Содержание к диссертации
Введение
Глава 1: Оценка хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского 11
1.1 Формулировки и определения 1 1
1.2 Основные результаты 13
1.3 Определение конусов накачки и диссипации 17
1.4 Глобальное поведение решений 18
1.5 Формулировки основных лемм 19
1.6 Свойства уравнения Гамильтона-Якоби 20
1.7 Рост соболевских норм при приближению к моменту коллапса (доказательство) 21
1.8 Замена масштаба и галеркинские приближения 27
1.9 Определение трубки траекторий и лемма о возмущении 28
1.10 Выбор трубки траекторий для возмущенного уравнения 30
1.11 Выход траекторий на сферу 3 5
1.12 Лемма о потере энергии 36
1.13 Вычисление размерностей аттракторов уравнения Курамото-Сивашинского 39
Глава 2: Теорема о перекачке энергии в уравнении Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой 42
2.1 Введение 42
2.2 Уравнение Курамото-Сивашинского на многомерном торе с римановой метрикой 44
2.3 Нормы и определения 44
2.4 Теорема о перекачке энергии 45
2.5 Лемма о выходе 45
2.6 Уравнение Курамото-Сивашинского как малое возмущение уравнения Гамильтона-Якоби 47
2.7 Свойства решений уравнения Гамильтона-Якоби 47
2.8 Доказательство леммы о выходе 55
2.9 Проверка условий леммы о возмущении 57
2.10 Априорная оценка 59
Список литературы 61
- Основные результаты
- Рост соболевских норм при приближению к моменту коллапса (доказательство)
- Лемма о потере энергии
- Уравнение Курамото-Сивашинского как малое возмущение уравнения Гамильтона-Якоби
Введение к работе
Задачи о вычислении хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов занимают важное место при изучении уравнений в частных производных. Особую важность имеет при этом энтропийная размерность, поскольку для нее выполняется легкая теорема Уитни о взаимно-однозначном проектировании и, кроме того, при численном счете обычно вычисляется именно эта размерность.
Уравнение, которое будет рассматриваться ниже, впервые возникло в работе Сивашинского [1], посвященной волновым потокам жидкости, текущей по вертикальной плоскости, а также в работе Курамото [2], где изучался диффузионный хаос в системах реакции. Откуда и происходит название уравнение Курамото-Сивашинского. В дальнейшем, данное уравнение было интенсивно изучено, как численно, так и аналитически. В частности, было доказано существование аттрактора и оценена его размерность. Для этой цели применялись различные методы и подходы (см. работы [3], [8], [10], [11], [16], [17], [18], [19], [20]).
Подход, который был предложен Ю. С. Ильяшенко в работе [3] использовал методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае уравнение Курамото- Сивашинского рассматривается как динамическая система в бесконечномерном фазовом пространстве. Уравнение Курамото-Сивашинского задает векторное поле в бесконечномерном пространстве, а его траектории будут решениями уравнения. Одной из характеристик уравнения Курамото-Сивашинского является размерность его аттрактора. Впервые хаусдорфову размерность для изучения динамических систем применил Ж. Мале-Паре в 1976 году в [4]. Понятие к- сжимающей системы впервые возникло в работе Ю.С.Ильяшенко [5] в 1982 году при вычислении размерности аттракторов системы Навье-Стокса, при этом, кроме хаусдорфовой размерности рассматривалась также энтропийная размерность. Результаты, касающиеся к-сжимающих систем позже были применены при оценке аттракторов уравнения Курамото-Сивашинского в работе [3].
Кроме того, с помощью подхода использованного Ю. С. Ильяшенко, при исследовании решений уравнения Курамото-Сивашинского был обнаружен так называемый эффект "перекачки энергии" от низких гармоник к высоким. Энергией в данном случае является квадрат любой Соболевской нормы достаточно высокого порядка.
На эвристическом уровне явление перекачки энергии в уравнении Курамото-Сивашинского представляет собой следующее. Рассмотрим произвольный луч с вершиной 0 в пространстве начальных условий, лежащий в конечномерной плоскости "низших гармоник". Для любого начального условия <р на этом луче существует непрерывно зависящий от и^іТ^,)- значение решения уравнения Курамото-Сивашинского с начальным условием u\t=o = <р в момент времени Ту,, рассмотренное как элемент пространства С(Тп). Тогда "энергия", сосредоточенная в "старших гармониках" функции и^Т^) превосходит "энергию", сосредоточенную в ее "младших гармониках", если /у2 - норма (р достаточно велика. Более того, отношение этих "энергий" стремится к со, при ||<>|| —> оо.
В дальнейшем были предложены различные варианты обобщения обычного уравнения Курамото-Сивашинского: как для многомерного случая ([21], [22], [24]), так и для одномерного. При этом для одномерного уравнения рассматривались различные вариации, как нелинейного члена [23], так и линейного [10].
Представляемая диссертация содержит решение двух задач. Первая задача состоит в оценке размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского. Вторая задача посвящена доказательству теоремы о перекачке энергии для многомерного уравнения Курамото-Сивашинского, заданного на многомерном торе с римановой метрикой. Метод решения этих задач основан на применении идей теории обыкновенных дифференциальных уравнений к бесконечномерным системам. Автор выражает свою огромную благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Ю. С. Ильяшенко за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Основные результаты
Задачи о вычислении хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттракторов занимают важное место при изучении уравнений в частных производных. Особую важность имеет при этом энтропийная размерность, поскольку для нее выполняется легкая теорема Уитни о взаимно-однозначном проектировании и, кроме того, при численном счете обычно вычисляется именно эта размерность.
Уравнение, которое будет рассматриваться ниже, впервые возникло в работе Сивашинского [1], посвященной волновым потокам жидкости, текущей по вертикальной плоскости, а также в работе Курамото [2], где изучался диффузионный хаос в системах реакции. Откуда и происходит название уравнение Курамото-Сивашинского. В дальнейшем, данное уравнение было интенсивно изучено, как численно, так и аналитически. В частности, было доказано существование аттрактора и оценена его размерность. Для этой цели применялись различные методы и подходы (см. работы [3], [8], [10], [11], [16], [17], [18], [19], [20]).
Подход, который был предложен Ю. С. Ильяшенко в работе [3] использовал методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае уравнение Курамото- Сивашинского рассматривается как динамическая система в бесконечномерном фазовом пространстве. Уравнение Курамото-Сивашинского задает векторное поле в бесконечномерном пространстве, а его траектории будут решениями уравнения. Одной из характеристик уравнения Курамото-Сивашинского является размерность его аттрактора. Впервые хаусдорфову размерность для изучения динамических систем применил Ж. Мале-Паре в 1976 году в [4]. Понятие к- сжимающей системы впервые возникло в работе Ю.С.Ильяшенко [5] в 1982 году при вычислении размерности аттракторов системы Навье-Стокса, при этом, кроме хаусдорфовой размерности рассматривалась также энтропийная размерность. Результаты, касающиеся к-сжимающих систем позже были применены при оценке аттракторов уравнения Курамото-Сивашинского в работе [3].
Кроме того, с помощью подхода использованного Ю. С. Ильяшенко, при исследовании решений уравнения Курамото-Сивашинского был обнаружен так называемый эффект "перекачки энергии" от низких гармоник к высоким. Энергией в данном случае является квадрат любой Соболевской нормы достаточно высокого порядка. На эвристическом уровне явление перекачки энергии в уравнении Курамото-Сивашинского представляет собой следующее. Рассмотрим произвольный луч с вершиной 0 в пространстве начальных условий, лежащий в конечномерной плоскости "низших гармоник". Для любого начального условия р на этом луче существует непрерывно зависящий от /? момент времени Т ,, обладающий следующим свойством. Пусть и іТ ,)- значение решения уравнения Курамото-Сивашинского с начальным условием u\t=o = р в момент времени Ту,, рассмотренное как элемент пространства С(Тп). Тогда "энергия", сосредоточенная в "старших гармониках" функции и Т ) превосходит "энергию", сосредоточенную в ее "младших гармониках", если /У2 - норма (р достаточно велика. Более того, отношение этих "энергий" стремится к со, при — оо.
В дальнейшем были предложены различные варианты обобщения обычного уравнения Курамото-Сивашинского: как для многомерного случая ([21], [22], [24]), так и для одномерного. При этом для одномерного уравнения рассматривались различные вариации, как нелинейного члена [23], так и линейного [10].
Представляемая диссертация содержит решение двух задач. Первая задача состоит в оценке размерностей аттракторов обобщенного одномерного уравнения Курамото-Сивашинского. Вторая задача посвящена доказательству теоремы о перекачке энергии для многомерного уравнения Курамото-Сивашинского, заданного на многомерном торе с римановой метрикой. Метод решения этих задач основан на применении идей теории обыкновенных дифференциальных уравнений к бесконечномерным системам. Автор выражает свою огромную благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Ю. С. Ильяшенко за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Рост соболевских норм при приближению к моменту коллапса (доказательство)
Обобщенное одномерное уравнение Курамото-Сивашинского. Сформулируем основные результаты работы для одномерного случая. Подробные доказательства будут даны ниже в главе 1. Сначала дадим определение обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского. Определение. Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского имеет вид т =-{Р(и\) + Аи) (GKS) где оператор А = =1 а ідщ:, &s 0, если s - четное, as 0, если s - нечетное, s 2. Решения u(t,x) отого уравнения рассматриваются на [О, со) х S1, т.е. «(,# + 2п) = u(t,x). Р - оператор проектирования в L2(51) вдоль вектора f = 1. Пусть v — \as\/C, as - коэффициент при старшей производной правой части уравнения, С - сумма модулей коэффициентов при остальных линейных членах правой части уравнения. Фазовое пространство для уравнения (GKS) это С - пространство бесконечно-дифференцируемых функций на S1 с нулевым средним. Обозначим Hs пространство Соболева, полученное пополнением пространства С по Соболевской норме ns. В первой главе будет доказано, что в каждом пространстве Hsi при s s уравнение (GKS) задает обобщенную диссипативную систему. Следовательно, это уравнение в каждом пространстве Hs имеет аттрактор Asi. Уравнение (GKS) как и уравнение теплопроводности сглаживает начальные условия. Таким образом, все аттракторы As состоят из гладких функций и совпадают. Поэтому дальше мы можем заменить As на А. Имеет место следующая теорема. Теорема 1. (Оценка сверху размерностей аттрактора) Рассмотрим Ь метрику в пространстве С. Хаусдорфова и энтропийная размерности аттрактора обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского оцениваются сверху следующим образом л- л 2 Х + 2Я aim А -. г- - (2s - 1) v число R удовлетворяет следующему неравенству (д3+0,6з2+3,90э + 1,6) R Си Гм о С - некоторая положительная константа. Теорема 2. (Существование глобально-поглощающей области) Обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского определяет полупоток, который имеет обобщенную глобально-поглощающую область В, определенную неравенством пі R, где зависящее от v число R оценивается следующим образом: (s3-f6,632+3,96s + l,S) R Си & =Ъ С - некоторая положительная константа. Из теоремы 2 о существовании обобщенной глобально-поглощающей области вытекает теорема 1 о верхней оценке хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттрактора уравнения.
Пусть EN- пространство тригонометрических многочленов степени не выше N с нулевым средним, PN— оператор ортогонального проектирования L2(5 1) —У EN, Pjy — ортогональное проектирование на ортогональное дополнение к Ем Теорема 3. (О перекачке энергии). Для любых р 0,іУєК«АЄ (ОД) существует такое R, что для любой функции р Є X, лежащей вне шара пі R в шаре Q = {ns+i / i}, существует такой момент времени T 0, что решения уравнения [GKS) с начальным условием р в момент Тф принимают значение ф, для которого 11- 11 +1 ll lls+i- порядок оператора А. Результаты 2-ой главы. Пусть Тп —п- мерный тор, (д) — метрический тензор, заданный на этом торе. Определение. Многомерным уравнением Курамото-Сивашинского на торе Тп называется уравнение следующего вида: щ = -(P(V«,Vtt) + Au + vA2u) (KS) где и Є С(Тп),А - оператор Лапласа-Белътрами, и О, V - кова-риантное дифференцирование, согласованное с метрикой. С(Тп) - пространство бесконечно дифференцируемых функций с нулевым средним на торе. Среднее функции и на торе Тп равно й = vofTn JTn У- dp,, где р - форма объема. Р - ортогональный оператор проектирования, действующий в С(Тп) следующим образом: Ри = и — й.
Пусть и = X)afcCfc разложение Фурье функции и по собственным функциям оператора Лапласа-Бельтрами. Обозначим как PJV и Р операторы отбрасывания "старших" и, соответственно "младших" членов разложения Фурье (гармоник), т.е. Ppju — X)i akk, РдР = и — Р и. Нормируем метрику так, чтобы модуль наименьшего собственного значения оператора Бельтрами-Лапласа А і ( = 1. Тогда выполняется следующая теорема о перекачке энергии. Теорема 4. Для любых р 0,N Є N,s п/2 + 5, А Є (0,1) существует такое R, что для любой функции р Є С(Тп) лежащей вне шара пс1 R в шаре Q = {ns p\\(p\\(ji}, существует такое время t Є (0, с), с -некоторая универсальная константа, что g g(p = ф и \\Р ф\\1 MlV Hs-Здесь R - константа, зависящая от метрики (д). к-сжимающие системы Для вычисления размерностей аттракторов будут использоваться следующие понятия и результаты. Сначала приведем определение к — сжимающей системы.
Для одномерного обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского не удалось найти поглощающую область в классическом понимании, т.е. как область на границе которой векторное поле направлено внутрь (такие системы называются диссипативными). Возможно такая область не существует. В нашем случае удалось найти только "обобщенно поглощающую область", которая ничуть не хуже поглощающей области: уравнение с такой областью имеет те же свойства, что и диссипативная система. Определение. Пусть {д \ t 0} - полупоток в пространстве X, непрерывно зависящий от начальных условий.
Лемма о потере энергии
Пусть В и В это два множества в пространстве X такие, что В С В. Тогда область В является глобально поглощающей для полупотока {д } с периферией В и временной задержкой Т, если 1. Орбита любой точки (р Є В возвращается в область В за время не превышающее Т и в тоже время не покидает область В. 2. Орбита каждой начальной точки (р входит в область В за некоторое положительное время. Система задающая полупоток с обобщенной глобальной поглощающей областью, которая вместе со своей периферией является компактной, называется "обобщенно диссипативной". Орбита полупотока 7 определяется на всей оси времени, если существует такое отображение g : R — X, что дМ.+ = 7 и для любого s 0, g(t + s) = дг(д(в)) Определение. Максимальный аттрактор обобщенной диссипативной системы это объединение всех орбит, которые определены на всей временной оси и лежат в периферии. Оказывается, что определенный выше аттрактор может быть задан так же как аттрактор диссипативной системы и он будет устойчив по Ляпунову. Предложение. Пусть {gl\ t 0} - обобщенный диссипативный полупоток с обобщенной глобальной поглощающей областью В с периферией В и временной задержкой Т, замыкания В и В являются компактными, и пусть А это его аттрактор в смысле данного выше определения. Тогда A=f) дТпВ п 0 Более того, аттрактор А непуст и является устойчивым по Ляпунову: для любой окрестности U аттрактора А существует такое положительное число t(U), что дгВ С U для любого t t(U). Это предложение было доказано в [3]. Глава 1: Оценка хаусдорфовой и энтропийной размерностей аттрактора обобщенного одномерного уравнения Курамото—Сивашинского
Фазовое пространство C(Sl) состоит из гладких центрированных функций, т.е. среднее по окружности функции равно нулю. Определим проекцию, как Ри — и — й, й - среднее функции и на окружности. Это уравнение возникает в ряде физических задач [1-2]. Оно было исследовано как численно, так и аналитически (см. [3], [8], [9], [10], [11], [16], [17], [18], [19], [20]).
Определим обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского. Пусть А = А(- ) - вещественный дифференциальный оператор конечного порядка, т.е. многочлен с постоянными коэффициентами от оператора дифференцирования. Наложим на него требования самосопряженности, т.е. будут входить производные только четного порядка, и, кроме того, если порядок оператора равен 2s, то коэффициент при старшей производной должен быть положительным при четном s и отрицательным при нечетном s. Эти условия естественны для существования области диссипации. Далее везде будем считать, что j = ut, дх — Uxn Определение. Обобщенным уравнением Курамото-Сивашинского будем называть уравнение вида щ = {P{ul) + Аи) (GKS) где оператор А = 2 г=1 Q ij zr, при этом as 0, если s четное, as 0 в противном случае. Решения уравнения u(t,x) рассматриваются на [0, oo)xS1, т.е. u(t,x) = u(, х + 27г). Без ограничения общности молено считать, что as 0, и, соответственно, s четное. В дальнейшем будет рассматриваться только этот случай. Положим и = \as\/C, as - коэффициент при старшей производной правой части уравнения, С - сумма модулей коэффициентов при остальных линейных членах правой части уравнения. Для работы с уравнением нам потребуются некоторые понятия и теоремы, которые представлены ниже.
Опишем область определения уравнения. Область определения - это бесконечно-дифференцируемые на S1 функции. Среднее значение правой части отрицательно, если и ф const. Разность между функцией и ее средним значением на окружности назовем центрированной функцией. Пусть (7 (51) - пространство бесконечно-дифференцируемых функций на 51 с нулевым средним й = 0, й = j- fsl и dx. Определим Р - оператор проектирования в L2(Sl) вдоль вектора / = 1 на ортогональную гиперплоскость. Результат проекции будет центрированной функцией. Тогда центрированным репіением уравнения (GKS) будем называть центрированную функцию и Є С 00(51), удовлетворяющую уравнению щ = —(Р(их) + Ли), А - оператор с описанными выше свойствами.
Теорема. Для любого s существует такое положительное Rs, что все решения обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского с гладким начальным условием через некоторое положительное время входят в шар ns Rs и никогда не покидают его.
Из этой теоремы следует что обобщенное уравнение Курамото-Сивашинского в каждом пространстве Hs имеет аттрактор As. Уравнение (GKS) как и уравнение теплопроводности сглаживает начальные условия. Таким образом, все аттракторы As состоят из гладких функций и совпадают. Обозначим аттрактор как А. В параграфе 1.13 будет вычислена его размерность, откуда следует оценка теоремы 1. Б. Перекачка энергии от низких гармоник к высоким. Энергией в этом пункте называется квадрат любой Соболевской нормы. Приведем точную формулировку теоремы.
Пусть Е - пространство тригонометрических многочленов степени не выше iV с нулевым средним , PN- оператор ортогонального проектирования L2(»S 1) — Д/v, Pjq - ортогональное проектирование на ортогональное дополнение к EN. Теорема 3. (О перекачке энергии). Для любых p 0,NENu\E (0,1) существует такое R, что для любой функции (р Є X , лежащей вне шара п\ R в шаре Q = {ns+i РІІИі} существует такой момент времени Tv 0, что решения уравнения (GKS) с начальным условием /? в момент Tv принимают значение ф, для которого H-PjvV lls+i -MMIs+i» г е s порядок оператора А.
Уравнение Курамото-Сивашинского как малое возмущение уравнения Гамильтона-Якоби
Опишем теперь на эвристическом уровне механизм перекачки энергии. Вне шара достаточно большого радиуса в пространстве начальных условий нелинейный член правой части уравнения Курамото-Сивашинского начинает доминировать. Само решение уравнения (KS) будет рассматриваться как малое возмущение уравнения {HJ). Решения уравнения Гамильтона-Якоби могут быть написаны в явном виде и они существуют конечное, как в пропілом, так и в будущем, время. Потом решения "коллапсируют", т.е. рвутся производные старших порядков. Назовем время существования решения в пропілом и будущем с начальным условием (р моментами коллапса Т ,Т, соответственно. При приближении к моменту коллапса L2 норма старших производных начинает неограниченно расти. В то же время, С1 норма решения уравнения Гамильтона-Якоби является первым интегралом уравнения (HJ). Эти соображения, сведенные вместе дают, что "старшие гармоники" начинают доминировать над "младшими" при приближении к моменту коллапса. Т.е. происходит перекачка энергии для уравнения (KS).
Замечание. В одномерном случае, первая соболевская норма будет первым интегралом уравнения Гамильтона-Якоби, в то лее время для старших размерностей, первым интегралом будет лишь С1 норма решения. Поэтому методы использованные для доказательства существования аттрактора в одномерном случае не могут быть использованы, без дополнительных исследований поведения С1 нормы вдоль решений.
Рассмотрим физическую модель уравнения Гамильтона-Якоби, как описание двюкения свободных частиц. Заметим, что производная решения этого уравнения имеет вид - композиция начального условия с диффеоморфизмом области определения функции (начального условия). Этот диффеоморфизм зависит от времени и начальной функции, и задается траекториями двилсения свободных частиц. В евклидовом случае это будут прямые. При наличии метрики траектории двилсения будут геодезическими. В этом состоит отличие решений уравнения Гамильтона-Якоби на многообразии с метрикой от обычного евклидового уравнения Гамильтона-Якоби.
Вне шара большого радиуса квадратичные члены начинают доминировать. Исходя из этого сделаем замену времени и масштаба, переводящую шар радиуса є 1 в шар единичного радиуса и сохраняющую квадратичные члены уравнения (KS) : w = ей, т = e 1t. Тогда уравнение (KS) будет иметь вид: wT = (P(\/w)2 + s(Aw + uA2w)) Заменяя w на и и т на t получим: щ = -(P(Vu)2 + є{Аи + vA2u)) (KS) Фазовый поток уравнения (KSe) будем обозначать как д\. Лемма о выходе (в новом масштабе). Для любых р 0, s n/2 + 5 существует Єо такое, что для любой функции р Є С(Тп), nci(cp) = 1 е шаре Q — {ns р}, и для любого є Є (0,о) существует такое время t Є [О, с], где с - некоторая универсальная константа, что д\(р = ф ф dQ.
Это - гамильтонова система с функцией Гамильтона Н(х,р ) = glj(x)pipj. Она является первым интегралом системы (6). Поверхность уровня Н = 1 яляется проективизированным кокасательным расслоением ТМ = {(ж,р ) Є Т (М), ІІр Ц = 1} (см. [14], 20, п.1). На этой поверхности система (6) задает геодезический поток на торе М с метрикой д. Обозначим через Тг преобразование фазового потока системы (6) за время t. Теорема ([14]). При естественном изоморфизме Т М — ТМ траектории геодезического потока переходят в кривые, составленные из касательных векторов к геодезическим линиям в М. Отдельное преобразование Тг переводит пару (х$,ро) в пару (xt,pt) = Т (хо,ро), где для получения xt следует провести геодезическую через точку ж0 Є М в направлении ро и тогда xt отстоит от х0 на расстояние t вдоль геодезической, а вектор Pt касается этой геодезической в xt и направлен так же, как иро.
Обозначим через Х ( ) отображение М — М,а М- x(t,a). При t = О отображение x p{t) тождественное; при малых t это диффеоморфизм. Подробнее существование этого диффеоморфизма рассматривается в следующем пункте. Далее везде, если не оговорено противное, верхний индекс [—1] будет обозначать обратное отображение.
Обратное отображение к х существует, до тех пор пока само отображение невырожденно. Докажем это. Рассмотрим дифференциал d% . Если дифференциал отличен от нуля на всем торе, то отображение будет однозначно и, следовательно, диффеоморфизмом. Действительно, отображение Xі гомотопно тождественному, степень отображения при гомотопии сохраняется, поэтому его степень равна единице. Таким образом, если у какой-либо точки имеется несколько прообразов, то существует прообраз в котором якобиан принимает положительное значение и прообраз в котором якобиан отрицателен. Соединив эти точки путем и учитывая непрерывную зависимость значений якобиана от точки, получаем что в некоторой точке пути якобиан обращается в ноль, что противоречит невырожденности дифференциала.
Правое неравенство для евклидового случая было доказано в первой части, параграф 1.7. В случае метрики заметим, что эта оценка также выполняется, поскольку VIA = V /? о х -1- удовлетворяет условиям предложения 2. Действительно, фиксируем точку х и введем нормальные координаты в окрестности этой точки. Тогда отображение % (у) в этих координатах иметь линейный вид id + 2tGV(p. Таким образом, в нормальных координатах производная решения имеет такой же вид как и в евклидовом случае и можно применить предложение 2. Заметим при этом, что коэффициенты соответствующих рядов будут теперь зависеть от метрики и ее производных, вплоть до порядка s включительно. Оценив таким образом все старшие частные производные порядка s мы получим нужную оценку, поскольку Соболевские нормы, введенные обычным способом и при помощи оператора Лапласа-Бельтрами эквивалентны.
