Глобальная разрешимость краевых задач для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений Терсенов Алкис Саввич

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Оценка решения и теорема единственности для задачи Дирихле 35

1 О превентивной роли градиентного члена 36

2 О стационарной задаче 43

3 О превентивной роли диффузии 46

4 Стационарный случай 52

5 Примеры 54

6 Теорема единственности для параболических уравнений 58

7 Теорема единственности для эллиптических уравнений 63

ГЛАВА II. Квазилинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными 65

1 Оценка градиента решения задачи Неймана и третьей краевой задачи 66

2 Оценка градиента решения задачи Дирихле 74

3 Теоремы существования 80

4 Примеры 84

5 Примеры неравномерно параболических и вырождающихся уравнений 88

6 Поведение решения при неограниченном возрастании времени 90

ГЛАВА III. Радиально симметричный случай 94

1 Сведение к одномерной задаче 94

2 Оценка градиента 96

3 Теоремы существования 105

4 Примеры НО

ГЛАВА IV. Многомерные квазилинейные параболические и эллиптические уравнения 111

1 Гельдерова непрерывность решения по времени 112

2 Граничная оценка градиента решения задачи Дирихле 117

3 Глобальная оценка градиента 122

4 Другие краевые задачи и задача Коши 131

5 Оценка градиента в норме Са/2'а 133

6 Примеры 136

7 О несуществовании нетривиальных решений для одной задачи Неймана 139

8 Эллиптические уравнения, двумерный случай 144

9 Об уравнениях Гамильтона - Якоби 149

ГЛАВА V. Задача Дирихле для эллиптических и параболических уравнений в невыпуклых областях 152

1 Оценка градиента 153

2 Теоремы существования и единственности 166

3 Двумерный случай 169

4 Некоторые замечания 171

ГЛАВА VI. Начально краевые задачи для ультрапараболических уравнений 172

1 Параболическая регуляризация 172

2 Априорные оценки и, их и иу 173

3 Априорные оценки щ и иуу 181

4 Теорема существования и единственности 183

5 Другие краевые задачи 186

6 Краевая задача в неограниченной области 188

Литерatура 194

• Теорема единственности для параболических уравнений
• Примеры неравномерно параболических и вырождающихся уравнений
• Оценка градиента
• Граничная оценка градиента решения задачи Дирихле

Введение к работе

Уравнения в частных производных первого и второго порядков лежат в основе математических моделей самых разнообразных явлений в механике, физике, гидродинамике, биологии и других областях знаний. Например, квазилинейное параболическое уравнение описывает нестационарные процессы теплопроводности, движения жидкостей и газов, оно возникает при математическом моделировании процессов химической кинетики, пограничного слоя, процессов роста и сосуществования популяций и т. п. Такое широкое распространение этих уравнений объясняется тем, что выводятся они из фундаментальных законов сохранения (материи, импульса, энергии).

В настоящей диссертации рассматриваются квазилинейные эллиптические, параболические и ультрапараболические уравнения второго порядка, а также уравнения Гамильтона-Якоби.

Параболическим и эллиптическим уравнениям второго порядка посвящено огромное количество статей и книг. Упомянем лишь некоторые наиболее известные монографии. По параболическим уравнениям - это книги О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой [44], В.С.Белоносо-ва, Т.Н.Зеленяка [7] и, сравнительно недавно вышедшая, книга Г.Либерма-на [54], по эллиптическим уравнениям книги О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [45] и Д.Гилбарга, Н.Трудингера [14]. Также отметим монографию Н.В.Крылова [40] по нелинейным параболическим и эллиптическим уравнениям.

Уравнениям Гамильтона-Якоби также посвящено большое число публикаций, упомянем монографии А.И.Субботина [64], П.-Л.Лионса [55] и Г.Барлеса [8].

Ультрапараболические уравнения изучены значительно хуже, поэтому остановимся на них несколько подробнее. Такие уравнения описыва ют нестационарные процессы переноса (тепла, массы, импульса), когда в одном направлении конвекция существенно превосходит диффузию и членом, отвечающим за диффузию в этом направлении, можно пренебречь. Впервые ультрапараболические уравнения были введены А.Н.Колмогоровым [43] для описания некоторых диффузионных процессов (см. также [44]). Ультрапараболические уравнения возникают также в теории теплопередачи в движущейся среде при большом числе Пекле. Рассмотрим течение в трубе радиуса R. Известно (см. [49, параграф 35]), что если число Пекле Ре = RePr (здесь Re - число Рейнольдса, а Рг - число Прандт-ля) велико по сравнению с 1, тогда конвективный перенос тепла в продольном направлении х существенно превосходит молекулярный перенос (диффузию) и членом ихх можно пренебречь. Если трактовать и как концентрацию смеси, то член ихх (продольная диффузия) пренебрежимо мал при условии, что коэффициент диффузии мал по сравнению с aR, где а -средняя по у скорость в направлении х (см. [49, параграф 21]).

Ультрапараболические уравнения возникают при изучении нестационарного пограничного слоя (см. [53], [80]), где вдоль обтекаемого тела диффузия пренебрежимо мала в сравнении с конвекцией. Такие уравнения описывают динамику развития популяции с учетом возраста как независимой переменной [38]. Также эти уравнения описывают процесс рассеивания электронов (см., например, [89]), где возникает уравнение Фоккера-Планка.

Интересно отметить следующий факт. Асимптотическое поведение положительного решения задачи Коши для параболического уравнения щ + (ия)х = ихх + иуу, 1 q § дается в терминах решения ультрапараболического уравнения щ + (ич)х = иуу (см. [26] - [28]). Таким образом, эффект диффузии в направлении х для больших значений времени "исчезает".

Бблыная часть диссертации (главы 1-5) посвящена вопросу глобаль ной классической разрешимости краевых задач для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений. Ультрапараболическим уравнениям посвящена заключительная, шестая, глава.

Хорошо известны классические результаты Шаудера-Каччиопполли о разрешимости краевых задач в пространствах Гельдера С2+а для линейных строго эллиптических уравнений с коэффициентами и правой частью из Са. Они гарантируют разрешимость краевых задач для уравнений, коэффициенты и правая часть которых - непрерывные по Гельдеру функции. Эти результаты неулучшаемы и все предположения в них вызваны существом дела. Аналогичная ситуация имеет место и для линейных параболических уравнений. Отметим здесь следующий результат М.Д.Ивановича: Как известно, просто непрерывности коэффициентов и правой части уравнения не достаточно для ограниченности вторых производных решения. В! [25], [26] было показано, что если в линейном параболическом (или эллиптическом) уравнении модуль непрерывности коэффициентов и правой части удовлетворяет условию Дини, то старшие производные также равномерно непрерывны, но с "худшим" (не удовлетворяющем условию Дини) модулем непрерывности. С.Н.Кружковым [36] было показано, что для любого заданного модуля непрерывности, не удовлетворяющего условию Дини, можно указать пример линейного уравнения, один из коэффициентов (или правая часть) которого имеет заданный модуль непрерывности (остальные коэффициенты можно полагать равными константе) и которое имеет решение с неограниченными старшими производными.

В отличие от линейных задач существование глобального решения в квазилинейном случае не является простым следствием гладкости • данных задачи. Принципиальную роль здесь играет характер нелинейности. Остановимся на параболических уравнениях. В зависимости от характера нелинейности классическое решение может либо существовать для любых значении времени (глобальное решение), либо разрушаться за конечный промежуток времени (локальное решение). Под разрушением решения мы понимаем обращение в бесконечность максимума модуля решения или максимума модуля градиента решения. Причем при разрушении градиента решения само решение может оставаться ограниченным. Кроме того, вообще говоря, для доказательства глобальной разрешимости в квазилинейном случае приходится требовать непрерывной дифференцируемости коэффициентов и правой части уравнения. Отметим, что локальная разрешимость краевых задач и задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений имеет место без каких-либо существенных ограничений на характер нелинейности (см., например, [54], [ 63]). Аналогичная ситуация имеет место и для квазилинейных эллиптических уравнений. Здесь под глобальной разрешимостью подразумеваем разрешимость краевых задач без условий на малость области.

Одной из основных задач диссертации является обобщение известных результатов, гарантирующих глобальную разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений.

Как известно, различные теоремы функционального анализа о непо-движной точке сводят вопрос о разрешимости краевых задач к получению априорной оценки в подходящей норме. Т. е. необходимо переформулировать нашу задачу в терминах отображения Т подходящего банахова пространства В в себя так, чтобы неподвижная точка и отображения Т (т. е. и = Ти) была решением этой задачи. Мы будем пользоваться теоремой Лерэ - Шаудёра [51], а точнее, ее частным случаем (см. [14], теорема 11.3). Для удобства дадим формулировку этого частного случая.

ТЕОРЕМА. Пусть Т. - компактное отображение банахова пространства В в себя. Предположим, что существует постоянная С такая, что для всех, и Є В и X Є [0,1], удовлетворяющих уравнению и — ХТи, справедливо неравенство (1) 1М1в: С.

Тогда отображение Т имеет неподвижную точку.

В данной теореме неравенство (1) и есть требуемая априорная оценка. Априорная оценка - это оценка всех возможных решений задачи, в предположении их существования, через данные этой задачи. Под данными задачи понимаются коэффициенты уравнения, его правая часть, начальные и краевые условия, а также область, в которой ищется решение. В настоящее время не существует общего метода получения априорных оценок. Основными инструментами являются принцип максимума и метод домножения уравнения, которое мы решаем, на линейные комбинации неизвестных функций и последующего интегрирования по частям.

Априорные оценки не только являются средством, при помощи которого доказывается разрешимость задачи, но и представляют самостоятельный интерес, поскольку возможность получить оценку какой-либо нормы решения, не находя решение в явном виде и даже не доказывая его существование, несомненно важнё, для приложений, особенно если константа в оценке находится явно (как, например, в принципе максимума).

Общая процедура получения требуемой в теореме Лерэ - Шаудера априорной оценки решения u(t, х) является четырехшаговым процессом, состоящим из последовательных оценок следующих величин:

(I) sup u(,x) во всей области,

(II) supVu(t, х) на границе области ( в случае задачи Дирихле),

(III) supVu(,x) во всей области,

(IV) оценка Vu(t,x) в норме пространства Са во всей области. Каждая из этих оценок использует предыдущую, а последняя оценка используется в доказательстве существования решения, основанном на теореме Лерэ-Шаудера, где в качестве пространства В берется пространство cl+a.

Остановимся подробнее на этих шагах. Существует ряд достаточных условий, обеспечивающих ограниченность максимума модуля решения как для неравномерно, так и для равномерно параболических и эллиптических уравнений, (см., например, [14], [44], [45], [54], [71]). Сформулируем два наиболее часто встречающихся в литературе условия, каждое из которых обеспечивает глобальную ограниченность решения. Рассмотрим задачу Дирихле: (2) щ = Oij(t,х,и, Vu)uXiXj + f(t,х, и, Vu) в QT = (О, Т) х Q, П с Rn, (3) и{0,х) = ф(х) в Q, и =x(s), ST = (0,T)xdtl, ST где dij 0. Если выполнено одно из следующих двух условий: I (4) uf(t, х, и, 0) а\и2 + ос2 при (t, х, и) Є QT Х R, либо (5) /( ,х,Ц р) ( Р)№(а1р +а2) при (t,x,u,p)eQTxRn+\ где ai, OL2 - положительные постоянные, ТО решение задачи (2),(3) ограничено в QT при всех Т 0.

Отметим, что ни одно из этих условии не обеспечивает ограниченность решения задачи Дирихле, например, для уравнения (2) с f(t, х, и,р) = -Ci(t,x)Pi + \um + fo{t,x):

(6) щ + Ci(t,x)uXi = Ki(t, x)uXiXi + \um + f0(t,x), m 1

ни при каких значениях /СІ 0,А 0ИСІ.

Хорошо известно (см., например, [61], [52]), что решение задачи Дирихле для уравнения

щ = Аи + Хит,

где постоянная Л 0, а т 1, вообще говоря, разрушается за конечный промежуток времени. Т. е. существует t (0 t +00) такое, что maxu(,x ) —» +00 при t — t по крайней мере для одной точки х . Задача (6), (3) изучалась в [2], [7], [53], где были рассмотрены различные случаи разрушения решения за конечный промежуток времени. М.Шипо и Ф.Вейсслер в [19] рассмотрели уравнение щ + /i Vur = Аи + Хит, /і = const О с целью исследовать влияние члена \Vu\r на поведение решения задачи Дирихле. Затем последовали публикации ряда авторов (М.Члебик, М.Фила, П.Куитнер, Б.Каволь, Л.Пелетье, Ф.Супле, Ф.Вейсслер [20], [29], [42], [68], [69], [75] - [77] и др.) посвященных этому уравнению, где основной целью было определить для каких гит решение может разрушиться за конечный промежуток времени, а для каких существует глобальная оценка решения. Главным результатом этих исследований стало установление следующего факта: если т г, то положительное решение остаётся ограниченным для всех значений t 0, разрушение решения может наступать лишь в случае т г.

Отметим, что в случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения условия, аналогичные условиям (4) и (5), выглядят следующим образом: (4) и/(х, щ 0) 0 при (х, и) Є Q х R, (5) 1/(х,к,р) аі )РіРі(аг\р\ + а2) при (x)U)P)6fixR«+1. Второй шаг - получение граничной оценки градиента. Именно здесь проявляется принципиальное отличие неравномерно параболических и эллиптических уравнений от равномерно параболических и эллиптических. Напомним, что уравнение (2) называется равномерно параболическим, если отношение Л(,х,ц,р) Л(і,х,и,р) ограничено в QT Х Rn+1. Здесь О A( ,x,u,p)2 сцД ,х,«,р) A(i,x,u,p)2,V eRn\0.

Для равномерно параболических и эллиптических уравнений граничная оценка получается для широкого класса областей с единственным ограничением на структуру оператора - выполнение условия Бернштейна. В случае неравномерно эллиптических уравнений такая оценка имеет место лишь при дополнительных ограничениях на геометрию границы, а именно для областей с неотрицательной средней кривизной границы (критерий Дженкинса - Серрина [39]). В двумерном случае это условие означает выпуклость области. Для областей с положительной средней кривизной границы (невыпуклых, в двумерном случае) можно подобрать краевое условие (причем сколь угодно гладкое) так, что решение существовать не будет. Фактически решение само определяет свое поведение на границе. Аналогичные результаты имеют место и для неравномерно параболических уравнений (см. [54]). В этом смысле неравномерно параболические и эллиптические уравнения сродни вырождающимся линейным уравнениям, где в определенных случаях часть границы освобождается от краевого условия, поскольку решение само вырабатывает краевое значение (см.,,например, монографию О.А.Олейник и Е.И.Радкевича [55] по линейным вырождающимся уравнениям). Обычно граничная оценка получается на основе теорем сравнения построением подходящих барьеров. Этот подход был заложен в пионерских работах российского математика С.Н.Бернштейна в начале прошлого века [10] - [12] (см. также [8]).

Методы получения оценки в третьем шаге также восходят к С.Н.Берн-штейну. Уравнение дифференцируется по пространственным переменным Xkt к = 1,...,п, получающиеся уравнения умножаются на иХк и суммируются по &. Итоговое уравнение записывается для функции v = Vu2, либо для вспомогательной функции w = w(v). Затем оценка получается на основе принципа максимума с учетом полученной граничной оценки. Таким образом, приходится требовать дифференцируемость коэффициентов и правой части уравнения. В этом заключается еще одно отличие от линейных уравнений, где для получения классического решения требуется лишь гельдеровость коэффициентов и правой части. Кроме того, в силу нелинейности появляется ряд ограничении на производные коэффициентов и правой части. Этот подход был развит О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [44] - [48].

По многомерным квазилинейным эллиптическим и параболическим уравнениям отметим результаты Д.Е.Апушинской и А.И.Назарова [2], А.А.Архи-повой [3], И.Я.Бакельмана [4], М.П.Вишневского, Т.И.Зеленяка и М.М.Лаврентьева [10], А.В.Иванова [23], [24], Н.М.Ивочкиной и А.П.Осколкова [28], Л.И.Камынина и Б.Н.Химченко [33], О.А.Олейник и С.Н.Кружкова [54], Н.В.Крылова [38], Д.Серрина [72], Г.Либермана [54], а также Н.Трудингера [88].

Глобальная оценка модуля градиента решения является основной в том смысле, что после ее получения существование решения краевых задач доказывается без дополнительных предположений о структуре уравнения. Как при оценке градиента на границе, так и при получении глобальной оценки необходимо требовать выполнения условия Бернштейна. Напомним, что условием Берншнейна или Бернштейна - Нагумо называется условие на структуру нелинейного оператора, ограничивающее рост по градиенту. Оно заключается в том, что скорость роста функции /(, х, и, р) по р при р — +оо не должна превышать скорость роста главной части уравнения по р более чем на р2. Исторически условие Бернштейна возникло при изучении краевых задач для уравнения У"\Х) = f(x,y(x),i/(x)) при \х\ 1. С.Н.Бернштейн [10] сформулировал условия, обеспечивающие априорную оценку тах\у (х)\ : \f(x,y,p)\ А{х,у)р2 + В{х,у), Л+ОО \ПХ,У,Р)\ Ф(\Р\), J pdp у у = +оо. где А(х, у) и В(х, у) - ограниченные на множестве [—/, /] х [—М, М] функции. Спустя четверть века М.Нагумо [61] предложил более слабое ограничение ф(р) А.Гранас, Р.Гюнтер и Д.Ли [37] обобщили результат М.Нагумо, ослабив условие на ф : Г (7) / Jo +0° pdp 2М. ф(р) По поводу разрешимости краевых задач для обыкновенных уравнений см. также [22], [32]. В.Л.Камынин в [31], [32], изучая квазилинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными a(t,x,u,ux)uxx-ut = f(t,x,u,ux), где \f(t,x,u,p)\ a(t,x,u,p)il (p), показал, что для разрешимости краевых задач условие Бернштейна может быть заменено следующим: +°° pdp Г 2М, (8) / JK где \и\ М, иох К. Отметим, что аналогичный результат имеет место и для нелинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными [5]. Фактически условие (8) является аналогом условия (7) для параболических уравнений. В книге В.С.Белоносова и Т.И.Зеленяка [7] оценка максимума модуля градиента решения краевых задач для автономного уравнения (9) a(x,u,ux)uxx-ut = f(x,u,ux) доказывается посредством построения функционала Ляпунова. Условия на f(x,u,ux) формулируются в терминах продолжимости решений задачи Коши (10) а(х, у,у )у" = Дх, у, у ), у{х0) = у0, у (х0) = ух на весь промежуток изменения х при любых х$, Уо Уъ М.М.Лаврентьев [42], изучая задачу Дирихле для уравнения (9), выделил множество начальных данных, при которых задача Дирихле разрешима для всех t 0 без предположения о возможности продолжения решений задачи Коши (10) на весь отрезок изменения переменной х или, другими словами, без предположения о скорости роста отношения f(x,y,p)/a(x,y,p) по р. Отметим следующий факт. Известно (см., например, [3]), что для уравнения Аи = /(х, и, S/u) в случае непрерывной функции /(х, и, р) выполнения условия Бернштейна достаточно для того, чтобы из оценки maxu вытекала оценка maxVu. С.И.Похожаев [58] показал, что если вместо непрерывности функции / потребовать выполнение более слабого условия: / Є Lq(Ct), q п при и Є Wq (0,),0, С Rn, то условие Бернштейна уже не будет достаточным для получения оценки maxVu из оценки maxit. В [58] сформулировано условие на рост функции /(х, и,р) по р, при котором оценка maxu влечет оценку maxVu]. Это условие зависит от q и переходит в условие Бернштейна при q = +оо.

Последний шаг - получение оценки градиента решения в норме пространства Са - также требует дифференцируемость коэффициентов уравнения, но не требует дифференцируемости правой части. Здесь основные результаты были получены О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [45] - [47] и Н.В.Крыловым [39], [40].

Особое положение занимают уравнения с двумя независимыми переменными. В случае эллиптических уравнений это обусловлено существованием методов, работающих исключительно в двумерном случае, результаты получаемые этими методами присущи только уравнениям с двумя независимыми переменными и не имеют аналогов для уравнений с числом переменных большим двух. В первую очередь следует упомянуть метод квазиконформных отображений, который сравнительно легко дает априорную оценку в норме для (квазилинейных) равномерно эллиптических уравнений [31], [65]. Отметим здесь, что априорная оценка в С1+а решения квазилинейных равномерно эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными зависит лишь от постоянной эллиптичности и верхних граней модулей коэффициентов, и получается эта оценка без каких-либо предположений о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Упомянем также геометрический метод, основанный на свойствах касательных плоскостей для седловых поверхностей. Из этих свойств следует существование априорной оценки в С1 для решений как равномерно, так и неравномерно эллиптических уравнений вида а(х, у, иуих, иу)ихх + 2b(x, у, и, иХ1 иу)иху + с(х, у, и, их, иу)иуу = О в предположении выпуклости области [64].

По многомерным уравнениям следует также отметить результат, принадлежащий О.Кордесу [23]. Для квазилинейных равномерно эллиптических уравнений имеет место априорная оценка решения в норме С1+а, не зависящая от гладкости коэффициентов и правой части уравнения, если выполнено условие Кордеса, которое заключается в том, что предполагается малый разброс собственных чисел матрицы старших коэффициентов.

В 60-х годах С.Н.Кружков [34] предложил метод введения дополнительной пространственной переменной для исследования квазилинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной (см., также,

[35]). При помощи этого метода им была получена априорная оценка решения в С1+а без предположения о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Единственным структурным ограничением было условие Берн-штейна. На основе этой оценки Кружковым была доказана разрешимость краевых задач при минимальных, соответствующих линейному случаю, предположениях о гладкости коэффициентов. Вопрос о возможности построения классического решения без предположения дифференцируемое™ коэффициентов в многомерном случае остался открытым.

Значительная часть настоящей диссертации (главы 2 - 5) посвящена модификации метода Кружкова с целью ослабления структурных ограничений, гарантирующих классическую разрешимость краевых задач, и распространения этого метода на многомерные уравнения.

В последнее время появилось значительное число работ, посвященных ультрапараболическим уравнениям, где изучаются различные свойства решений таких уравнений. Среди них статьи В.С.Владимирова и Ю.Н.Дрож-жинова [12], СД.Ивасишена, Л.М.Тычинской и С.Д.Эйдельмана [27], A.M. Ильина [29],.С.Г.Пяткова [60], С.А.Терсенова [71] - [73], Д.Р.Ахметова, М.М.Лаврентьева и Р.Шпиглера [1], М.Эскобедо, Х.Васкеса и Е.Зуазуа [27], Н.Гарофало и Е.Ланконелли [34], Ф.Ласчиалфари, Д.Морбиделли [49], М.Манфредини [57], С.Полидоро и М.Рагуса [67] (см. также [13], [16], [18], [19], [43], [51], [56], [62], [76], [79], [14], [48], [58], [60], [66], [78]). В то же время вопросу разрешимости краевых задач посвящено сравнительно немного статей. Для коэффициента сі, зависящего лишь от t и х и / = f(t,x,y), разрешимость краевых задач следует из [73], в случае, когда с\ = Ъ\х + &22/, где 61,62 - постоянные, разрешимость задачи Дирихле доказана в [49], [57].

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Первая глава посвящена оценке максимума модуля классического решения задачи

Дирихле для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. В первом параграфе исследуется влияние градиентного члена на поведение решения. Рассмотрены уравнения (11) щ + ф,х)и = eAu + \um + f(t,x), в QT = Qx(0,T), Q с Rn и (12) ut + c{t,x)\Vu\r = e&u + \um + f(t,x), в QT = ttx(0,T), ficR" с условиями (13) u(0,x) = «o(x), и = 0, 5г = Шх(0,Г). ST Отметим, что проблема глобальной разрешимости задач (11), (13) и (12), (13) при гладких Q, С, / и Г{ 2, г 2 эквивалентна установлению глобальной ограниченности решения. Полагаем, не ограничивая общности, что область Q лежит в полосе —1\ х\ h, кроме того предполагаем, что ог1(х) К\. Для простоты изложения сформулируем здесь результат в случае f(t,x) = 0. Остановимся сначала на задаче (11), (13). Если ci( ,x) A(2/i)miir1m-ri либо c1(t,x) -X(2l1)mK]n-ri, то VT 0 имеет место оценка К ,х) 2Кх1г. Если, дополнительно, т\ тп, то эта оценка имеет место при с\ (t, х) 0 либо ci(t,x) 0. Сформулируем теперь результат для задачи (12), (13). Если c(t,x) \(2l1)mK1?-r, щ{) 0 и m - четное,то VT 0 в QT имеет место оценка \u(16 Если, дополнительно, г m, то эта оценка имеет место при с(, х) 0. Можно дать простую физическую интерпретацию этого результата для Т{ = 1,г = 1;2,3. Если составляющая скорости хотя бы в одном направлении достаточно велика, то конвективный перенос, приносящий холодное вещество с границы области, превалирует над членом ит (экзотермическая реакция) и не допускает неограниченного роста температуры и. Отметим также, что в [75] краевая задача (12), (13) была предложена в качестве модели для описания динамики развития популяций. Второй параграф главы 1 посвящен стационарному случаю. Получены аналогичные результаты. Приведем одно простое следствие. Рассмотрим следующую задачу (14) Сі{х)иХі = єАи + Хит, в ft, ft.cR", (15) и = 0. an С.И.Похожаевым было показано (см. [57]), что если с = 0,г = 1, ...,п, то существуют нетривиальные решения задачи (14), (15). Из результатов второго параграфа следует, что если сі 0 либо сі 0, то существует лишь тривиальное решение задачи (14), (15).

Отметим, что как в стационарном, так и.в нестационарном случае источник может иметь более общий. Вместо Хит можно брать функцию Q{u) относительно которой предполагаем, что \Q(z)\ Q{2l\K\ при \z\ 2liKi, в частности Q(u) = еи. В этом случае в условиях на с\ (с) вместо Х(211К1)тК 1-Гі (Х{211К1)тК п-Г1) надо брать.Q(2/i i)iir1m-ri (Q(2l1K1) K™ r).

В третьем параграфе исследуется влияние диффузии на поведение решения. Дадим здесь лишь два следствия общего результата. Рассмотрим уравнение (16) щ = KiUXiXi + Хит в QT. Предположим, что кг ЗІ Кг)™-1, тогда для решения задачи (16), (13) верна оценка и( ,х) 2ііГі/і Vt 0. Для решения задачи (17), (13), где п (17) щ = KiumMa;1Xl -Ь 2 uXiXi + Хит В QT г=2 верна следующая оценка K«,x) max«o(x)+ (1 + . V О к z при любом к\ 0. Здесь также можно дать простую физическую интерпретацию. Чем больше коэффициент теплопроводности (достаточно в одном направлении), тем больше поток тепла через границу, что способствует остыванию и предотвращает неограниченный рост решения. В четвертом параграфе рассмотрен стационарный случай. Получены аналогичные оценки. В пятом параграфе приведен ряд примеров. В частности, показано, что если применить результаты третьего параграфа к линейному уравнению (18) щ — dij(t, x)uXiXj + (n(t,х)их. + a(t, x)u = f(t, x), a(t, x) a0, то для решения u(t,x) задачи (18), (12) вытекает как стандартная оценка тахМ inf (ерТтах maxlwol, ), QT ц аа\ L fj, — maxaJ/ raaxjmax /, max ai} ит Г і . max I/I так и оценка max \u\ QT min an Заключительный параграф первой главы посвящен вопросу единственности классического решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. Стандартным условием единственности классического решения является дифференцируемость коэффициентов уравнения по переменным и и Vu (см. [14], [44]). В шестом параграфе

показано, что от условия дифференцируемости по Vw можно отказаться. Показано также, что в определенных случаях можно отказаться и от условия дифференцируемости по и. Отметим, что как следует из примеров, построенных в [33] и [59], отказ от условия дифференцируемости по и, вообще говоря, ведет к неединственности решения.

Во второй главе построена теория начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными при наиболее общих предположениях о коэффициентах уравнений.

Рассмотрим уравнение

(19) a(t,x,u,ux)uxx — ut = f(t,x,u,ux) в QT = Qx(0,T], где a(t, х, и,р) 0 с одним из следующих условий:

(20) и(0,х) = щ(х), u(t,±l) = 0,

(21) и(0, х) = и0(х), ux(t, ±1) = 0.

Здесь для краткости изложения ограничимся задачами Дирихле и Неймана, отметим лишь, что в случае третьей краевой задачи результаты аналогичны.

Предположим, что правая часть уравнения (19) может быть записана в виде

(22) f{t, х, и, р) = /i(t, х, и, р) + f2(t, х, u, р), где функция /г удовлетворяет следующему условию (23i) f2{t,x,u2,p) - f2(t,y,uup) 0,

(232) /2( , У, «2, -р) - І2ІЇ, X, Hi, -р) для t Є [О, Т], — І у х І, —М щ и і М, р О. В случае задачи Дирихле дополнительно предполагаем, что

(24) uf2(t,x,u,p) 0

при (, х) Є QT, \U\ М и произвольных р. Относительно функции /і предположим, что

(25) /i(t,z,u,p) а{і,х,и,р)ф{\р\)

при (t, х) Є QT, \и\ М и произвольных р. Здесь ф(р) є Сх(0,+оо) -неубывающая неотрицательная функция, удовлетворяющая следующему ограничению: существуют ро и р\ такие, что 0 ро р\ +оо и

ГРІ pdp

(26) / ,. . osciu) = max и — min и.

Jpo Ф(Р)

Пусть функция h(г) есть решение следующей задачи:

h" + ip{\h \) = 0, Д(0) = 0, h(r0) = osc(u), где

rPl dp

то = Jva

ро Ф(Р)

Нетрудно видеть (см. главу 2, параграф 1), что ро h р\. Предположим, что

(27) \u0(x)-uQ{y)\ h(\x-y\).

Если условия (22) - (27) выполнены, тогда градиент ограниченного решения задачи (19), (20) ограничен постоянной, зависящей лишь от ф и osc(u). В случае задачи (19), (21) условие (24) лишнее. Заметим, что условие (27) является условием малости на osc(uo). Если щ(х) - произвольная, удовлетворяющая условию Липшица функция, тогда в условии (26) надо брать ро = К, где \щ(х) — ио(у)\ К\х — у\ и предположение (27) будет автоматически выполнено. Таким образом, для произвольной непрерывной по Липшицу функции щ (х) условия (26), (27) эквивалентны следующему: существует pi К такое, что (28) IKW OSC{U) Априорная оценка \ux(t,x)\ C выполняется с постоянной С, зависящей лишь от ф, К, osc(u). Если f2(t,x,u,p) = 0, то условие (28) фактически совпадает с условием (8). Если fi(t,x,u,p) = 0, тогда для решения задач (19), (20) и (19), (21) выполняется: max\ux(t,x)\ К. QT Заметим, что условия на функцию /2 никоим образом не связаны с коэффициентом а. Условие (24) в случае, когда /2 = h{t- xiV) и го I, может быть заменено следующим: (29i) pf2(t, х,р) 0 для х Є Н, -/ + го], (292) pf2(t, х,р) 0 для хе[1- то, /], где р Є [—pi, — ро] U [POJPI] ДЛЯ некоторых ро 0 и р\ ро, причем условие (29i) гарантирует неразрушение градиента на левой границе, а условие (29г) - на правой. Отметим, "что выполнения условий (23) достаточно требовать для р Ро. Кроме того, отметим, что условия (23) гарантируют неразрушение градиента внутри области, тогда как условие (24) (либо (29)) на границе (для задачи Дирихле). Приведем несколько примеров, дающих более четкое представление о результатах этой главы. Рассмотрим следующую задачу: u(t, — I) = u(t, I) = 0, и(0,х) = щ(х), где UQ{X) - гладкая, удовлетворяющая условиям согласования функция. Нетрудно видеть, что максимум модуля решения этой задачи ограничен. Положим fi(t,x,u,p) = 0, тогда в условии (25) можно взять ф = 1, и для любого ро 0 найдется конечное р\ ро такое, что условие (26) будет выполнено. Возьмем ро (20-1- Очевидно функция /г = (х + 1/2)(р + U/21)3 при р ро удовлетворяет соотношениям (23) и, следовательно, разрушение градиента не может наступать внутри области.. Более того, если выбрать ро max{U/2l,osc(u)/l}, то, выбирая р\ так, чтобы ГРІ I pdp = osc(u), Jpo имеем JPo PoJpo P0

Легко видеть, что условие (29i) выполнено и, следовательно, разрушение градиента не может наступать и на левой границе. Таким,образом, если градиент обращается в бесконечность, то это может происходить лишь на правой границе. МіП.Вишневским, Т.Н.Зеленяком и М.М.Лаврентьевым в [11] было, в частности, показано, что в случае U = 7г/2 и I = 1/2 для любых начальных данных щ имеет место разрушение градиента решения при , стремящемся к некоторому подходящему значению t на правой границе (х = 1/2). Заметим, что единственным решением соответствующей стационарной задачи является функция arcsin(:r 4-1/2).

Кроме того, на основе результатов главы 2 можно найти условия на величину U, гарантирующие ограниченность градиента, а именно, (Al\fi) l \U\ V (подробнее см. параграфе главы 3). Очевидно, при I = 1/2 и U = 7г/2 это условие не выполнено..

Приведем пример с разрушением градиента во внутренней точке. Рас смотрим следующую задачу Дирихле: ихх - щ = -и\их\т гих, в (0,Т) х (-1,1), и(0, х) = uQ(x), u{t, ±1) = ±А, u0(±l) = ±А, где постоянные А О, а т 2. М.Фила и Г.Либерман в [30] показали, что если Л достаточно велико, а именно, / [(т-2) Гsds\l/{-m- dy 21 J-A JO (30) /ЕЕ то за конечное время градиент решения разрушается во внутренней точке области при любых начальных данных. Отметим, что из [30] не следует, что неравенство / 2 гарантирует ограниченность градиента. Неравенство (30) можно записать следующим образом (подробнее см. §4 главы 2):

Ат/(т-2) . 1 + 2/(т - 2)

((m.-2)/2)V(m-2) Очевидно, при т — со получаем неравенство А 1 (А стремится к 1 сверху). Таким образом, достаточным условием разрушения градиента при произвольном т является условие А 1.

Результаты §2 главы 2 диссертации гарантируют неразрушение градиента при А 1.

В качестве последнего примера возьмем нестационарное уравнение капиллярности:

Здесь и - профиль поверхности жидкости с постоянным поверхностным натяжением в равномерном поле тяжести. Очевидно, условие Бернштейна для этого уравнения не выполнено, поскольку неравенство \f(t,x,u,p)\ а(і,х,и,р)ф(\р\) выполняется сф(р) = МА;(1 +р2)3/2 (М = тах\и\). Если к 0, то функция /2 = ки(1 + р2)1/2 удовлетворяет условиям (23) и (24), следовательно, градиент решения как задачи Дирихле, так и задачи

Неймана ограничен VT 0. Если же к 0, то, как показано в [4], за конечный промежуток времени наступает разрушение градиента во внутренней точке области (само решение при этом остается ограниченным). Знак постоянной к зависит от направления действия гравитационного поля. Если к 0, то поле направлено внутрь, если к 0, то наружу. Существует ряд других примеров (см. [74], [5], [13], [25], [35], [47]) разрушения градиента при нарушении условия Бернштейна. Во всех этих случая нетрудно видеть, что нарушаются и наши условия.

Содержание второй главы по параграфам выглядит следующим образом. В первом параграфе второй главы получена априорная оценка градиента для второй и третьей краевых задач. Второй параграф посвящен оценке градиента для задачи Дирихле. В третьем параграфе при дополнительном предположении о непрерывности по Гельдеру функций а и / доказана глобальная разрешимость задачи Дирихле, Неймана, третьей краевой задачи и задачи Коши. В четвертом параграфе приведены примеры глобальной разрешимости краевых задач для уравнений, не удовлетворяющих условию Бернштейна. В пятом параграфе рассмотрен пример вырождающегося уравнения, возникающего, в частности, в теории неньютоновских жидкостей. Кроме того, рассмотрено уравнение движения поверхности с заданной средней кривизной и, в частности, нестационарное уравнение капиллярности. Заключительный, шестой параграф, посвящен вопросу о поведении решения при неограниченном возрастании времени.

Подход, предложенный в данной главе, легко переносится на обыкновенное уравнение у"{х) = f(x,y(x),y (x)).

Главы 3 - 5 посвящены распространению результатов второй главы на многомерные задачи.

В третьей главе рассмотрен класс многомерных задач, допускающих существование радиально симметричных решений. Рассматривается урав нение

(31) єAu-ut = f(t,x,u, 7u) B KR где KR = (0,T) x BR, BR = {x : x R} С Rn, x = {xu...,xn), S/u = (uXl,..., uXn), а є - положительная константа, с одним из следующих краевых условий: ди (32) = 0 либо — SR ОП и = 0, SR = 0 либо г— + ait, и) sR on где SR = (0, Т) х OBR, а под понимаем производную по внешней нормали к SR И начальным условием (33) u(0,x) = w0(x) для xeBR, где wo(x) К. Предполагаем, что функция /(,х, и, р) определена при (і, х) Є KR И всех (и, р) и принимает конечные значения для (t, х) Є KR и конечных (и,р). Функция a(t,u) определена при t Є [0,Т] и любых и. Кроме того, предполагаем, что /(, х, w, Vw) в переменных (, г), где г = х = {Ylx i)l 2i может быть записана в виде f(t,x,u,\/u) = f(t,r,u,ur). Например, /= f(t, х,гг, v и\) или / = /(i, x,u,x • v ), где х • \/и = п i=l В главе 3 доказываются теоремы существования, аналогичные теоремам существования главы 2. Все результаты данной главы для краевых задач без труда переносятся на эллиптические уравнения вида

є Аи = /(x,u, v ) Уравнение (31) и условия (32) в переменных (t, г) выглядят следующим образом: s(ri — 1) eurr Л иг— ut = fi(t,r,u,ur) +f2(t,r,u,ur) в QR, где QR = {(t, г) : 0 t Т, 0 г R}, задача Дирихле принимает вид ur(t,r) = 0, u(t, г) г=0 r=R задача Неймана ur(t,r) = О, ur(t,r) r=0 r=R третья краевая задача = 0 r=R ur(t,r) =0, ur(t, r) + a(t,u(t,r)) r=0 и начальное условие u(t,r) =uo(r).

Заметим, что условие на левой границе ur(t10) = 0 появляется благодаря тому, что мы ищем гладкое радиально симметричное решение. С точки зрения теории вырождающихся уравнений это условие лишнее. Граница г = 0 освобождается от краевого условия, так как решение само вырабатывает значение иг — 0 при г = 0 (подробнее см. уже упоминавшуюся выше монографию [55]). С точки зрения получения априорной оценки градиента фактически показано что наличие сингулярного члена є(п— l)r_1ur "не мешает" применению подхода, изложенного во второй главе.

В четвертой главе рассматриваются краевые задачи и задача Коши для многомерных квазилинейных неравномерно параболических и неравномерно эллиптических уравнений в прямоугольных параллелепипедах. Изложение в основном ведется для параболических уравнений. Подробное изложение для эллиптического случая дается только для двумерного случая, т. к. в двумерном случае имеет место более общий результат.

Первый параграф посвящен доказательству гельдеровости решения уравнения aij(t,x,u, Vw) — ut = f(t,x,u,Vu) по переменной t с показателем 1/2 при наличии априорных оценок самого решения и его градиента. Для уравнения с одной пространственной переменной этот результат был получен С.Н.Кружковым [34]. Первоначально в [35] гельдеровость по t была получена с неоптимальным показателем (меньше 1/2). Б.Гилдинг (см. [36]) для линейного уравнения (с одной пространственной переменной) "дотянул" показатель до 1/2, затем в [34] была получена оценка с оптимальным показателем уже для квазилинейного уравнения. Мы показываем, что подход, предложенный в [34], легко распространяется на многомерные уравнения, где постоянная Гельдера дополнительно зависит от размерности области. Граничной оценке градиента решения задачи Дирихле посвящен второй параграф. Граничная оценка uXi получена при следующих предположениях о правой части: /(,x,«,p) = /i(,x,u,p) + /2(,x,u,p)..

Функция /і при (,х) Є QT, \и\ Ми любых р\ удовлетворяет следующему структурному ограничению /i(i,x, и, О,..., 0,pu О,..., 0) оц(і,х, u,0, ...0,рг-, 0,..., 0) (N), где М 0 - некоторая постоянная, ф{р) 0 - непрерывно дифференцируемая функция такая, что [+0° pdp . . , „V / -7ТТ mzx-{osc(u),Kili}, JKi ЩР) где постоянная К{ определяется из неравенств \u0(xi, ..., Xi-l, Xi, Х{+1, ..., Хп) — UQ(XI, ..., X{-h &, Xi+i, ..., Хп)\ КІ\ХІ — &. Функция /2(t,x,u,p) удовлетворяет соотношению uf2(t, х, u, 0,..., 0,р,-, 0,..., 0) 0.

Эти условия гарантируют неразрушение градиента для широкого класса квазилинейных неравномерно парараболических уравнений, не удовлетворяющих условию Бернштейна. Отметим здесь, что в большинстве известных примеров с разрушением градиента разрушение происходит именно на границе области, разрушение градиента внутри области - явление редкое.

Третий параграф посвящен глобальной оценке градиента для задачи Дирихле, там же сформулирована теорема существования. Для одного класса многомерных задач получена оценка градиента решения без дифференцирования уравнения и, как следствие, без предположения дифференцируемое™ коэффициентов и правой части уравнения. Основное отличие от одномерного случая заключается в том, что здесь приходится требовать независимость старших коэффициентов от части переменных, а именно, dij = CLij{t, Xi, %h U) (a« = aii(t, X{, Vu)).

Кроме того, требуется выполнение дополнительных ограничений (см. условия (3.3), (3.11) и (3.15) в главе 4) которые выполнены, если, например, коэффициенты при смешанных производных равны нулю. Условия на правую часть аналогичны условиям, сформулированным во второй главе. Отметим, что здесь также допускается нарушение условия Бернштейна.

В четвертом параграфе рассмотрена третья краевая задача и задача Коши.

В пятом параграфе получена оценка градиента решения в норме пространства Ca/2 a(Qr) (Ca(Q)) для уравнений

(34) Аи-щ = /(i,x,w,Vu), (Аи = f(x,u,Vu)).

Оценка эта является по существу точной и не может быть улучшена без дополнительных условий о характере непрерывности функции /.Уравнения (34), после того как получены оценки на решение и на градиент решения, могут быть рассмотрены как линейные уравнения с ограниченной правой частью. В одномерном случае для квазилинейных параболических уравнений эта оценка была получена С.Н.Кружковым сведением к уравнению дивергентного вида большей размерности, к которому применима теорема Нэша - Де Джорджи [24], [63]. Подобный результат другим методом был получен в [15], [16].

В шестом параграфе приводится ряд примеров.

В седьмом параграфе доказана теорема о несуществовании нетривиальных решений задачи Неймана для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений. Приведем один пример. Рассмотрим следующую задачу: Аи + g(Vu) — sin и — 0, в {х : х,- Ji,i = 1,...,п, } щХ1=±Г0 t = 1 •»

Предположим, что U 2 і = 1, ...,п. Из результатов седьмого параграфа следует, что если д(0) 1, то задача не имеет решения, если же д(0) 1, то решениями задачи являются только постоянные С = arcsing(0), в частности, если д(0) = 0, то С = ±7гга, п = 1,2,....

Восьмой параграф посвящен эллиптическим уравнениям с двумя независимыми переменными. Специфика двумерного случая позволяет рассматривать уравнения с коэффициентами, зависящими от всех переменных, а условие дифференцируемости коэффициентов можно заменить на условие их непрерывности по Гельдеру.

В заключительном, девятом, параграфе рассмотрено уравнение Гамиль-тона-Якоби: (35) ut + H(t,x,u,Vu) = 0 и его параболическая регуляризация: (36) и\ + H(t, х, иє, Vu) = єАиє, где є 0 - некоторая постоянная. В начале 80-х годов М.Крендал и П.-Л.Лионс (см., например, [55]) ввели понятие вязкого решения. Было показано, что если из семейства решений u(t, х) какой-либо краевой задачи или задачи Коши для уравнения (36) можно извлечь. равномерно сходящуюся подпоследовательность, то предел и(,х) и есть вязкое решение соответствующей задачи для уравнения (35). При определенных условиях вязкое решение (которое, вообще говоря, есть лишь непрерывная функция) становится липшицевой функцией. Обычно для этого необходимо требовать, чтобы гамильтониан H{t, х, и, р)не зависел от переменной и и Н — ею при р — со (условие коэрцитивности) (см. [8]). В девятом параграфе показано, что можно получить липшицево непрерывное вязкое решение без предположений коэрцитивности и независимости гамильтониана от переменной и. Отметим, что вязкие решения эквивалентны минимаксным решениям, которые были введены А.И.Субботиным (см. [64]).

В пятой главе рассматриватся задача Дирихле для многомерных квазилинейных неравномерно эллиптических и неравномерно параболических уравнений в одном классе невыпуклых областей. Будем говорить, что область выпукла в направлении координатных осей, если выполнено следующее условие: если две точки, лежащие на прямой, параллельной какой-либо координатной оси, принадлежат области, то и весь отрезок, соединяющий эти две точки, принадлежит области. Ясно, что любая выпуклая область выпукла в направлении координатных осей. Изложение в основном ведется для эллиптических уравнений, а в последнем, четвертом, параграфе вкратце рассматриваются параболические уравнения.

Первый параграф посвящен оценке градиента. Во втором сформулированы теоремы существования и единственности, а также приводятся примеры. В третьем рассмотрен двумерный случай.

Шестая глава посвящена изучению начально краевых задач для следующего ультрапараболического уравнения: (37) щ + с • Vu = киУу + \ит + /, где с - {ci(t, x,у), c2{t, х, у)),Х = \(у) О, / = /( , х, у, и, иу)ъ области QT,X = W,xty) :0 t T,0 x X,-R y R}. Ищем решение уравнения (37), удовлетворяющее условиям: (38) и(0,х, у) = щ(х,у), u(t,0,y) — u(t,x,±R) = 0 либо: (39) и(0,х,у) = щ(х,у), u(t,0,y) = uy(t,x,±R)±b(t)u(t,x,±R) = 0, где b(t) 0. Предполагаем, что функция /(, х, у, и, q) и ее частные производные fx, fq определены на множестве QT,X х R2 и принимают конечные значения при (t,x,y) Є QT,XИ конечных q. Кроме того, предполагаем, что с\(t,х,±г) = 0, ci(t,x,y) 0 при \у\ R, к 0, Л 0.

Остановимся сначала на мотивации нашего интереса к этим задачам. Рассмотрим одномерное течение в трубе радиуса Я, где ось х направлена вдоль трубы. Составляющая скорости в направлении у равна нулю (v = 0), а составляющая скорости в направлении а; зависит от времени t и пространственной переменной у: с\ = ci(t, у). Простейший случай - это течение Пуазейля: с\ = ci(\y\), где сі(±і?) = 0, а сі(г/) 0 для Ы R-Нестационарное диффузионно-конвективное уравнение в этом случае принимает вид (40) ut Л- с\их = кАи + /, где и - температура, положительная постоянная к - коэффициент теплопроводности, а / - источник. Как уже упоминалось выше, если число Пекле велико по сравнению с 1, тогда конвективный перенос тепла в направлении х существенно превосходит молекулярный перенос (диффузию) и членом ихх можно пренебречь. Уравнение (40) принимает вид: Щ Л-с\их — киуу + f. Преимущество данного подхода с точки зрения приложений заключается в том, что достаточно лишь одного краевого условия в направлении я, т. е. достаточно проводить замеры по сечению х лишь единожды (например, на входе х = 0).

Первые три параграфа посвящены задаче (37), (38). Для доказательства разрешимости этой задачи приблизим её следующей регуляризованной задачей (37) и\ + a(t, х, у)их + c2(t, х, у)иєу = киуу + єихх + \{у){иє)т + f(t, x, у, щ Uy) с условиями: (38) иє(0,х,у) = ио(х,у), u(t,0iy) = u(t,x,±R) = 0, ux(t,X,y) = 0, где є 0 - некоторая постоянная. Решение исходной задачи будем искать как предел при є — 0 решений регуляризованной задачи. В первом параграфе для регуляризованной задачи (37) , (38) установлены априорные оценки для тахг/, тахи§, тах , не зависящие от є. Во втором параграфе получены априорные оценки на и, иуу в норме пространства L,2(QT,X), не зависящие от е. В третьем параграфе на основе полученных оценок доказано существование обобщенного решения исходной задачи (37), (38) и его единственность. Существование доказывается предельным переходом при є —»• 0 в интегральном тождестве Г J Qt,a [киуу -и\- Ci(t, х, у)и% - c2(t, х, у)иєу - f(t, х, у, и, Uy)) j)ds = —є I ux(frxds. J Qt,x Обратим внимание на то, что полученное решение исходной задачи не имеет следа на границе х = X и, следовательно, "не замечает" дополнительное краевое условие ux(t, X, у) = 0. В четвертом параграфе рассмотрена краевая задача (37), (39). В пятом параграфе уравнение (37) исследуется в области DT,x = {{t,x,y): 0 t T,0 x X,0 y -foo}, причем в этом случае ci(t,x, 0) = C2(t,x, 0), ci(t,x, у) 0 при у 0 и Сіх + с2у = 0, а краевые условия выглядят следующим образом: (41). и(0,х,у) = щ(х,у), u(t, 0, у) = u(t, х, 0) = 0, u(t, х, у) — 0 при у — +оо. Особенность задачи (37), (41) состоит в неограниченности области DT,X.И получаемые априорные оценки не зависят как от є, так и от R.

Сформулируем основные результаты диссертации.

1) Получены новые достаточные условия неразрушения решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических уравнений. Эти условия, в частности, демонстрируют превентивный эффект как диффузии, так и конвекции, не допускающий неограниченного роста температуры (режим с обострением) в тепловых процессах.

2) Предложено новое структурное условие, гарантирующее неразрушение как внутри области, так на ее границе, градиента решения краевых задач для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. Это условие, в частности, обобщает классическое условие Бернштейна.

3) Получена априорная оценка градиента решения краевых задач для одного класса многомерных квазилинейных параболических и эллиптических уравнений при минимальных предположениях о гладкости коэффициентов и правой части. На основе этой оценки доказывается глобальная разрешимость указанных задач. Кроме того, эта оценка дает нам возможность сформулировать новые условия, гарантирующие липшицевость вязких решений задачи Дирихле для уравнения Гамильтона-Якоби.

4) Доказано существование и единственность обобщенного решения краевых задач для одного класса квазилинейных ультрапараболических уравнений. Исследована гладкость решения.

Основные результаты работы опубликованы в [65] - [69], [18] [79] - [87] и докладывались следующих семинарах: семинар под руководством академика РАН В.Н.Монахова и чл.-корр. РАН П.И.Плотникова, институт гидродинамики им. акад. М.А.Лаврентьева СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора Т.И.Зеленяка, институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора В.Н.Врагова, институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар под руководством профессора А.М.Бло-хина, институт математики СО РАН, Новосибирск; семинар прикладной математики критского университета, Греция; семинар прикладной математики мадридского университета Комплутенсе, Испания; и на конференциях:

Нелинейные уравнения с частными производными и уравнения математической физики, центр им. С.Банаха, Польша, 1994; Второй всеевропейский конгресс по эллиптическим и параболическим уравнениям, Понт-а-Муссон, Франция, 1996; Современные проблемы в математике и механике, Чебышевские чтения, Москва, 1996; Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ), Новосибирск, 1998; Нелинейные уравнения с частными производными, международная конференция памяти С.Н.Кружкова, Безансон,

Теорема единственности для параболических уравнений

Обычно единственность классического решения доказывается в предположении дифференцируемости функций ciij(t, х, гг, р) и /( , х, и, р) по переменным иир (см. теорему 2.8 из [44]). Покажем при помощи элементарных рассуждений, что от условия дифференцируемости по р можно отказаться. В [33] (см. также [61]) был построен пример неединственности классического решения задачи Дирихле в случае недифференцируемой по и "функции /. Отметим, что как следует из леммы 6.1 данной главы, требование дифференцируемости по переменной и не является необходимым. Теорема 6.2. Если функции ау(, х, и, р), f(t, х, и, р) ограничены вместе со своей первой производной по переменной и для (t,x) Є QT и конечных (w,p) и выполнено условие (2.3), тогда задача (2.1), (2.2) имеет 0 1 — не более одного решения в классе функций из Cx t (QT) Если дополнительно функции aij и f не зависят от переменной и, тогда задача (2.1), (2.2) имеет не более одного классического решения. Доказательство. Предположим, что существуют два решения задачи (2.1), (2.2) и, v Є CXJ(QT)- ДЛЯ функции w = и — v имеем x,u, Vv))vXiXj. Перепишем это соотношение следующим образом: Существование ограниченных функций / и ац следует из теоремы о среднем и из дифференцируемости функций a,ij(t, х, и, р) и f(t, х, и, р) по переменной и. Получаем, что \f+aijVXiXj\ CQ + со, поскольку (Vu, Vv, vXiXj) Є C(QT)- ДЛЯ функции w — e Cotw имеем Предположим, что функция w достигает положительного максимума или отрицательного минимума в точке N Є QT\(SL)Q), В которой должно выполнятся wXi = О \/г, т. е. Vu(N) = Vv(N) и, следовательно, F(N) = 0. Из (6.2) получаем, что L{w) = 0 в точке N, что невозможно, таким образом, в QT \ (S U Q) функция w не может достигать ни положительного максимума, ни отрицательного минимума. Принимая во внимание тот факт, что w = e Cot(u — v) = 0 на S U Q, получаем и = v в QT. Второе утверждение теоремы следует из того, что в этом случае вместо (6.1) имеем Рассматривая функцию w\ = e lw, получаем требуемый результат. Замечание 6.2. Если функции а не зависят от и, a /"= /(, х, и, Vu), тогда задача (2.1), (2.2) имеет не более одного решения в классе функций, принадлежащих пространству Cx t(Qx) nCx t(Q:r), поскольку здесь вместо (6.1) имеем и l/l Co +oo. Замечание 6.3. Если функция f может быть представлена в виде f(t,x,u,Vu) = gi(t,х,S7u)uXi + G(t,x,u), где Gu ограничена для (t,x) Є QT и конечных и, а коэффициенты а не зависят от и, тогда задача (2.1), (2.2) имеет не более одного классического решения. Здесь вместо (6.1) имеем где \G\ CQ +0O, a F1 = gi(t,x,Vu)ux. — gi(t, x, Vv)vXi. Очевидно, в точке N, соответствующей экстремуму функции w = e lw, имеем Fl(N) = Q. Замечание 6.4. Нетрудно видеть, что достаточно требовать ограниченности производной fu (Gu) снизу. Это ограничение нельзя ослабить (что следует из линейной теории). Рассмотрим теперь следующую задачу где с т 0 - постоянная, П лежит в полосе —/і х\ 1\, а постоянные /? и а лежат в интервале (0,1), причем /?-1 - нечетное число. Пусть А 0 -первое собственное число, &ф(х) - соответствующая собственная функция задачи Как известно, функция ф знакопостоянна, будем считать ф 0. Известен следующий факт (см., например, [61]): если с = 0, то помимо тривиального решения u(t, х) = 0, существует семейство нетривиальных решений задачи в частности, u(t,x) = щ(і)ф(х) = (1 — a) 1 1 1 (х). Покажем, что в некоторых случаях существует лишь тривиальное решение задачи (6.3), (6.4). Лемма 6.1. Предположим, что постоянная с Ф 0, а /3 и а таковы, что 0 (3 а 1, причем (3 1 - нечетное число. Тогда существует лишь тривиальное решение задачи (6.3), (6.4). Доказательство. Пусть для определенности с 0. Рассмотрим вспомогательное уравнение є Є (0, єо] а ео выбрано таким, что выполняется неравенство

Получим оценку u(i, х) 2Ziе для решения задачи (6.5), (6.4). Эта оценка обеспечит совпадение уравнений (6.5) и (6.3) и, как следствие, будет верна и для решения задачи (6.3), (6.4). Из того, что для всех решений задачи (6.3), (6.4) выполняется \и\ 21\ We 0, заключаем, что единственно возможное решение - это u(t, х) = 0. Получим требуемую оценку. Рассмотрим функцию г (,х) = к(,х) — /І(ХІ), где h{x\) = е{1\ + х{). Ясно, что Если максимум функции v(t, х) принимается в точке N Є QT \ Г (Г -параболическая граница области QT), ТО в этой точке Vv = 0, т. е. иХх = h! = є, следовательно, последнее неравенство верно в силу выбора є (см. (6.6)). Это противоречит предположению, что в N достигается максимум. В силу (6.4) функция v(t, х) на Г неположительна, следовательно, v(t, х) 0 в QT и Рассмотрим теперь функцию v(t,x) = u(t,x) + h(xi). Нетрудно видеть, что Если минимум функции v(t, х) принимается в точке N\ Є QT\ Г, то в этой точке Vv = 0, т. е. uXl = —h! = —б, следовательно, что противоречит предположению, что в N\ достигается минимум. Ясно, что на Г функция v(t,x) неотрицательна, следовательно, v(t, х) 0 в QT и Таким образом, w 21\е, что и требовалось доказать. Аналогичный результат можно получить для решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений. В теореме 10.2 из [14] единственность доказывается в предположении независимости функции а от и, дифференцируемое dij и / по р и убывания функции / по переменной и. Теорема 7.1. Если функции а зависят лишь от х, р, а функция /(х, и, р) строго возрастает по переменной и для х Є U и конечных и, р, и выполнено условие (4-3), тогда задача (4-1), (4-Ю имеет не более одного решения в классе функций из C (Q). Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы, для w(x) = и(х) — f (х), где и и v - два. решения задачи (4.1), (4.2), получаем: ау(х, Vu)wXiX. = /(х, и, Vu) - /(х, v, Vu) + Дх, v, Vu) - f{x, v, Vv)+ (7.1) (aij(x, Vv) - ay(x, Vu))vXiXj. В точке внутреннего положительного максимума (отрицательного минимума) левая часть соотношения (7.1) неположительна (неотрицательна), а правая строго положительна (строго отрицательна). Таким образом, функция ги во внутренних точках области не принимает ни положительный максимум, ни отрицательный минимум, следовательно, w = и—v = 0. Теорема доказана. В заключение отметим, что теорема 7.1 не может быть, вообще говоря, обобщена на случай, когда старшие коэффициенты а зависят от и. В [59] построен пример неединственности классического решения задачи Дирихле в случае, когда ац = aij(x,u).

Примеры неравномерно параболических и вырождающихся уравнений

Здесь и - профиль поверхности жидкости с постоянным поверхностным натяжением в равномерном поле тяжести. Если к 0, то оценка (5.4) выполнена для всех краевых задач. Если же к 0, то, как показано в [4], за конечный промежуток времени наступает разрушение градиента во внутренней точке области (само решение при этом остается ограниченным). Знак постоянной А; зависит от направления действия гравитационного поля. Если к 0, то поле направлено внутрь, если к 0, то наружу. Обратим внимание на некоторые разночтения, встречающиеся в литературе. В [54] уравнение (5.3) записывается как С точки зрения наших рассуждений это не влияет на оценку. В этом параграфе рассмотрим поведение решений при t — +00. Ограничимся задачей Дирихле, для третьей краевой задачи и для задачи Коши можно получить аналогичные результаты. Пусть \и\ М с постоянной М, не зависящей от Т. Это предположение верно, если, например, условие (3.1) выполнено с «2 = 0, или выполнены условия леммы 1.1 предыдующей главы. В этом случае оценка градиента также не зависит от Т. Считаем, что функции a(t, х, u,p), f(t,x,u,p) ограничены при 0 t +00, \х\ I, \и\ М, \р\ С. Предположим, что Кроме того, для простоты, ограничимся случаем, когда где а - положительная постоянная. Теорема 6.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и условия (6.1), (6.2). Тогда для решения задачи (0.1), (0.2), (0.5) верно Доказательство. Фиксируем произвольное число є 0 и выбираем t 0 так, что /i(i,х,u,0) га при t tt. Рассмотрим функцию w+(t,х) = Ме № ь + є + u(i,х), где Р a, a М \u(t, х)\. Положим где A(t,х) = a(t,x,u,ux). При t = t, также как и при х = ±/, функция w+ неотрицательна. Более того, Предположим, что гу+ принимает отрицательный минимум при t t, \х\ 1 в точке N(to,xo). В этой точке имеем w+ 0, ги = 0, т. е. и е — Me t te\ а их = 0. Таким образом, выполняется что невозможно. Следовательно, w+ 0 всюду в области при t t или Аналогично, рассматривая функцию ги (,х) = Ме г г +є — u(t,x) вместо w+, получаем При = и при х = ±/, функция ги неотрицательна. Предположим, что w принимает отрицательный минимум при t Т, \х\ І в точке Ni(ti,xi). В этой точке имеем w 0, w — 0, т. е. и є + Ме г іе\ а их = 0. Таким образом, что невозможно. Следовательно, w 0 всюду в области при t te или Учитывая полученную выше оценку снизу, заключаем Для t t — (3 І1п(є/М) получаем Теорема доказана. Условие (6.1) может быть несколько ослаблено.

В качестве примера того, как это можно сделать, рассмотрим линейное уравнение где c(t, х) = ci(t,x) — а. Положим Условие (6.1) означает, что \g(t,ж)— 0 и \ci(t,x)\ — 0 равномерно по х при t — +оо. Таким образом, для уравнения (6.5) теорема 6.1 верна. Теперь предположим, что c(t,x) = ci(t,x) — а, где c\(t,х) 0 (а условие ci(i,a;) — 0 при t — -Ьоо не выполнено). Повторяя доказательство теоремы 6.1 для уравнения (6.5), в точке N получаем поскольку c\{N)u{N) 0. Аналогично, в точке iVi имеем Таким образом, для того чтобы решение задачи (6.5), (0.2), (0.5) стремилось к нулю при t — +00, достаточно, чтобы jf(,a;) — 0 равномерно по х при t — +оо Обратим внимание на то, что условия, промежуток времени наступает разрушение градиента во внутренней точке области (само решение при этом остается ограниченным). Знак постоянной А; зависит от направления действия гравитационного поля. Если к 0, то поле направлено внутрь, если к 0, то наружу. Обратим внимание на некоторые разночтения, встречающиеся в литературе. В [54] уравнение (5.3) записывается как С точки зрения наших рассуждений это не влияет на оценку. В этом параграфе рассмотрим поведение решений при t — +00. Ограничимся задачей Дирихле, для третьей краевой задачи и для задачи Коши можно получить аналогичные результаты. Пусть \и\ М с постоянной М, не зависящей от Т. Это предположение верно, если, например, условие (3.1) выполнено с «2 = 0, или выполнены условия леммы 1.1 предыдующей главы. В этом случае оценка градиента также не зависит от Т. Считаем, что функции a(t, х, u,p), f(t,x,u,p) ограничены при 0 t +00, \х\ I, \и\ М, \р\ С. Предположим, что Кроме того, для простоты, ограничимся случаем, когда где а - положительная постоянная. Теорема 6.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и условия (6.1), (6.2). Тогда для решения задачи (0.1), (0.2), (0.5) верно Доказательство. Фиксируем произвольное число є 0 и выбираем t 0 так, что /i(i,х,u,0) га при t tt. Рассмотрим функцию w+(t,х) = Ме № ь + є + u(i,х), где Р a, a М \u(t, х)\. Положим где A(t,х) = a(t,x,u,ux). При t = t, также как и при х = ±/, функция w+ неотрицательна. Более того, Предположим, что гу+ принимает отрицательный минимум при t t, \х\ 1 в точке N(to,xo). В этой точке имеем w+ 0, ги = 0, т. е. и е — Me t te\ а их = 0. Таким образом, выполняется что невозможно. Следовательно, w+ 0 всюду в области при t t или Аналогично, рассматривая функцию ги (,х) = Ме г г +є — u(t,x) вместо w+, получаем При = и при х = ±/, функция ги неотрицательна. Предположим, что w принимает отрицательный минимум обеспечивающие стремление к нулю решения при неограниченном возрастании времени, в линейном случае совпадают с известными (см. например [30]). Эта глава посвящена обобщению результатов предыдущей главы на один класс многомерных задач. Рассматриваются задачи допускающие ра-диально симметричные решения. В первом параграфе многомерные задачи сводятся к одномерным вырождающимся задачам. Во втором параграфе получены оценки градиента решения первой, второй и третей краевых задач. В третьем параграфе доказываются теоремы существования, аналогичные теоремам существования главы 2. В четвертом приводится ряд примеров. Изложение ведется для параболических уравнений однако результаты данной главы для краевых задач без труда переносятся на соответствующие эллиптические уравнения.

Оценка градиента

В этом параграфе получены оценки градиента решения, аналогичные оценкам предыдущей главы. Предположим, что функция / представима в виде Это возможно в силу (2.2). Положим TQ = т{К). Относительно начальных данных предполагаем, что Лемма 2.1. Пусть u(t,r) - классическое решение задачи (1.1) , (1-3) , (1.5) . Предположим, что выполнены условия (2.1) - (2.3), (2.6). Тогда в QR выполняется неравенство где постоянная С\ зависит лишь от osc{u), К, ф. Доказательство. Запишем уравнение (1.1) в точке (,р), где г ф р: Рассмотрим функцию v(t,r,p) = u{t,r) — u(t,p). Ясно, что v(t,r,p) удовлетворяет в О, = {(t, г, р) : 0 t Т, р г, 0 р, г R] уравнению где Определим оператор L: Рассмотрим функцию w(t, r, p) = v(t, r, p) — h(i— p) в В силу того, что h{r) удовлетворяет (2.4), получаем L{h{i— р)) = 0 и L(w) = где \ai\ +00, і = 1,2. Обозначим через Г параболическую границу Р (т. е. Г = дР \{(t,r,p) : t = Т, 0 г — р го, 0 г, р R}. Предположим, что функция w принимает наибольшее положительное значение в точке (о, го, ро) Є Р\ Г. Тогда в этой точке имеем Из (2.7) непосредственно следует, что L{w) 0. С другой стороны, Таким образом, получаем, что и L(w) 0. Из этого противоречия заключаем, что w не может принимать положительный максимум в Р\Г. Рассмотрим w на Г. Пусть TQ R. При t = 0 Далее, w(t, г, г) = 0 и, когда г—р = то, имеем w = u(t,r)—u(t, p)—h(ro) 0 в силу (2.5). Положим Принимая во внимание (1.3) и тот факт, что h! К 0, заключаем, что Таким образом, функция w(t, г, p) не может принимать положительный максимум ни на Qi, ни на ( 2 Случай то R рассматривается аналогично. Единственное различие заключается в отсутствии границы г — р = то. Полагаем Рассматривая аналогично функцию v(t, г, р) = u(t, р) — u(t,r), легко видеть, что для w(t, r,p) = v — h{r — р) имеем Г . р Предположим,, что функция w принимает положительный максимум в точке (їо, о,Ро) Є Р \ Г. Также как и для ги, получаем, что L(w) 0. С другой стороны Используя второе неравенство из (2.3) и то, что заключаем, что L{w) 0. Из этого противоречия вытекает, что w не может принимать положительный максимум вР\Г. Рассмотрим w на Г. Легко видеть, что все рассуждения, касающиеся оценки функции w на границе Г, могут быть повторены без изменений для оценки функции w. Таким образом, получаем, что В силу симметрии переменных г, р точно также рассматривается случай р г. В результате для верно неравенство которое влечет Лемма доказана. Замечание 2.1. Отметим, что если в качестве нижнего предела в интеграле из условия (2.2) взять К1 = max К, д , тогда То R. Действительно Рассмотрим теперь третью краевую задачу. Лемма 2.2. Предположим, что u(i,r) - классическое решение задачи (1.1) , (1-4) , (1.5) и все условия леммы 2.1 выполнены. Кроме того, предположим, что в условии (2.2) в качестве нижнего предела в интеграле вместо К берем К\ max[K,N]. Тогда в QR выполняется следующее неравенство: где постоянная C i зависит лишь от osc(u), К, N и гр, здесь N = sup\a\ (супремум берется по множеству [О, Т] х [—М, М]).

Доказательство. Доказательство леммы 2 отличается от доказательства предыдущей леммы лишь в изучении поведения w(t,r, р) на ?2- Принимая во внимание правое граничное условие в (1.4) , получаем, что на Q2 выполняется Следовательно, на фг функция ги(, г, р) не может принимать положительный максимум. Рассмотрим функцию w = u(t, р) — u(t, г) — h(r — р). На Qi имеем: откуда заключаем, что w также не может достигать положительного максимума на Q2- Аналогично доказательству леммы 2.1 завершаем доказательство. Рассмотрим-задачу Дирихле. Лемма 1.3. Пусть u(t,r) - классическое решение задачи (1.1) , (1.2) , (1.5) и все условия леммы 2.1 выполнены. Дополнительно предположим, что для (t,r) Є QT, w(,r) M и произвольных р Тогда в QR выполняется следующее неравенство где постоянная Сз зависит лишь от osc(u), К и ф. Доказательство. Доказательство этой леммы отличается от доказательства леммы 2.1 лишь при анализе поведения функции w(t, г, р) на Q2. Покажем, что w(t, г, р) О на Q2. При г = R имеем Определим оператор LQ(U) = —щ 4- еирр. Очевидно, и Покажем, что W2(t,p) Она Q2. Если функция W2{t,p) принимает отрицательный минимум в точке (to,po) Є Q2, тогда в этой точке Lo(w2) = —W2t + ew2pP 0. С другой стороны, из (2.2), принимая во внимание то, что up(to,po) = h (R — pa), следует В силу того, что используя первое неравенство (2.3), получаем Следовательно, что невозможно. Отсюда заключаем, что W2 не может принимать отрицательный минимум на Q2 Покажем, что W2 0 на параболической границе Qi. В силу того, что Ы qo = К и uo(R) = О, получаем Если то R, тогда W2(t, R — TQ) = u{t, R — то) + /i(ro) 0. Действительно, /і(то) = osc(u) max Іu, последнее неравенство верно в силу того, что и обращается в ноль по крайней мере в одной точке (u(t,R) = 0). Если го R, тогда — W2P{t, 0) = — up(t, 0) + h {R) 0 и, следовательно, u не может принимать минимум при р = 0. Как следствие, получаем, что ги(,г, р) 0 на Q2

Граничная оценка градиента решения задачи Дирихле

Рассмотрим следующее уравнение: где коэффициенты aij зависят лишь от следующих переменных: Предположим, что выполнены условия (3.3), (3.4). Вместо (2.2) потребуем выполнения более сильного условия при (,х) є QT, \U\ М и любом р. Пусть где матрица А\ получается следующим образом: к матрице А = [а ] добавляем справа столбец, состоящий из элементов снизу - строку с теми же элементами, ац - пересечение "дополнительных" строки и столбца, [—h,h], \z\ М. Обратим внимание на то, что условие (3.3) выполнено, если, например, коэффициенты при смешанных производных равны нулю. Предположим, что функция /г, кроме условия (2.4), удовлетворяет следующему условию: при xi , и v, pi 0 и любых Р2,РЗ Например, функция /2 = 0i(t, и)ф2(Ь, рі,Р2,Рз) удовлетворяет этим условиям, если ифі{ї, и) 0, фі(Ь, и) - неубывающапредположению о том, что w принимает положительный максимум во внутренней точке области Рт- Здесь мы используем условие (3.3), которое гарантирует эллиптичность оператора L в точке N. Убедимся в том, что w О на Г. 1) Для х\ — имеем v = h — 0. 2) При жі — С = го получаем Н(то) = ц u(t, х) — u(t, , Х2, хз). 3) При С = —1\, х\ Є [—lu —h + то] выполняется Покажем теперь, что u(,x) /i(rri + l\). Для этого достаточно показать, что h{x\) = hi(xi + li), а затем применить лемму 2.1. Требуемое равенство непосредственно следует из того, что Покажем, что u(t, , у) —h(l\ — С). Достаточно показать, что h(l\ — С) = /іг(С) и затем вновь применить лемму 2.1. Последнее равенство непосредственно вытекает из того, что 5) При t = О имеем ио(з:і,Х2,а;з) — о(С} 2» з) -КіО і — С)? а Мхі — С) = h(xi - С) - Л(0) = h {9){xi - С) Яі(жі - С)- Напомним, что /г Є [ 7о 9іЬ 9о = ДіАі = max{Af//i,0sc(w)/7i,ifi} К\. Таким образом, мы показали, что w 0 на Г. Следовательно, (благодаря тому, что w не может принимать максимум в Рт\Г) получаем, что u(t, x)—u(t, , х2, хз) h{xi - С) в Рт. Возьмем теперь функцию u(t, , Х2, хз) — u(t,x) вместо v. Для V = (u(t, С, 2, хз) — u(t,x) — h(xi — C))e f, вычитая (3.5) из (3.6), получаем uXi(t,x) =uXi(t, x2,x3), і = 2,3, т.е. Vu(t,x) \N = Vw(, , x2, x3) \N И в силу (3.4г). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что v О на Г. Следовательно, получаем v —h(xi — Q в Яг В силу симметрии переменных жі и точно также рассматриваем случай х\. В результате получаем, что для xi її, \С\ її, \х2\ І2,\хз\ h, 0 \xi — С то имеет место неравенство которое, в свою очередь, влечет оценку wXl(,x) h (0). Лемма доказана. Сформулируем условия, обеспечивающие априорную оценку иХ2. Рассмотрим уравнение где Предположим, что для х Є О,, \р\\ С\ и произвольных и,р2,Рз выполняется Дополнительноя по переменной и, а ф2 О - четная по р\ функция. Лемма 3.1. Пусть выполнены условия (1.3), (2.1), (2.4) и (3.1) - (3-4) Тогда для любого классического решения задачи (3.1), (2.2) имеет место оценка где постоянная Сі зависит лишь от К\,ф и М. Доказательство.

Рассмотрим уравнение (3.1) в двух различных точках области Q: (t,x) = (t,xi,X2,X3) и (t,,X2,xz)- Имеем Вычитая уравнение (3.6) из уравнения (3.5), для функции v(t,x, ) = w(i, х\, Х2, хз) — u(t, С, Х2, хз) получаем где Пусть функция Л(т) = h{x\ — Q является решением задачи (то такое же, как и в предыдущем параграфе). Очевидно, L(h) = 0. Для функции w = v — h(x\ — Q получаем: we получаем: ) Рассмотрим область Рт: Предположим, что функция w принимает наибольшее значение во внутренней точке N области Рт {N Рт\ Г). Очевидно, (в N) w О, Vw = О и, следовательно, u(t, х) — u(t, , 0:2» з) h 0, (3.4і). Таким образом, из (3.7) следует +2аіЩх3 + 2а5з гусжз + 22 х2х2 + 2а2згйХ2х3 + аззгиХзх3 — w — Щ \N 0. Это противоречит предположению о том, что w принимает положительный максимум во внутренней точке области Рт- Здесь мы используем условие (3.3), которое гарантирует эллиптичность оператора L в точке N. Убедимся в том, что w О на Г. 1) Для х\ — имеем v = h — 0. 2) При жі — С = го получаем Н(то) = ц u(t, х) — u(t, , Х2, хз). 3) При С = —1\, х\ Є [—lu —h + то] выполняется Покажем теперь, что u(,x) /i(rri + l\). Для этого достаточно показать, что h{x\) = hi(xi + li), а затем применить лемму 2.1. Требуемое равенство непосредственно следует из того, что Покажем, что u(t, , у) —h(l\ — С). Достаточно показать, что h(l\ — С) = /іг(С) и затем вновь применить лемму 2.1. Последнее равенство непосредственно вытекает из того, что 5) При t = О имеем ио(з:і,Х2,а;з) — о(С} 2» з) -КіО і — С)? а Мхі — С) = h(xi - С) - Л(0) = h {9){xi - С) Яі(жі - С)- Напомним, что /г Є [ 7о 9іЬ 9о = ДіАі = max{Af//i,0sc(w)/7i,ifi} К\. Таким образом, мы показали, что w 0 на Г. Следовательно, (благодаря тому, что w не может принимать максимум в Рт\Г) получаем, что u(t, x)—u(t, , х2, хз) h{xi - С) в Рт. Возьмем теперь функцию u(t, , Х2, хз) — u(t,x) вместо v. Для V = (u(t, С, 2, хз) — u(t,x) — h(xi — C))e f, вычитая (3.5) из (3.6), получаем uXi(t,x) =uXi(t, x2,x3), і = 2,3, т.е. Vu(t,x) \N = Vw(, , x2, x3) \N И в силу (3.4г). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что v О на Г. Следовательно, получаем v —h(xi — Q в Яг В силу симметрии переменных жі и точно также рассматриваем случай х\. В результате получаем, что для xi її, \С\ її, \х2\ І2,\хз\ h, 0 \xi — С то имеет место неравенство которое, в свою очередь, влечет оценку wXl(,x) h (0). Лемма доказана. Сформулируем условия, обеспечивающие априорную оценку иХ2. Рассмотрим уравнение где Предположим, что для х Є О,, \р\\ С\ и произвольных и,р2,Рз выполняется Дополнительно, предположим, что