Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые известные результаты о гладкости решений уравнения Штурма-Лиувилля
2. Некоторые сведения из теории вложения функциональных пространств 17
3. Разделимость дифференциальных операторов нечетного порядка в Lp 20
4. О разделимости одного дифференциального оператора 36
5. Гладкость решений нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля
6. Разделимость нелинейного оператора Штурма-Лиувилля 59
7. Оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка 65
8. О полноте системы корневых векторов резольвент операторов нечетного порядка 71
Литература 75
- Некоторые известные результаты о гладкости решений уравнения Штурма-Лиувилля
- Некоторые сведения из теории вложения функциональных пространств
- О разделимости одного дифференциального оператора
- Оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка
Введение к работе
Общая теория линейных дифференциальных операторов в наиболее важных направлениях считается завершенной. Но, как правило, наиболее интересные задачи, естественным образом возникающие в приложениях, не поддаются решению известными методами и средствами, требуют специальных исследований. К таким задачам можно отнести задачу о разделимости дифференциальных операторов в неограниченной области.
Вопросы разделимости, (эквивалентные в ряде случаев наличию оценок коэрцитивности) для эллиптических операторов с гладкими коэффициентами в ограниченной области с краевыми условиями типа Шапиро-Лопатинского хорошо изучены и их решения представляют собой завершенную теорию, (см., например, [I - 5] ).
Задачами разделимости на примере оператора Штурма-Лиувилля
-у V ^(х)у ; Х7+=(0, оо) (ол)
начали заниматься (по-видимому, впервые) Эверитт и Гирц(ё№и-{{ W.tt.jtyi&rf-zM* [б - 8 J ), которые при некоторых ограничениях на ^ Гх) установили разделимость х' оператора (0.1,3 Для получения теорем разделимости они изучали поведение на бесконечности решений уравнения -U -t 0(эс)и ~ О . Выведенные при этом оценки использовались ими для исследования функции Грина оператора (0.1).
В Советском Союзе, начиная с 1972 года этой задачей занимались Бойматов К.Х. и Отелбаев М. и позже их ученики.
//
х' Напомним, что оператор 1_Ц -~~Ц"+0,(Х)Ц называется
разделимым в , если из того, что и є вытека
ет, что у в. L^(^) » гДе & -(-о,о^) 9 %)(-) - область
определения.
Бойматов К.Х. [9 - 10 J и Отелбаев М. [її - 16 ] использовали некоторую модификацию метода Титчмарша Э.Ч. [18 J , который ранее развивался в работах Левитана Б.М. [191 , Костюченко А.Г. [20 ] , Гасымова М.Г. [21] . Позже Отелбаев М. [її]привлекал также вариационный метод.
Им удалось получить ряд важных результатов о разделимости операторов типа Штурма-Лиувилля.
Дальнейшие исследования по теории разделимости проводили Измайлов А.Л. [22 - 23] , ВДуратбеков М.Б. [25 - 2б] , Кальменов Т.Ш. и Отелбаев М. [24] . В частности, в работах %ратбекова М.Б. [25] и %ратбекова М.Б. и Отелбаева М. [2б] впервые рассматривалась разделимость нелинейных операторов.
Линейные и нелинейные уравнения нечетного порядка относятся к неклассическим уравнениям математической физики. Изучение краевых задач и качественных свойств решений таких уравнений началось сравнительно недавно и отражено в работах Кожанова А.И., Ларькина Н.А., Яненко Н.Н. [27 - 29], Бубнова Б.А. [30] , Салахитдинова М.С. [Зі] и многих других авторов. Яркими представителями таких уравнений могут служить уравнения Кортевег.а-де-Фриза и его модификации, возникающие в теории распространения длинных волн малой конечной амплитуды, а также уравнения составного типа, возникающие в задачах гидродинамики.
Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вырождающихся нелинейных уравнений Штурма-Лиувилля, а также линейных уравнений нечетного порядка. Привлекательными здесь являются трудности, связанные с вырсждением в первом случае и неполуограниченностью оператора во втором случае.
В работе помимо разделимости изучаются оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка. Из этих оценок получаются условия принадлежности резоль-
- б -
венты операторов нечетного порядка классам Do . Такие результаты в силу теоремы типа Келдыша М.В. и Лидского В.Б. [31 - 32] позволяют доказывать теоремы о полноте систем корневых векторов.
Перейдем к краткому изложению результатов диссертации.
Работа состоит из введения, восьми параграфов, списка литературы, включающего 50 названий.
1,2 являются вспомогательными и имеют общий характер. В I сформулированы результаты, полученные Отелбаевым М. в работах [її - 16J , которые используются для получения результатов
3-6.
ї1п+іґо \ В 2 определяется весовое пространство Lp (К-,ср) >/<^<с0^
приводятся условия компактного вложения
оценки поперечников вложений, или мы пользуемся в 7,8.
В 3 - 6 исследуются гладкость решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка и нелинейных уравнений Штурма-Лиувилля.
В 3 изучается разделимость линейных дифференциальных операторов нечетного порядка. Отметим, что во всех известных работах, посвященных теории разделимости (случай неограниченной области), изучались операторы четного порядка или первого порядка.
Рассмотрим оператор нечетного порядка, определенный на Со (R) равенством
(Zn+t)
где Я. -(-*>;Оо) 9 п "ь і - любое целое.
Обозначим через Z замыкание /0 в норме Определение. Говорят, что оператор /_ разделим в
если имеет место .оценка
- б -
где С не зависит от U 6 - область определения.
Методом Титчмарша доказана .
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:
[x-t\4L >Ct/
где Ш+і)(і-сі) + сі>о, оС(о,і]7 а>о.
Тогда при достаточно больших положительных Я :
а) оператор и + \Е~ в пространстве L,* (Я) имеет ог
раниченный обратный;
б) оператор разделим в Ln(R-) »
в) операторы (q(x)) ын cL__ ^ + ^у* (к = ^) огра
ничены в ^/ С^) . ^ х
Пример. Пусть
Zy--/""'W*0y (0-2)
Здесь функция #() = . -t/ удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Следовательно, оператор (0.2) разделим в /,п() . В 4 изучается оператор
Zy — (f(*)y')'+t(*)y (0-3)
в пространстве Lz (R-) .
В этом параграфе мы следуем работам [II - 141 .
Некоторые известные результаты о гладкости решений уравнения Штурма-Лиувилля
Общая теория линейных дифференциальных операторов в наиболее важных направлениях считается завершенной. Но, как правило, наиболее интересные задачи, естественным образом возникающие в приложениях, не поддаются решению известными методами и средствами, требуют специальных исследований. К таким задачам можно отнести задачу о разделимости дифференциальных операторов в неограниченной области.
Вопросы разделимости, (эквивалентные в ряде случаев наличию оценок коэрцитивности) для эллиптических операторов с гладкими коэффициентами в ограниченной области с краевыми условиями типа Шапиро-Лопатинского хорошо изучены и их решения представляют собой завершенную теорию, (см., например, [I - 5] ).
Задачами разделимости на примере оператора Штурма-Лиувилля начали заниматься (по-видимому, впервые) Эверитт и Гирц(ё№и-{{ W.tt.jtyi&rf-zM [б - 8 J ), которые при некоторых ограничениях на Гх) установили разделимость х оператора (0.1,3 Для получения теорем разделимости они изучали поведение на бесконечности решений уравнения -U 0(эс)и О . Выведенные при этом оценки использовались ими для исследования функции Грина оператора (0.1).
В Советском Союзе, начиная с 1972 года этой задачей занимались Бойматов К.Х. и Отелбаев М. и позже их ученики. Напомним, что оператор 1_Ц - Ц"+0,(Х)Ц называется разделимым в , если из того, что и є вытека ет, что у в. L ( ) » гДе & -(-о,о ) 9 %)(-) - область определения. Бойматов К.Х. [9 - 10 J и Отелбаев М. [її - 16 ] использовали некоторую модификацию метода Титчмарша Э.Ч. [18 J , который ранее развивался в работах Левитана Б.М. [191 , Костюченко А.Г. [20 ] , Гасымова М.Г. [21] . Позже Отелбаев М. [її]привлекал также вариационный метод. Им удалось получить ряд важных результатов о разделимости операторов типа Штурма-Лиувилля. Дальнейшие исследования по теории разделимости проводили Измайлов А.Л. [22 - 23] , ВДуратбеков М.Б. [25 - 2б] , Кальменов Т.Ш. и Отелбаев М. [24] . В частности, в работах %ратбекова М.Б. [25] и %ратбекова М.Б. и Отелбаева М. [2б] впервые рассматривалась разделимость нелинейных операторов. Линейные и нелинейные уравнения нечетного порядка относятся к неклассическим уравнениям математической физики. Изучение краевых задач и качественных свойств решений таких уравнений началось сравнительно недавно и отражено в работах Кожанова А.И., Ларькина Н.А., Яненко Н.Н. [27 - 29], Бубнова Б.А. [30] , Салахитдинова М.С. [Зі] и многих других авторов. Яркими представителями таких уравнений могут служить уравнения Кортевег.а-де-Фриза и его модификации, возникающие в теории распространения длинных волн малой конечной амплитуды, а также уравнения составного типа, возникающие в задачах гидродинамики. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению вырождающихся нелинейных уравнений Штурма-Лиувилля, а также линейных уравнений нечетного порядка. Привлекательными здесь являются трудности, связанные с вырсждением в первом случае и неполуограниченностью оператора во втором случае. В работе помимо разделимости изучаются оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка. Из этих оценок получаются условия принадлежности резольвенты операторов нечетного порядка классам Do . Такие результаты в силу теоремы типа Келдыша М.В. и Лидского В.Б. [31 - 32] позволяют доказывать теоремы о полноте систем корневых векторов. Перейдем к краткому изложению результатов диссертации. Работа состоит из введения, восьми параграфов, списка литературы, включающего 50 названий. 1,2 являются вспомогательными и имеют общий характер. В I сформулированы результаты, полученные Отелбаевым М. в работах [її - 16J , которые используются для получения результатов В 2 определяется весовое пространство Lp (К-,ср) / с0 приводятся условия компактного вложения оценки поперечников вложений, или мы пользуемся в 7,8. В 3 - 6 исследуются гладкость решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка и нелинейных уравнений Штурма-Лиувилля.
Некоторые сведения из теории вложения функциональных пространств
Приведем необходимые обозначения и определения, применяемые в дальнейшем. Пусть К = (г -) х= ) . Введем следующие обозначения: »Р() і р е - пространство функций, суммируемых на R со степенью р ; Loi ifc) 1 р = =» - пространство функций, суммируемых в каждом компакте К R со степенью Р ; С (к) - пространство непрерывных ограниченных на К функций; СРС(&} пространство непрерывных ограниченных в каждом компакте К с R функций; С (&) пространство финитных бесконечно дифференцируе мых на Я функций; р Wo («V, i f e y ,i 0,±,.-. _ пространство функций из /Lp (&) У которых существуют все(ьбббщенные) произ водные порядка С , также принадлежащие Lp (R.) , Если А - некоторый оператор, то область определе -ния оператора Д обозначается через область значений R(A) . Определение 35] . Оператор А , действующий в гильбертовом пространстве /, _ (R ) , называется самосопря -женным, если он симметричен, то есть если - 15 Au,V - U, А\Ґ для любых U,f%)(A) и если из тождества Autv = и,ш- 7 в котором U и CV фиксированы, а И - любой элемент из 2(A) , следует, что 1Г%)(А) и ur=Av Пусть q(x) Свос( ) э $(х) и & %(х) полуограничены снизу. Оператор /_, , определенный на С0 (R.) равенством допускает замыкание, которое обозначим также буквой Z , причем резольвентное множество не пусто. Определение. Говорят, что L разделим в / fj?) , если имеет место оценка где С не зависит от J(Z). Сформулируем теоремы разделимости М.Отелбаева [її] в нужном нам виде. Теорема I. I. Пусть (X) и - i 2 гс при \Л-у\ Ц . Тогда оператор /, разделим в пространстве LZ(R.) . Теорема о разделимости в /,я Г#) двучленного оператора любого порядка с негладким потенциалом - 16 v 1 6?Л) получена М.Отелбаевым в Гм] с помощью функции вида Определение. Функция fy( t)- L dl) называется ( w , Аг ) - регулярной если найдутся положительные числа Ci, Ь и Л такие, что # о j и - (уМ ф) при \х-уЫВ(у-Н\Т1 у) . (t(-h\f( ) Множество всех ( J" , Л ) - регулярных функций из / » (Ц) обозначим через /ґ( , її) Теорема 1.2. / 14] . Существует Yo -J (ft) 0 такое, что если Ял (х) і , Ут q(%) полу ограничена, то оператор (I.I) разделим, если и только если В этом параграфе приведем в нужном нам виде используемые в дальнейшем известные теоремы вложения и оценки поперечников вложения весовых пространств. Определим весовое пространство L.p (&)fy) {{ р , /z 1 - целое) как пополнение класса С0 (Я) по норме Следуя [ 17 J , введем Определение. Пусть - банаховы пространства, П1 вложено в Нр и г± - единичный шар в Н1 . Нижняя грань отклонения г І в метрике п от всевозможных линейных многообразий Мп С J-J размерности т-ск называется К - поперечником по Колмогорову вложения Н1 в \-\L , то есть {Mtj - совокупность всевозможных линейных многообразий
О разделимости одного дифференциального оператора
Оператор (6.1) есть частный случай оператора, рассмотренного в 5. Для оператора (6.1), оказывается, можно получить более интересные и сильные результаты, что и является причиной отведения для этого случая специального параграфа.
Напомним, что нелинейный оператор (6.1) называется разделимым в Z, =/г(&) , если из того, что U6%)(L) следует, что U Є L Здесь u(L) - область определения L : Обозначим через L замыкание в норме / оператора, заданного на равенством Лемма 6.1. Пусть выполнены следующие условия: а) 0,1 )\ц\) У/ L » непрерывна по обоим аргументам в А- и монотонно возрастает по \и\ ; б) , Г п (т r\ ) , где 0 /\ - любое конечное число,Т(0- непрерывная функция. Оператор (6.1) разделим, если разделим оператор (6.2). Доказательство. Пусть оператор Z разделим в I, Из леммы 5.1 следует, что решение ( )Є Ц[/ (#) уравнения существует и справедливо неравенство где С не зависит от и и J Пусть /0(х) " решение уравнения (6.1) с правой частью Положим и обозначим через /, замыкание в норме Lz оператора, заданного на С0 ( равенством Лемма 6.2. Оператор / самосопряжен и положительно определен. Доказательство. Так как 0(х)7/ и непрерывна, то положительная определенность /, очевидна. Самосопряженность вытекает из теоремы Р.С. Исмагилова [45] . Теперь нетрудно показать, что уа(х) %)(Z) . Допустим противное, что у0(х) .%)(/,) .В силу леммы 6.2 существует решение у1 (х)%)() такое, что у(эс)= Z 1S-0 . Так как, по предположению, U0(x)e \j{/ (d) является обобщенным решением уравнения (6.1 ) с правой частью fo(x) , В силу леммы 6.2 L - положительно определен и L" L . Поэтому обобщенное решение уравнения Luz- О только три виальное, то есть и1 у0 . Получили противоречие, сле довательно , у0 (ее) е Ю(/, ). Итак, остается показать, что Известно (см. [46] ), что если #г/х) /Гх) 0 , то где (L1 -і-1) и (1,+\Е) -операторы, обратные соответственно операторам 1 - регулярная точка операторов. Теперь, учитывая условия а) и б) леммы 6.1, неравенства (6.3) и (6.4), будем иметь Отсюда , в силу разделимости оператора /_, , вытекает, что Тем самым лемма 6.1 доказана. Введем функцию Определение. Функция Q(X) О) L? вос назывется У - регулярной, если найдутся положительные числа (X , и Множество всех Jf - регулярных функций ИЗ ,&с ) обозначим через /(( ). Из леммы 6.1 и доказанной в [ 14j теоремы I следует Теорема 6.1. Пусть выполнены условия: а) 0,(Х)1у\)ъ » непрерывна по обоим аргументам в К и моно тонно возрастает по у/ ; б) Ш - - —Г" Т64). А 0 -любое конечное число. Тогда найдется некоторая постоянная fo 0 такая, что если ((3:,0) Є К(уо) » то оператор (6.1) разделим в L » если Sup
Оценки поперечников множеств, связанных с областью определения операторов нечетного порядка
В этом параграфе рассматривается вопрос полноты в L (Ю системы корневых векторов оператора L » где L - замыка ние в UСИ) - LA дифференциального выражения определенного первоначально на U L К-) . Определение 8.1. Линейный оператор А , действующий в Lz с некоторой областью определения Я) С А) , плотной в /, э называется аккретивным, если Ri.(Au,u) 0 для всех иеЯ(А). Лемма 8.1. Пусть А существует. Тогда если А -аккретивный оператор, то А также аккретивный оператор. Доказательство. В самом деле, поэтому Лемма 8.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда оператор L аккретивный. Доказательство. Из теоремы 3.1 следует, что любой элемент и Я) С/ ) обладает обобщенными производными до порядка Zn-i-i включительно, принадлежащими пространству L, Учитывая свойства преобразования Фурье в /-, , имеем для любого 6 v 6v» Отсюда то есть / - аккретивный оператор. По лемме 8.2 L также аккретивный оператор. Лемма доказана. Теорема 8.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда /" а) оператор и вполне непрерывен в том и только в том случае, если б) оператор L, принадлежит классу 6« , если и только Доказательство следует из теорем 2.1 и 7.1. Определение 8.2. Линейный оператор А » действующий в L (И) » с областью определения Я (А) , называется диссипативным, если - 73 3m (A Ujtt) 0 для всех иеЖЬ) . Из определений 8.1 и 8.2 следует, что если А - аккре-тивный оператор, то Іл - диссипативный оператор. Определение 8.3. Пусть А - линейный ограниченный оператор с областью определения . Ненулевой вектор єЮ(А) называется корневым вектором оператора /\ , соответствующим собственному числу А, о , если при некотором натуральном ffi . Теорема 8.2. (Лидский В.Б. [ЗЗ] ). Если диссипативный оператор А б± ( &± - класс ядерных операторов),то система его корневых векторов полна в L Теорема 8.3. Пусть выполнены условия теорем 3.1 и 7.1. Система корневых векторов оператора L полна в если Доказательство. Пусть выполнено условие (8.1). Тогда по / 1 теореме 8.1 оператор L - ядерный. Отсюда следует ядерность оператора О = і L , поскольку Итак, оператор о - диссипативный и ядерный. Следовательно, по теореме Лидского, система корневых векторов оператора 5 полна в / . Отсюда вытекает полнота в L, (R.) системы корневых векторов оператора .
