Введение к работе
Актуальность темы исследования. Теория функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), начало которой было положено в 50-х годах прошлого века работами А.Д. Мышкиса и Н.Н. Красовского, за последние 50 лет оформилась в самостоятельный, интенсивно развивающийся раздел теории дифференциальных уравнений. Основы теории ФДУ излагаются, например, в монографиях Э. Пинни; Р. Беллмана и К. Кука; Л.Э. Эльсгольца и СБ. Норкина; А.Д. Мышкиса; Дж. Хейла; Н.В. Азбе-лева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной; ВТ. Пименова и А.В. Кима.
Если дифференциальное уравнение изучается на бесконечном промежутке, то для него определяющую роль играют вопросы устойчивости, и здесь ФДУ не составляют исключения. На них были перенесены классические понятия устойчивости, введённые А.М.Ляпуновым для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для исследования устойчивости решений ФДУ наряду с модификациями классических методов (метод D-разбиений, принцип аргумента, критерии Понтрягина, Эрмита-Билера, Чеботарёва-Меймана), возникли новые методы (метод функционалов Красовского, теоремы Разумихина, И^-метод Азбелева). Вопросы устойчивости ФДУ изучались в десятках монографий и сотнях статей: полностью, либо в значительной своей части посвящены вопросам устойчивости ФДУ известные монографии Н.В. Азбелева и П.М. Симонова, Р. Беллмана и К. Кука, К. Гопалсами, В.Б. Колмановского и В.Р. Носова, Н.Н. Красовского, А.Д. Мышкиса, Б.С. Разумихина, В. Резвана, В.А. Тышкевича, А. Хала-ная, Дж. Хейла, а также циклы работ ОН. Шиманова и A.M. Зверкина. Наиболее полная библиография (415 наименований) содержится в работе Н.В. Азбелева и П.М. Симонова 1.
Доказательство фундаментальных теорем и разработка новых методов в теории устойчивости ФДУ всегда шла параллельно с получением эффективных признаков устойчивости для конкретных классов ФДУ Наиболее интересны результаты, дающие возможно более точное описание области устойчивости, и многие авторы направляли свои усилия на получение именно таких признаков: А.А. Андронов, П.С. Громова, С.А. Гу-саренко, Ю.Ф. Долгий, A.M. Зверкин, А.И. Кирьянен, М.М. Кипнис, В.В. Малыгина, Ю.М. Репин, З.И. Рехлицкий, ОН. Шиманов, Т. Amemiya, L. Berezansky, Е. Braverman, Т. Burton, I. Gyori, N. Hayes, Т. Krisztin, G. Ladas, E. Liz, X. Tang, T. Yoneyama и др.
Первые признаки устойчивости решений ФДУ были получены для уравнений с сосредоточенным запаздыванием, и в дальнейшем именно этим уравнениям посвящалось большинство исследований.
1 Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. — Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. — 230 с.
Уравнения с распределённым запаздыванием (для них также используются названия интегро-дифференциальные уравнения, уравнения с запаздывающим усреднением) исследованы гораздо меньше. Как правило, результаты для таких уравнений получают как следствия из теорем для уравнений общего вида. Полученные таким образом признаки устойчивости, как правило, далеки от точных. Исключение составляют работы М.М. Кипниса и М.Ю. Вагиной2'3; М. Funacubo, Т. Нага, S. Sakata4; S. Wu, S. Gan5; J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho6, в которых целенаправленно изучались уравнения с распределённым запаздыванием и были установлены первые критерии асимптотической устойчивости. Результаты этих исследований сразу выявили существенные отличия областей устойчивости уравнений с сосредоточенным и распределённым запаздыванием; это указывает на необходимость продолжать изучать уравнения с распределённым запаздыванием как самостоятельный объект.
Рост количества работ, посвященных эффективным признакам устойчивости ФДУ, в значительной степени определяется тем, что они приобретают всё большее прикладное значение. Наиболее интенсивно развивающейся областью приложений признаков устойчивости уравнений изучаемых нами классов является математическая биология, и особенно исследования динамики популяций.
Отметим, что первые математические модели динамики популяций были относительно простыми и отражали только наиболее грубые биологические законы. По мере того как исследователи стремились изучать модели, отражающие свойства системы всё более точно, модели усложнялись. В частности, гипотеза о том, что скорость роста популяции зависит от численности популяции в тот же момент времени, стала заменяться более гибкой: скорость изменения объекта зависит не только от его состояния в данный момент времени, но и от состояний в некоторые предыдущие моменты времени. Такое предположение привело к новым классам моделей: наряду с ОДУ стали использоваться уравнения с отклоняющимся аргументом, интегро-дифференциальные уравнения и другие виды ФДУ Учёт запаздывания позволил описывать динамику популяций более глубоко и полно: вслед за известной моделью Хатчинсона (1948 г.) появились моде-
2Вагина М.Ю. Логистическая модель с запаздывающим усреднением // Автоматика и телемеханика. 2003. №4. СЛ67-173.
3Кипнис М.М., Вагина М.Ю. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями, Мат. заметки. 2003. Т. 74. Вып. 5. С. 786-789.
4Funacubo М., Нага Т., Sakata S. On the uniform asymptotic stability for a linear integro-differential equation of Volterra type // J. Math. Anal. Appl. 2006. V.324. pp. 1036-1049.
5 Wu S., Gan S. Analytical and numerical stability of neutral delay integro-differential equations and neutral delay partial differential equations // Computers and Mathematics with Applications. 2008. N- 56. pp. 2426-2443.
6J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho. A Lyapunov functional for a retarded differential equation // SIAM. J. Math. Anal. 1985. № 16. pp. 1295-1305.
ли Ласоты-Важевски (1976 г.), Мэкки-Гласса (1977 г.), Николсона (1980— 1983 гг.). Модель Хатчинсона описывает динамику популяции в условиях ограниченности ресурсов, модель Николсона — популяцию лабораторных мух, модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса — процессы кроветворения. Несмотря на то, что динамика популяции и кроветворение — это разные процессы, модели оказались сходными.
Развитие этой идеи привело к возникновению моделей, в которых последействие учитывается более тонко. Например, запаздывание не всегда разумно считать сосредоточенным: даже когда сосредоточенное запаздывание достаточно хорошо описывает моделируемый процесс, на самом деле имеет место некоторое «размытие» запаздывания вблизи среднего значения. На сегодня количество работ, в которых исследуется устойчивость биологических моделей, использующих уравнения с сосредоточенным запаздыванием, стало настолько большим, что требуются обзорные статьи, в которых результаты систематизируются и упорядочиваются. Модели с распределённым запаздыванием признаются столь же содержательными, но на сегодняшний день они исследованы намного меньше7.
Таким образом, как с прикладной, так и с теоретической точки зрения изучение уравнения с распределённым запаздыванием оказывается актуальной задачей.
Цель работы — изучение асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием и получение для них признаков устойчивости и знакоопределённости. Такие признаки должны быть сформулированы количественно и быть эффективными, то есть явно указывать области изменения численных параметров уравнения, при которых решение обладает указанными свойствами.
Методика исследования. В работе используются как классические методы комплексного и вещественного анализа и теории дифференциальных уравнений, так и современные методы теории ФДУ. С помощью математического программного пакета Mathematica 7 компании Wolfram Research, Inc. проводились численные эксперименты и визуализация полученных результатов.
Научная новизна работы.
Получены новые необходимые и достаточные условия устойчивости и знакоопределённости решений линейного автономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием, включающие в себя все предыдущие результаты такого рода из вышеназванных работ М.М. Кипниса и М.Ю. Вагиной; Funacubo М., Нага і., о акаъ а о., Wu S., Gan S.; J.C.F. de Oliveira, L.A.V. Carvalho как частные случаи.
Получены новые достаточные условия устойчивости и знакоопре-
7Berezansky L., Braverman Е., Idels L. Nicholson's blowflies differential equations revisited: Main results and open problems // Appl. Math. Modelling. 2010. V.34. pp. 1405-1417.
делённости решений линейного неавтономного дифференциального уравнения с распределённым запаздыванием в виде областей на плоскости и в пространстве; показана точность их границ. 3. Для нелинейных ФДУ с распределённым запаздыванием, являющихся моделями динамики популяций (модели Хатчинсона и мух Никол-сона) и кроветворения (модели Ласоты-Важевски и Мэкки-Гласса), получены эффективные проверяемые условия, при которых соответственно численность популяции и численность кровяных клеток стабилизируется, приближаясь к равновесному состоянию. Теоретическая и практическая значимость. В процессе целенаправленного изучения свойств дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием было выявлено существенное отличие их областей устойчивости и знакоопределённости от соответствующих областей для дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием. Это прямо указывает на необходимость при учёте эффекта запаздывания разделять его дискретную и непрерывную составляющую. Вклад проведённых исследований в теорию ФДУ состоит в том, что они проясняют природу уравнений с распределённым запаздыванием и сокращают разрыв в степени изученности асимптотики разных видов ФДУ
Практическая значимость исследований определяется возможностью применения полученных результатов при изучении природных и технических процессов. При этом все основные результаты диссертации приводятся в двух видах: в аналитической записи и в геометрической интерпретации, что существенно проясняет их смысл и упрощает практическое использование.
Проведённые исследования показали, что при моделировании динамики популяций и сходных с ней процессов уравнения с распределённым запаздыванием часто оказываются более тонким и точным инструментом, чем уравнения, изучавшиеся ранее. Результаты исследования существенно расширяют возможности применения теории ФДУ для изучения биологических процессов. Они могут быть применены также при изучении процессов в экономике, технике, иммунологии и в других областях, где для адекватного моделирования требуются дифференциальные уравнения с распределённым запаздыванием.
Достоверность результатов гарантируется строгостью доказательств. Области устойчивости и знакоопределённости решений, построенные компьютерными методами, полностью соответствуют аналитическим результатам.
Аппробация работы. Результаты исследований многократно докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики и механики Пермского государственного технического университета, на Пермском городском семинаре по ФДУ (ноябрь 2008 г., март и октябрь 2009 г., май 2010 г.), на семинаре д.ф.-м.н., профессора М.М. Кипни-
са (ЧелГПУ, апрель 2009 г.), на семинаре в Институте механики сплошных сред УрО РАН (руководитель — академик РАН В.П. Матвеенко, декабрь, 2009 г.), а также на Всероссийской школе-конференции молодых учёных «Математическое моделирование в естественных науках» (2005, 2006 гг., Пермь), на научной конференции-семинаре «Теория управления и математическое моделирование» (2008 г., Ижевск), на шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2009 г., Самара).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 14 работах, из них 4 статьи — в изданиях, включённых в перечень ВАК. Во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит постановка задачи и общее руководство.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 113 страниц, включая 18 рисунков. Библиографический список содержит 102 наименования.
