащей в ҐІ -мерном (l/l>2) евклидовом пространстве ri точек Х=(Х^%2>-Лп>) эллиптическое уравнение
Ш= aLK(X)UXlXK + І bi(x)Ux. + CooU-0 (I) в предложении, что матрица /іСіл(Х)| равномерно положительно определена, т.е.
Л . -. . „г г -1-і2 (2) o(/f/4 2 ali{(X)fLfK4filfl9 t.K~ і где ОС и Л положительные постоянные.
Хорошо известно, что если L - оператор Лапласа, а точка границы и а) области А) регулярна по Винеру, то обобщенное решение задачи Дирихле в смысле Винера LUf-0 в д- Uf/w-f о) непрерывно в а , если f - непрерывная граничная функция ([1].[2]).
Как показано в [3] этот же результат справедлив и для ре- шении дивергентных уравнений вида п д
Д -ffxr[ail((x)UxK]-o, если только матрица Ш[к (X) удовлетворяет условию (2).
Что же касается вопроса о гладкости решений уравнения (4) в регулярных граничных точках, то в [4] впервые получена оценка модуля непрерывности решения вблизи границы и, в частности, приведено достаточное условие гельдеровости решения.
Впоследствии аналогичная оценка была, получена и для решений уравнений вида (I) с разрывными коэффициентами в терминах так называемой 3 - емкости [б] .
При этом относительно младших коэффициентов уравнения предполагалось, что \kW\^bo, -5о^С(Х)^0, ХЄА, где ^о - положительная константа.
Для уравнений вида (I) с непрерывными по Дини коэффициентами O-Lk W обсуждаемый факт был получен в терминах винеров-ской емкости в работе [бJ . При этом во всех случаях скорость стремления к своему значению в регулярной граничной точке решения задачи (3) определялась скоростью расходимости ряда Винера (или ряда типа Винера) и модулем непрерывности граничной функции f . Из полученных результатов невозможно было получить большую, чем гельдеровскую^гладкость с показателем гель-дера 0 < о( < 1 .
Однако, известно, что если граничная точка устроена так, что в ее окрестности дополнение области имеет большой объем (по сравнению с шаром), то решение эллиптического уравнения в этой точке к своему граничному значению может стремиться как угодно быстро. Возможность такого случая отмечена в рабо- те [7], для дивергентных уравнений (см.также [7 ] ). В частности, из теоремы этой работы следует, что лучшей характеристикой исследования модуля непрерывности в граничных точках в некоторых конкретных случаях может быть не емкость дополнения окрестности граничной точки, а некоторая другая мера (в частности, мера Лебега) внутренней части окрестности исследуемой точки.
В настоящей диссертации исследуется граничная гладкость решения задачи (3) для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений недивергентного вида. При этом, как и в большинстве предшествующих работ, предполагается, что f= в окрестности исследуемой точки.
В первой главе рассматриваются линейные уравнения вида (I), выделяются классы областей & , в которых решение принадле-жит множеству пмг5 №) . Показано, что для любого О>0 найдется область а) такая, что решение задачи (3) стремится к нулю при X—> Х как /Х-Х/ , т.е. решение U(X) f вообще говоря, может обладать в XuZ) гладкостью заданного порядка.
В I.I доказательство проводится для уравнения Лапласа. При этом полученный результат оказывается новым даже в этом случае.
В 1.2 этот результат переносится на уравнение вида (I) с непрерывными по Дини старшими коэффициентами. При этом методика доказательства в данном случае основана на построенных суб- и супер- решениях рассматриваемых уравнений с полярной особенностью порядка /х-и\ (см.[8J).
В I.3 изучаются уравнения дивергентного вида (4) с разрывными коэффициентами в терминах винеровской емкости.
В этом же параграфе установлена связь между ростом решения и геометрией неограниченных областей, на границе которых решения дивергентных уравнений обращаются в нуль. Эта теорема представляет собой новый результат даже для уравнения Лапласа.
Доказана новая теорема типа Фрагмена-Линделефа.
В 1.4 рассматриваются уравнения вида (I) с произвольными ограниченными коэффициентами в терминах, так называемой, о -емкости (см.[5]).
Во второй главе рассматриваются квазилинейные уравнения.
В 2.1 на уравнения вида
7пи = - аы (х) UXiXK+b(x, и, vu)=о (6) переносятся результаты главы I. При этом относительно u(X,UtVU) предполагается, что l6(XyU,VU)l^/J-(U)IVLll2+Cl; jju(T)dT<-o, (7) где Ц - положительная постоянная.
В 2.2 рассматривается уравнение вида 211=^- clLk(х,и)UX(Xk + 6(х,и, vli)=О, относительно коэффициентов которого предполагается, что выполнено условие (7) и справедливы оценки
Л, /Л J аік(X.U)fi SK 4 Л2/f/f xeD, Set? (9) / (x.u;)-a* су, ифМ[/х- <Л+іи,-игі], (ю) где ^/, ~Хг7М- " положительные константы.
Изучается вопрос об устранимости компактов для решений уравнения (8) в классе ограниченных функций.
В этой связи отметим работы [15],[16J , в которых аналогичный вопрос изучался для линейных уравнений вида (I).
Нами показано, что если компакт С$ имеет нулевую винеровскую емкость, то он устраним в классе ограниченных решений уравнения (8).
Отметим, что гладкостью решений эллиптических и параболических уравнений вблизи иррегулярных граничных точек занимались Михеева [12], А.И.Ибрагимов [13], Ф.И.Мамедов [14] .
В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю профессору А.А.Новрузову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
О модуле непрерывности гармонических функций в регулярных граничных точках
Ограниченную область А) будем называть нормальной, если в каждой точке границы этой области выполняется условие Винера-Келдыша (см.[IJ,[2]).
Пусть X Є uD ив некоторой окрестности этой точки всякое ограниченное решение и(Х) уравнения (I.I.I) равно нулю, кроме быть может самой точки Х . Класс ограниченных гармонических функций, обладающих этим свойством, будем обозначать через и
Пусть решение уравнения (І.І.І) (І(Х)Є и 11( ) обладает следующим свойством: для Y& 0 найдутся константы М 0 6() 0 такие, что при IX-XI S, ХЄдЯ, ХЄX) /U(X)I М/Х-ХІ6. (І.І.2)
Множество гармонических функций, обладающих свойством (І.І.2) и принадлежащих множеству В , будем обозначать через.
В данном параграфе доказывается, что если граница области X) удовлетворяет некоторым условиям, то всякое ограниченное решение UM уравнения (I.I.I) из множества О принадлежит множеству HjU,E (JO) . Указанное условие дается в терминах емкости и гармонической меры того куска границы, где U(X) 0 .
Пусть в Т) дано уравнение (I.I.I) и в ней определено его решение и(Х) , непрерывное в области І) , которая лежит строго внутри Q4R . Пусть Ш(Х,Г,Х)) есть гармоническая мера множества Г в точке X относительно области D . Тогда для всякого положительного решения U(X) уравнения (I.I.I), непрерывного в X) и обращающегося в нуль на / , имеет место неравенство
О гладкости решений эллиптических уравнений 2-го порядка в замкнутых областях
В данном параграфе исследуется поведение решений линейных эллиптических уравнений 2-го порядка с непрерывными по Дини коэффициентами в ограниченных областях.
Пусть в ограниченной области , лежащей в П - мерном евклидовом пространстве R , дано уравнение
Относительно коэффициентов этого уравнения будем предполагать выполнение следующих условий где ОІ , А » С0 - положительные константы, а У (т.) - положительная функция, неубывающая на интервале (0,to) .
Под решением уравнения (1.2 Л) понимается функция, обращающая в тождество равенство (I.2.I).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2 Л. Ограниченную область 2) будем называть нормальной, если в каждой точке границы dt) области выполняется условие Винера-Келдыша относительно оператора L (см.Ш,[2] ).
Существование нормальных областей следует из работ [9].
Пусть ХЄ 2D и в некоторой окрестности этой точки всякое ограниченное решение U(X) уравнения (I.2.I) равно нулю, кроме быть может точки Х .
Класс ограниченных решений уравнения (1.2Л), обладающих этим свойством, будем обозначать через BL
Пусть решение уравнения (1.2Л) обладает следующим свойством: для У6 0 найдутся константы М 0 t такие.
Множество решений уравнения (1.2Л), принадлежащих множеству BL , будем обозначать через п/іЛ №).
Основной результат этого параграфа такой: если граница области X) удовлетворяет некоторым условиям, то всякое ограниченное решение и(Х) уравнения (1.2Л) из множества BL принадлежит множеству Нм,бШ. Эти условия на границе области D даются в терминах Винеровской емкости и L _ гармо - 16 нической меры того куска границы, где U(X)=0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2.2. Пусть Z)dR ограниченная область и в X) определено уравнение (I.2.I). Пусть область Х является нормальной. Рассмотрим следующую задачу в X) : ЬСО=0 в Х , Ш Е=1 , 1 =0 , где ЕсдХ) -некоторое множество. Функция СО=СО(Х,Я,Е) называется Ь _ гармонической мерой множества Е в точке X относительно области t) . Если все коэффициенты оператора L удовлетворяют условию Дини в 7) , то функция Ш(Х,Ъ,Е) всегда существует. Это следует из того, что функции СО на дХ) можно аппроксимировать непрерывными функциями. Решая задачу Дирихле для непрерывных функций и переходя к пределу, мы получим существование такой функции. Далее, из принципа максимума следует, что такая функция единственная, более того, 0 CO(X,D7E) 1 в X).
Гладкость решений квазилинейных уравнений в регулярных граничных точках
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство этой теоремы во многом аналогично доказательству теоремы 1.2. В самом деле, опять рассматривается окрестность точки ХЄиХ) f область )С) , оператор L в X) и решение &(Х) Ко неравенства L V" 0 , непрерывное в Х и неположительное на &ПиХ) .
Далее, применяя к компоненте множества U (X) 0(X o) лемму 2.1 Л, получаем утверждение теоремы.
ЛЕММА 2.1.2. Пусть в нормальной области , лежащей внутри шара Цц% дано уравнение (.2.1.1) и выполнены все условия (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) и (2.1.5). Пусть в неравенстве (2.1.3) Со=0 , а область J имеет предельные точки на границе Q v/?
Пусть / - та часть границы области X) t которая лежит строго внутри шара UqR и U(x) - решение уравнения (2.1 Л), непрерывное в X) , положительное в X) , обращающееся в нуль на.
