Введение к работе
Актуальность темы. Параболически» уравнения с меняющимся направлением эволюции описывают значительное количество задач, возникающих в математической физике Например, такие уравнения возникают в гидродинамике при изучении движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости, в теории переноса при описании процессов переноса нейтронов в ядерном реакторе, переноса радиации, диффузионных процессов рассеивания электронов в металле, проникновения ж-лучей и j~ лучей сквозь рассеивающую среду, движения частиц (нейтронов, фотонов, электронов и т д ) в некоторой среде и других аналогичных процессов Так же они возникают в геометрии, популяционной генетике
Первыми работами, посвященными уравнениям параболического типа с меняющимся направлением времени, по-видимому, были работы М Жев-ре Имеется целый ряд работ отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлены и исследованы краевые задачи для такого вида уравнений Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением эволюции Простейшей моделью является уравнение вида
д(х)щ + Lu= f д(х) = sgnac, (1)
где L — эллиптический оператор второго порядка Отметим, что граничные условия для уравнений вида (1) задают на части верхней и части нижней границы, и они представляют собой, по сути, одно граничное условие Подобные задачи выходят за рамки общих вопросов теории граничных задач Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С А Терсенова, А М Нахушева, И Е Егорова, А А Керефова, Н В Кислова, И М Петрушко, С Г Пяткова, С Г Подгаева, Т Д Джураева, В В Катышева, X X Ахмедова, М С Боу-енди, П Грисварда, К Д Пагани, Г Таленти, О Арены и других авторов Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах
типа W% решение существует и единственно С А Терсенов изучал эти задачи с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций Как известно что в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных данных без дополнительных условий полностью обеспечивает принадлежность решения пространствам Гельдера Нр'р/ Но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных далеко не обеспечивает принадлежность решения этим пространствам С А Терсенов разрешимость таких задач сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравнения Им были в простейших случаях получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи в пространствах iff р/ при р > 2 При этом условия ортогональности, которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде
В работах С В Попова так же исследовался вопрос о существовании решений краевых задач для уравнения (1) в пространствах Гельдера, выписывались условия типа ортогональности, при выполнении которых при повышении гладкости данных задачи повышается и гладкость решений Отметим, что в одномерном случае число необходимых условий ортогональности конечно В то же время при многомерном случае число условий ортогональности бесконечно По-видимому, впервые этот факт был отмечен в работах С Г Пяткова Им доказаны теоремы о безусловном повышении гладкости решений с некоторым весом
Можно сказать, что на сегодняшний день полной теории краевых задач для уравнения (1) не существует
В представляемой диссертационной работе рассматриваюется уравнение (1), где оператор L — эллиптический оператор 2п-го порядка Среди работ, посвященных уравнениям (1) высокого порядка, отметим работы ИЕ Егорова, BE Федорова, С В Попова, ТД Джураева, С Абдиназа-рова, Б Жураева, X X Ахмедова, А И Кожанова Ф X Мукминова, И М
Биклулова, А В Чуешева, ГФ Мирзиевой, Ф Г Мухлисова и др В работах С В Попова рассматривались параболические уравнения 2п-го порядка с меняющимся направлением времени Применяя теорию сингулярных уравнений, им доказана гельдеровская разрешимость поставленных задач, и было установлено 21(2п — 1) + 2 достаточных условий, обеспечивающих принадлежность решения данным пространствам В ряде его работ с целью выведения необходимых и достаточных условий, обеспечивающих гельде-ровскую разрешимость, были рассмотрены общие условия сопряжения для параболических уравнений четвертого порядка, и для них были найдены зависимости показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания
Цель работы Цель диссертационной работы — нахождение 2п,1 необходимых и достаточных условий разрешимости (2п1-разрешимость) в пространствах Гельдера, исследование качественных свойств решений, в частности, определение условий повышения гладкости решения при увеличении гладкости начальных данных
Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений параболического типа, теории функций и теории интегральных уравнений, в частности, метод потенциалов, с помощью которых изучение краевых задач сводится к исследованию систем сингулярных интегральных уравнений
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты поставлены и исследованы краевые задачи в гельдеровских пространствах для параболических уравнений 2п-го порядка с меняющимся направлением эволюции с общими условиями склеивания, явно представлены условия 2п-разрешимости, в случаях п = 2 и п = 3 дополнительно найдена зависимость показателей гельдеровских пространств от весовых функций склеивания
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации
носят теоретический характер Все результаты диссертации являются новыми Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах
Область приложений полученных результатов — краевые задачи для неклассических уравнений математической физики Полученные в этой работе результаты могут стать основой для постановки и исследования новых краевых задач для уравнений с меняющимся направлением эволюции
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинаре "Уравнения переменного типа" профессора Попова С В (НИИ математики при ЯГУ), на научной конференции "Лаврентьевские чтения РС(Я)" (Якутск 2003, 2005, 2007), на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (Якутск, 2003, 2005), на IV и V Международных конференциях по математическому моделированию (Якутск 2004, 2007), на Всероссийской школе-семинаре "Математическое моделирование развития северных территорий' (Якутск 2006, 2007)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах — тезисах 9 докладов и 4 статьях [1]-[13]
Работа поддержана конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области математики Министерства образования РФ по программе "Университеты России" за 2002-2005 гг
Работа поддержана научной программой "Проведение научных исследований молодыми учеными" Федерального агентства по науке и инновациям Министерства образования и науки РФ за 2006 г — стажировкой в Институт математики им С Л Соболева СО РАН (Новосибирск)
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, заключения и списка литературы Общий объем составляет 114 страниц Список цитируемой литературы содержит 171 наименований Формулы в каждой главе нумеруются тремя на-
туральными числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер параграфа, третье - номер формулы в параграфе
Похожие диссертации на Разрешимость краевых задач для 2n-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции
