Содержание к диссертации
Введение
1. Вспомогательные сведения 20
1.1 Гельдеровские пространства 20
1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений 22
2. Параболические уравнения с меняющимся направлением эволюции 29
2.1 Разрешимость краевых задач для уравнения с меняющимся на правлением времени 29
2.1.1 Непрерывные условия склеивания 29
2.1.2 Разрывные условия склеивания 39
2.2 Краевые задачи в ограниченной области 41
2.3 Краевые задачи с нелокальными начальными данными 50
2.3.1 Непрерывные условия склеивания 51
2.3.2 Разрывные условия склеивания 53
2.4 Склеивание производных первого и второго порядков 53
2.4.1 Непрерывное склеивание производных 53
2.4.2 Разрывное склеивание производных 60
2.4.3 Регулярная разрешимость 62
2.5 Склеивание с разными производными до второго порядка . 68
2.5.1 Непрерывность разных производных 68
2.5.2 Разрывность разных производных 77
2.6 Контактные параболические краевые задачи в гельдеровских пространствах 78
Заключение 89
Литература 91
- Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений
- Краевые задачи с нелокальными начальными данными
- Склеивание производных первого и второго порядков
- Склеивание с разными производными до второго порядка
Введение к работе
Актуальность темы. Краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М. Жеврея [25]. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.
В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии или поверхности или при достижении граничных точек. Это, прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, Ф.И.Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направлении, образования больших научных групп.
В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе [9], М.В. Келдыша, А.В. Овсянникова, И.Н. Векуа [13], С.А. Чаплыгина, В.П. Ильина, Е.И. Моисеева, В.Н. Монахова [62], [63], С.А. Терсенова [114], Т.И. Зеленяка [27], А.П. Сол-датова [105], [106], Т.Ш. Кальменова [29], И.М. Петрушко [75], М.М. Смирнова [104], В.П. Диденко, СМ. Пономарева и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследований В.Н. Врагова [14)-(17], Г.Д. Каратопраклиева [31], [32], А.Г. Кузьмина [44], Д.М. Расьянса, Н.А. Ларькина [55], А.И. Кожанова [41]-[43], Б.А. Бубнова, С.Г. Пяткова [100], И.Е. Егорова [23], А.Г. Подгаева [79] и других.
Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений
Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Терсенова [115], A.M. Нахушева [68], И.Е. Егорова [21], А.А. Керефова [36], Н.В. Кислова [37]-[40], С.Г. Пяткова [98], В.В. Катышева [35], Х.Х. Ахмедова [2] , М.С. Боу-енди [4], П. Грисварда, К.Д. Пагани [73]-[74], Г. Таленти, О. Арены [1] и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа W% решение существует и единственно, но более гладкие решения существуют только при условии выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что С.А. Терсенов [114] изучал эти задачи с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, разрешимость их сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны быть непрерывными, включая первую производную. В представляемой диссертационной работе рассматриваются общие условия склеивания (включая условия с разными производными), более того, находится зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания.
В уравнениях с неявным изменением эволюции (нелинейный случай) возможности еще более разнообразны, сама постановка задачи зависит от входных данных. Так, в модельном уравнении типа Хопфа ищ — ихх = 0 смена направления параболичности происходит там, где решение u{x,t) меняет знак. О.Б. Бочаров [11] показал разрешимость задачи Дирихле для этого уравнения, когда начальные данные разных знаков задаются при t = 0, t = Т. Проблеме существования развитого пограничного слоя с возвратным течением в рамках модели Прандтля и изучению структуры этого течения за точкой отрыва для уравнения sgnuut — у/\й\ихх = f(x,t) посвящены работы В.Н. Монахова [64], [65], Н.Н. Матвеевой [57]-[60] и С.Г. Пяткова [101].
Интерес к нелинейным уравнениям переменного типа был инициирован статьями Н.Н. Яненко, В.А. Новикова, Т.И. Зеленяка [28], где они пришли к выводу, что эти уравнения должны быть основой построения строгой модели автоколебательных и турбулентных течений. Изучению этих уравнений посвящены работы многих авторов: B.C. Белоносова [6], П.И. Плотникова [78], А.Г. Подгаева [81], С.Г. Пяткова [98], П.П. Ахмерова [3], М.М. Лаврентьева (мл.) [45]—[48], В.Н. Гребенева [19] и других. Подробная библиография и ряд результатов содержится в книге Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [55].
Дальнейшим развитием этой теории явились исследования, связанные с операторно-дифференциальными уравнениями вида L,B — самосопряженные операторы, определнные в гильбертовом пространстве Н. Задача Коши или задача, близкая к ней, для уравнения типа Соболева часто корректна. Ситуация меняется, если спектр оператора В содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуоси.
В работах Н.В. Кислова исследована обобщенная разрешимость краевых задач для уравнений (0.1.2) в случае п = 1,2. В частности, им изучались неоднородные граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений и была сформулирована и доказана проекционная теорема, являющаяся обобщением известной теоремы Лакса-Мильграма для случая билинейного функционала, неограниченного в пространстве, порождаемого соответствующим квадратичным функционалом. Н.В. Кисловым также введены понятия сильного и слабого решений неоднородной краевой задачи, позволяющие описывать пространства решений краевых задач для уравнения Аи + Bu(t) = f(t), t Є (0,Т), где Л, В — суть симметричные операторы в гильбертовом пространстве Я, причем В — положительный оператор, а А — знаконеопределенный операторный коэффициент, наличие которого позволяет рассматривать не только уравнения фиксированного типа, но также и уравнения смешанного типа, в частности, уравнения Жевре, уравнения Чаплыгина, уравнения Лаврентьева-Бицадзе
Краевые задачи с нелокальными начальными данными
При условиях склеивания (0.1.8) доказана Теорема 2.5. Пусть щ, к{ Є Нр, г = 1,2, р = 2/+7- Тогда при выполнении 2/ + 1 условия вида (2.6.5) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3) из пространства НР,Р/ , удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.8). В 2.4 явно представляются условия разрешимости для уравнения (0.1.3), где д(х) = А при х 0 и д(х) = —В при х 0, когда условия склеивания содержат производные первого и второго порядков. Решение уравнения ищется из пространства Гельдера НР,Р (Q), р = 2/+7, 0 7 1 при начальных условиях (0.1.4) и условиях склеивания ux(-0,t) = ux(+0,t), uxx{-0,t) = uxx(+0,t) 0 t T, (0.1.13) где I 2 — целое число.
В отличии от предыдущих параграфов, решение этой задачи разыскивается в виде параболических потенциалов простого слоя с неизвестными плотностями а, /3, которые удовлетворяют начальным условиям (0.1.4). Согласно [50] плотности a(i), /3(t) нужно найти из пространства #( -1)/2(0, Т), такие, что выполняются условия (0.1.6). Таким образом, в данном параграфе доказана Теорема 2.6. Пусть ері, р2 Є Нр, р = 21 + у, I 2. Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.7) существует единственное решение уравнения (0.1.3) из пространства Н%,Р , удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.13). Далее рассмотрены условия склеивания вида Затем устанавливается регулярная разрешимость для уравнения вида (0.1.3) с теми же начальными данными (0.1.4) и условиями склеивания (0.1.13) или (0.1.14). Решения поставленных задач ищутся из пространства Гельдера Нр р{ , р = 2 + 7, и доказаны две теоремы для обоих случаев условий склеивания соответственно. Теорема 2.8. Пусть (fi,(p2 Є Нр, р = 2 + 7- Тогда при выполнении трех условий вида (0.1.7) существует единственное решение уравнения (0.1.3) из пространства НР,Р , удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.13). Замечание 2.2. При выполнении одного условия решение, найденное в теореме 2.8, будет принадлежать пространству Hxq , q = 2+min{20,1 — 29}, где 9 = I arctg /f. Теорема 2.9. Пусть (pi, f2 Є Hp, р = 2 + 7- Тогда при выполнении двух условий вида (0.1.7) существует хотя бы одно решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.14), из пространства: жительная постоянная. В 2.5 рассмотрены краевые задачи для уравнения (0.1.3), где д(х) — А при х 0 и д{х) = —В при х 0. Результатом этого параграфа является явное представление условий разрешимости для указанного уравнения, когда условия склеивания (сопряжения) содержат разные производные до второго порядка. Показано, что гельдеровские классы решений параболических уравнений переменного типа существенно зависят от нецелого показателя Гель-дера, а также формы условий склеивания.
В пространстве Гельдера #f (Q), ищется решение уравнения (0.1.3), удовлетворяющее начальным условиям (0.1.4) и условиям склеивания В силу метода исследования решение уравнения разыскивается в виде параболических потенциалов двойного и простого слоев, и доказывается Теорема 2.10. Пусть щ, /?2 Є Нр, р = 21+j, I 2. Тогда при выполнении 21 условий вида (0.1.7), существует единственное решение уравнения (0.1.3) из Нх t , удовлетворяющее условиям (0.1.4), (0.1.15). Замечание 2.3. При выполнении 21 — 2 условий вида (0.1.7) решение, найденное в теореме 2.10, будет принадлежать пространству Hqxqt , q = 21 — 2 + min{20,1 - 26}, где в = ± arctg J%. Замечание 2.4. Если предположим, что рі(х) Є Нр, (р2(х) Є Нр+1, то при выполнении 21 условий решение задачи (0.1.3), (0.1.4), (0.1.15) будет принадлежать пространству:
Склеивание производных первого и второго порядков
В той же области Q+ = Ж+ X (0, Т), рассмотрим систему уравнений (2.1.4). Здесь решения системы уравнений будем искать из того же пространства Гельдера Hp/t/2{Q+), р = 21 + 7, 0 j 1, удовлетворяющее начальным условиям (2.1.5) и условиям склеивания Так же как и в 2.1 поставленная задача может иметь не более одного решения в классе функций достаточно быстро убывающих на бесконечности.
В отличие от параграфа 2.1., где решения разыскивались в виде параболических потенциалов двойного слоя, здесь решения ищутся в виде параболических потенциалов простого слоя. где u\(x,t) и W2(x,t) представлены формулами (2.1.7). Функции, представленные формулами (2.4.2), удовлетворяют начальным условиям (2.1.5) и уравнениям (2.1.4) соответственно. Покажем, что ик принадлежат пространству H t » если введенные нами неизвестные плотности ot(t), 0(t) принадлежат пространству Н 1)/2 (0,Т), причем В силу общих результатов [50,109], например, ul(x, t) Є # (Q+), если краевое условие Ф() = жит пространству Ят/2(0,Г). Отсюда получим, что при выполнении условии c W(0) = 0 (s = 0,...,/- 1) следуют фМ(0) = Vi2s)(0) (« = 0,..., I) и 4 (t) = ul(0,t)HPl\0,T). Из условий склеивания (2.4.1) получим систему уравнений относительно Отметим, что первое условие в (2.4.5) необходимо и достаточно для того, чтобы было выполнено условие а(0) = 0. Проведем рассуждения аналогичные рассуждениям 2.1 для системы уравнений (2.4.6). Легко видеть, что при выполнении условий и введем новую искомую функцию 00 () = 0 )() — 00 (0) , тогда систему (2.4.8) можно переписать в виде:
Исключая, aft l\t) в системе (2.4.12), получим сингулярное уравнение относительно ftl l\t) Сингулярное интегральное уравнение (2.4.13) будем рассматривать как уравнение относительно /?о() = (3(1 1Ч 2. Найдем решения (3o(t), неограниченные при t = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при t = Т. В этом случае каноническая функция x{z) — {z T)ez e, в = I arctg л/4, индекс х = 0. Сингулярное уравнение (2.4.13) в этом классе решений Д () однозначно и безусловно разрешимо, и решение дается формулой [18, 67] Так как ft1 принадлежит пространству #(1+т)/2, то из формулы (2.4.14) (Г - TV+OTH о При выполнении (2.4.15) формула (2.4.14) примет вид следует выполнение условия Так как Q(t) принадлежит пространству Я 1+т)/2(0,Т), то функция -1) (t) , представленная формулой (2.4.16), удовлетворяет условию Гельдера с показателем Мр- во всех точках контура (0,Т), отличных от концов. Рассмотрим его поведение на концах. Согласно формуле поведения интеграла типа Коши на концах контура интегрирования [67, с.76], легко видеть, что ( -!)(0) = /3 _1)(Т) = 0. Далее, в силу теоремы 1.2 о принадлежности классу Гельдера интеграла типа Коши на концах контура интегрирования и в силу неравенств (1 + 7)/2 1 + в и (1 + 7)/2) \ — в при 0 7 1, получим, что в формуле (2.4.16) функция fil l\t) удовлетворяет условию Гельдера с показателем (1 + 7)/2-
Склеивание с разными производными до второго порядка
Непрерывность разных производных В области Q+ = Ж+ х (О, Т), рассмотрим систему уравнений (2.1.4) В пространстве Гельдера Н (Q+), р = 2Z+-y, 0 7 1; ищется решение уравнений (2.1.4), удовлетворяющее начальным условиям (2.1.5) и условиям склеивания где / 2 — целое число. Единственность решения поставленной задачи устанавливается интегрированием тождеств по области Q+, применением соответствующих начальных условий и условий склеивания. Будем предполагать, что рі{х) Є НР(Ж) (г = 1,2). В силу метода исследования будем пользоваться интегральным представлением решения для системы уравнений (2.1.4): где uii(x,t),U2(Xit) представлены формулами (2.1.7) Функции, представленные формулами (2.5.2), удовлетворяют начальным условиям (2.1.5) и уравнениям (2.1.4) соответственно. Отметим, что ик принадлежат пространству #f , если a(t) принадлежит пространству Яр/2(0,Т), a (3(t) принадлежит пространству Я _1 2(0,Т), причем Отметим, что первое условие в (2.5.5) необходимо и достаточно для того, чтобы было выполнено условие а(0) = 0. Если второе уравнение в (2.5.6) обратить при помощи известных формул обращения оператора Абеля, то
Легко видеть, что FQ l(t), F{ l{t) принадлежат пространству Гельдера с показателем (1 + 7)/2, причем Fl \t) = F[-\t) = 0{t + l2) для малых t. Предположим, что функции a(t), (3(t) принадлежат искомым пространствам Гельдера. Тогда из системы (2.5.7) следует, что о При выполнении (2.5.8) систему (2.5.7) можно переписать так: Пусть выполнены условия и введем в системе (2.5.9) новую искомую функцию (3 (t) = j3 {t) — /З (0) р Тогда систему (2.5.9), воспользовавшись формулой представим в виде: Таким образом, мы получили уравнения (2.5.14), имеющие точно такой же вид, как и уравнения (2.5.9). Легко видеть, что при выполнении условий получим систему уравнений Потребуєм выполнения условий и введем новую искомую функцию fil l\t) = fil l\t) — ft1 (0)- . Тогда систему (2.5.16) можно переписать в виде: Так как or l\ /3 1 принадлежат пространству Я 1+7 2, то должно выполняться условие Тогда при выполнении (2.5.19), в конечном итоге, придем к системе уравнений где Ff\t) = р»-ЧЩ + F -\t), Tf\t) = iffi-Щ VB[F(-l, І, f; f) -1]{ Y + F[ l(t), принадлежат пространству Я 1+7 2(0, Т), причем F0 (t) = F/"V) = 0( (1+т)/2) для малых t Исключая a(l (t) в системе (2.5.20), получим сингулярное уравнение относительно (t): где Сингулярное интегральное уравнение (2.5.21) будем рассматривать как уравнение относительно /3o(t) = J3(lh 2. Найдем решения Po(t), неограниченные при t = 0 (допускающие особенность меньше единицы) и ограниченные при t = Т. В этом случае каноническая функция x(z) — (z T)ez 9, в = I arctg y f, индекс к = 0. Сингулярное уравнение (2.5.21) в этом классе решений (3o(t) однозначно и безусловно разрешимо, и решение дается формулой [18, 67]
