Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Встречные потоки решений квазилинейных параболических уравнений со слабым вырождением 18
1. Оценка максимума модуля решений 18
1. Постановка задачи. Предположения 19
2. Регуляризация 20
3. Оценка максимума модуля решения 20
2. Оценка пространственной производной 21
1. Оценка производной на границе 22
2. Глобальная оценка производной 25
3. Разрешимость регуляризованной задачи 32
1е. Гельдеровская непрерывность производной 32
2. Разрешимость задачи в ТГ22(Гї) 35
3. Принадлежность и(х, t,є) пространству B(Q) 36
4. Предельный переход 36
ГЛАВА 2. Встречные потоки решений квазилинейных параболических уравнений с вырождением при производной по времени 44
1. Постановка задачи, регуляризация 44
2. Оценка максимума модуля решений и производных на границе. 45
3. Оценка максимума модуля пространственной производной 49
4. Предельный переход 57
5. Общее квазилинейное уравнение 62
1. Постановка задачи. Предположения 62
2. Регуляризация 63
3. Оценка модуля пространственной производной 63
4. Предельный переход 68
ГЛАВА 3. Примеры численных расчетов 73
1. Постановка задачи. Регуляризация 73
2. Автомодельные решения 74
3. Тестовые решения 76
4. Вычислительные алгоритмы 77
1. I метод 77
2. II метод 79
5. Примеры расчетов 81
1. Пример 1 81
2. Пример 2 82
3. Пример 3 84
4. Обсуждение результатов расчетов 85
Заключение 86
Приложение 87
Литература 97
- Оценка пространственной производной
- Разрешимость регуляризованной задачи
- Оценка максимума модуля пространственной производной
- Вычислительные алгоритмы
Введение к работе
1. Исторический обзор. Параболические уравнения, меняющие направление эволюции (уравнения переменного типа), возникают при математическом моделировании различных гидродинамических процессов: турбулентных течении вязкой жидкости, течении газа с немонотонным уравнением состояния, нелинейной теории горения II т.д.
Другим источником появления уравнений переменного типа является приближенное математическое моделирование с помощью разложения по малому параметру: уравнения пограничного слоя Прандтля для возвратных потоков жидкости, уравнения мелкой воды и двухслойной жидкости и другие.
Предметом наших исследований является следующий класс квазилинейных параболических уравнении переменного типа: a(x,t,u)vt = a(x,t,u,ux)uM + b{x,ttu,ux),a > 0, {1} где коэффициент <т меняет знак на некотором многообразии. Первые исследования линейных уравнений переменного типа (о ~ const, Ь — О, и = .г, — 1 < х < 1) были осуществлены Жевре (1913)[24].
Достаточно полная теория линейных параболических уравнении переменного типа была построена С.А. Терсеновым и изложена в его монографии [80], где приводится полная библиография работ других авторов до 1985 г.
Библиография более поздних работ по этой тематике содержится в монографин И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, СВ. Попова [23].
Другие классы уравнений переменного типа, включая и квазилпнеп- ные уравнения, изучались Н.Н.Яненко, В.А.Новиковым [87], Т.И.Зеленяком [5, 25, 2G], B.C. Белоносовым [5], П.И. Плотниковым [57], А.И. Под-гасвым [58, 59] , С.Г. Пятковым [72, 73], П.П. Ахмеровым [4], М.М Лаврентьевым (мл.) [30]-[32], В.Н.Гребеневым [16] и другими. Подробную библиографию и ряд результатов можно найти в монографиях [23], [35].
Изучению начально-краевых задач для вырождающегося уравнения (1) при условии неотрицательности решения (sgnu = 1) посвящено большое количество работ. Наиболее полные математические результаты в теории стационарных плоских безотрывных течении несжимаемой жидкости в рамках приближений пограничного слоя были получены Н.С. Ппскуновым (1943) [об]. Им была установлена теорема существования достаточно гладких решений уравнения пограничного слоя в плоскости переменных Мпзеса. Дальнейшее развитие эти результаты получили в работах О.А. Олепннк (19G3) [53, 54] и заключаются в основном в установлении более сильных априорных оценок решения, позволивших, в частности, обосновать обратный переход от переменных Мпзеса к физическим переменным. При постановке задачи, позволяющей изучать течение вплоть до линии отрыва, доказано существование обобщенного решения при отрыве пограничного слоя при возрастающем давлении в работах Н.В. Хуснутдпновой [82, 83, 84, 85, 86].
С.Н. Кружков (19G7) [28, 29] впервые показал, что для неотрицательных решений общих вырождающихся параболических уравнений оценка модуля пространственной производной не зависит от производной по времени. Аналогичный результат при более ограничительных предположениях был получен ранее Е.С. Сабининой (19G2) [75, 76].
Постановка задачи о встречных потоках (задача Дирихле) для уравнения (1) предложена В.Н. Монаховым (1970) п в случае модельного уравнения тппаХопфа (uiit = ихх) изучена О.Б. Бочаровым [7]. Для этой задачи доказаны существование и единственность слабого решения, при некоторых ограничениях на данные задачи и размеры области установлено существование гладкого решения, также установлена неединственность решения [10].
Для уравнения пограничного слоя Прандтля-Мнзеса теорема существования обобщенного решения задачи о встречных потоках была доказана В.Н. Монаховым (1998) [49, 52], и при этом предложен метод установления оценки модуля пространственной производной {\их\ < М). Отметим также, что В.Н. Монаховым, Н.В. Хуснутдиновой (1995) [47] изучена задача о сопряжении перпендикулярных пограничных слоев (потоков). Дальнейшее обобщение полученных результатов проведено в работах В.Н. Монахова, С.В. Попова [36],[38], [50], а также в работе С.Г. Пяткова (2001) [74], которая посвящена обобщению результатов О.Б. Бочарова.
2. Цель работы. Диссертация посвящена доказательству разрешимости задачи Дирихле для вырождающихся параболических уравнении вида (1) в двух основных случаях: вырождение происходит при производной ихг (а — \и\уао, ао > р > 0, а ~ sgnw) или при производной ui (er = |ii|7sgiu(, а > р > 0). Основное внимание уделяется получению оценки модуля пространственной производной решения []их\ < М). Предложен алгоритм численного решения задачи о встречных потоках, реализованный на модельных уравнениях вида (1) {и — sgnti, а — |и|7Я[ь (io = const > 0).
3. Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, заключения и приложения. В каждой главе нумерация формул, лемм и теорем отдельная. При ссылках между главами используются эти номера с указанием главы этой формулы, леммы или теоремы.
Перейдем к более подробному изложению содержания по главам.
В первой главе изучается задача о встречных потоках для квазилинейных параболических уравнений со слабым вырождением, с обращающимся в нуль коэффициентом при старшей производной по х. Применяется метод эллиптической регуляризации параболического уравнения, устанавливаются априорные оценки решений, не зависящие от параметров регуляризации, с помощью которых осуществляется предельный переход. Первая глава состоит из четырех параграфов. Первый и третий параграфы разбиты на три пункта, а второй и четвертый — на два пункта.
В первом параграфе дана постановка задачи (пункт 1).
Краевая задача: в области Q ~ {(.і',) |0<х<1,0<<1} найти решение уравнения (1) такое, что
ЦЫ)=0; {-1)ки{х,к) = щ{х)>0, я Є (0,1), к = 0,1; (2)
Здесь а = |«|7Я(ь а0 > Р > 0, а = sgmi.
Приведены условия гладкости и параболнчности (г) для функций а и Ь. Условия параболнчности в (г) задают степенной порядок роста по \р\ = \их\ коэффициента а. Более сложные условия подчиненности (іі), связывающие порядки по р производных функций о. и Ь ([33] стр. G09,
610) п их порядки по |«| в окрестности и — 0 [29, 82]. сформулированы в терминах некоторых дифференциальных форм, однородных относительно этих порядков.
В пункте 2 проведена эллиптическая регуляризация уравнения (1): Lu = аихх + єщі - <тщ + 6 = 0, є = є(єо) > 0, (3) где а = a(ar,i,s,p), h = b(x,t^,p), s = ф(є^1з)з + є0, а (и) — 7р(Е^ ls)sgni(, s = |u|; ф(у) = Чг\\)Щу), Ф(у) = /Є4(1 - 04 при у Є (0,1), ^(у) = 1 при /у > 1, ф{у) = 0 при у < 0, ^2/) Є С'4[0,1] (см.[49]).
В пункте 3 при определенных условиях подчиненности порядков роста а и 6 по ;) и приведения коэффициента 6 к специальному виду, на основе принципа максимума получена оценка модуля решения, не зависящая от параметров регуляризации.
Лемма 1. Для решений и Є В{П) = {С1+/Ї(ЇЇ) f)W%(ЇЇ) Г)С^{П)} задачи (3),(2) при условии и b(x,t,\u\,Q) < //о и2 при [и\ > Nq > 1, /іо = const > 0, (4) справедлива оценка sup \и(х, t)\ ~ М < оо, (5) где постоянная М не зависит от параметров є и q.
Во втором параграфе в пункте 1 с помощью нелинейной подстановки С.Н. Бернштейна [6] s = Лемма 2. На границе области О, = (0,1) X (0,1) производная их решения u(x,t) Q регуляриз о ванной задачи (3),(2} ограничена равно~ мерно относительно ,q: \\их\\дп < Mi < (б) Лемма 3. Для решений задачи (3),(2) справедлива оценка ФнЫ < М (7) с постоянной М\, не зависящей от е. Пункт 2 второго параграфа посвяшен доказательству оценки модуля пространственной производной решения. Оценка устанавливается с помощью дифференцирования уравнения регуляризовапной задачи и подстановки ttr = z(u)q(x,t), где функция z(it) выбирается специальным образом. Лемма 4 (об оценке \их\ в ІІ). Пусть выполнены предположения (г), (И) и неравенства (5),(6). Тогда для решения u(x,t,e) задачи (3),(2) справедлива равномерная по s,Sq оценка 1Ы„<М0. (8) В третьем параграфе доказывается Лемма 5 (о разрешимости регуляризованной задачи). Существует по крайней мере одно решение u{x,t,s) Є B(Q) регуляризовапной задачи (3),(2). Четвертый параграф посвящен обоснованию предельного перехода по параметру регуляризации с использованием метода монотонности [33, 34]. При этом, оказалось, что уравнение (1) выполнено в пространстве L}I{0,T; И'"1 (0, 1)), но вместе с тем, принятие необходимых следов (2), вообще говоря, не гарантируется. Вторая глава посвящена изучению краевой задачи о встречных потоках для нелинейных уравнений с вырождением при производноп по временное обращающимся в нуль коэффициентом при н(). Отмстим, что нахождению обобщенных неотрицательных решений u(x,t) > 0 уравнения с таким вырождением посвящены работы Е.С, Сабининой [75], [76]. В пункте 1 с помощью нелинейной подстановки С.Н. Бернштейна [6] s = Ф(и) устанавливаются оценки производных \и\ и \ut\ на границе области Q. Пункт 2 посвящен доказательству оценки модуля пространственной производной решения. Оценка устанавливается с помощью дифференцирования уравнения регуляризованной задачи и использования подстановки iij. — .z{u)q(x,t). При специальном выборе функции z{u) оценивается max \q\. Лемма 2. На границе области Q = (0,1) х (0,1) производная их решения u(x,t) Є Q регуляризованной задами (4),(2) ограничена равномерно относительно S,SQ: Доказательство. В силу гладкости функции и (х),к = (0,1) в начально-краевых условиях (2) оценку (8) достаточно установить на прямых а = 0,1. При (а1, t) По — {(ж )ІІи1 0} рассмотрим уравнение для s = \и\ где a = a(xJ-,s,p),b = b(x,t,s,p). С помощью подстановки Бернштепна С.Н. s = Ф{и) [С], [50](Ф(У) есть дважды непрерывно дифференцируемая функция с Ф (у) 0, Ф"(и) 0 и Ф(0) — 0) в (9), получим Оценим величину —L{u)v, используя условие подчиненности Выберем постоянную N]_ из условия AVi o 2ЛГ 2(/JQ. Тогда на границе OQa области QQ = {(х, t) : 0 х .rg,0 t 1} имеем: Поскольку g" = -\NPi(fii + XQ X -1 0 H a = Ph 0, то Для функции ш = g — v эллиптический оператор L(it)w = L(u)g — L(u)v — auji-r + eujtt — u{u)uJt 0 отрицателен, так как —L(u)v 0 и L(u)g 0. Покажем, что и 0 в QQ. Пусть это предположение не выполняется и в некоторой точке (#2, 2) Є Qo достигается отрицательный минимум и) {io{x t-i) 0). Тогда v{x2,ti) 0 и, тем самым, операторы L(u)v, L{II)UJ определены в окрестности (х-2, ), а в самой точке L(u)(x2, t%)w 0, что противоречит установленной выше оценке L(U)UJ 0. Следовательно, и = д — v 0 в QQ. Но ui(0,t) = д(0) - v(Q,t) = 0, и поэтому ud.{0j) д (0) Лг]. С другой стороны, поскольку v(x,t) 0 и v(0,t) = 0, то vx(0,t) 0. Таким образом,\их\ = \sx\ = Ф \УХ\ N\ — М\ при х — 0, т.к. Ф 1. Аналогично, полагая х = 1 — х для функции s (;r,f) = 5(1 — x,t), s (0,) = 0, приходим к предыдущему неравенству на линии х — 1 л; = 0. Лемма доказана. Лемма 3. Для решений задами (4), (2) справедлива оценка с постоянной М\, не зависящей от є. Доказательство, В области Г?о = {(я,01М 0} рассмотрим уравнение Для получения оценки vt на прямой t — 0 используем барьер д — g{t). t Є [0, о]: По построению iv(x,t) — \(x,t) — u(x,t) 0 на границе области П0 = {x,t\0 х Имеем: 5 JVi = 2АЩ1- e\g"\ = 1\\(а{а + l)e/2)qata l іЩаї/2)і tn l (2Мі [)ає(2іо) 1. Выбирая to = а г/4, вычислим Lyw = L X — Lit [Ьщ = Lu) : LlW С - 2Mt \ С = a{M)\\u0, u 0, u 0 j + Ь- При є 8AI(aC) l получим L\\v 0. Из последнего неравенства, как и выше, следует, что w — А — и 0 в По и тем самым ut(x,0) д {0) N\ = 8M(as) l = МіЄ 1. Полагая й — —и, А — —UQ(X) + g(i) и, повторяя предыдущие рассуждения в По, придем к неравенству -( (.1.-,0) = — й/(.г,0) / (0) - і \ т.е. ((((ж,0) Л/і -1. Аналогично получается оценка nt при = 1. Поскольку iit(0,t) — ut(l,t) = 0, то неравенство (10) установлено. Лемма доказана, Лемма 4 (Об оценке \их\ в Q). Пусть выполнены предположения (г), (И) и неравенства (6),(8). Тогда для решения u(x,t,s) задачи (4),(2) справедлива равномерная по є,о оценка Доказательство. Продифференцируем обе части (4) по х и положим ux = В результате придем к уравнению Представим F3 в форме где fi определены в (3) (p = p при \Uz\ 1). Для оценки max jgj функцию z — z(u) необходимо выбрать так, чтобы выполнялось неравенство Оценка \q\ на промежутке s [0, m], т -С 1. Представим функцию qF в форме: qF — Ф + (/4 сФ, Ф = (aozf) q4z — 22Fi, Ф = jj(oo ) — F3. Чтобы получить неравенство (14), необходимо доказать, что Ф О, Ф 0. Сначала построим z(u) как решение уравнения: где фиксированное /3 0 подчинено неравенствам / /5 1 — 7 — / (/ определены в (и)), Л 0 будет выбрано ниже. Тогда zs = \z \ = ЛЙОЧ + „)- ; .- = A (7« (Ш + =о)"Ч + 0 А; А с Аг/, причем = z" 0 п с" = -1 [A/?(s + 0) _I + ЧЬ Гельдеровская непрерывность производной. В силу доказанных оценок \\и\\ + \\их\\ М, можно рассматривать (4) как линейное уравненпе с ограниченными коэффициентами. Продолжим решение задачи (4),(2) нечетным образом через прямые .г = 0,1, полагая u(x,t) — — и(к - х, і) при х 0, к = О и при х 1, к = 1. Сначала продолжим решение через прямую х = 0. Положим Определим операторы Lu+ и Lu для переменных ( 0 и х = — 0 соответственно: Lu+ = аи% + u+t — r(tf+)w+ = —Ь, L« = —аихл U7t [— а{ Уравнение для продолженного таким образом через прямую х = 0 решения задачи (4),(2) принимает вид: Аналогичным образом, полагая u(x,t) — —«(1 — x,t), строится продолжение решения и при х 1. Коэффициенты уравнения для продолженной функции it(x,t), (x,t) Є D — {{$,t) I - 1 x 2, 0 t 1} при этом остаются ограниченными. Внутри области D построим область DQ Є С 2+а Q 0, совпадающую с Q. при [x,t] Є [0,1] х [0,1] с гладкой границей 8DQ С2+а, так, чтобы dD0 = Uj(rt), где Г = {(ж, і) t = ft, -1/2 а: 3/2}, ft = 0,1, Гк О, А; = 2,3, Г2 : х = Фо(і),і Є [0,1] и Г3 : х = &(/), [0,1] - кривые, соединяющие точки (-1/2,0) п (-1/2,1), (3/2,0) и (3/2,1) соответственно. Для продолженного в Do решения рассмотрим задачу Дирихле По построению на границах Г\, ft = 0,1, функция u f. удовлетворяет условию Липшица Следовательно, u(x,t) С1+а(Т/.)ь ft = 0,1, а 0. Поэтому для решений полученной задачи имеет место следующая оценка ([34],лемма 8.2,гл.З): Ы2\\?к СоК2ЬіІІ2іП + 0,(1X1,1 11) ЕЕ Ми (16) где (, t) Є C2+Q{ Д)), a 0, = 0 в D{0 D Q и = 1 в fi. Здесь L , г = 1,2- это некоторые окрестности кривых Г , ft = 2,3, сШо \ (Го U Гі) DQ заключены между Г2 и 72, Г3 п 7з, где 72- ж = Фо{ї)+р, 0 /9 1/4, 0(0) = о(1) = -1/2, Ао( )ЄС3[0,1], (fc)=0, ft = 0,1, / = 1,2,3 Аналогично определяется 7з- " Так как = 1 при (x,t) Є fi, то in оценки (16) следует, В силу теоремы 1 из п.7 введения [34] Установим разрешимость квазилинейной задачи (4),(2) в I V22(fi). В уравнении (4) произведем подстановку и = p(x)u;(x,t), р — 2 — с х, 1 р 2. Полученную для tu(x t) задачу включим (при т — 1) п следующее семейство (г Є [0,1]) краевых задач: В области Ло С С2+а построим функции фгт Є C2+a(dDo) фгт = фт при (x,i) OQCIODQ (0 г g; 1). Для решений гі(х,і;т,г) аппроксимированной таким образом задачи (17) (обозначим ее (17,-)) используем теорему Шаудера (теорема 2 из п.7 введения ([34], стр. 145). Так как для решения задачи (17) выполняется оценка и при г — 0 задача (17,-) имеет единственное решение и = 0, то задача (1"і) при т = 1 разрешима в C2+0I(DQ) согласно теореме 3 из п.7 введения ([34], гл.6) Поскольку u(x,t) B(Q) и оценки норм u(x,t;r) в B(D0) равномерно ограничены относительно г, то u(x,t) Є И (П) находится предельным переходом при г — 0 3. Принадлежность u(x,t,;f) пространству В(П). Покажем, что u(x,t,s) CUa(Q П Qm), Qm = {(x,t) \ \u\ m}, Vm 0. В области (Qm ПП)в силу условий (г) и установленной гладкости u(xj,t), и Є C2+a{Q), коэффициенты уравнения (4)(а,Ь,а) Cl+a{Qm П ГІ), поэтому согласно теореме 4 из п.7 введения ([34], гл.4), имеем и{х\ t) C3+a{Qm П fl). Таким образом, доказано следующее утверждение: Лемма 5 (О разрешимости регуляризованной задачи). Существует по крайней мере одно решение u[x,t,s) Є B(Q) регуляризованной задачи (4),(2). Этот параграф посвящен обоснованию предельного перехода по параметру регуляризации с использованием метода монотонности [33, 34]. Введем обозначения: и — и(х ,е), є = , п Є Ar, Qm — {(х, t) \ \и\ т Q 0}. В настоящем параграфе в некоторых случаях вместо и будем писать ип — решение регулярпзованного уравнения (4). Лемма 6 (Гельдеровская непрерывность решений). На множествах Q.m решения задачи (4), (2) непрерывны по Гелъдеру равномерно относительно 0: Доказательство. В случае эллиптического уравнения (4) применим построения С.Н. Кружкова [29]. В силу оценки (11) Vi [t\, ] и {x ii 2) Є [ Ь-Ї З], где [.І;І,І 2] х [tiyti] Є П,„, имеем Требуется доказать, что V(t, t -Ь h) Є [t\, fy], x\ +1 x X2 — I Для функции и = д — v эллиптический оператор L[u)to = L{u)g — L(u)v = o Vx + t ff - cr(w) 0 отрицателен, так как — L(u)v On L(u)g 0. Покажем, что w 0 в QQ. Пусть это предположение не выполняется и в некоторой точке (xi,t\) Є Qo достигается отрицательный минимум и) (uj(\,ti) 0). Тогда v(x\,ti) 0 и, тем самым, операторы L(u)v, L(u)ui определены в окрестности (#1, t\), а в самой точке L(u)(xi, t\)u 0, что противоречит установленной выше оценке L(K)U! 0. Следовательно, и = д — v 0 в QQ. НО u (0,t) = д(0) — v(0,t) — 0, и поэтому ux(0,t) д (0) Л\. С другой стороны, поскольку v(x,t) 0 п v(0,t) = 0, то i x{0,t) 0. Таким образом, \их\ — \sx\ = Ф г;г Лгі = М\ при х = 0. т.к. Ф 1. Аналогично, полагая х = 1 — .г, для функции Si(.l\t) = s(l —,),$ (0,) = 0, приходим к предыдущему неравенству на линии х — 1 — х — 0. Доказательство оценки Цг Цап полностью аналогично доказательству соответствующей оценки в гл.1 2 (лемма 3). Лемма доказана. 3. Оценка максимума модуля пространственной производной. Параграф посвящен доказательству оценки модуля пространственной производной решения. Оценка устанавливается с помощью дифференцирования уравнения регуляризованнои задачи и использования подстановки и = z(u)q(x,t). При специальном выборе функции z(it) в трех областях оценивается max / . Лемма 3 (Глобальная оценка г ). Для решений и{х,І) Є B(Q) задачи (3), (2) имеет место оценка с постоянной Л/г, не зависящей от параметров регуляризации є и SQ. Доказательство. Продифференцируем обе части (3) по х и, полагая их = -:(«) /» (-М) Є (ft Л По) о = {(;М) \ М 0}г получим следующее уравнение для функции q(x, t): Здесь сі = (Zaz q+az+bQ -i+ias-fyzq; c2 = 2z z-hite-aQ; qF = Li Ф ; -Фк = Fft_iff + \zq4\ k - M; Ф - o(s-7 ),; F0 = i 7; Fl = Flu)+Fll\ F[0] = eufz-h o- if = g- e- biS- -1 -й0 ї 7; F i = 5zboss 7 - Szfbf)S l + axz s 7; Fz = crt s-7. Для оценки SUPQ \q\ найдем функцию z = z(u) так, чтобы для некоторого фиксированного числа N выполнялось неравенство Оценка \q\ на промежутке s Є [0, т], m С 1 Сначала построим z(u) на некотором промежутке \и\ = s [0,?гс] с фиксированной постоянной m С 1 как решение уравнения где / определено в (гіг). Тогда причем Выберем достаточно малое фиксированное число », 0 m С 1 так, чтобы выполнялись неравенства Сначала (12) докажем при к — 2: Оценим ф0 : Пусть \гц\ 1, s to. Тогда где постоянные Вычислим максимум функции ( То. При s 6Q (TQ{U) = Ф 1(1) /4(1 о 04, где Ф(1) = / (1 - Є)Ч- Отсюда Kl - (l)j-( (l - ±) Полагая ;/ = , имеем TQJ = Ф 1{1) 4?/3(1 — 2;;)(1 — ?)3, следовательно, максимум функции OQ достигается в точке / = , т.е. s; = . Поэтому maxKI = K(f) - -ЧЩ)8і = Л , Nz = (1)( тем самым /v = !\\NzN-1 Положим где постоянная I\TA = (/? — 1)2" не зависит от S,SQ. Тогда при достаточно малом со (t(j Л Л -1) имеем Ф. 0. Поскольку 7Q = 0 при s о, то неравенство Ф2 0 в этом случае очевидно. Продолжая оценку (12), докажем ее для Ф : находим Фз 0. Докажем, что Ф 0. Рассмотрим д4г-1Ф4- В силу предположений (ш) имеем: Подставляя вместо 5 в правую часть ш = miiiK- --]13 , mo}, придем к неравенству Ф4 0. Покажем, что -1Фз 0. В силу условия (ш): При \qf yy = їц, имеем ФІ 0. Неравенства (12) доказаны (Фд. 0, А = 1,4) п, тем самым, доказана справедливость оценки (11) при \q\ N{m) — тйх{1,ііі,іі2,щ} на промежутке s 6 [0,m]. Для получения оценки (11) при s Є [m, Л/] функция z{s) [s — \и\) определяется in решения следующей задачи Кошп: Положим что обеспечивают непрерывность функций г А-, А: = 0,1 в точке s — т: Постоянная .4 0 будет выбрана ниже. Интегрируя (13), находим Полагая, как и выше, qF = Y ,k=i к и учитывая, что a Q = 0 при s т SQ, получим (Щ 0. Покажем, что Ф ОД- = 1,3,4, Ф : Зафиксируем постоянную л, подчиняя ее неравенству А С Тогда Ф.1 0. Выбирая \q\ достаточно большим, получим остальные оценки: тах[Ь + \Ь0\пГ1 + КІЯІЛГ Ч Аналогично оценим Ф2 и $i: Л/]. Подчиним \q\ неравенству \q\ j = щ. Тогда Ф 0. Докажем, что Фі 0: С = С і(т, Лі) = max blz j при (;с, t) П, s є [т, Л/]. ПРП М ЛЛа = »0. ПОЛУЧИМ Фі 0. Итак, неравенство (12) доказано при s [m, Л/]. Таким образом, оценка (11) справедлива при Построенная функция -(«) непрерывна вместе с (м) при г/{ = s Є (0,Л7], но, возможно zss(m — 0) :м(т0), Поэтому предварительно сгладим функцию ::(»} в окрестности точки .5 = т с сохранением знака оператора qF 0 и тем самым окончательно построим нужную функцию z(n)i для которой выполняется (11). Следовательно, во внутренних точках 12ц = {x,t\ \и\ 0} max / N достигаться не может, так как такое предположение вступает в противоречие с оценкой (11), согласно которой qL\q 0. Учитывая (9), находим В левую часть уравнения (1) подставим вместо и функцию p[x,t) полученную функцию обозначим f(x,t): Запишем уравнение (1) с правой частью f(x,t): Поскольку ipu = 0, то н (3) можем записать Таким образом, функция p{x,t) является точным решением задач (9),(2) и (10),(2). 4. Вычислительные алгоритмы. 1. I метод. В области Q = [0, /] х [0, Т] введем равномерную пространственно-временную ССТКу й)}1Т Qfi х йу, где Данный метод основывается на решении отдельных задач по разным направленням переменной t. Задаче (1), (2) поставим D соответствие разностную схему Кранка-Ннколсона: Предложенный итерационный метод по существу является одной из реализации итерационного метода Зепделя. Итерационный процесс: о а) при 5 = 0 задается начальное приближение 2/ -, удовлетворяющее краевым условиям: где я - заданная малая величина. Если OFIO не выполняется, то s увеличивают на единицу и возвращаются к пункту б). 2. II метод. В области Q = [0,/] х [0,Т] введем равномерную пространственно-временную сетку Qhr = &h х йті где Краевой задаче (3), (2) поставим в соответствие разностную схему: - при уі О Разностная схема (11) является нелинейной, поэтому для ее реализации используем итерационный метод Зейделя. Итерационный процесс: о а) полагаем 5 = 0 п задаем начальное приближение Уц% удовлетворяющее краевым условиям: д) повторяєм пункты б)-г) до тех пор, пока І У у — ї/,-у j я, где а заданная малая величина. 5. Примеры расчетов. Приведем некоторые примеры расчетов. Сравним результаты, полученные предложенными методами с автомодельными решениями. 1. Пример 1. а) Сравнение с автомодельным решением u(x,t)(4). Расчеты проведены Покажем результаты численного решения тестовой задачи (9),(2) первым методом и соответственно (10),(2) вторым методом при сравнении с тестовым точным решением. а) Возьмем функцию p[x,t) (точное решение) в виде Расчеты проведены при оптимального значення є. Точное решение задачи (10),(2) возьмем в виде Начальные данные В следующей таблице начальные данные для автомодельного решения (пример 1) Табл.7 льное значение параметра регуляризации є — 10"1. При уменьшении є точность расчетов значительно снижается. 4. Обсуждение результатов расчетов. По результатам приведенных примеров можно сделать вывод о том, что I метод показывает высокую точность только в частных случаях. Так, в случае прямой где я - заданная малая величина. Если OFIO не выполняется, то s увеличивают на единицу и возвращаются к пункту б). 2. II метод. В области Q = [0,/] х [0,Т] введем равномерную пространственно-временную сетку Qhr = &h х йті где Краевой задаче (3), (2) поставим в соответствие разностную схему: - при уі О Разностная схема (11) является нелинейной, поэтому для ее реализации используем итерационный метод Зейделя. Итерационный процесс: о а) полагаем 5 = 0 п задаем начальное приближение Уц% удовлетворяющее краевым условиям: д) повторяєм пункты б)-г) до тех пор, пока І У у — ї/,-у j я, где а заданная малая величина. 5. Примеры расчетов. Приведем некоторые примеры расчетов. Сравним результаты, полученные предложенными методами с автомодельными решениями. 1. Пример 1. а) Сравнение с автомодельным решением u(x,t)(4). Расчеты проведены Покажем результаты численного решения тестовой задачи (9),(2) первым методом и соответственно (10),(2) вторым методом при сравнении с тестовым точным решением. а) Возьмем функцию p[x,t) (точное решение) в виде Расчеты проведены при оптимального значення є. Точное решение задачи (10),(2) возьмем в виде Начальные данные В следующей таблице начальные данные для автомодельного решения (пример 1) Табл.7 льное значение параметра регуляризации є — 10"1. При уменьшении є точность расчетов значительно снижается. 4. Обсуждение результатов расчетов. По результатам приведенных примеров можно сделать вывод о том, что I метод показывает высокую точность только в частных случаях. Так, в случае прямой линии склеивания потоков (Пример 1) получена быстрая сходимость указанного метода. При невыпуклых начальных условиях (Пример 2,6) линия склеивания потоков и = 0 имеет немонотонный характер (рис, 4а,б). В этом случае, применяя I метод, получаем большую погрешность. II метод, основанный на эллиптической регуляризации исходного уравнения, несмотря на медленную скорость сходимости, во всех приведенных случаях дает меньшую погрешность. Выбрано линии склеивания потоков (Пример 1) получена быстрая сходимость указанного метода. При невыпуклых начальных условиях (Пример 2,6) линия склеивания потоков и = 0 имеет немонотонный характер (рис, 4а,б). В этом случае, применяя I метод, получаем большую погрешность. II метод, основанный на эллиптической регуляризации исходного уравнения, несмотря на медленную скорость сходимости, во всех приведенных случаях дает меньшую погрешность. Выбрано оптимальное значение регулярпзатора в уравнении (3) є = О,1 (Пример 3).Оценка пространственной производной
Разрешимость регуляризованной задачи
Оценка максимума модуля пространственной производной
Вычислительные алгоритмы
Похожие диссертации на Задача Дирихле для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции
